Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trong tọa độ cầu

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 145 CHỈNH HÓA BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG TỌA ĐỘ CẦU LƯU HỒNG PHONG*, PHẠM HOÀNG QUÂN**, LÊ MINH TRIẾT*** TÓM TẮT Như chú[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong tgk _ CHỈNH HĨA BÀI TỐN NHIỆT NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG TỌA ĐỘ CẦU LƯU HỒNG PHONG* , PHẠM HOÀNG QUÂN**, LÊ MINH TRIẾT*** TÓM TẮT Như biết, tốn nhiệt ngược có nhiều ứng dụng vật lí ngành khoa học kĩ thuật Cho đến nay, cơng trình nghiên cứu tốn nhiệt ngược chủ yếu xem xét toán tọa độ Đề-các, có báo xem xét tốn tọa độ cực, tọa độ trụ hay tọa độ cầu Do báo này, chúng tơi mong muốn nghiên cứu toán nhiệt ngược tọa độ cầu với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian Chi tiết hơn, chúng tơi chỉnh hóa tốn cách áp dụng phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh đưa tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa nhanh dạng Hưlder Và sau cùng, ví dụ số đưa để minh họa cho tính hiệu phương pháp chúng tơi Từ khóa: tốn nhiệt ngược, tọa độ cầu, phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh ABSTRACT Regularizing the Backward Heat Problem with time-dependent diffusivity in the spherical coordinates It is known that the backward heat problem (BHP) has many applications in physics and engineering sciences Until now, the works on the BHP have been conducted in Descartes coordinates, and there have been few papers in polar coordinates, cylindrical coordinates or spherical coordinates Therefore, in this paper, we study the BHP in the spherical coordinates with the time-dependent diffusivity In more details, we regularize the problem by applying the modified quasi-boundary value method and get the convergence of the regularized solution, which is better than the Hölder type Eventually, a numerical experiment is given to illustrate the effectiveness of our method Keywords: backward heat problem, spherical coordinates, the modified quasiboundary value method Giới thiệu Như biết, lí thuyết phương trình đạo hàm riêng xuất từ lâu vật lí ứng dụng khoa học kĩ thuật Cho đến nay, phương trình đạo hàm riêng khảo sát đến nhiều phương trình parabolic Cụ thể hơn, tốn * NCS - ThS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG TPHCM PGS TS, Trường Đại học Sài Gòn; Email: phquan@sgu.edu.vn *** TS, Trường Đại học Sài Gòn ** 145 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ngược cho phương trình nhiệt đưa vào nghiên cứu nhiều thập kỉ qua Ý nghĩa tốn, là, phải tìm lại phân bố nhiệt thời điểm cụ thể t  T đo đạc phân bố nhiệt thời điểm cuối T Bài toán xuất nhiều ngành khoa học kĩ thuật; ví dụ như, xác định nhiệt độ đầu vật thể, việc đo đạc di chuyển nước ngầm, xác định kiểm sốt nguồn nhiễm, bảo vệ mơi trường Bài toán nhiệt ngược (BHP) xuất nhiều báo chẳng hạn [9, 13, 14, 16, 17] Các báo tập trung nghiên cứu chủ yếu vào toán BHP chiều với hệ số không tọa độ Đề-các Chi tiết hơn, [13], P H Quân với cộng xem xét toán BHP với hệ số khuếch tán phụ thuộc thời gian sau: uxx ( x , t )  a(t )u( x , t ), ( x , t )    0, T  , u( x , T )  g( x ), x (1.1) Bằng phương pháp tựa giá trị biên (MQBV) yêu cầu số điều kiện đầu cho liệu xác, tác giả thu tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa nhanh dạng Hưlder Tuy nhiên, tốn BHP xét tọa độ cực Gần đây, toán truyền nhiệt ngược đối xứng (ABHP) đĩa tròn nghiên cứu W Cheng C L Fu [3, 4] Trong báo [3, 4], W Cheng C L Fu sử dụng phương pháp chặt cụt phổ tốn tử phương pháp Tikhonov có điều chỉnh để chỉnh hóa tốn sau:  u  u u ,  r  r0 ,  t  T ,   2 r r  t r  r  r0 ,  u(r , T )   (r ),  u(r , t )  0,  t  T,   t  