Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng

17 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trần Anh Dũng1 Tóm tắt Bài viết “Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng” là một nghiên cứu trong lĩnh vực phương pháp giải toán Ý tưởng xuất phát[.]

PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trần Anh Dũng Tóm tắt: Bài viết “Phương pháp dùng trọng số số ứng dụng” nghiên cứu lĩnh vực phương pháp giải toán Ý tưởng xuất phát khái niệm toán học quen thuộc “tâm tỉ cự” tương đồng với moment lực vật lý Tác giả chuyển tốn có tính chất afin với khái niệm đồng qui, thẳng hàng, tìm tỉ số cách đặt trọng số đồng thời đưa khái niệm tổng, hiệu hệ điểm ứng dụng giải nhiều toán hấp dẫn với lời giải đẹp Với phương pháp này, tác giả sử dụng làm cơng cụ giải hai định lý tốn học phổ dụng định lý Cê-va định lý Menelaus Từ khóa: Tâm tỉ cự, trọng số, trọng tâm, đồng quy, thẳng hàng, tỉ số Mở đầu Cho tam giác ABC, người ta gắn đỉnh tam giác trọng lượng khác m1, m2, m3 Có thể chọn điểm G (gọi điểm cân bằng) mặt phẳng tam giác làm điểm treo để tam giác cân (mặt phẳng (ABC) vuông góc với phương thẳng đứng) hay khơng? Đây tốn khơng khó Ta xét riêng đoạn thẳng BC tam giác, dựa vào công thức moment lực ta tìm điểm cân GBC cho m2GAB = m3GAC Dễ dàng khẳng định tổng trọng lượng B C lúc m2 + m3 đặt lên điểm GA điểm cân G tam giác ABC thuộc đoạn thẳng AGA (khẳng định lý giải phần khái niệm sở) cho m1AG = (m2 + m3)AGA tổng trọng lượng ba điểm A, B, C đặt vào điểm G Lại thấy gọi GB, GC điểm cân cạnh CA, AB dễ dàng khẳng định đường thẳng AGA, BGB, CGC đồng quy G Từ ý tưởng trên, hướng này, ta giải số tốn afin dạng chứng minh thẳng hàng, đồng quy tìm tỉ số đoạn thẳng Điểm cân (điểm đặt) moment lực vật lý hai điểm B,C tình hoàn toàn tương đương với khái niệm tâm tỉ cự hình học chúng _ ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam 17 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Dựa vào khái niệm tâm tỉ cự hệ điểm ta dễ dàng giải toán dạng mức độ phức tạp Với hệ điểm A1, A2,n , An hệ   số m1, m2, , mn tương ứng tồn điểm G tâm tỉ cự cho å mi GAi = Ta i =1 thấy điểm cân đa giác nói nơm na tình tâm tỉ cự tập hợp điểm Từ ý tưởng trên, ta thử giải toán đơn giản theo hướng này: Bài toán Chứng tỏ trọng tâm chia trung tuyến tam giác theo tỉ số 1:2 Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm BC, ta có:     GA + GB + BC = , đặt A, B, C trọng lượng G điểm cân có trọng số 3, trung điểm M điểm cân B C có trọng số Như với điểm thẳng hàng A, G, M G điểm cân A(trọng số 1) M(trọng    số 2), với lập luận, ta dễ dàng suy GA + 2GM = Tức GA = 2GM Như từ tốn đơn giản trên, ta hướng đến cách giải cho số tốn