Bài tập toán học cao cấp tập 1

1 C¸c chó ý vμ lêi gi¶I cho mét sè bμi to¸n c¬ b¶n A to¸n rót gän biÓu thøc I VÝ dô Rót gän biÓu thøc 2 x x 3x 3 2 x 4 P 1 x 9x 3 x 3 x 3                     ( víi x 0,x 1,x[.]

Các ý v lời giảI cho số bi toán Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com A to¸n rót gän biĨu thøc I VÝ dơ :  x Rót gän biĨu thøc P    x 3  0,x  1,x  ) Gi¶i : Víi x  0,x  1,x  ta cã P   x      x  3 x 3  x 3x    x     ( víi x :  x  x    x   x   x  3 x    3x  3 2x  x  x  x  3x  x   x  :  x 3 x 3 x 3  3    x  1 x  3    x  3 x  3 x  1  : 2   x 4  x 3  x 3 3 x  x 3  x 3  : x 1 x 3 3 x 3 II Chó ý :  Khi rót gän c¸c biĨu thøc lμ phép tính phân thức ta thờng tìm cách đa biểu thức thnh phân thức sau phân tích tử v mẫu thnh nhân tử giản ớc thừa số chung tử v mẫu Trờng hợp đề bi không cho điều kiện rút gọn xong ta nên tìm điều kiện cho biểu thức Khi quan sát biểu thức cuối v thừa số đà đợc giản ớc để tìm ®iỊu kiƯn  VÝ dơ víi bμi nμy : + Biểu thức cuối cần x + Các thừa số đợc giản ớc l : x 1v x   cÇn x  1vμ x  VËy ®iỊu kiƯn ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa lμ x 0,x 1,x B phơng trình bậc hai v định lí viét I Ví dụ Đề bi 1: Cho phơng trình x2 (2m-1)x + m = a Giải phơng trình với m  b c d e f g h i j k l Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mÃn 2x1 + 5x2 = -1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm tháa m·n x12  x 22  T×m hƯ thức liên hệ hai nghiệm x1 v x2 phơng trình Tìm GTNN x1 x m T×m GTLN cđa x12 1  x 22   x 22 1  4x12  www.VNMATH.com www.VNMATH.com n Khi phơng trình có hai nghiệm x1 v x2 , chøng minh biĨu thøc sau kh«ng phơ thc vμo m Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com x 1 x 1 B  2 x1x x x1 Gi¶i : 5 Với m ta có phơng trình : x  x    3x  7x   3    7   4.3.2  49  24 25 0; phơng trình có hai nghiệm phân biệt : a Giải phơng trình với m  75 75  ; x2  2 6 VËy víi m  ph−¬ng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt l v 3 x1 b Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1    víi mäi m nªn phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m 2 c Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Phơng trình đà cho l phơng tr×nh bËc hai cã a = ; b = 2m - ; c = m - Ph−¬ng trình có hai nghiệm trái dấu ac   m  1   m    m  VËy víi m phơng trình đà cho có hai nghiệm dấu e Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai cã a = ; b = 2m - ; c = m - Phơng trình có hai nghiƯm cïng d−¬ng   2m  2    0  m 1   m 1    m 1 ac m        2m  m  b 2m     0     a Vậy với m > phơng trình đà cho có hai nghiệm dơng f Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phơng trình có hai nghiệm âm www.VNMATH.com www.VNMATH.com   2m  2    0  m    m  Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version http://www.simpopdf.com - v«   m 1  nghiÖm   ac    2m  m   b  2m      a  Vậy giá trị no m để phơng trình đà cho có hai nghiệm âm g Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Để phơng trình có nghiệm dơng ta có trờng hợp sau : Phơng trình có mét nghiƯm d−¬ng vμ mét nghiƯm b»ng Thay x = vo phơng trình ta có m - = hay m = Thay m = vo phơng trình ta đợc x2 - x =  x  x  1   x  hc x  ( tháa m·n ) Phơng trình có hai nghiệm dơng, điều kiện lμ :   2m  2    0  m 1   m 1    m 1 ac   m      2m   m   b   2m      a Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiÖn lμ : ac    m  1   m   m Kết hợp ba trờng hợp ta có với m phơng trình đà cho có nghiệm dơng h Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1    víi m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m Theo định lÝ Viet ta cã x1.x2 = c  m a Phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo x1.x2 = m 1   m  VËy víi m = phơng trình đà cho có hai nghiệm l hai số nghịch đảo i Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mÃn 2x1 + 5x2 = -1 Phơng trình đà cho l phơng trình bËc hai cã a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1   với m nên phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 vμ x2 víi mäi m 2  x1  x  2m (1) Theo định lí Viet v đề bi ta cã : x1.x  m  (2)  2x1  5x  1 (3) Nh©n hai vế (1) với sau trừ vế tơng ứng cho (3) ta đợc : 10m (4) 10m  10m  6m   10m   4m  x  2m   x  2m     Thay (4) vμo (1) ta cã : 3 3 5x1 + 5x2 – x1 – 5x2 = 10m – +  3x1  10m   x1  (5) Thay (4) v (5) vo (2) ta đợc phơng trình : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10m   4m  m   10m   1  4m    m  1  10m  40m   16m  9m  3 Simpo PDF 17m Merge  40m  5and  Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com    17   4.40  5  1089  0;   33 17  33 17  33  m1   ; m2   80 80 Vậy với m m phơng trình đà cho có hai nghiệm thỏa mÃn điều kiện đề bi j Tìm m để phơng trình cã hai nghiÖm tháa m·n x12  x 22  Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai cã a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1    với m nên phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 vμ x2 víi mäi m 2 2m (1) Theo định lí Viet ta cã : xx1.x x2 m 1 (2) Theo ®Ị bμi : x12  x 22   x12  x 22  2x1x  2x1x    x1  x   2x1x  (3) Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta cã (2m – 1)2 – 2(m – 1) = (2m - 1)2 - 2(m - 1) =  4m  4m   2m    4m  6m    2m  3m c Phơng trình có dạng a + b + c = nên có hai nghiÖm lμ m1 = ; m2 =  a VËy víi m  hc m phơng trình đà cho có hai nghiệm thỏa mÃn điều kiện đề bi k Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 v x2 phơng trình Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai cã a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1    với m nên phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 vμ x2 víi mäi m Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 2  x1  x   x  x 1   x1.x   x1  x  2x1.x   m  2  m  x1 x  Vậy hệ thức cần tìm l x1 x  2x1.x  x1  x  2m  x1.x  m  l Tìm GTNN x1 x Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1    víi mäi m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 víi mäi m 2   2m (1) Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m (2) Đặt A = x1  x   A  x1  x   x1  x   x12  2x1x  x 22   x1  x   4x1x Thay (1) vμ (2) vμo ta cã 2 A   2m  1   m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m     víi mäi m 2 (3) Mμ A  nª n tõ (3)  A  1víi mäi m DÊu b»ng x¶y (2m - 2)2 =  m  www.VNMATH.com www.VNMATH.com VËy GTNN cña A  x1  x lμ x¶y m =     m.PDF T×mMerge GTLN cđa x1 Unregistered  x  x Version 4x1 Simpo and Split - http://www.simpopdf.com 2 2 Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    2 V×  2m  1  víi mäi m     2m  1    víi mäi m nªn phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 víi mäi m 2   2m  (1) Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m 1 (2) Ta cã A  x12 1  x 22   x 22 1  4x12   x12  x 22  5x12 x 22   x1  x   2x1x   x1 x  (3) 2 Thay (1) v (2) vo (3) ta đợc : A   2m  1   m  1   m  1  4m  4m   5m  10m   2m   m  4m  2   m  4m     m     V×  m    víi mäi m  A    m    víi mäi m DÊu b»ng x¶y (m – 2)2 = hay m = VËy GTLN cña A  x12 1  x 22   x 22 1  4x12  lμ m = 2 n Khi phơng trình có hai nghiệm x1 vμ x2 , B chøng minh biĨu thøc sau kh«ng phô thuéc vμo m : x1  x x1x 22 x x12 Phơng trình đà cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m -    2m  1  4.1  m  1  4m  4m   4m   4m  8m     2m    V×  2m  1 2  víi mäi m     2m  1    víi m nên phơng trình có hai  2m  (1) nghiƯm ph©n biƯt x1 vμ x2 với m Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m 1 (2)   x1  x   x1  x  x  x   x  1 x1   x  1 x  Ta cã: B   2  x1x x x1 x12 x 22 x12 x 22 2 x1  x    x1  x   2x1x  2m  1   2m  1   