TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE ISSN 1859 3100 KHOA HỌC GIÁO DỤC Tập 16, Số 1 (2019) 73 84 EDUCATION SCIENCE Vol 16,[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 16, Số (2019): 73-84 Vol 16, No (2019): 73-84 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ CÁC KHÓ KHĂN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC HỌC KHÁI NIỆM TẬP MỞ, TẬP ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC Nguyễn Ái Quốc, Lê Minh Tuấn Trường Đại học Sài Gòn Tác giả liên hệ: Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 14-5-2018; ngày nhận sửa: 12-7-2018; ngày duyệt đăng: 17-01-2019 TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi trình bày kết thực nghiệm khó khăn sinh viên ba trường: Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Sài Gịn Đại học Đồng Nai giải kiểu nhiệm vụ xét tính đóng, mở tập khơng gian mêtric Các khó khăn sinh chướng ngại tri thức luận gắn liền với việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng q trình khái qt hóa khoảng mở, đóng ảnh hưởng mối quan hệ thể chế Toán đại học tập mở tập đóng Từ khóa: chướng ngại tri thức luận, khó khăn, khơng gian mêtric, tập đóng, tập mở Mở đầu 1.1 Định nghĩa tập mở, tập đóng ba thể chế Toán đại học Tập mở, tập đóng hai khái niệm khơng gian mêtric không gian tôpô Hai khái niệm tiếp cận ba cách khác thể chế Toán đại học ba trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSPTPHCM), Đại học Sài Gịn (ĐHSG) Đại học Đồng Nai (ĐHĐN) Thể chế Tốn Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong thể chế Toán ĐHSPTPHCM, khái niệm tập mở tập đóng xuất giáo trình Tôpô đại cương định nghĩa theo lân cận: “Một tập hợp U gọi mở với x U, tồn số thực dương cho O (x) U.” (Trần Tráng, 2005, tr 44) “Một tập hợp gọi đóng phần bù tập hợp mở ” (Trần Tráng, 2005, tr 48) Thể chế Tốn Đại học Sài Gịn Trong thể chế Toán ĐHSG, khái niệm tập mở tập đóng xuất giáo trình “Giải tích hàm” định nghĩa theo hình cầu mở: “Cho không gian mêtric (X, d) Với tập A X , ta nói A tập mở (trong X) ứng với x A , tồn r > cho B ( x,r ) A Nếu X \ A tập mở, ta nói A tập đóng (trong X) (Đặng Đức Trọng, 2011, tr 10) 73 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Thể chế Toán Đại học Đồng Nai Trong thể chế Toán ĐHĐN, khái niệm tập mở tập đóng xuất giáo trình “Cơ sở lí thuyết hàm Giải tích hàm” định nghĩa theo phần trong: “ Cho A tập khơng gian mêtric X Ta nói A tập mở A A Hay nói A mở chi A A Ta nói tập A đóng X \ A mở.” (Nguyễn Văn Khuê, 2001, tr 18) 1.2 Một số ghi nhận giả thuyết nghiên cứu Ghi nhận thực tế Việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng q trình khái quát hóa khoảng mở, khoảng đóng đường thẳng thực khơng gian mêtric dẫn đến số khó khăn việc hiểu hai khái niệm Thật vậy, hai tháng 10/2017, Nguyễn Ái Quốc (2018a) tiến hành thực nghiệm khảo sát dạng vấn trực tiếp 10 sinh viên năm thứ ba ngành Sư phạm Toán Trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG, ĐHĐN Đại học Khoa học Tự nhiên định nghĩa khái niệm tập mở Kết khảo sát cho thấy sinh viên có ba cách xác định tập mở không gian mêtric: định nghĩa hình thức, sử dụng khái niệm biên, tập mở thể hợp cầu mở Các quan niệm sinh viên chênh lệch so với định nghĩa thức Kết phân tích