SỔ TAY TOÁN HỌC 12 Họ và tên Lớp 1 | Trang Đường tròn lượng giác Công thức lượng giác sin2 x+cos2 x = 11 tan x = sin x cos x 2 cot x = cos x sin x 3 tan x cot x = 1 4 1 cos2 = 1+ tan2 x 5 1 sin2 x = 1.
SỔ TAY TOÁN HỌC 12 Họ tên: Lớp: | Trang Đường trịn lượng giác Cơng thức lượng giác Công thức sin2 x + cos2 x = tan x = tan x cot x = sin x cos x = + tan2 x cos2 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam cot x = sin2 x cos x sin x = + cot2 x | Trang Hai cung đối nhau: (− x) x cos(− x) = cos x sin(− x) = − sin x tan(− x) = − tan x cot(− x) = − cot x Hai cung bù nhau: (π − x) x sin (π − x) = sin x cos (π − x) = − cos x tan (π − x) = − tan x cot (π − x) = − cot x Hai cung phụ nhau: sin ³π ³π ´ − x x ´ ³π ´ − x = sin x ³π ´ cot − x = tan x 2 cos − x = cos x ³π ´ tan − x = cot x Hai cung hơn, π: (π + x) x sin (π + x) = − sin x cos (π + x) = − cos x tan (π + x) = tan x cot (π + x) = cot x Hai cung hơm, sin ³π π ³π : ´ + x x ´ + x = cos x ´ ³π + x = − cot x tan ³π ´ + x = − sin x ´ ³π + x = − tan x cot 2 cos Công thức cộng sin ( x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos ( x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y tan x ± tan y tan ( x ± y) = ∓ tan x tan y Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang Công thức nhân đôi cos x = cos2 x − sin2 x = cos2 −1 = − sin2 x tan x sin x = sin x cos x tan x = − tan2 x Công thức hạ bậc cos2 x = + cos x 2 sin2 x = − cos x − cos x + cos x tan2 x = Công thức tổng thành tích x− y x+ y cos 2 x− y x+ y sin sin x − sin y = cos 2 x+ y x− y cos x + cos y = cos cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2 sin sin 2 sin ( x + y) sin ( x − y) tan x + tan y = tan x − tan y = cos x cos y cos x cos y sin x + sin y = sin Cơng thức tích thành tổng [cos( x + y) + cos( x − y)] 2 sin x sin y = − [cos( x + y) − cos( x − y)] sin x cos y = [sin( x + y) + sin( x − y)] cos x cos y = Cấp cố cộng Dãy số ( u n ) gọi cấp số cộng u n+1 = u n + d , với n ∈ N∗ , d số ⋆ d = u n+1 − u n gọi công sai Số hạng tổng quát: u n = u + ( n − 1) d , ( n ≥ 2)) hay d = Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam n n − u1 n−1 | Trang Tính chất: u k+1 + u k−1 = u k , ( k ≥ 2) hay u k = Tổng n số hạng đầu: S n = u k−1 + u k+1 n( u + u n ) n [2 u + ( n − 1) d ] , (n ∈ N ) ; S n = 2 Cấp nhân Dãy số ( u n ) gọi cấp số cộng u n+1 = u n q , với n ∈ N∗ , q số u n+1 ⋆ q= gọi công bội un un Số hạng tổng quát: u n = u q n−1 , ( n ≥ 2)), hay q n−1 = u1 p Tính chất: u2k + u k−1 u k+1 hay | u k | = u k−1 u k+1 , ( k ≥ 2) Tổng n số hạng đầu: S n = u ( q n − 1) , ( q ̸= 0) q−1 Tổ hợp-xác suất Hoán vị Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: P n = n! = 1.2 · n Chỉnh hợp Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Akn = n! ( n − k)! Tổ hợp Tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập hợp gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử: Ckn = n! , (0 ≤ k ≤ n) k!( n − k)! Xác suất Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Xác suất biến cố A là: P ( A ) = n( A ) n(Ω) Tính chất xác suất ⋆ P (∅) = 0; P (Ω) = ⋆ ≤ P ( A ) ≤ 1, với biến cố A ⋆ P ( A ) = − P ( A ), với biến cố A Bảng đạo hàm Nhóm đa thức ( x n )′ = n.x n−1 ¡p ¢′ x = p x ả 1 = x x Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam ( u n )′ = n.u′ u n1 Ăp  u u = p u ¶′ u′ =− u u | Trang Nhóm lượng giác (sin x)′ = cos x (sin u)′ = u′ cos u (cos x)′ = − sin x (cos u)′ = − u′ sin u cos2 x (cot x)′ = − sin2 x (tan x)′ = u′ cos2 u u′ (cot u)′ = − sin2 u (tan u)′ = Nhóm mũ (a x )′ = a x ln a (a u )′ = u′ a u ln a (e x )′ = e x (eu )′ = u′ eu Nhóm logarit ; ( x > 0) x ln a (ln | x|)′ = x ¡ ¢′ loga x = u′ ; ( u > 0) u ln a u′ (ln | u|)′ = u ¡ ¢′ loga u = Quy tắc tính đạo hàm ( u ± v)′ = u′ ± v′ ( k.u)′ = k.u′ ( u.v)′ = u′ v + u.v′ ³ u ´′ v = u′ v − u.v′ v2 Tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm K • Nếu f ′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ K f ′ ( x) = hữu hạn điểm x ∈ K hàm số y = f ( x) đồng biến K • Nếu f ′ ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ K f ′ ( x) = hữu hạn điểm x ∈ K hàm số Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang y = f ( x) nghịch biến K Các bước xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm f ′ ( x) tìm nghiệm f ′ ( x) = 0, ( x1 x2 ∈ D ) x y x1 −∞ ′ − +∞ + +∞ +∞ y Bước 3: Lập bảng biến thiên y( x1 ) Bước 4: Từ bảng biến thiên ta kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đồng biến R a > a > ⇔ y′ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤ b2 − 3a.c ≤ y Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , nghịch biến R a < a < ⇔ y′ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤ b2 − 3a.c ≤ y Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm biến ax + b , đồng biến tâp xác định: ad − bc > cx + d ax + b Hàm số y = , nghịch biến tâp xác định: ad − bc < cx + d ax + b Hàm số y = , đồng biến khoảng (α; +∞) cx + d y′ > ad − bc > ⇔ ⇔ d d − ∉ (α; +∞) − ≤ α c c ax + b Hàm số y = , nghịch biến khoảng (−∞; α) cx + d ′ y < ad − bc < ⇔ ⇔ d d − ∉ (−∞; α) − ≥ α c c Hàm số y = Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang Cực trị hàm số Hàm số y = f ( x) có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f ′ ( x0 ) = Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định Tính đạo hàm f ′ ( x) x y Bước 2: Tìm điểm x i ( i = 1; 2; ) mà đạo hàm x1 −∞ ′ − +∞ +∞ + +∞ y yCT hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ′ ( x) Nếu f ′ ( x) đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định Tính f ′ ( x) Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ) phương trình f ′ ( x) = Bước 3: Tính f ′′ ( x) tính f ′′ ( x i ) + Nếu f ′′ ( x i ) < hàm số f ( x) đạt cực đại x i + Nếu f ′′ ( x i ) > hàm số f ( x) đạt cực tiểu x i Đồ thị y Điểm CĐ đồ thị hàm số GT CĐ hàm số yCĐ Điểm CĐ hàm số Điểm CT hàm số xCT xCĐ O x yCT GT CT hàm số Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam Điểm CT đồ thị hàm số | Trang Điều kiện cực trị hàm bậc Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trị: ∆ y′ > ⇔ b2 − 3ac > Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d khơng có cực trị: ∆ y′ ≤ ⇔ b2 − 3ac ≤ y′ ( x0 ) = Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực đại x0 : ⇔ y′′ ( x ) < 0 y′ ( x0 ) = Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực tiểu x0 : ⇔ y′′ ( x ) > 0 Điều kiện cực trị hàm trùng phương Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⇔ a.b < a = a ̸= Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực trị b ̸= a.b ≥ a > Hàm số y = ax + bx + c có cực đại, cực tiểu ⇔ b < a < Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực đại, cực tiểu ⇔ b > a = a < Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực đại b < b ≤ a = a > 00 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực tiểu b > b ≥ Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam ... cho Số tổ hợp chập k n phần tử: Ckn = n! , (0 ≤ k ≤ n) k!( n − k)! Xác suất Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Xác suất biến cố A là: P ( A ) = n( A ) n(Ω) Tính... liên tục khơng có đạo hàm Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ′ ( x) Nếu f ′ ( x) đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định Tính f ′ ( x) Bước 2: Tìm nghiệm... y′ = 0, nhận nghiệm x1 , x2 , · · · ∈ [a; b] +) Tính f (a), f ( b), f ( x1 ), f ( x2 ), · · · +) So sánh f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), · · · Suy max y; y [ a; b ] [ a; b ] Đường tiệm cận Đường