m  1    x12 x 22  m  1  4m  4m   2m   2m   m  1  4m  8m   m  1 2   m  1  m  1 2 4 VËy biĨu thøc B kh«ng phơ thc vo giá trị m Đề bi Cho phơng tr×nh (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + = a Giải phơng trình với m = -5 b Tìm m để phơng trình có nghiệm c Tìm m để phơng trình có nghiệm d Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt e Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu f *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng g Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 tháa m·n x1 + 3x2 = h T×m m để phơng trình có hai nghiệm m tích chúng -1 i Khi phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 Tính theo m giá trị A x12 x 22 j Tìm m để A = www.VNMATH.com www.VNMATH.com 24 12 ,y m5 m5 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 24 12 HƯ cã nghiªm nhÊt lμ nghiƯm nguyªn l số nguyên v m5 m5 Khi nghiệm hệ l : x Vì m nguyên nªn m + lμ −íc cđa 24 vμ 12  m   12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12  m  17; 11; 9; 8; 7; 6;  4;  3; 2; 1; 1; Kết hợp điều kiện ta cã m  17; 11; 9; 8; 7; 6;  4;  3;  2;  1; 1 lμ giá trị cần tìm h Với ( x ; y ) l nghiệm hệ Tìm đẳng thức liên hệ x v y không phụ thuộc vμo m   3x   m  1 y  12 Ta cã   3x  my  y  12  my  y  3x  12  I  mx  x  12y  24 mx  x  12y  24 m x 12y 24          12 x4 Thay y = vμo hÖ ta cã : 3x  m  1 x  24  m    3x  6y  12  x  2y   x  2y  ( hƯ v« sè nghiƯm ) Thay m = vo hệ ta đợc 6x  12y  24 x  2y  Do ®ã nÕu hÖ cã nghiÖm nhÊt ( x ; y ) th× y  y  3x  12 y  3x  12  x  x  12  24 y y mx  x  12  24  xy  3x  12x  xy  12y  24y  3x  12x  12y   x  4x  4y    I   m Vậy biểu thức cần tìm l x2 4x + 4y = Bμi tËp tù lμm Bμi Giải hệ phương trình sau :  x  xy  y  1)   xy  x  y   x y  xy  30 5)  3 x y 35 Đáp án 1) (0;2); (2;0)  x  y  xy  7 2)  2  x  y  x  3y  16 x y  y x  6)   x y  xy  20  xy  x  y  11 3)  2  x y  xy  30  x y 4 7)   x  y  xy   x  y  13 4)  3( x  y )  xy    x  y  34 8)  2) (2; 3),(3;2),(1  10;1  10),(1  10;1  10) x  y  3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) (3; 2),(2;3),(2  10 10 10 10 ; 2  ),( 2  ; 2  ) 2 2 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) Bμi Giải hệ phương trình sau ( ®¼ng cÊp bËc hai ): www.VNMATH.com www.VNMATH.com 24 6 x  xy  y  56 3 x  xy  y  11 1)  2)  5 x  xy  y  49 xy Split  5y Unregistered  25  x and Simpo PDF Merge Version - http://www.simpopdf.com 2 x  x y    y  xy 3) Bi Cho hệ phơng trình: x  2y   m  2x  y 3(m 2) a) Giải hệ phơng trình thay m = -1 b) Gäi nghiƯm cđa hƯ phơng trình l (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ a x  y  Bμi Cho hƯ ph−¬ng tr×nh  (a lμ tham sè) ax  y  2a a) Gi¶i hƯ a = b) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  Bi Tìm giá trị m v n để hệ phơng trình m 1 x   n   y  a)  m  n  x y2    4m  1 x   n   y  11 b)   3m   x   n  1 y  cã nghiÖm (x ; y) = (1 ; 2) cã nghiÖm (x ; y) = ( 1;3 ) Bi Giải hệ phơng trình sau : x2 a)     x  2 2 y 1 1 y 1 3 x  y  2  x  y  b)    y 1   c)     y  1  x2 29  x  12 d)  x y  x y      1  x  y x  y  x  y  1 e)  y  z  1 z  x   x  y  f)  y  z  z  x   www.VNMATH.com  x  12   x  2  y   u 2    u 2  6v g)  h)  2 2  y  3   y    x   v     v   4u www.VNMATH.com 25 ... : xx1.x x2 m ? ?1 (2)   x1  x   x1  x  x  x   x  1? ?? x1   x  1? ?? x  Ta cã: B   2  x1x x x1 x12 x 22 x12 x 22 2 x1  x    x1  x   2x1x  2m  1? ??   2m  1? ??   m  1? ?? ... (2; 3),(3;2), (1  10 ;1  10 ), (1  10 ;1  10 ) x  y  3) (1; 5),(5 ;1) ,(2;3),(3;2) 4) (3; 2),(2;3),(2  10 10 10 10 ; 2  ),( 2  ; 2  ) 2 2 5) (2;3);(3;2) 6) (1; 4),(4 ;1) Bμi Giải hệ phương... vμ 12  m   ? ?12 ; 6; 4; 3; 2; ? ?1; 1; 2; 3; 4; 6; 12   m  ? ?17 ; ? ?11 ; 9; 8; 7; 6;  4;  3; 2; 1; 1; Kết hợp điều kiÖn ta cã m  ? ?17 ; ? ?11 ; 9; 8; 7; 6;  4;  3;  2;  1; 1? ??