Microsoft word 08 TN TRUONG GIA DAI(59 65)008

Microsoft Word 08 TN TRUONG GIA DAI(59 65)008 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019) 59 65 59 DOI 10 22144/ctu jvn 2019 008 ỔN ĐỊNH HÖLDER CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU BANG BAN[.]

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 DOI:10.22144/ctu.jvn.2019.008 ỔN ĐỊNH HÖLDER CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU BANG-BANG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH Trương Gia Đại Lớp Cao học Tốn Khóa 23, ngành Tốn Giải tích, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ *Người chịu trách nhiệm viết: Trương Gia Đại (email: tgiadai@gmail.com) Thông tin chung: Ngày nhận bài: 11/06/2018 Ngày nhận sửa: 24/08/2018 Ngày duyệt đăng: 27/02/2019 Title: Hölder stability for bang-bang optimal control problems of semilinear elliptic partial differential equations Từ khóa: Điều khiển bang-bang, điều kiện tối ưu bậc hai, phương trình elliptic nửa tuyến tính, ổn định Hölder Keywords: Bang-bang control, hölder stability, second-order optimality condition, semilinear elliptic equation ABSTRACT This paper studies Hölder stability of a class of bang-bang optimal control problems governed by semilinear elliptic partial differential equations A new second-order sufficient optimality condition for the class of bang-bang optimal control problems is establish This sufficient optimality condition is used to prove some new results on Hölder stability of the class of control problems under consideration TÓM TẮT Bài báo nghiên cứu ổn định Hưlder lớp tốn điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính Một điều kiện đủ tối ưu bậc hai cho lớp toán điều khiển tối ưu bangbang thiết lập Điều kiện đủ tối ưu sử dụng để chứng minh kết tính ổn định Hưlder cho lớp tốn điều khiển khảo sát Trích dẫn: Trương Gia Đại, 2019 Ổn định Hưlder tốn điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 55(1A): 59-65 Min 𝐽 𝑢 𝐿 𝑥, 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 thỏa đ k 𝛼 𝑥 𝑢 𝑥 𝛽 𝑥 với h h 𝑥 ∈ Ω, (1.1) GIỚI THIỆU Hiện toán điều khiển tối ưu bangbang cho phương trình vi phân thường nghiên cứu rộng rãi Tuy nhiên, kết liên quan đến toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình vi phân đạo hàm riêng hạn chế Một số kết hướng nghiên cứu như: Casas (2012), Casaset al (2017), Pörner and Wachsmuth (2016), Pörner and