Thiết lập mô hình toán học nghiên cứu va chạm và biến dạng của vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 2019 197 THIẾT LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC NGHIÊN CỨU VA CHẠM VÀ BIẾN DẠNG CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG HÌNH NÓN CỤT VÀO MẶT CỨNG TUYỆT ĐỐI[.]

Nghiên cứu khoa học cơng nghệ THIẾT LẬP MƠ HÌNH TOÁN HỌC NGHIÊN CỨU VA CHẠM VÀ BIẾN DẠNG CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG HÌNH NĨN CỤT VÀO MẶT CỨNG TUYỆT ĐỐI Ngơ Phi Hùng1*, Đỗ Đình Lào1, Bùi Ngọc Hồi2 Tóm tắt: Bài báo trình bày kết thiết lập mơ hình tốn học nghiên cứu va chạm biến dạng vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối Thiết lập phương trình chuyển động mặt cắt vật hình nón cụt, biểu thức tính dịch chuyển, tốc độ dịch chuyển, biến dạng dọc trục, tham số lan truyền sóng tốc độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) vật va đập biến dạng tạo Từ khóa: Chóp nón; Tường chắn; Va đập; Biến dạng ĐẶT VẤN ĐỀ Yếu tố quan trọng tạo hiệu ứng giảm đạn có kết cấu theo nguyên lý pistonxi lanh piston va đập vào gờ chặn xi lanh cuối hành trình chuyển động, piston biến dạng, bịt kín xi lanh, khơng cho khí thuốc ngồi Tuy giảm âm khí thuốc áp suất cao tạo va đập piston vào xi lanh lại tạo âm khí va đập Kết cấu piston có phần vát (nón cụt) đầu, để nghiên cứu âm va đập khí piston xi lanh tạo ra, ta nghiên cứu q trình hình thành lan truyền sóng va đập biến dạng vật hình nón cụt (sau gọi tắt chóp nón cụt) vào mặt cứng tuyệt đối (sau gọi tắt tường chắn) VA ĐẬP, BIẾN DẠNG VÀ Q TRÌNH LAN TRUYỀN SĨNG TRONG CHÓP NÓN CỤT CHUYỂN ĐỘNG VÀO TƯỜNG CHẮN Để nghiên cứu toán va đập biến dạng chóp nón cụt chuyển động vào tường chắn, ta nghiên cứu q trình hình thành lan truyền sóng thẳng sóng ngược biến dạng từ mặt cắt đến mặt cắt khác dọc theo chiều dài trục chóp nón cụt 2.1 Các giả thiết ký hiệu để xây dựng mơ hình tốn - Giả sử vật (1) chóp nón cụt có đường kính đáy D, đường kính đầu (đáy trên) d, chiều dài (cao) l, góc vát (góc đường sinh tạo với trục) α, chuyển động với vận tốc vo tới va đập vào tường chắn (vật 2) (Hình 1); - Vật liệu chóp nón cụt đồng nhất, đàn hồi, có mật độ ρ, mô đun đàn hồi vật liệu E Ta khảo sát vật giới hạn đàn hồi; Hình Sơ đồ va đập hệ 1- Chóp nón cụt, - Tường chắn - Chọn hệ toạ độ khảo sát gắn với vật chuyển động, điểm gốc toạ độ O tâm mặt đầu chóp nón cụt hướng Ox trùng với hướng chuyển động trùng với trục tâm chóp nón cụt; Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, - 2019 197 Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật khí động lực - x - tọa độ mặt cắt; - S(x) - diện tích mặt cắt nón cụt vị trí x; - u(x,t) - dịch chuyển dọc trục mặt cắt x; - t - thời gian dịch chuyển mặt cắt; -  u ( x, t ) - gia tốc dịch chuyển mặt cắt; t - u ( x, t )   ( x, t ) - biến dạng dọc trục mặt cắt; x - Tường chắn (vật 2) đứng yên có độ cứng tuyệt đối; - Vật (chóp nón cụt) chuyển động theo hướng vng góc với bề mặt vật 2.2 Phương trình chuyển động mặt cắt chóp nón Với giả thiết ký hiệu trên, ta thiết lập phương trình chuyển động mặt cắt x chóp nón sau [1]:  2u ( x, t ) S ( x) u ( x, t ) S ( x) u ( x, t ) S ( x)       0, ≤ x ≤ l x x x a t đó: S ( x)   D 4 Dd l  x , a   E  (1)  Điều kiện ban đầu xác định giá trị dịch chuyển tốc độ mặt cắt t = là: u(x,0) = 0; u ( x, 0)  v0 t (2) Giới hạn biên xác định khơng có biến dạng vị trí ban đầu mặt cắt x=0 (ε(0,t)=0), khơng có dịch chuyển mặt cắt x=l (nếu xảy có tác động lẫn chóp nón cụt với tường chắn); Khơng có biến dạng mặt cắt va đập x=l (nếu xảy phá hủy vị trí tiếp xúc chóp nón cụt với tường chắn):  u(0,t) x  , u( l,t )  u (l , t ) 0 x u( l,t )  0; x u( l,t ) 0 x (3) Khối lượng chóp nón cụt phụ thuộc vào đường kính mặt cắt va đập d, chiều dài l góc vát α xác định công thức: l mc    S( x )dx   l ( d  2dltg  l 2tg 2 ) (4) Nếu khảo sát ảnh hưởng góc α tới tính chất va đập biến dạng chóp nón cụt giá trị khác góc α cần giữ nguyên giá trị tốc độ vo khối lượng mc Trong trường hợp động động lượng vật giữ nguyên 198 N P Hùng, Đ Đ Lào, B N Hồi, “Thiết lập mô hình tốn học … vào mặt cứng tuyệt đối.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ 2.3 Thiết lập mơ hình toán nghiên cứu va đập biến dạng vật hình chóp nón cụt với mặt cứng tuyệt đối Giả sử khối lượng chóp nón cụt tương ứng với khối lượng vật hình trụ có chiều dài l, đường kính Dt, khối lượng mc   l Dt2 Khi tương quan tham số đường kính d, đường kính Dt, chiều dài l góc α xác định biểu thức [1]: d  l.tg  Dt2  l tg 2  l tg 2 Đường kính đáy chóp nón D (đường kính cắt ban đầu chóp nón) [1]: D = d + 2l.tgα Để khảo sát biến dạng dịch chuyển mặt cắt chóp nón cụt (quá trình lan truyền sóng va đập chóp nón cụt), ta biểu diễn chóp nón cụt dạng tổ hợp liên tục chóp nón cụt phân tố (hình 2) tổ hợp đoạn hình trụ tương ứng Hình Tổ hợp chóp nón cụt phân tố Với cách biểu diễn trên, để đảm bảo xấp xỉ tổng chóp nón cụt phân tố với chóp nón cụt, chiều dài phần tử chóp nón phân tố phải ngắn (ví dụ Δl = 0,025.l sai số khơng q 2%) Đường kính mặt cắt cần phải tính đến thay đổi đường kính chóp nón cụt theo chiều dài, khối lượng vật hình trụ phải khối lượng đoạn chóp nón cụt phân tố tương ứng Trên hình biểu diễn đoạn chóp nón j có chiều dài Δl giới hạn mặt cắt j-1 j, đường kính tương ứng đoạn chóp nón Dj-1 Dj; hình trụ tương đương có đường kính Dt(j) Hình Đoạn chóp nón j Điều kiện ban đầu để khảo sát [1]: u j  x,0   u0  x  ;   u j ( x,0 )  v0 ( x ), j  1,2, ,n  t  (5) Xác định dịch chuyển tốc độ dịch chuyển mặt cắt thời điểm ban đầu Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, - 2019 199 Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật khí động lực Điều kiện biên xác định dịch chuyển mặt cắt điều kiện cân lực dọc trục đoạn khảo sát [1]:  E j 1S j 1 u j 1 ( x j , t ) x u j ( x j , t )  EjS j x 0 (6) vật đồng vật liệu nên Ej-1= Ej nên (6) viết lại là:  S j 1 u j 1 ( x j , t ) x  Sj u j 1 ( x j , t )  u j ( x j , t ), u j ( x j , t ) x 0 (6’) j  1, 2, , n  u1( 0,t )  0, un ( xn ,t )  x un ( xn , t ) 0 x nếu un ( xn , t ) 0 x (7) un ( xn , t ) 0 x Trong đó, uj-1(xj,t), uj(xj,t) dịch chuyển mặt cắt j-1 j đoạn khảo sát, vị trí chúng xác định tọa độ xj; Ej-1 Ej mô đun đàn hồi vật liệu tương ứng với u1 ( 0,t ) biến dạng dọc trục đoạn l mặt cắt x=0; un(xn,t) dịch t un ( xn , t ) chuyển dọc trục mặt cắt va đập, vị trí xác định tọa độ xn; x đoạn j-1 j; biến dạng dọc trục mặt cắt va đập chóp nón cụt Theo Đalambe, dịch chuyển mặt cắt j biểu diễn dạng tổng hai hàm số [2]: u j ( x, t )  f j (a j t  x)   j (a j t  x), x j 1  x  x j , đó, hàm số thứ fj(ajt-x) biểu thị tham số sóng thuận, hàm thứ hai φj(ajt+x) biểu thị tham số sóng ngược; aj tốc độ lan truyền sóng dịch chuyển mặt cắt j, tốc độ lan truyền âm chóp nón cụt (tốc độ khơng đổi aj = a) Sóng thuận fj(at-x) đoạn j vật lan truyền dọc theo hướng trục Ox với tốc độ a, sóng ngược φj(at+x) lan truyền đoạn j vật với tốc độ a theo hướng ngược với trục Ox Các giá trị ban đầu hàm fj(ato-x), φj(ato+x) đạo hàm chúng f’j(ato-x), φ’j(ato+x) xác định từ điều kiện ban đầu (2) với t0 = 0, fj(ato-x)=0, φj(ato+x) = 0, f’j(ato-x) = v0 v  , φ’j(ato+x) =  , xj-1 ≤ x ≤ xj a a Để thuận lợi khảo sát, ta sử dụng giá trị tương đối xác định đặc tính sóng thuận sóng ngược [2]: f ' (at  x) '  ' (at  x) fj' (at  x)  j ,  j (at  x)  j  vo vo a a  ( x, t )   f ' (at  x)   ' (at  x), Đặc tính biến dạng: 200 N P Hùng, Đ Đ Lào, B N Hồi, “Thiết lập mơ hình tốn học … vào mặt cứng tuyệt đối.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Đặc tính tốc độ: v ( x, t )  f ' (at  x)   ' (at  x) Khi giá trị đặc tính ban đầu sóng thuận sóng ngược là: f ' (at0  x)  0,5 ;  ' (at0  x)  0,5 Biểu đồ đặc tính sóng thuận sóng ngược ban đầu biểu diễn hình Hình Sóng thuận sóng ngược chóp nón cụt trước va đập Khi trùng lặp đoạn chóp nón j j+1 mặt cắt j, sóng thuận f j (at  x) từ hướng đoạn j sóng ngược  j 1 ( at  x) từ hướng đoạn (j+1) va vào hình thành sóng thuận fj 1 (at  x) sóng ngược  j (at  x ) Các tham số sóng thỏa mãn điều kiện biên (6) (7) Từ điều kiện ta có: fj'1 (at  x j )  rj 'j 1 (at  x j )  q jf fj' (at  x j ) , j=1,2,…,n-1;  'j (at  x j )  rjf fj' (at  x j )  q j 'j 1 (at  x j ) , j=1,2,…,n-1, đó: rjφ - hệ số phản xạ từ mặt cắt j sóng ngược  'j 1 (at  x j ); qjf - hệ số qua mặt cắt j sóng thuận fj' (at  x j ); rjf - hệ số phản xạ từ mặt cắt j sóng thuận fj' (at  x j ); qjφ - hệ số qua mặt cắt j sóng ngược  'j 1 (at  x j ) Giá trị hệ số qua phản xạ sóng mặt cắt j xác định công thức: q jf  rjf  2r j , f 1 r j , f 1  r j , f 1  r j , f 1  rj , f 1  Sj S j 1 , q j  , rj  , rj 1, f  2r j , f 1 r j , f 1  r j 1, f  r j 1, f  S j 1 Sj Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, - 2019 , , , 201 Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật khí động lực rj,f+1 tỷ số sóng cản đoạn j với sóng cản đoạn (j+1), rj+1,f tỷ số sóng cản đoạn (j+1) với sóng cản đoạn j Trong mặt cắt x=0 đoạn thứ nhất, từ điều kiện biên (7), ta có: u1 (0, t )  0, x  f1' (at  0)  1' (at  0)  Từ biểu thức cho thấy, mặt cắt hình thành sóng thuận f1' (at - )  1' (at +0) , tham số chúng tương ứng với tham số sóng ngược 1' (at +0 ) rơi vào mặt cắt Trong mặt cắt va đập x=xn đoạn n, từ điều kiện biên: un ( xn , t ) un ( xn , t )  0 t x un ( xn , t ) un ( xn , t )  0 x x cho thấy, mặt cắt hình thành sóng ngược:  n' (at  xn )   f