tri thức luận Mặt khác, qua phân tích tri thức luận lịch sử, Nguyễn Ái Quốc (2018a) xác định đặc trưng quan trọng trình xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng: Đặc trưng cấp độ thể khái niệm: Cấp độ cụ thể đường thẳng thực, cấp độ khái quát không gian Euclide n chiều, cấp độ trừu tượng hóa khơng gian Lesbesgue, khơng gian mêtric khơng gian tơpơ, tiên đề hóa khơng gian lân cận khơng gian tơpơ Từ đó, Nguyễn Ái Quốc (2018) xác định chướng ngại tri thức luận SV lần đầu tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng: khái quát khái niệm tập mở từ đường thẳng thực vào không gian Euclide n chiều, từ không gian Euclide n chiều sang không gian tôpô trừu tượng không gian mêtric tổng quát Kết phân tích thể chế Tốn Phân tích thể chế Toán ba trường cho thấy tồn năm kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến tập mở, tập đóng sau: + TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa; + TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa; + TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa; + TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan; 74 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk + TCMĐL: Chứng minh định lí hệ Kết phân tích mối quan hệ thể chế Toán ba trường tập mở, tập đóng cho thấy ba thể chế quan tâm nhiều đến KNV TCMĐL, không quan tâm đến KNV TXTĐM-ĐN Hơn nữa, giáo trình ba trường, KNV TXTĐM-ĐN trình bày liên quan đến tập tập cụ thể Trong thể chế Tốn Trường ĐHSPTPHCM, kết phân tích cho thấy KNV TCMĐL chiếm số đa số (73,2%) tổng số 26 ví dụ (VD) tập (BT), KNV TXTĐM-ĐN TXĐM-KNLQ xuất ít, 3,8% ĐHSPTPHCM, 36,4% ĐHSG, 30,8% ĐHĐN Hơn nữa, hai KNV hầu hết khảo sát tính đóng, mở tập trừu tượng không gian mêtric tổng quát Bảng Các KNV liên quan tập mở, tập đóng thể chế Tốn ĐHSPTPHCM KNV TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan TCMĐL: Chứng minh định lí hệ VD 0 0 BT 3 10 Tổng (%) 3/26 (11,5%) 3/26 (11,5%) 0/26 (0%) 1/26 (3,8%) 19/26 (73,2%) Trong thể chế Toán Trường ĐHSG, kết phân tích giáo trình cho thấy KNV TCMĐL chiếm số đa số (31,8%) tổng số 22 VD BT, KNV TXTĐM-ĐN xuất không đáng kể (9,1%) (Bảng 2) Bảng Các KNV liên quan tập đóng, tập mở thể chế Tốn ĐHSG KNV TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan TCMĐL: Chứng minh định lí hệ VD 2 BT 3 Tổng (%) 4/22 (18,2%) 3/22 (13,6%) 2/22 (9,1%) 6/22 (27,3%) 7/22 (31,8%) Trong thể chế Toán Trường ĐHĐN, kết phân tích giáo trình cho thấy KNV TCMĐL chiếm số đa số (73,2%) tổng số 26 VD BT, KNV TXTĐM-ĐN hồn tồn vắng bóng (0%) (Bảng 3) Bảng Các KNV liên quan tập đóng, tập mở thể chế Tốn ĐHĐN KNV TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan TCMĐL: Chứng minh định lí hệ 75 VD 0 BT 1 Tổng (%) 2/13 (15,4%) 1/13 (7,7%) 0/13 (0%) 4/13 (30,8%) 6/13 (41,6%) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Giả thuyết nghiên cứu Từ ghi nhận thực tế, phân tích tri thức luận phân tích mối quan hệ thể chế Toán ba trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG ĐHĐN cho phép rút hai giả thuyết nghiên cứu H1 H2 sau: H1: Việc xây dựng khái niệm tập mở, đóng q trình khái quát hóa khoảng mở, khoảng đóng đường thẳng thực không gian n chướng ngại tri thức luận ảnh hưởng đến chiến lược giải KNV xét tính