Microsoft word mùt sñ k) thu�t gi£i BPT nâng cao THTT sñ 539 huónh nguyån luân l°u

Microsoft Word MÙt sÑ k) thu�t gi£i BPT nâng cao THTT sÑ 539 Huónh NguyÅn Luân L°u docx 1 Số 539 (5 2022) Ở học kì II năm lớp 10 các em học sinh có học về bất phương trình (BPT) Đây là dạng toán đòi h[.]

Ở học kì II năm lớp 10 em học sinh có học bất phương trình (BPT) Đây dạng tốn địi hỏi kỹ tính tốn phải tốt Hơn nữa, không nắm vững số kỹ thuật giải ta làm cho tốn phức tạp thêm Trong viết chúng tơi xin giới thiệu đến em chuyên đề nhỏ cách giải số bất phương trình Kỹ thuật đặt ẩn phụ Bài Giải bất phương trình: ( x  4) x    2(3 x  4) (1) x x Lời giải Điều kiện: x  1  ( x  x) x  x   (3x  x) x BPT trở thành: a  b2   a  a  b   a3  a 2b    ab  b    a2  a  b  b  a  b    a  b   a  b   (luôn đúng) 1  Vậy BPT (1) có tập nghiệm là: S    ;  2  Bài Giải bất phương trình: 1 x 1 (a  3b2 )a   (3a  b2 )b   b  a    b  a  2x  x2  2x   x  x2  x   x2  x a  0; b  BPT trở thành:  b  2a  0   a  b  3a     2  a a a   1          (2) b b  b    Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S   2;    1  2t  x  3x  x    x  3x    x Lời giải Điều kiện: x  Đặt a  x  1; b   x Suy ra: a  0; b  x  3x   a  a  4t 1  3t    2t    t  Với t   2x  (2t  1) t  52t  28t    1  Bài Giải bất phương trình: b  2a  a Đặt t  Điều kiện: t  BPT(2) trở thành: b   x    x  x  (luôn đúng) 1   x  1  1  x    x  3x   Đặt a  x  1; b  x Suy ra:  a  b  3a  BPT trở thành:  x  x   (1) Lời giải Điều kiện: x  Đặt a  x  x ; b  x Suy ra: x  x  a  3b2 ; 3x  x  3a  b   x   x  x   x  x  2 Vậy BPT(1) có tập nghiệm là: S   2;    Bài Giải bất phương trình:  x  1 x    x  1 x   16 Số 539 (5-2022)  x  6  Lời giải Điều kiện: x  BPT tương đương với: 2x     x4 x4  x   x   16  4x   x4  x4   x4  x4  x  x  (1) Lời giải Điều kiện: x  t Đặt t  x   x    x   x    Đặt t  x   x  Điều kiện: t  Suy ra: t  x   x2  x  64 t t2 Do BPT trở thành:  2 x  x   t  x   BPT(1) trở thành: t   x   t   x  x      t  x  1 t  x  5   64    t  t   16  t  32t  48   t2 t   t  x   (vì t  x   x  ) Với t  x    x   x   x  2   t    t    8   t      x  1  Vậy BPT có tập nghiệm S  5 Bài Giải bất phương trình:   2x   2x    2x   2x  2x   2x    BPT là: S  1; 2 36 t  t Do BPT trở thành:  36  6   t   t  t  3t  108   t2 t   t   t  3t  18    t  Với t   x   x    x   x   (*) Do BPT(*) ln x  3  Vậy BPT có tập nghiệm S   ;      Kỹ thuật ẩn phụ khơng hồn tồn Bài Giải bất phương trình: Số 539 (5-2022) t 2x   2x  2  x 1   Bài Giải bất phương trình: Đặt t  x   x    x   x      x    x  Đối chiếu với điều kiện, ta tập nghiệm 3 Lời giải Điều kiện: x   8x   x    x  1   x  1 x   x  x   x    x  16  x   x   x    x  1  x   Với t  , ta có: 4x  x   x   x2  x      x   x   x  x  x  (1) Lời giải Điều kiện: 1  x  Đặt t   x   x Điều kiện: t   t    x2   x2  t2  BPT(1) trở thành: 2t  t2   x  x   t  4t  x  x  t  4t  x2  x  t  x t  x   t  x    t  x  t  x     t  x  (vì t  x   0, x  1 ) Với