Wachsmuth (2017) Tiếp nối kết nghiên cứu Casas (2012), Casas et al (2017), báo nghiên cứu ổn định nghiệm lớp toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính cho dạng u biến điều khiển trạng thái 𝑦 nghiệm toán Dirichlet sau 𝐴𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑢 Ω (1.2) Γ Trong trường hợp tổng quát nghiệm địa phương 𝑢 tốn (1.1) thường thỏa mãn tính chất bang-bang sau 𝑢 𝑥 ∈ 𝛼 𝑥 , 𝛽 𝑥 , với h h 𝑥 ∈ Ω, nên tốn (1.1) cịn gọi tốn bangbang 59 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 Với 𝑀 𝜀 vào M 𝜀 cho Mục tiêu báo khảo sát ổn định Hưlder cho nghiệm địa phương tốn điều khiển tối ưu bang-bang (1.1) tác động nhiễu Để thu kết ổn định nghiệm cho toán (1.1), điều kiện đủ tối ưu bậc hai cho toán (1.1) thiết lập, đồng thời phát biểu lại kết tốn điều khiển tối ưu nhiễu ln có nghiệm tồn cục Các kết sử dụng để chứng minh kết báo ổn định Hưlder cho nghiệm địa phương tốn (1.1) 𝜕 𝐿 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 tồn 𝛿 phụ thuộc 𝜕 𝐿 𝑥, 𝑦 𝜀 |𝑦 |, |𝑦 | 𝜕𝑦 𝑀, |𝑦 𝑦| 𝛿, với h h 𝑥 ∈ Ω (A3) Tập Ω miền mở bị chặn ℝ với biên Lipschitz Γ (xem định nghĩa biên Lipschitz Tröltzsch (2010)), A toán tử elliptic bậc hai dạng Phần lại báo bố cục sau: Mục phát biểu giả thiết lý thuyết điều khiển tối ưu cần thiết cho báo nhắc lại số kết biết điều khiển tối ưu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính; Mục nhắc lại điều kiện cần tối ưu bậc thiết lập điều kiện đủ tối ưu bậc hai cho toán (1.1); Mục tập trung vào kết báo bao gồm đánh giá Hưlder cho nghiệm tồn cục toán nhiễu so với nghiệm địa phương xét toán (1.1); Kết luận hướng phát triển nêu Mục báo 𝐴𝑦 𝑥 𝜕 𝑎 𝑥 𝜕 𝑦 𝑥 , , hàm hệ số 𝑎 ∈ 𝐶 Ω thỏa mãn điều kiện: tồn 𝜆 cho 𝜆 |𝜉| 𝑎 , 𝑥 𝜉 𝜉 , ∀𝜉 ∈ ℝ , với h h 𝑥 ∈Ω Tập điều khiển chấp nhận ký hiệu CÁC GIẢ THIẾT CĂN BẢN VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 𝒰 ≔ 𝑢∈𝐿 Ω |𝛼 𝑥 𝑢 𝑥 𝛽 𝑥 với h h 𝑥 ∈ Ω Xét tập hợp Ω ⊂ ℝ với 𝑁 ∈ 1,2,3 hàm 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐿 Ω thỏa điều kiện 𝛼 𝑥 𝛽 𝑥 với hầu hết (viết tắt h.h.) 𝑥 ∈ Ω Hơn nữa, hàm 𝐿, 𝑓: Ω ℝ → ℝ hàm Carathéodory thuộc lớp 𝒞 tương ứng với biến thứ hai thỏa mãn giả thiết đây: Rõ ràng ta có 𝒰 ∅ Cho 𝑝 ∈ 1, ∞ , ký hiệu 𝐵 𝑢 ≔ 𝑣 ∈ 𝐿 Ω | ‖𝑣 𝑢‖ 𝜀 cầu đóng khơng gian 𝐿 Ω có tâm 𝑢 ∈ 𝐿 Ω bán kính 𝜀 Một điều khiển 𝑢 ∈ 𝒰 gọi nghiệm toàn cục toán (1.1) (A1) 𝑓 ⋅ ,0 ∈ 𝐿 Ω với 𝑝 𝑁/2, 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 với