hình học Nội dung 2.1 Khái niệm sở: Định lý Trong mặt phẳng (hoặc không gian), Tâm tỉ cự hệ điểm cho trước k điểm A1, A2, , Ak k số thực m1, m2, , mk thỏa mãn k   điểm G cho: å mi GAi = k å m = m ¹ Khi đó, tồn i i =1 i =1 Ta gọi G tâm tỉ cự hệ điểm (A1, A2, , Ak) gắn với hệ số (m1, m2, , mk), gọi tắt G tâm tỉ cự hệ điểm (Ai, mi)k m Chứng minh Lấy điểm O tùy ý, gọi li= i Ỵ, i = 1, k Khi ta chọn  k   mk   k  điểm G cho OG = ∑ li OAi Û OG = ∑ mi OAi Û mOG = ∑ mi OAi m i =1 i =1 i =1 k k k  k       Û ∑ mi OG = ∑ mi OAi Û ∑ mi GO + OAi = Û ∑ mi GAi = (ĐPCM) i =1 i =1 i =1 ( ) i =1 Trong phạm vi nội dung viết này, ta ký hiệu tâm tỉ cự G định lý k G (m) = å Ai (mi ) hệ số m, mi gọi trọng số điểm G, Ai i =1 Mệnh đề Cho G1 tâm tỉ cự hệ điểm (Ai, mi)k, hệ điểm (Bj, nj)s, k ån i =1 i k åm i =1 i ¹ G2 tâm tỉ cự ¹ Khi đó, tâm tỉ cự hệ k+s điểm với hệ số tương ứng trùng với tâm tỉ cự hai điểm (G1, G2) với hệ số tương ứng (m, n) 18 TRẦN ANH DŨNG k s i =1 j =1 m = å mi , n = å n j , m + n ¹ (hiển nhiên G thuộc đường thẳng G1G2) Chứng minh G(m+n) = G1(m) + G2(n)    Û mGG1 + nGG2 = k l   ổ l ữử ổ k ỗ ữ ỗ ỗỗồ mi GG1 + mi G1 Ai ữữ + ỗỗồ n j GG2 + n j G2 B j ÷÷÷ = è i=1 ø ốỗ j=1 ứ i =1 j =1 j k l k     (vì å mi G1 Ai = 0, å n j G2 B j = 0, m = å mi , n = å n j ) i =1 k j =1 i =1 l   m GA + Û å i i å n j GB j Û G(m + n) = i =1 chứng minh) j =1 k j =1 l å Ai (mi ) + å B j (n j ) (điều phải i =1 j =1 Chúng ta vào giải vài toán áp dụng mệnh đề trên: 2.2 Một số toán ứng dụng Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Lần lượt điểm M, N, P, Q MP cắt NQ G, BP cắt DN I Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng Giải Đặt AM = AQ = a, BM = BN = b, CN = CP = c, DP = DQ = d Khi đó: ỉ 1ư    MA + MB = ị M ỗỗỗ + ữữữ = ốa bứ a b ổ1ử ổ1ử Aỗỗ ữữữ + B ỗỗ ữữữ ốỗ a ứ ốỗ b ứ ổ1 1ử ổ1ử ổ1ử Tng t: N ỗỗ + ữữữ = B ỗỗ ữữữ + C ỗỗ ữữữ , ỗố b c ứ ỗố b ứ ỗố c ứ ổ1 ö æ1ö æ ö æ 1ö æ1ö æ1ö P ỗỗ + ữữữ = C ỗỗ ữữữ + D çç ,÷÷÷ Q çç + ÷÷÷ = D çç ÷÷÷ + Aỗỗ ữữữ ỗố c d ứ ỗố c ứ çè d ø çè d a ø çè d ø çè a ø ỉ1 1 Theo kết bi 1, ta xỏc nh c I ỗỗ + + ữữữ l ỗố b c d ứ ổ 1ử ổ1ử ổ1ử tõm t s ca ba im: B ỗỗ ữữữ , C ỗỗ ữữữ , D ỗỗ ữữữ ỗố b ứ ỗố c ứ ỗố d ứ ổ1ử ổ1ử Ta dễ dàng chứng minh rằng: Tâm tỉ cự Z ca ca im Aỗỗ ữữữ , B ỗỗ ữữữ , ỗố a ứ ỗố b ứ ổ ửữ ổ ửữ C ỗỗ ữữ v D ỗỗ ữữ cú th c tỡm bng nhiu cỏch: ỗố c ứ çè c ø 19 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ỉ 1ư ỉ ổ1ử - C1: Tỡm tõm t s ca M ỗỗ + ữữữ = Aỗỗ ữữữ + B ỗỗ ữữữ v ốỗ a b ứ ốỗ a ứ ốỗ b ứ ổ1 ổ1ử ổ1ử P ỗỗ + ữữữ = C ỗỗ ữữữ + D ỗỗ ữữữ ị Z ẻ MP ốỗ c d ứ ốỗ c ứ ốỗ d ø ỉ1 1ư ỉ1ư ỉ1ư ỉ 1ư ỉ ỉ1ư - C2: Tìm tâm tỉ cự N çç + ÷÷÷ = B çç ÷÷÷ + C çç ữữữ v Q ỗỗ + ữữữ = D ỗỗ ữữữ + Aỗỗ ữữữ ị Z ẻ NQ ỗố d ứ çè a ø