t  x   x   x  x (2) TH1: 1  x  (thỏa bất phương trình (2)) TH2:  x   x2    (2)   x  x   2 x     4 x  x   1    x    x     3 1 x    x    x 2 (1)   x  1 Kết hợp hai trường hợp, ta tập nghiệm  3 BPT cho S   1;    Bài Giải bất phương trình: x 7 3  x2   x  1 x22   x  6 x2 x7 3   x   x    x 1 x6    x  2     x  4  (2) x7 3  x2 2  Ta có: x 1 x6  x2   x6 x7 3 x22 x7 3 x  x  x  18     x  x  2 Suy ra: (2)  x    x  So với điều kiện, ta nhận 2  x  Vậy BPT có tập nghiệm  a  x  Lời giải Đặt  b  x  x  S   2;2 a  b2   a  b  2x   x  BPT trở thành:   x  2x  x22 x x    x  1 x  x    x  x     x  6 So với điều kiện, ta được:  x    a  b2  a2  b2   a  b  b2  a2  2     a  b2   a  b    a  b    b2  a    a  b  a  b    a  b2    a  b     a  b  a  b  1   a  b   x   x  x   x2   x2  x   x 1 2   Bình luận Đây BPT đẹp, em giỏi biến đổi BPT(2), đến đa số em vướng khơng biết cách đánh giá Một sai lầm phổ biến ta đánh giá x 1 x 1  , x  2 điều khơng x22 x   Ở ta cần để ý tính chất đơn giản sau: a b Cho a   ; a  b; c   , c c tính chất dùng để đánh giá mẫu dương phân thức tử vừa âm vừa dương Vận dụng để x 1 x2 x2 đánh giá   , x22 x22 Vậy BPT có tập nghiệm S   ;    đánh giá mấu chốt để giải hồn chỉnh tốn Kỹ thuật nhân lượng liên hợp có đánh giá Bài 10 Giải bất phương trình: Bài (Đề thi ĐH KD năm 2014) Giải bất phương trình:  x  1 x    x   x   x  x  12 (1)  x  1 3x    x  1 x   x  x  (1) Lời giải Điều kiện: x  1 (1)   x  1 Lời giải Điều kiện: x    x  2   x     x  1  x 1     x  3 3x  3   x  1   x  3  3x      x  1 x3 x 1    x  3 3x  3 Số 539 (5-2022)   3 x  1 3x    (2)   x  3    x      x    3x      Ta có:    x  1  3x    3x  x 1  Suy ra:  x  1   3x      x  1  x  1  x 1  3x   ; x 1     x  1  x  1 f  x    x  1 Do đó: (2)  x    x  So với điều kiện, ta được: 1  x  Vậy BPT có tập nghiệm   15 1  f  x  f      0, x   ;    , 2 2 2  từ ta có: (*)  x    x  Bài 12 Giải bất phương trình:  x   x  x   x  Lời giải Điều kiện: x  BPT cho tương đương với: Lời giải Điều kiện:     x  3 ( x  1) x   x   3  (*)   Với x  , ta có: x   2  x   4x     5( x  1)  ( x  1)(4 x  2)  15  x   x    x  1  15  x   4x     15  2 Do đó: (*)  x    x  Vậy BPT có tập Suy ra:  x  1 x   4x   1  nghiệm S   ;3 2  Bình luận Khi xét hàm số 1 x Ta có: 2 (1)  x  x  2 x  x    1  x  x   1  x  x   x2  2x   x   4x   x   4x   x2  2x   0 x   4x  33  x    x  1 x  3  0 x   4x    x  x    x  x (1) S   1;3 Bài 11 Giải bất phương trình:  x   4x   1  ta thấy f  x  đồng biến  ;    nên suy 2  x  x2   x  1   1  x  x   1  x  x     x2  2x  x    x2  x  x  x  x  (2 x  1) 1  x  2x    2x2  x  x2  2x    2x2  0 2x    2x2  x  x2 0  x    x2     x    x    1  x  x   1  x    1  1  x x   2 1  1  x  2 So với điều kiện, ta đượctập nghiệm BPT  x  1   ; cho S    2  Kỹ thuật dùng hàm số để giải Bài 13 Giải bất phương trình: 3 x    (1) 6 x x2 Lời giải Điều kiện: 2  x  Số 539 (5-2022)   Xét hàm số f ( x)  3 x 6x  x2  liên tục (2;6) có:    x9   0, x  (2;6)  