h h 𝑥 ∈ Ω, 𝜕𝑦 với 𝑀 tồn số 𝐶 , cho Điều khiển 𝑢 gọi nghiệm địa phương toán (1.1) theo nghĩa 𝐿 Ω tồn cầu đóng 𝐵 𝑢 cho 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 𝐽 𝑢 𝜕 𝑓 𝑥, 𝑦 𝐶 , với h h 𝑥 𝜕𝑦 ∈ Ω |𝑦| 𝑀 Với 𝑀 𝜀 vào M 𝜀 cho 𝜕 𝑓 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 𝐽 𝑢 tồn 𝛿 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 , ∀𝑢 ∈ 𝒰 𝐽 𝑢 , ∀𝑢 ∈ 𝒰 ∩𝐵 𝑢 Nghiệm địa phương 𝑢 gọi chặt 𝐽 𝑢 với 𝑢 ∈ 𝒰 ∩ 𝐵 𝑢 𝑢 𝑢 Dưới giả thiết (A1)-(A3), toán (1.1) có nghiệm tồn cục Kết trường hợp riêng Casas et al (2008) (Theorem 2.2) phụ thuộc 𝜕 𝑓 𝑥, 𝑦 𝜀 |𝑦 |, |𝑦 | 𝜕𝑦 𝑀, |𝑦 𝑦| 𝛿, với h h 𝑥 ∈ Ω Các kết trình bày liên quan đến phương trình (1.2) tham khảo Tröltzsch (2010) (Chapter 4) Với 𝑢 ∈ 𝐿 Ω 𝑝 𝑁/2, phương trình (1.2) có nghiệm yếu 𝑦 ∈ 𝐻 Ω ∩ 𝐶 Ω Thêm vào đó, tồn số 𝑀 , cho (A2) 𝐿 ∙ ,0 ∈ 𝐿 Ω với 𝑀 tồn số 𝐶 , hàm 𝜓 ∈ 𝐿 Ω cho với |𝑦| 𝑀 với hầu hết 𝑥 ∈ Ω, 𝜕𝐿 𝜕 𝐿 𝑥, 𝑦 𝜓 𝑥 , 𝑥, 𝑦 𝐶, 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ‖𝑦 ‖ 60 ‖𝑦 ‖ 𝑀 , , ∀𝑢 ∈ 𝒰 (2.1) Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 𝐴𝑦 Hàm điều khiển-trạng thái 𝐺: 𝐿 Ω → 𝐻 Ω ∩ C Ω xác định 𝐺 𝑢 𝑦 thuộc lớp 𝒞 Hơn nữa, với 𝑣 ∈ 𝐿 Ω , 𝑧 , nghiệm yếu phương trình 𝐴𝑧 𝑥, 𝑦 𝑧 𝑣 Ω 𝑧 Γ, 𝐴𝑤 𝐴∗ 𝜑 𝐺 𝑢 𝑣 𝜑 𝜑 𝑥 𝑢 𝑥 (2.2) 𝑥, 𝑦 𝑤 𝑥, 𝑦 𝑧 , 𝑧 𝑤 𝑦 1,2 𝐺 𝑢 𝑧 Γ, (2.3) 𝜑 𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥, 𝑥, 𝑦 𝑥 , 𝑥 𝑧 , 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 𝜑 𝜕𝑦 𝜑 𝜕𝐿 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 𝑥 𝑑𝑥, (2.5) 𝐶 𝛼 𝑥 𝛽 𝑥 𝑢 𝑥 (3.5) 𝛽 𝑥 𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 φ 𝑥 𝑣∈𝐿 Ω 𝑣 𝑥 Ω 𝛼 𝑥 𝛽 𝑥 (3.7) Γ, điều kiện cần bậc hai thường viết dạng 𝐽 𝑢 𝑣 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN BANG-BANG 0, ∀𝑣 ∈ 𝐶 , (3.8) Tuy nhiên, theo (3.4) (3.7), 𝑢 điều khiển bang-bang 𝐶 Điều cho thấy điều kiện (3.8) tầm thường Vì vậy, cần phải mở rộng điều kiện (3.8) để thu thông tin không tầm thường Theo Casas (2012), nón 𝐶 mở rộng sau: với 𝑢 ∈ 𝒰 𝜏 0, ta định nghĩa Trong mục này, điều kiện đủ tối ưu bậc hai thiết lập cho điều khiển bang-bang 𝑢 ∈ 𝒰 theo đạo hàm bậc hai hàm mục tiêu 𝐽 ∙ Ký hiệu 𝑌 ≔ 𝐻 Ω ∩ 𝐶 Ω không gian trạng thái với chuẩn ‖∙‖ tương ứng định nghĩa ‖𝑦‖ (3.4) Ta biết rằng, chẳng hạn xem Bonnans and Shapiro, 2000 (Section 6.3), nón hướng dừng liên kết với điều khiển 𝑢 ∈ 𝒰 định nghĩa 𝐴∗ toán tử liên hợp toán tử A ‖𝑦‖ ≔ ‖𝑦‖ 0 Điều khiển 𝑢 thỏa tính chất (3.6) gọi điều khiển bang-bang 𝑧 , 𝐺 𝑢 𝑣 với 