ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1 (3 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau a) A; b) B với x Câu 2 (4 điểm) Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị của[.]
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MƠN TỐN (Thời gian làm bài:150 phút) Câu (3 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: 1 1 4 4 ; a) A 3x x 1 b) B Câu (4 điểm): 2014 với x 26 15 x2 x 2x x 2(x 1) x x x x1 Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức P; x b) Tìm giá trị x để biểu thức Q = P nhận giá trị nguyên Câu (3 điểm): Cho đường thẳng ( d ) có phương trình: 3(m - 1)x +( m - 3)y = a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m; b) Tìm m để đường thẳng (d) cách gốc tọa độ khoảng lớn Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình sau: x 3 x 2 x x x ; b) Giải hệ phương trình sau: x x xy 2y 2y 0 2 x y 1 Câu ( 6,5 điểm): Cho đường tròn (O;R) điểm A ngồi đường trịn Từ điểm M di động đường thẳng d OA A, vẽ tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường trịn song song với EF cắt ME, MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B a) Chứng minh OA.OB không đổi b) Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d c) Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn d) Lấy điểm I thuộc cung nhỏ EF, vẽ tiếp tuyến qua I (O) cắt ME, MF CD P Q Chứng minh PC.DQ HẾT -1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MƠN TỐN (Thời gian làm bài:150 phút) Câu (3 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: a) A 2 12 ; b) B 10 10 2x x x x x x x x x Câu (3 điểm): Cho biểu thức P = x a) Rút gọn biểu thức P; b) So sánh P với 5; Q P nhận giá trị nguyên c) Tìm giá trị x để Câu (3 điểm): Cho đường thẳng (d): y = mx m a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định; b) Tìm m đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Câu (3,0 điểm): a) Giải phương trình sau: x 5 2x ; b) Giải hệ phương trình sau: 6x 3xy x 1 y 2 x y 1 Câu ( 6,5 điểm): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, EF đường kính di động Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) B Nối AE, AF cắt đường thẳng d M N a) Chứng minh AE.AM = AF.AN b) Kẻ AD vng góc với EF cắt MN I Chứng minh I trung điểm MN c) Gọi H trực tâm tam giác MFN Chứng minh đường kính EF di động H ln thuộc đường trịn cố định Câu ( 1,5 điểm): 3 2 Cho x y 3(x y ) 4(x y) 0 với xy > 1 M x y Tìm giá trị lớn biểu thức HẾT -2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN (Thời gian làm bài:150 phút) Câu 1(3,5 điểm): Cho biểu thức: x x( x 2) x A 2 x x x x 2 a) Rút gọn biểu thức A; 3 b) Tính giá trị biểu thức A x 13 13 ; x B A 2x c) Tìm giá trị lớn biểu thức Câu (4.5 điểm):Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x 3x 3 x ; x 2y 3xy x 2y 0 b) x y 0 2 Câu (3,0 điểm):Cho ba đường thẳng: ( d1 ): y x 1; d : y x ; d3 : y m 1 x m (với m 1 ) a) Chứng minh m thay đổi d ln qua điểm cố định; 2 b) Tìm giá trị m để ba đường thẳng đồng quy; c) Gọi giao đường thẳng d với trục Ox, Oy A,B Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đường trung trực đoạn thẳng AB Câu ( 7.0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường trịn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), M điểm thuộc nửa đường tròn (M khác A B) Tiếp tuyến nửa đường tròn M cắt Ax, By E, F Đường thẳng OE cắt AM P, đường thẳng OF cắt BMtại Q a) Chứng minh PQ cóđộ dài khơng đổi b) Kẻ MH vng góc với AB H Đường thẳng BE cắt MH I Chứng minh I trung điểm MH c) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBF ln thuộc đường trịn cố định d) Cho AB = 2R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác OEF Chứng R 2 3 r minh Câu (2 điểm): Cho a, b, c số thực thoả mãn < a, b, c < ab + bc + ca = a (1 2b) b (1 2c) c (1 2a) P b c a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hết KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn : Tốn Thời gian làm : 150 phút Câu (4,5 điểm).Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M ; M x x x 15 x x 10 10 10 b) Tính giá trị M biết c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M Câu2(4,5 điểm) a) Giải phương trình sau: 3x - b) Giải hệ phương trình: x x 4 x 1 4 x sin 100 sin 800 ; x +1 = x - x - ; ìï x - xy - x = ïí ïï y - xy + y =- ỵ Câu3 (2,5 điểm) Xác định số nguyên a, b cho đường thẳng y = ax + b qua điểm A(4;3), cắt trục tung điểm có tung độ số nguyên dương, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ số ngun dương Câu4(6,5 điểm) R Cho hai đường tròn (O; R) (O’; ) tiếp xúc A Trên đường tròn (O) lấy điểm B cho AB = R điểm M cung lớn AB (M không trùng với A B) Tia MA cắt (O’) điểm thứ hai N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB Q cắt (O’) P NQ R a) Chứng minh b) Tứ giác ABQP hình thang cân c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị theo R Câu5 (2 điểm) 2 Cho x > 0, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ỉ 1ư 1ư ÷+( + y ) ổ ữ ỗ B = ( 1+ x) ỗ 1+ ữ + ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ç è xø è yø HẾT -4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MƠN TỐN (Thời gian làm bài:150 phút) Câu (2,5 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: 1 A 1 2 3 a) 24 25 ; b) B Câu (3,0 điểm): Cho biểu thức: x x 3 x 2 x 2 M : x 1 x x x x a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên Câu (3,0 điểm): Cho đường thẳng (d): y = (a – 1)x + a (alà tham số, a ≠ 1) a) Tìm a để đường thẳng d cắt trục tung điểm A, cắt trục hoành điểm B cho tam giác OAB có diện tích b) Tìm giá trị a để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình sau: x 3x x x x 2x mx 4y 10 m x my 4 b) Cho hệ phương trình: (m tham số) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho x > 0; y > Câu ( 6,5 điểm): Cho đường tròn (O,R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E a) Chứng minh BCE ∽ BMO , MBC ∽ OBE b) Chứng minh CM vng góc với OE c) Tìm giá trị nhỏ độ dài dây AB Câu (1,5 điểm): Cho a, b, c > thỏa mãn biểu thức a + b + c = Chứng minh rằng: a bc b ac c ab 2