T  u(0, t )  , (1.2) Với số điều kiện nghiệm xác, tác giả thu sai số dạng logarit Trong [5], mơ hình vật lí xem xét đến xác định nguồn nhiệt cầu có bán kính r₀ xét trường hợp đối xứng tâm với thông lượng nhiệt bề mặt Từ đó, mơ hình tốn học tương ứng mơ tả qua toán BHP đối xứng tâm sau:  ut  urr  r ur ,  r  r0 ,  t  T ,   ur (r0 , t )  0,  t  T ,  u(r, T )   (r ),  r  r0 ,   u(0, t )  ,  t  T , 146 (1.3) Lưu Hồng Phong tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ đó,  (r ) nhiệt độ thời điểm cuối Hơn nữa, tác giả sử dụng phương pháp Tikhonov có điều chỉnh để thu tốc độ hội tụ nhanh dạng Hölder (xem [5]) Một điểm yếu hai tốn (1.2), (1.3) phân bố nhiệt thời điểm cuối T độc lập với  ( ,  ) mà rõ ràng điều khó xảy thực tế Do đó, để tổng qt mang tính ứng dụng thực tế nhiều hơn, với ý tưởng hai tốn (1.1) (1.3), chúng tơi tập trung nghiên cứu toán xác định phân bố nhiệt độ u  r , ,  , t  , với  r, , , t    0, a    0,     0,2    0,T  thỏa mãn:    u  u   u u  2u  2  cot   csc   ut  a ( t )   r r r        r   u  a ,  ,  , t   0,  u r , ,  , T  f r ,  ,  ,       u 0,  ,  , t   ,       ,   (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) đó, f nhiệt độ thời điểm cuối T a  t  hệ số khuếch tán Bài toán (1.6), (1.7) tốn khơng chỉnh Do đó, có thay đổi nhỏ liệu nghiệm xấp xỉ tìm được, tồn tại, có sai khác lớn so với nghiệm xác Vấn đề quan trọng nhà nghiên cứu quan tâm chỉnh hóa tốn, nhằm đưa nghiệm xấp xỉ ổn định cho tốn Từ đó, chúng tơi vận dụng phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh để xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho tốn (1.4)-(1.7) Ý tưởng phương pháp thêm vào điều kiện biên (1.6) lượng "ổn định" trình bày sau Hơn nữa, chúng tơi thu ước lượng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa theo dạng Hưlder kết hợp với logarit Đặc biệt hơn, ví dụ số đề xuất để minh họa cho phương pháp Đây điểm mạnh báo báo [5], tác giả khơng đưa ví dụ số để minh họa cho phương pháp họ Phần lại báo chia sau: Chúng đưa số kiến thức liên quan đến việc tìm nghiệm xác tốn (1.4)-(1.7) Chương 2; Chương 3, giới thiệu nghiệm chỉnh hóa đưa ước lượng sai số; Chương thể ví dụ số mà chúng tơi đề cập trên; cuối cùng, chúng tơi có kết luận Chương Một số định nghĩa bổ đề  Định nghĩa 2.1 Cho a  L ²   0; a  ; r   f :  0; a   | f hàm đo  Lebesgue với trọng lượng r  0; a  Từ đó, ta thấy không gian L ²   0; a  ; r  không gian định chuẩn với chuẩn 147 Số 12(90) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM 1/2 f a     r f (r ) dr  , với f  L2 [[0; a]; r ]   0  Tiếp theo, phát biểu vài định nghĩa bổ đề trình bày [11, 19] Bổ đề 2.1 Cho n số ngun khơng âm Khi đó, có hàm cầu Bessel loại cấp n sau: 1/   jn ( x )     2x  đó, J n J n ( x ), hàm Bessel loại cấp n  Bổ đề 2.2 Cho n số nguyên không âm phương trình cầu Bessel cấp n định nghĩa sau   x ² y  xy   ² x ²  n  n  1 y  0, 0  x  a, y  a   (2.1) Khi đó, có nghiệm phương trình (2.1) sau:   yn, j  x   jn n , j x ,        n  0,1,2, , j  1,2, , với   n, j   n 1/ 2, j a , đó,  n 1/ 2, j nghiệm dương thứ j J n Bổ đề 2.3 Cho n số nguyên không âm có đa thức Legendre loại cấp n sau Pn ( x )  2n M  (1) m m 0 (2 n  m)! x n2 m , m !(n  m )!(n  2m )! (2.2) đó, M  n / n số chẵn hay  n  1 / n số lẻ Bên cạnh đó, có hàm Legendre loại hai cấp n Qn  x   Pn  x    Pn  x   1  x ²    dx ,   n  0,1, 2,  (2.3) Bổ đề 2.4 Cho n=0,1,2, , ta có phương trình Legendre cấp n 1  x ²  y  xy  n  n  1 y  0,   x  Từ đó, nghiệm tổng qt phương trình (2,4) y  x   c1Pn  x   c2Qn  x  , 148 (2.4) TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong tgk _ đó, Pn ( x ), Qn ( x ) định nghĩa (2.2) (2.3), c1 , c2 số Chú ý 2.1 i) Cho n  0,1,2, m  0,1,2, , hàm Legendre liên hợp Pnm ( x ) định nghĩa dạng đạo hàm cấp m đa thức Legendre cấp n sau: Pnm ( x )  (1)m (1  x )m /2 d m Pn ( x ) dx m (2.5) Từ Pn đa thức cấp n , để Pnm khác không, phải chọn  m  n Hơn nữa, m số nguyên âm, định nghĩa Pnm bởi: Pnm ( x )  ( 1) m (n  m)!  