𝑖 1,2, trạng thái liên hợp 𝜑 ∈ 𝐻 Ω ∩ C Ω trạng thái 𝑦 nghiệm yếu phương trình 𝐴∗ 𝜑 0, ∀𝑢 ∈ 𝒰 (3.3) 𝑢 𝑥 ∈ 𝛼 𝑥 , 𝛽 𝑥 , với h h 𝑥 ∈ Ω (3.6) 𝑥, 𝑦 𝑥 𝑧 (3.2) Xét trường hợp tập 𝑥 ∈ Ω|𝜑 𝑥 có độ đo Lebesgue khơng Khi đó, (3.4) (3.5) ta có 𝜑 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑥 0, 𝑢 𝑥 0, 𝑢 𝑥 0, 𝛼 𝑥 𝜑 𝑥 (2.4) 𝐽 𝑢 𝑣 ,𝑣 Γ, Với giả thiết (A2), hàm mục tiêu 𝐽: 𝐿 Ω → ℝ thuộc lớp 𝒞 , đạo hàm bậc bậc hai 𝐽 ∙ tính cơng thức 𝐽 𝑢 𝑣 𝛼 𝑥 , 𝜑 𝑥 𝛽 𝑥 , 𝜑 𝑥 𝑢 𝑥 𝐺 𝑢 𝑣 với 𝑖 , Ω (3.1) Γ, 𝑥, 𝑦 Ω Cho 𝑝 ∈ 1, ∞ 𝑢 nghiệm địa phương toán (1.1) theo nghĩa 𝐿 Ω Từ (3.3), ta suy Ω , 𝑢 Sự kiện chứng minh Tröltzsch (2010) (Chapter 4) Hệ thống điều kiện (3.1)(3.3) gọi hệ thống tối ưu bậc toán điều khiển (1.1) 𝑣 , 𝑣 ∈ 𝐿 Ω , 𝑤 , nghiệm yếu phương với 𝐺 𝑢 𝑣 ,𝑣 trình 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥, 𝑦 𝜑 𝐶 Nếu 𝑢 nghiệm địa phương toán (1.1) theo nghĩa 𝐿 Ω , tồn trạng thái 𝑦 ∈ Y trạng thái liên hợp 𝜑 ∈ 𝑌 thỏa mãn điều kiện cần tối ưu bậc 𝑣∈𝐿 Ω 𝑣 𝑥 (3.9) 61 𝑢 𝑥 𝛼 𝑥 𝑢 𝑥 𝛽 𝑥 |φ 𝑥 | 𝜏 , Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 𝑢 𝑢 𝑣 𝐽 𝑢 𝑢 𝑢 Ta thấy 𝐶 ⊆ 𝐶 𝐶 𝐶 , ta có 𝐶 ⊂ 𝐶 trường hợp tổng quát 𝐽 𝑢 𝑢 Để khảo sát điều khiển bang-bang 𝑢 tốn (1.1) phải quan tâm đến trường hợp tập 𝑥 ∈ Ω|𝜑 𝑥 có độ đo Lebesgue khơng Khi đó, theo Casas et al (2017), xét giả thiết đặt lên trạng thái liên hợp 𝜑 sau đây: 𝜅‖𝑢 𝑢‖ 𝜀 ⟧ |𝜑 ||𝑢 ‖𝑧 𝛿‖𝑧 ‖ , ∀𝑢 ∈ 𝒰 (3.11) 𝑢 𝜅 cho 𝑢 Min 𝒥 𝑢, 𝑒 𝐽 𝑢 thỏa đ k u∈𝒰 𝑒 𝑒 ,𝑦 (4.1) 𝜀 , 𝜀 𝒰 ∩𝐵 𝑢 , hàm 𝐽 ∙ cho (1.1), tức 𝒥 𝑢, 𝑒 𝐿 𝑥, 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 , với 𝑦 𝐺 𝑢 𝑒 nghiệm yếu toán Dirichlet nhiễu sau 𝐴𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑢 𝑒 Ω (4.2) Γ, 𝑒 ∈ 𝐿 Ω , 𝑒 ∈ 𝐿 Ω tham số 𝑢 𝑥 , |𝜑 𝑥 | τ ngược lại, 𝑢 (3.16) 𝒰 Lược đồ chứng minh trực tiếp Định lý 3.1 với giả thiết (A4) Với 𝑢 ∈ 𝐵 𝑢 ∩ 𝒰 , ta định nghĩa điều khiển điều khiển 𝑤 𝑢 Chú ý sử dụng giả thiết (A4) để chứng minh trực tiếp Định lý 3.1 theo lược đồ chứng minh 𝑣 𝑥 𝐽 𝑢 𝑢 Trong mục khảo sát ổn định Hölder cho lớp toán điều khiển tối ưu tác động nhiễu Bài toán nhiễu cho dạng Chứng minh Nhận thấy giả thiết (A4) định lý trùng với giả thiết (A4.ae) trường hợp ae=1 Qui and Wachsmuth (2017) Bằng cách sử dụng giả thiết (A4.ae) với ae=1 áp dụng Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 3.1) ta thu kết định lý  𝑢 𝑥 0, ‖ 𝑢|𝑑𝑥 ỔN ĐỊNH HÖLDER CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN BANG-BANG , ∀𝑣 ∈ 𝐶 , (3.12) 