Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức C S September 2022 1 Lời nói đầu Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề hay và khó trong các kỳ thi tuyển chọn của các trường phổ thông chuyện và. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức C S September 2022 1 Lời nói đầu Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề hay và khó trong các kỳ thi tuyển chọn của các trường phổ thông chuyện và. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức C S September 2022 1 Lời nói đầu Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề hay và khó trong các kỳ thi tuyển chọn của các trường phổ thông chuyện và.
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức C.S Nguyễn Vi Thái Sơn September 2022 Lời nói đầu Bất đẳng thức chuyên đề hay khó kỳ thi tuyển chọn trường phổ thơng chuyện khơng chun nước Nó xuất nhiều lĩnh vực đòi hỏi lượng kiến thức tư "vững vàng" Chắc hẳn bạn tưng phải đau đầu trước bất đẳng thức khó cảm thấy thật tự hào chứng minh "nó" Trong khn khổ viết tơi nói kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức C.S hay biết đến Cauchy-schwarz 1.Bất đẳng thức C.S 1.1 Dạng tổng quát Cho dãy số thực (a1 , a2 an ) (b1 , b2 bn ) ta ln có: (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 dấu a1 a2 an "=" xảy = = = Đặc biệt bi = b1 b2 bn = việc chứng minh đơn giản xin phép khơng trình bày lại Các bạn tham khảo cách chứng minh https://doctailieu.com/ chung-minh-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-kem-vi-du-minh-hoa 1.2 Dạng cụ thể: Dạng 1.Cho a, b, c, d ∈ R Ta có (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 b a dấu "=" xảy = c d Dạng Cho a, b, c, x, y, z ∈ R Ta có (a2 +b2 +c2 )(x2 +y +z ) ≥ (ax+by +cz)2 a b c dấu "=" xảy = = x y z Dạng cho số thực dương a, b, c, x, y, z ∈ R Ta có: a2 b2 c2 (a + b + c)2 a b c + + ≥ Dấu"=" xảy = = x y z x+y+z x y z 1.3 Một vài ví dụ cụ thể Ta ký hiệu sau: P địnhPnghĩaP a = b = Q Q Q c = a + b + c, a = b = P c = abcQ tương tự với a2 hay (abc)2 VD1: ChoP a,b,c số thức dương Chứng minh P a2 a a, ≥ P b 3+ c P 22 a a b, ≥ b+c Chứng minh: P P P ( a)2 a a ≥ P = a, Sử dụng bất đẳng thức C.S ta có 2( a 2P Pb +3 c P P a a4 ( a2 )2 ( a2 )2 P b,Sử dụng bất đẳng thức C.S ta có = ≥P ≥ P b+c ab + ac ab + ac a P P P a (do a ≥ ab)= Bình luận đơi chút: Ở P phần a ta dễ dàngPdùng C.S ta thấy đại lượng a cần đánh giá với đại lượng a Thế phần b, đại lượng lại a3 với a2 nên việc nhân thêm a tử để sử dụng C.S điều ta nên thử Bài tập rèn luyện: P a2 Câu 1: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh ≥1 a2 + 2bc P √ Câu 2:Cho số thực dương x,y,z thỏa xy xy = chứng minh P P x6 x S = ≥ (gợi ý câu Dùng CS chứng minh P ≥ chứng x3 + y 2 x3 ≥ cách sử dụng bất đẳng thức AMGM P1 Câu 3: Cho số thực dương x,y,z thỏa = Chứng minh x P 1 ≤ (gợi ý: việc xuất điều kiện thường làm ta nghĩ 2x + y + z x 1 đến đổi biến ( , , ) = (a, b, c) để có điều kiện đơn giản a + b + c = từ x y z biến đổi x,y,z theo a,b,c ta áp dụng C.S mà khơng bị ngược dấu bất đẳng thức) 1.4 Kỹ thuật cân hệ số bất đẳng thức C.S đối xứng Trong số toán, việc chứng minh trực tiếp khơng dễ dàng chí bất khả thi.Việc nhân thêm lượng để sử dụng bất đẳng thức đưa hướng có khả tới "đích" Vd1: cho số thực dương x,y,z thỏa x + y + z ≤ chứng minh r √ P 17 Bài tốn bất đẳng thức minkopxki S= a + ≥ b Nhưng viết sử dụng C.S Ta thấy bất đẳng thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi a = b = c = ta xét r r 1 1 y a2 + = p (a2 + )(x2 + y ) ≥ p (ax + )(1) 2 2 b b b x +y x +y 1 1 => S ≥ p [x(a+b+c)+y( + + )] Ta thấy (1) bất đẳng a b c x2 + y thức C.S, công việc ta chọn hệ số x,y cho dấu xảy a 1 ra.Điệu kiện để (1) xảy dấu "=" = a b nên ta có x by √ P P 15 P 17 y=4x ta chọn y=4 x=1 Vậy ta có S ≥ √ ( a+ + )≥ 4a 4a 17 Theo bất đẳng thức AMGM bất đẳng thức C.S Bài tập rèn luyện: Câu 1:Cho số thực dương a,b,c thỏa a + b + c = Chứng minh P a ≤ 1(gợi ý:tìm cách C.S mẫu số để đưa đồng mẫu) a + b2 + c Câu r 2: Cho 2rsố thực a,b thỏa a + b = Chứng minh √ 1 a2 + + b2 + ≥ 17 a b Câu r3: Cho số√thực dương a,b,c thỏa a + b + c ≥ Chứng minh P 17 a2 + ≥ b 1.5 Kỹ thuật cân hệ số bất đẳng thức C.S không đối xứng Vd1: Cho x,y,z≥ x + y + z = tìm S=x2 + 2y + 3z Giải: với a,b,c tham số > ta có: (x2 + 2y + 3z )(a2 + 2b2 + 3c2 ) ≥ (ax + 2by + 3cz)2 Ta chọn a,b,c cho a = 2b = 3c = m(*) P ≥ m(x + y + z) = 3m ta có điều kiện xảy dấu "=" minh P a b c a+b+c = = = nên chọn a + b + c = x + y + z = ta x y z x+y+z cóa = x, b = y, c = z kết hợp với điều kiện(*) ta giải 18 x=a= ,y = b = ,z = c = Từ dễ dàng có S ≥ 11 11 11 Bài tập rèn luyện: Câu 1:Cho a,b,c số thực dương thỏa a2 + 4b2 + 9c2 = 2015 Tìm max S =a+b+c Câu 2:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 14 tìm S = a2 + b2 + c2 Câu 3:Cho a,b,c số thực dương thỏa 4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh 25 64 + + ≥ 49 a b c Câu 4: Cho a,b,c số thực dương thỏa a + b + c = Chứng minh P 2+P ≥ 30 a ab Và cuối cùng, dù cố gắng biên soạn cẩn thận trình độ có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót.Mong người thơng cảm góp ý.Chân thành cảm ơn Mọi đóng góp xin gửi địa sau: hann88689@gmail.com