đóng, mở tập n SV H2: Mối quan hệ thể chế Toán ba trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG, ĐHĐN khái niệm tập mở, tập đóng ảnh hưởng đến việc giải KNV xét tính đóng, mở tập cụ thể không gian với mêtric thông thường SV Hai giả thuyết nghiên cứu kiểm chứng thực nghiệm trình bày phần Thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành vào tháng 11/2017 121 SV, gồm 44 SV lớp Toán Ứng dụng (SGU) 23 SV lớp sư phạm Toán (SGS) ĐHSG, 17 SV Sư phạm Toán ĐHSP TPHCM, 37 SV sư phạm Toán ĐHĐN Tất 121 SV SV năm hai, học xong học phần “Mêtric Tôpô” “Giải tích hàm” (ĐHSG ĐHĐN) hay “Tơpơ đại cương” (ĐHSP TPHCM) Mục đích thực nghiệm khơng nhằm tìm hiểu ảnh hưởng ba cách tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng lên chiến lược giải SV việc xét tính đóng, mở tập, mà nhằm kiểm chứng hai giả thuyết H1 H2 2.1 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm bao gồm ba câu hỏi điều tra dạng viết, thời gian làm 45 phút Trong câu, SV chọn câu trả lời thỏa đáng theo lựa chọn họ giải thích cho lựa chọn câu trả lời Cả ba câu hỏi thuộc KVN TXTĐM : Xét tính đóng, mở tập số cụ thể , thiết kế cho SV sử dụng định lí hệ liên quan đến tập đóng, tập mở để giải KNV Bộ câu hỏi điều tra gồm câu hỏi sau: Câu hỏi Xét không gian mêtric ( , d) với d mêtric Euclide thông thường Trong tập sau đây, xác định tập tập đóng tập khơng phải tập đóng? Giải thích sao? 1 B = ; , n n 1 n n Mục đích Câu hỏi nhằm kiểm tra xem SV có xác định A tập khơng đóng, B tập đóng khơng gian mêtric ( , d) A (0,1] ; 76 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Câu hỏi Cho (2; 4) khoảng mở không gian mêtric ( Ta đặt C (2; 4) 0 gọi mêtric Euclide thông thường Euclide thông thường trên , d) với d mêtric Trong khơng gian mêtric a) Mở, khơng đóng, c) Khơng mở, khơng đóng, Hãy giải thích sao? , , tập C tập: b) Đóng, khơng mở, d) Vừa mở, vừa đóng Mục đích Câu hỏi nhằm xác định ảnh hưởng tính mở khoảng , d) lên việc xét tính mở tập C khơng gian (2; 4) không gian ( , Đáp án xác C khơng đóng, không mở Câu hỏi Trong không gian mêtric , tập D ( x, y ) a) Mở, khơng đóng, b) Vừa đóng, vừa mở, Hãy giải thích sao? , với mêtric Euclide thông thường : x y 5 tập: b) Đóng, khơng mở, d) Đáp án khác Mục đích Câu hỏi nhằm xác định ảnh hưởng tính vừa mở, vừa đóng đường thẳng thực lên việc xét tính đóng, mở đường thẳng biểu diễn tập D không gian , Đáp án xác tập D đóng, khơng mở , 2.2 Dự kiến chiến lược giải (CLG) sinh viên trả lời câu hỏi Đối với Câu hỏi 1, CLG KNV xét tính đóng tập A B trình bày Bảng Bảng Các CLG KNV xét tính đóng tập A Tập Chiến lược Nội dung SCS: định nghĩa Xét \ A ; 0 1; Vì khơng tồn cầu tâm 0, bán tập đóng kính r đủ nhỏ để B (0 ,r ) \ A , nên \ A khơng mở Do đó, A khơng đóng Vì A {0,1} A khơng chứa tất điểm biên nên A SB: biên khơng đóng A SCL: bao đóng SSL: dãy SINV: giới hạn Vì A [0,1] A A , nên A khơng đóng 1 n Chọn dãy ( xn ) với n Vì xn A lim xn A , nên A khơng đóng khoảng Vì tập A = (0; 1] nửa khoảng khơng đóng bên trái nên A khơng đóng 77 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Bảng Các CLG KNV xét tính đóng tập B Tập Chiến lược Nội dung SCS: định Xét \ B ;0 0; Vì tập \ B hợp hai tập mở nên nghĩa tập \ B tập mở Do đó, B đóng đóng Vì B {0} \ B ; 0; tập mở, nên B đóng B SB: biên Vì B = 0 B chứa tất điểm biên nên B đóng SCL: bao đóng Vì B 0 B B , nên B đóng SOI : giao Vì B giao tập mở nên B mở, B khơng đóng tập mở SINV: khoảng Vì B giao khoảng mở nên tập mở Đối với Câu hỏi 2, CLG KNV xét tính đóng xét tính mở tập C trình bày Bảng Bảng Các CLG KNV xét tính đóng, mở tập C Tập Chiến lược Nội dung SOB: cầu mở khơng tìm cầu mở tâm x = (3; 0) , bán kính r chứa C nên C không mở SIn: phần Vì C có phần C rỗng, nên C C , suy C không mở Xét SCS: định nghĩa tập đóng \ C = x1 ; x2 | x1 (2, 4) x2 0 Vì x (2; 0) không tồn r dương đủ nhỏ cho B( x,r ) C 2 \C \ C , nên \ C không mở, C khơng đóng SB: biên Vì C 2; 4 0 C C nên C khơng đóng SCL: bao đóng Vì C [2, 4] 0 C C , nên C khơng đóng SSL: giới hạn dãy Chọn dãy ( xn ) ;0 n với n Vì xn C lim xn (2; 0) C , nên C khơng đóng Đối với Câu hỏi 3, CLG KNV xét tính đóng xét tính mở tập D trình bày Bảng 7, () đường thẳng có phương trình x + 3y = 78 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Bảng Các CLG KNV xét tính đóng, mở tập D Tập Chiến lược SCS: định nghĩa tập đóng Nội dung Biểu diễn D đường thẳng chia mặt phẳng hai tập mở, \ D mở, suy D đóng Với điểm I tùy ý thuộc D r SB: biên SOB: cầu mở SR: đường thẳng thực d ( I , ) chứa 2 thành hai miền \ D , tồn cầu mở với bán kính \ D , \ D mở, suy D đóng Đường thẳng biểu diễn D khơng có biên nên khơng đóng Với điểm I tùy ý thuộc đường thẳng x + 3y = 5, không tồn cầu mở tâm I chứa đường thẳng đó, nên D khơng mở Biểu diễn D đường thẳng đường thẳng thực nên vừa mở vừa đóng 2.3 Phân tích hậu nghiệm Phân tích kết Câu Đối với tập A, CLG huy động nhiều SB với 27/121 trường hợp tất trả lời xác CLG huy động nhiều SCS sử dụng định nghĩa tập đóng Tuy nhiên, số 21/121 trường hợp có trường hợp trả lời khơng xác Chẳng hạn, có SV suy luận “tập \ A ;0 1; hợp tập không mở (; 0] tập mở (1; +) nên khơng mở, A khơng đóng” Tiếp theo, có 8/121 trường hợp chứng tỏ A chứa cầu tâm với bán kính nhỏ tùy ý nên A khơng đóng Có 7/121 trường hợp huy động SSL, có trường hợp khơng xác chọn dãy A hội tụ kết luận A đóng Đặc biệt, có 8/121 trường hợp huy động CLG SINV suy luận “A khoảng khơng đóng bên trái, hay A nửa khoảng mở nên A khơng đóng” Sau cùng, có đến 48/121 trường hợp khơng trả lời câu hỏi Như vậy, có tổng cộng 58/121 trường hợp trả lời giải thích hợp lí Bảng Các CLG huy động cho KVN xét tính đóng tập A Chiến lược Tập A SCS SB SCL SSL SINV Skhac Trả lời Đúng 16/121 27/121 2/121 5/121 8/121 0/121 79 Sai 5/121 0/121 0/121 2/121 0/121 8/121 Tổng 21/121 (17,4%) 27/121 (22,3%) 2/121 (1,7%) 7/121 (5,8%) 8/121 (6,6%) 8/121 (6,6%) ... cứu Ghi nhận thực tế Việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng q trình khái qt hóa khoảng mở, khoảng đóng đường thẳng thực khơng gian mêtric dẫn đến số khó khăn việc hiểu hai khái niệm Thật vậy,... cận khái niệm tập mở, tập đóng: khái quát khái niệm tập mở từ đường thẳng thực vào không gian Euclide n chiều, từ không gian Euclide n chiều sang không gian tôpô trừu tượng không gian mêtric tổng... ĐHĐN khái niệm tập mở, tập đóng ảnh hưởng đến việc giải KNV xét tính đóng, mở tập cụ thể không gian với mêtric thông thường SV Hai giả thuyết nghiên cứu kiểm chứng thực nghiệm trình bày phần Thực