𝐺 𝑢 𝑢 (3.15) Để minh họa cho ý nghĩa kết điều kiện đủ tối ưu bậc hai thu mục độc giả tìm đọc (Casas, 2012, Example 2.1) với phân tích sâu sắc ví dụ 𝑧 𝐺 𝑢 𝑣 nghiệm yếu phương trình (2.2) với 𝑦 𝑦 Khi đó, tồn 𝜀 cho ‖𝑢 𝑢‖ ‖𝑧 ‖ 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 , ∀𝑢 ∈ 𝐵 𝑢 ∩ 𝒰 , (3.13) với 𝑧 Mệnh đề 3.1 𝑢‖ 𝜅‖𝑢 Sử dụng (3.14), (3.15) (3.16) ta thu (3.13)  Định lý 3.1 Giả sử 𝑢 ∈ 𝒰 thỏa mãn giả thiết (A1)-(A4) tồn số 𝛿 𝜏 cho 𝐽 𝑢 𝑣 𝑢 Thêm vào đó, lập luận tương tự chứng minh Casas (2012) (Theorem 2.4) ta thu Mệnh đề 3.1 (Casas et al., 2017, Proposition 2.7) Giả sử 𝑢 ∈ 𝒰 giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn Khi đó, tồn 𝜅 cho 𝑢 𝑢 (3.14) 𝐽 𝑢 𝑢 ⟦∙⟧ ký hiệu độ đo Lebesgue 𝐽 𝑢 𝑢 𝐽 𝑢 Theo Mệnh đề 3.1, ta có (A4) Giả sử 𝑢 ∈ 𝒰 thỏa hệ thống tối ưu bật (3.1)-(3.3) điều kiện ∃𝐾 cho ⟦ 𝑥 ∈ Ω: |𝜑 𝑥 | 𝐾𝜀, ∀𝜀 0, (3.10) 𝑤 ta suy 𝐽 𝑢 |𝜑 ||𝑢 𝑢|𝑑𝑥 Ký hiệu 𝐸 ≔ 𝐿 Ω 𝐿 Ω không gian tham số với chuẩn tương ứng 𝑣 ‖𝑒‖ Dễ dàng kiểm chứng 𝑣 ∈ 𝐶 Khai triển Taylor bậc hai hàm mục tiêu 𝐽 ∙ 𝑢 ta thu 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝑢 𝑢 𝐽 𝑢 𝑢 𝑢 với 𝑢 𝑢 𝜃 𝑢 𝑢 𝜃 ∈ 0,1 Từ (3.4) 𝑒 ,𝑒 𝑒 𝑒 , ∀𝑒 ∈ 𝐸 (4.3) Định lý 4.1 (Qui Wachsmuth, 2017, Theorem 4.1) Giả sử (A1)-(A3) thỏa mãn 𝑢 nghiệm địa phương tốn (1.1) ứng với 62 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 𝜀 Khi đó, tốn nhiễu (4.1) có nghiệm tồn cục 𝑢 ứng với trạng thái nhiễu tối ưu 𝑦 ∈ 𝐻 Ω ∩ 𝐶 Ω với 𝑒 ∈ 𝐸 Không giảm tính tổng quát ta giả sử tồn 𝑙 cho sup ∈ , 𝐽 𝑢 𝜉𝑒 𝑙 với 𝑒 ∈ 𝐸 đủ bé Theo định lý giá trị trung bình ta suy đánh giá sau Định lý sau phát biểu tiêu chuẩn ổn định Hưlder cho tốn nhiễu (4.1) 𝐿 Ω Đây kết báo 𝐽 𝑢 𝑢‖ 𝜚‖𝑒‖ , (4.4) 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝑒 𝑒 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝐽 𝑢 𝒥 𝑢 ,𝑒 𝐴 𝑦 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑒 ,𝑦 𝐷 , ‖𝑢 𝑢‖ ‖𝑢 𝑢‖ 𝜅 ‖𝑢 𝑦 𝐷 , 𝑦 𝑒 Γ, 𝐽 𝑢 sup 𝐽 𝑢 𝜁𝑒 ∈ , 𝑙 𝑒 ∙ , (4.10) sup 𝐽 𝑢 𝜁𝑒 ∈ , 𝑙 với 𝑙 𝑒 đủ bé Từ (4.9) (4.10) ta suy 𝜅 ‖𝑢 𝛿 𝑧 𝑙 𝑢‖ 𝑙 𝑒 𝑒 𝑙 𝑒 𝛿 𝑧 𝑢‖ 𝑦 𝐷 , ‖𝑢 𝑢‖ 𝑙 𝐽 𝑢 ‖𝑢 𝑦 𝑢 Ω (4.8) 𝑢‖ 𝑙 𝑒 𝑢 𝑒 Từ (4.5), (4.6) (4.8) ta suy 𝑒 (4.7) 𝑒 𝑦 Từ đánh giá (4.7) ta nhận 𝒥 𝑢 ,𝑒 𝑒 ,𝑦 𝐽 𝑢 𝑒 𝐽 𝑢 𝑒 𝑒 𝐽 𝑢 𝑦 𝑦 𝜃 𝑦 𝑦 Từ (A1) (2.1) ta có 𝜕𝑓/𝜕𝑦 ∙, 𝑦 ∈ 𝐿 Ω Điều kết hợp với kỹ thuật (Meyer et al., 2011, Theorem 2.12] ta suy tồn số 𝐷 , cho , 𝑒 ,𝑦 𝑦 𝐷 𝑒 Vì 𝑦 𝐺 𝑢 𝑒 𝑦 𝐺 𝑢 𝑒 nghiệm yếu phương trình (4.1) ứng với vế phải 𝑢 𝑒 𝑢 𝑒 , nên tồn hàm đo 𝜃: Ω → 0,1 cho 𝑒 𝑒 ,𝑦 𝑒 (4.6) 𝑒 ,𝑦 (4.5) 𝑦 ∙ 𝑢‖ 𝑧 𝐽 𝑢 𝜉𝑒 ∈ , Thêm vào đó, 𝑢 nghiệm tồn cục tốn nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒, nên ta có 𝒥 𝑢 ,𝑒 𝒥 𝑢, 𝑒 Điều kéo theo 𝒥 𝑢 , 𝑒 𝑒 ,𝑦 𝒥 𝑢, 𝑒 𝑒 ,𝑦 Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1 cho 𝑢 ∈ 𝒰 𝜀 , ta thu ‖𝑢 sup 𝐽 𝑢 𝑙 𝑒 𝑢 nghiệm tồn cục tốn nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒 ∈ 𝐸 đủ bé 𝐽 𝑢 𝑒 𝑒 Định lý 4.2 Giả sử (A1)-(A4) thỏa mãn 𝑢 nghiệm địa phương toán (1.1) tương ứng với 𝜀 thỏa điều kiện (3.12) Khi đó, tồn số 𝜚 cho ‖𝑢 𝐽 𝑢 𝑙 𝑒 𝑒 𝑙 (4.9) Sử dụng định lý giá trị trung bình lần ta suy đánh giá sau 𝑙 𝑙 , 𝑒 𝐷 𝑙 63 𝐷 , 𝜀|Ω| 𝑒 𝜀|Ω| 𝑙 (4.11) 𝐷 𝑒 𝐷 , 𝜀|Ω| , 𝜀|Ω| 𝑒 ‖𝑒‖ Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 𝑢‖ ‖𝑢 𝑢‖ 2𝜅 𝑙 𝐷 Bằng , |Ω| 𝑢‖ 𝑙 ‖𝑢 cách 𝜀|Ω| 2𝜅 𝑙 Đặt 𝑐 (4.12). 𝑙 𝑙 𝑙 , 𝑙 𝑙 Từ ta suy ‖𝑢 𝑢‖ 𝑐 𝑒 𝑒 , 𝑢 nghiệm tồn cục tốn nhiễu (4.1) ứng với tham số e đủ bé Chứng minh Theo (4.11), tồn số 𝑙 𝑙 cho đánh giá sau thỏa ‖𝑢 mãn 𝑢‖ 𝑧 𝑙 𝑒 𝐷 , ‖𝑢 𝑢‖ Sử dụng bất đẳng thức Young ta suy 𝜅 ‖𝑢 𝑢‖ 𝑙 𝑙 𝑒 𝜉 𝑒 𝐷 , 𝜉‖𝑢 𝑙 𝑒 𝜉 𝐷 , 𝜉 ‖𝑢 𝑒 𝑢‖ , với 𝜉 Vì vậy, chọn 𝜉 nhận đánh giá sau 𝑙 ‖𝑢 𝑢‖ 𝑙 𝑙 𝑙 Như vậy, ta có ‖𝑢 đủ bé để , , 𝑙 𝑒 / / 𝑒 0, ta nhận đánh giá Độc giả tìm đọc sách chun khảo tiếng Trưltzsch (2010) với nhiều tốn cụ thể ví dụ số phong phú liên quan đến toán điều khiển tối ưu bang-bang phân tích sâu sắc tính cần thiết ổn định nghiệm ứng dụng thực tế 𝑒 𝑙 𝑒 𝑙 𝑒 Ý nghĩa kết ổn định Hưlder Tính ổn định Lipschitz nghiệm tốn tối ưu có tham số quan trọng việc nghiên cứu thiết lập thuật toán giải số cho toán tối ưu Tuy nhiên, tính ổn định Lipschitz khơng đạt tính ổn định Hölder lựa chọn để thay giải pháp tất yếu Trong trình nghiên cứu ổn định toán điều khiển tối ưu bang-bang có nhiễu, nghiên cứu thu kết tính ổn định Hưlder cho lớp toán 𝑢‖ 𝑙 𝑒 Nhận xét 4.1 Kết tính ổn định Hưlder nghiệm toán nhiễu thu Định lý 4.2 dựa giả thiết (A4) Do đó, Định lý 4.2 suy từ Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 4.5) sử dụng giả thiết (A4.ae) với ae=1/2 Hơn nữa, kỹ thuật chứng minh Định lý 4.2 (và Hệ 4.1) hoàn toàn khác với kỹ thuật chứng minh Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 4.5) Chú ý giả thiết (A4) giả thiết (A4.ae) với ae=1/2 hoàn toàn khác Về mặt kết quả, Định lý 4.2 thu kết ổn định cho nghiệm tồn cục tốn nhiễu Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 4.5) thu kết ổn định cho điểm KKT toán nhiễu đủ gần nghiệm địa phương toán gốc, hai kết