èç b c ø èç b ø çè c ø èç d a ø ỉ1ư ỉ1 1 - Hoặc C3: Tìm tâm tỉ cự Aỗỗ ữữữ v I ỗỗ + + ữữữ ị Z ẻ AI ỗố a ứ ỗố b c d ứ Từ ba cách tìm trên, ta suy ba đường thẳng MP, NQ AI đồng quy ZºG Vậy ba điểm A, G, I thẳng hàng Bài toán Cho đường tròn (O), tiếp tuyến A, B cắt M; B,C cắt N; C, A cắt P (hình vẽ) Chứng minh đường thẳng AN, BP CM đồng quy Giải Đặt: m = MA = MB, n = NB = NC, p = PC = PA Ta có:  m - p   PM + PA = ị p ổmử ổ m - p ửữ P ỗỗ ữữữ = M (1)+ Aỗỗ ữ ỗố p ữứ ỗố p ứữữ Tng t, ổmử ổ m - n ửữ N ỗỗ ữữữ = M (1)+ B ỗỗ ỗố n ứ ỗố n ữữứ Gi J l giao điểm AN BP, theo kết 1, ta có J tâm tỉ cự ba điểm A, B, M theo trọng số xác định ỉmư ỉmư Gọi I tâm tỉ cự P ỗỗ ữữữ v N ỗỗ ữữữ ỗố n ứ çè p ÷ø ỉm mư    m  m   Þ IP + IN = Þ IP + IN = Þ I º C Nh vy C ỗỗ + ữữữ l ỗố p n ÷ø p n p n ỉmư ỉ m - p ửữ ổmử ữ, tõm t c ca P ỗỗ ữữữ v N ỗỗ ữữữ nờn cng l tõm t c ca im M (1), A ỗỗ ỗố n ứ ỗố p ữứ ỗố p ữữứ ổ m - n ửữ B ỗỗ v M (1)(im M c tớnh ln) ỗố n ữữứ Mt khỏc, ta cú th xác định I cách tìm tâm tỉ cự điểm M(1) ỉ m - p ư÷ ỉ m - p m - n ÷ư ỉ m - n ữử ữữ + B ỗỗ J ỗỗ1 + + ữữ = M (1)+ A ỗỗ nờn I thuc ng thng MJ ỗố n ữữứ ỗố p ữứ ỗố p n ÷ø Tức C thuộc MJ 20 TRẦN ANH DŨNG Vậy ba đường thẳng AN, BP CM đồng quy Chúng ta thử dùng phương pháp xem xét số tốn hình học khơng gian: Bài tốn Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N, P, Q, R thuộc DA, DB, DC, AB, AC cho DM = MA, DN = NB, DP = PC , AQ = AB, AR = AC Gọi G giao điểm BR CQ, đường thẳng DG cắt mặt phẳng (MNP) I Tính tỉ số ID IG Giải Theo giả thiết toán, ta có:    3 1 MD + MA = Þ M   = D (1) + A   2 2    5 2 ND + NB = Þ N   = D (1) + B   , 3 3    7 3 PD + PC = Þ P   = D (1) + C   4 4 Lại có: AQ =    AB Þ QA + QB = , đó: 7 Q  = 6 AR = 5 R  = 4 1 2 A  + B   2 3   AC Þ RA + RC , đó: 1 3 A   + C   G giao điểm CQ BR nên tâm tỉ cự 2 4 ỉ ư÷ ổ 23 im A, B, C nờn G ỗỗ + + ữữ = G ỗỗ ữữữ Gi J tâm tỉ cự điểm A, B, C, D theo ỗố ứ ốỗ12 ứ ổ1 ỉ 35 trọng số trên, Ta cú, J ỗỗ + + + 1ữữữ = J ỗỗ ÷÷÷ thuộc đường thẳng DG, J1 tâm tỉ cự çè ø çè12 ø ỉ 35 æ 47 ö hai điểm D, J theo trọng s trờn, ú J1 ỗỗ1 + ữữữ = J1 çç ÷÷÷ thuộc đường thẳng çè 12 ø çè 12 ø ỉ 47 ỉ 59 DJºDG, J2 tâm tỉ cự D J1, đó, J2 cng thuc DG v J ỗỗ1 + ữữữ = J ỗỗ ữữữ ỗố 12 ứ ốỗ12 ứ Như J2 tâm tỉ cự A, B, C, D, D D Khi ta dễ thấy J2 tâm tỉ cự điểm M = D+A, N = D+B P = D+C Do J2 giao điểm DG (MNP) Tức J2ºI 21 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ỉ 35 ỉ 23 ö 23 23 Từ lập luận trên, ta có: J ỗỗ ữữữ = D (1)+ G ỗỗ ữữữ ịDJ = JG ịDJ = DG ỗố12 ứ ỗố 12 ứ 12 35 35 47 47 35 23 23 DJ, DI = DJ1 ÞDI = DG = DG Þ ID = 47 59 59 47 35 59 23 23 ID 23 IG = IG Vậy = 59 - 23 36 IG 36 Tương tự, ta có DJ1 = Bài tốn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA; M1, M2, M3, M4 