m P ( x ) (n  m)! n Đây mở rộng định nghĩa hàm Legendre liên hợp với n  0,1,2, m   n,   n  1 , , n  1, n ii) Sau đây, định nghĩa hàm cầu điều hòa Yn,m  ,   bởi: 2n   n  m ! m Pn  cos  eim , 4  n  m ! Yn,m  ,   (2.6) với n  0,1,2, m   n,   n  1 , , n  1, n Bổ đề 2.5 Cho n số ngun khơng âm phương trình vi phân cho hàm cầu điều hòa định nghĩa sau:  ²Y Y  ²Y  cot  csc ²  n  n  1 Y  0,  ²   ² với     ,    2 Khi đó, có n  nghiệm khơng tầm thường cho hàm cầu điều hòa Y  ,    Yn ,m  ,   ,    m  n, với Yn,m  ,  định nghĩa (2.6) Định nghĩa 2.2 Với f  r, ,  hàm khả tích bậc 2, xác định với  r  a ,     ,    2 , có chu kì 2π theo biến  Khi đó, có:   f  r, ,    n A j (n, j r )Yn ,m ( , ), jnm n j 1 n  m  n 149 Số 12(90) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM đó, a 2  A jnm    0 a3 jn21     n , j      f (r , ,  ) j ( n n, j r )Y n,m ( ,  )r sin d d dr , 0 Y n ,m liên hợp phức Yn,m Các kết Bằng cách sử dụng phương pháp tách biến khai triển chuỗi cầu điều hịa, chúng tơi thu nghiệm xác tốn (1.4)-(1.7) sau:   u(r , , , t)   n  A  t  j ( jnm n n, j r )Yn ,m ( , ), (3.1) j 1 n  m  n đó,   A jnm (t )  exp n2, j ( F(T )  F (t)) f jnm , a 2  f jnm    0 a jn1     n , j      f (r ,  ,  ) j ( n n, j r )Y n,m ( , )r sin d d dr, 0 t F (t )   a( s)ds Từ đó, dễ dàng thấy rằng:    lim exp n2, j F  T   F  t   , n  0,1, j  Đây ngun nhân gây nên tính khơng ổn định nghiệm xác (3.1) Do đó, cần xây dựng nghiệm xấp xỉ cho toán (1.4)-(1.7)   cách thay thừa số exp n2, j F  T   F  t   thừa số "tốt hơn" Để làm điều đó, chúng tơi đề xuất tốn chỉnh hóa sau:   u  u   2u u   u   ut  a( t )     cot   csc   ,  r r r r         u   a ,  ,  , t   0, u   0,  ,  , t    , điều kiện biên t  T sau: 150 (3.2) (3.3) (3.4) Lưu Hồng Phong tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _    j 1 n  m  n  exp n2, j  F(T )  k  n  u  (r , , , T )      n, j  n, j  exp   F(T )  k   f jnm jn (n , j r )Yn ,m ( ,  ), a 2  f  jnm    0 a jn 1     n , j     f (r , , ) jn (n, j r )Y n ,m ( , )r sin d d dr, 0 với α(ε) tham số chỉnh hóa chọn cho lim      0, k  f  liệu  0 đo Khi đó, chúng tơi thu nghiệm chỉnh hóa u ứng với liệu đo f   n   B  t  j ( u  (r , , , t )    jnm n n, j r )Yn ,m ( , ), (3.5) j 1 n  m  n đó, B  jnm t    exp n2, j  F (t )  k         exp  n, j n, j  F(T )  k   f jnm , nghiệm chỉnh hóa v ứng với liệu xác f   v (r, , , t)   n  B  t  j ( jnm n n, j r )Yn,m ( ,  ), (3.6) j 1 n  m  n với B jnm  t     exp n2, j  F (t )  k         exp  n, j n, j  F(T )  k  f jnm , Để tiện cho việc trình bày, từ trở đi, chúng tơi kí hiệu       Sau đây, đưa số bổ đề giúp ích cho việc đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Bổ đề 3.1 Giả sử    T , a  0, ta có bất đẳng thức sau: 1 T   T    ln     a  exp{aT}       Bổ đề 3.3 Giả sử  t  s  T ,    T p  Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: i) sup a exp (s  t  T )a  a  exp aT  t s   T  T  T0   ln    ,     151 ... trường Bài toán nhiệt ngược (BHP) xuất nhiều báo chẳng hạn [9, 13, 14, 16, 17] Các báo tập trung nghiên cứu chủ yếu vào toán BHP chiều với hệ số không tọa độ Đề-các Chi tiết hơn, [13], P H Quân với. .. xét toán BHP với hệ số khuếch tán phụ thuộc thời gian sau: uxx ( x , t )  a(t )u( x , t ), ( x , t )    0, T  , u( x , T )  g( x ), x (1.1) Bằng phương pháp tựa giá trị biên (MQBV) yêu cầu. .. (1.7) đó, f nhiệt độ thời điểm cuối T a  t  hệ số khuếch tán Bài toán (1.6), (1.7) tốn khơng chỉnh Do đó, có thay đổi nhỏ liệu nghiệm xấp xỉ tìm được, tồn tại, có sai khác lớn so với nghiệm