ổn định vừa nêu hoàn toàn khác (4.12) 𝑒 𝑙 𝑙 Hệ 4.2 Giả sử tất giả thiết Định lý 4.2 thỏa mãn Khi đó, ta có 𝑢 → 𝑢 𝐿 Ω 𝑒 → E, 𝑢 nghiệm tồn cục tốn nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒 ∈ 𝐸  , ta thu (4.4) 𝑢‖ ‖𝑒‖ 𝜀|Ω| , 𝜚 đặt ‖𝑢 𝑙 Hệ 4.1 Giả sử tất giả thiết Định lý 4.2 thỏa mãn Khi đó, tồn số 𝑐 cho 𝑙 max 𝑙 𝜀|Ω| Điều kéo theo ‖𝑢 𝐷 Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 KẾT LUẬN 𝑢‖ 𝑙 𝑙 𝑙 Bài báo thu kết điều kiện đủ tối ưu bậc hai đặc biệt tính ổn định Hưlder lớp toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính Trong nghiên cứu tiếp theo, 𝑒 𝑙 𝑙 𝑒 𝑙 𝑒 𝑒 , 64 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 control problems SIAM Journal on Control and Optimization 55, 3066–3090 Meyer, C., Panizzi, L and Schiela, A., 2011 Uniqueness criteria for the adjoint equation in state-constrained elliptic optimal control Numerical Functional Analysis and Optimization 32, 983–1007 Pörner, F., Wachsmuth, D., 2016 An iterative Bregman regularization method for optimal control problems with inequality constraints Optimization 65, 2195–2215 Pörner, F., Wachsmuth, D., 2017 Tikhonov regularization of optimal control problems governed by semi-linear partial differential equations Preprint, 1–25 Qui, N.T., Wachsmuth, D., 2017, Stability for bangbang control problems of partial differential equations Optimization, (2018), pp.~1 21 DOI:10.1080/02331934.2018.1522634 Tröltzsch, F., 2010 Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications American Mathematical Society, Providence, RI kết ổn định Hölder thu áp dụng vào việc thiết lập phương pháp số giải toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính LỜI CẢM TẠ Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thành Quí trao đổi hữu ích liên quan đến chủ đề nghiên cứu báo TÀI LIỆU THAM KHẢO Bonnans, J.F., Shapiro, A., 2000 Perturbation Analysis of Optimization Problems SpringerVerlag, New York, 567 pages Casas, E., 2012 Second order analysis for bang-bang control problems of PDEs SIAM Journal on Control and Optimization 50(4): 2355–2372 Casas, E., De Los Reyes, J.C and Tröltzsch, F., 2008 Sufficient second-order optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints SIAM Journal on Optimization, 19(2), 616–643 Casas, E., Wachsmuth, D and Wachsmuth, G., 2017 Sufficient second-order conditions for bang-bang 65 ... giả thiết đây: Rõ ràng ta có