trung điểm cạnh đáy CD, DA, AB, BC Chứng minh đường thẳng G1M1, G2M2, G3M3, G4M4 đồng quy a) Gọi I điểm đồng quy đường thẳng Chứng minh rằng: IG IG1 IG IG = = = IM IM IM IM Giải: Ta gán trọng số cho đỉnh hình chóp S.ABCD đồng thời Khi trung điểm cạnh hình chóp có trọng số 2, trọng tâm G1, G2, G3, G4 mặt bên có trọng số trọng tâm G hình chóp có trọng số a) Có nhiều cách để xác định G - G xác định tâm tỉ cự hệ điểm {S, A, B} {C, D} tức tâm tỉ cự G1(3) M1(2) ị GẻG1M1 ị G1M1 i qua G - G xác định tâm tỉ cự hệ điểm {S,B,C} {A,D} tức tâm tỉ cự ca G2(3) v M2(2) ị GẻG2M2 ị G2M2 i qua G Tương tự ta dễ dàng chứng minh G3M3, G4M4 qua G Þ đường thẳng đồng quy G Þ GºI    IG1 = Chứng minh b) Ta có I(5) = G1(3) + M1(2) Þ 3IG1 + IM = Þ IM IG IG1 IG IG = = = = (ĐPCM) tương tự, ta suy được: IM IM IM IM 22 TRẦN ANH DŨNG Lưu ý: - Nếu gọi J trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo tứ giác ABCD, tương tự lập luận trên, ta dễ dàng chứng minh điểm S, I, J thẳng hàng đồng thời xác định tỉ số: JI = JS - Các kết với ABCD tứ giác ghềnh Từ kết 1.1 sở lý luận, với n = m, ta có mệnh đề sau: n n Mệnh đề Cho GA (m) = ∑ Ai (mi ) GB (l ) = ∑ Bi (li ) Giả sử Ci(mi+li) = i =1 n i =1 Ai(mi) + Bi(li) Khi tâm tỉ cự G (m + l ) = ∑ Ci (mi + li ) tâm tỉ cự GA(m) i =1 GB(l) tâm tỉ cự 2n điểm ban đầu Bài toán Trong không gian, cho điểm tùy ý A1, A2, A3, B1, B2, B3 Gọi GA, GB trọng tâm tam giác A1A2A3 tam giác B1B2B3 M, N, P trung điểm cạnh A1B1, A2B2, A3B3 a CMR mặt phẳng (MNP) cắt đoạn thẳng GAGB trọng tâm I tam giác MNP G I b Tính tỉ số A IGB Giải: Theo đề bài, ta có hai hệ điểm {A1, A2, A3} {B1, B2, B3} Tại điểm ta đặt trọng số Khi đó: GA(3) = A1(1) + A2(1) + A3(1) GB(3) = B1(1) + B2(1) + B3(1) Các trung điểm M, N, P có trọng số Rõ ràng giao điểm I mp(MNP) GAGB tâm tỉ cự (trọng tâm) điểm G I Do A = hiễn nhiên, I trọng tâm tam giác MNP IGB n n i =1 i =1 Lưu ý: Với hệ điểm GA (m) = ∑ Ai (mi ) GB (l ) = ∑ Bi (li ) , Ci(mi+li) = Ai(mi) + Bi(li) Trường hợp điểm Ai trùng A GA trùng với A  n  trọng số A A(m) = A  ∑ mi   i =1  23 ...PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Dựa vào khái niệm tâm tỉ cự hệ điểm ta dễ dàng giải toán dạng mức độ phức tạp Với hệ điểm A1, A2,n , An hệ   số m1, m2, , mn tương ứng tồn... dàng chứng minh rằng: Tâm tỉ cự Z ca im Aỗỗ ữữữ , B ỗỗ ữữữ , çè a ø çè b ø ỉ ư÷ ỉ ửữ C ỗỗ ữữ v D ỗỗ ữữ cú th c tỡm bng nhiu cỏch: ỗố c ứ ỗố c ø 19 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ỉ... tâm tỉ cự điểm M = D+A, N = D+B P = D+C Do J2 giao điểm DG (MNP) Tức J2ºI 21 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ỉ 35 ỉ 23 23 23 T lp lun trờn, ta cú: J ỗỗ ữữữ = D (1)+ G ỗỗ ữữữ ịDJ =