f ( x)   3  6 x x2    Suy hàm số nghịch biến (2;6) Do đó:     (1)  f  x    f  x   f    x  So với điều kiện, ta được: 2  x  Vậy BPT có tập nghiệm S   2;2 Bài 14 Giải bất phương trình:  2x  2 x    x  12  x   x  (1) Lời giải Điều kiện: x  Ta có: (1)   x   x    x  12  x   x   Xét hàm số f  x    x   x    x  12  x   x  liên tục 1;    Ta có: f ' x  6x  2x   x 1 6 13  6 x 1   39   0, x  1;    Suy f  x  đồng biến 1;    Do đó: f  x   f (1)    x  1;     BPT(1) x  1;    Vậy BPT có tập nghiệm S  1;    Bài 15 Giải bất phương trình:  2x  2 x    x  12  x   x  (1) Lời giải Điều kiện: x  Đặt t  x  , suy ra: x  t  BPT(1) trở thành:  2t   2t   10  13t  6t  t   2t   2t   (2  t )3  (2  t ) (2) Đặt u  2t  3; v   t , BPT(2) trở thành: u  u  v  v (3) 3 f (t )  t  t liên tục  có f (t )  3t   0, t   nên f (t ) đồng biến  Do đó: (3)  f  u   f  v   u  v  2t    t  t    x  10  So với điều kiện, ta tập nghiệm BPT S  1;10   Bình luận Thoạt nhìn ta nghĩ giải giống 11 thực tế lại khơng Do có nghiệm xấu nên việc giải kỹ thuật nhân lượng liên hợp gặp nhiều khó khăn, đặt a  x  1; b  x  biểu diễn biểu thức lại theo a, b kỹ thuật hệ số bất định phức tạp, ta nhận thấy cách giải tối ưu Bài 16 Giải bất phương trình:    x x2   x2  x  1  x2  x  3x  10 1  3 x 1  2 Xét hàm số Lời giải Điều kiện: x  Đặt a  x  x    a  x  x BPT trở  thành:  x x   a  a    a  x  x  x x   a  a a  (1)   x  x  x x   a  a  a a  Xét hàm số f (t )  t  t  t t  liên tục  có: f '(t )  t   2t     t2 1  t  t2 t2 1 t2    0, t   nên hàm đồng biến  Do đó: (1)  f  x   f  a   x  a  x  x  x   x  Vậy BPT có tập nghiệm S  1;    Bài 17 Giải bất phương trình:  x 1    x  x    x  x  1 x  (1) Lời giải Điều kiện: x  Số 539 (5-2022) Cách Viết lại BPT(1) dạng: 2x  2 2x   x  x  1 x  x (1)   x  1 (2) 2x x  2x  a  x  Đặt  Điều kiện: a, b  BPT (2) b  x  x  a a 1 b b 1 thành:  (3) a2 b2 t t 1 Xét hàm số f  t   liên tục  0;    t2 t  6t  có: f '  t    t   0;    2 t  2 t    x  1    x   So với điều kiện ta tập nghiệm BPT S   2;   Cách 2 x    x3  x  x  x  x x    x  1 x2  2x   x  x  1 x  x   x  1   x  x  1  x  x   x   x2  x   0    x2  x     x   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình sau: ( x  3) nên f (t ) đồng biến (0;   ) Do đó: (3)  f  a   f  b   a  b  x  x   3 x  2x   x  ( x  1) 3  2 x 4 x 2 x x2  x  2x  3  2x    x2 x   x   x3  8x  25 x  13 (2 x  4)  x  ( x  1)  x  x  ( x  x  6) x   ( x  2) x   x  x  Số 539 (5-2022) ...  t      x  1  Vậy BPT có tập nghiệm S  5 Bài Giải bất phương trình:   2x   2x    2x   2x  2x   2x    BPT là: S  1; 2 36 t  t Do BPT trở thành:  36  6  ...  x   x    x   x   (*) Do BPT( *) ln x  3  Vậy BPT có tập nghiệm S   ;      Kỹ thuật ẩn phụ khơng hồn tồn Bài Giải bất phương trình: Số 539 (5-2022) t 2x   2x  2  x 1...  BPT( 1) x  1;    Vậy BPT có tập nghiệm S  1;    Bài 15 Giải bất phương trình:  2x  2 x    x  12  x   x  (1) Lời giải Điều kiện: x  Đặt t  x  , suy ra: x  t  BPT( 1)