n' (at  xn ) n' (at  xn )  f n' (at  xn ) un ( xn , t ) 0 x un ( xn , t ) 0 x Các tham số chúng xác định tham số sóng thuận f n' (at  xn ) mặt cắt KẾT LUẬN Trên thiết lập mơ hình tốn học nghiên cứu va chạm biến dạng vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối (tường chắn) việc nghiên cứu trình hình thành lan truyền sóng thuận sóng ngược biến dạng từ mặt cắt sang mặt cắt khác (tiết diện sang tiết diện khác) dọc theo chiều dài trục chóp nón cụt Bài báo trình bày cách thiết lập phương trình chuyển động mặt cắt chóp nón cụt, biểu thức tính dịch chuyển, tốc độ dịch chuyển, biến dạng dọc trục, tham số lan truyền sóng thuận sóng ngược, tốc độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) chóp nón cụt va đập với tường chắn tạo Từ sở lý thuyết này, giúp ta biết quy luật hình thành lan truyền sóng va đập biến dạng vật chuyển động với tường chắn tốc độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) vật va đập Ta ứng dụng nghiên cứu nguyên nhân phát sinh âm va đập hai vật tạo âm piston va đập vào xi lanh (đối với đạn giảm theo nguyên lý piston-xi lanh, va chạm mặt đầu) - vấn đề mà tác giả tiếp tục nghiên cứu báo sau TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] В.К.Манжосов “Продольный ударцзд” Ульяновск - 2006 [2] В.К.Манжосов, В.В.Слепухин “Мoдeлирoвaниe продольнного удара стержневыx cистeмax нeoдноpoдной стpyктypы” Ульяновск Улгтy 2011 в 202 N P Hùng, Đ Đ Lào, B N Hồi, “Thiết lập mô hình tốn học … vào mặt cứng tuyệt đối.” Nghiên cứu khoa học công nghệ ABSTRACT THE ESTABLISHMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO RESEARCH THE IMPACT AND DEFORMATION OF A MOVING SOLID TRUNCATED CONESHAPED OBJECT CRASHING ONTO AN ABSOLUTELY RIGID SURFACE In this paper, the result of the establishment of mathematical models to research the impact and deformation of a moving solid truncated cone-shaped object crashing onto an absolutely rigid surface is presented Furthermore, motion equations, formulas of displacement, velocity, axial deformation, parameters about wave transmission, and wave velocity (sound velocity) inside the object during the impact are formulated Keywords: Truncated cone-shaped object; Blocking wall; Impact; Deformation Nhận ngày 08 tháng 01 năm 2019 Hoàn thiện ngày 05 tháng 03 năm 2019 Chấp nhận đăng ngày 17 tháng năm 2019 Địa chỉ: Viện Vũ khí - Tổng cục Cơng nghiệp Quốc phịng; Viện Khoa học Cơng nghệ Quân * Email: hungnp1978@gmail.com Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, - 2019 203 ... tốn học … vào mặt cứng tuyệt đối. ” Nghiên cứu khoa học công nghệ 2.3 Thiết lập mơ hình tốn nghiên cứu va đập biến dạng vật hình chóp nón cụt với mặt cứng tuyệt đối Giả sử khối lượng chóp nón cụt. .. (at  xn ) mặt cắt KẾT LUẬN Trên thiết lập mơ hình tốn học nghiên cứu va chạm biến dạng vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối (tường chắn) việc nghiên cứu trình hình thành lan... chuyển mặt cắt; t - u ( x, t )   ( x, t ) - biến dạng dọc trục mặt cắt; x - Tường chắn (vật 2) đứng yên có độ cứng tuyệt đối; - Vật (chóp nón cụt) chuyển động theo hướng vng góc với bề mặt vật