Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
357,91 KB
Nội dung
B ID 20 CHUYÊN CHUYểN NG TOÁN - PH N TệCH A TH C THÀNH NHỂN T A M C TIểU: * H th ng l i d ng tốn vƠ ph ng pháp phơn tích đa th c thƠnh nhơn t * Gi i m t s bƠi t p v phơn tích đa th c thƠnh nhơn t * Nơng cao trình đ vƠ k n ng v phơn tích đa th c thƠnh nhơn t B CÁC PH NG PHÁP VÀ BÀI T P I TÁCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T : nh lí b sung: + a th c f(x) có nghi m h u t có d ng p/q p lƠ d c c a h s t do, q lƠ c ng c a h s cao nh t + N u f(x) có t ng h s b ng f(x) có m t nhơn t lƠ x ậ + N u f(x) có t ng h s c a h ng t b c ch n b ng t ng h s c a h ng t b c l f(x) có m t nhơn t lƠ x + + N u a lƠ nghi m nguyên c a f(x) vƠ f(1); f(- 1) khác nhanh chóng lo i tr nghi m lƠ f(1) f(-1) đ u lƠ s nguyên a-1 a+1 c c a h s t Ví d 1: 3x2 ậ 8x + Cách 1: Tách h ng t th 3x2 ậ 8x + = 3x2 ậ 6x ậ 2x + = 3x(x ậ 2) ậ 2(x ậ 2) = (x ậ 2)(3x ậ 2) Cách 2: Tách h ng t th nh t: 3x2 ậ 8x + = (4x2 ậ 8x + 4) - x2 = (2x ậ 2)2 ậ x2 = (2x ậ + x)(2x ậ ậ x) = (x ậ 2)(3x ậ 2) Ví d 2: x3 ậ x2 - Ta nhơn th y nghi m c a f(x) n u có x = 1; 2; 4 , ch có f(2) = nên x = lƠ nghi m c a f(x) nên f(x) có m t nhơn t lƠ x ậ Do ta tách f(x) thƠnh nhóm có xu t hi n m t nhơn t lƠ x ậ Cách 1: x3 ậ x2 ậ = x3 x2 x2 x x 4 x2 x 2 x( x 2) 2( x 2) = x 2 x2 x 2 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN Cách 2: x3 x2 x3 x2 x3 8 x2 4 ( x 2)( x2 x 4) ( x 2)( x 2) = x 2 x2 x 4 ( x 2) ( x 2)( x2 x 2) Ví d 3: f(x) = 3x3 ậ 7x2 + 17x ậ Nh n xét: 1, 5 không lƠ nghi m c a f(x), nh v y f(x) khơng có nghi m ngun Nên f(x) n u có nghi m lƠ nghi m h u t Ta nh n th y x = lƠ nghi m c a f(x) f(x) có m t nhơn t lƠ 3x ậ Nên f(x) = 3x3 ậ 7x2 + 17x ậ = 3x3 x2 x2 x 15x 3x3 x2 x2 x 15x 5 = x2 (3x 1) x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)( x2 x 5) Vì x2 x ( x2 2x 1) ( x 1)2 v i m i x nên khơng phơn tích đ c thƠnh nhơn t n a Ví d 4: x3 + 5x2 + 8x + Nh n xét: T ng h s c a h ng t b c ch n b ng t ng h s c a h ng t b c l nên đa th c có m t nhơn t lƠ x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví d 5: f(x) = x5 ậ 2x4 + 3x3 ậ 4x2 + T ng h s b ng nên đa th c có m t nhơn t lƠ x ậ 1, chia f(x) cho (x ậ 1) ta có: x5 ậ 2x4 + 3x3 ậ 4x2 + = (x ậ 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghi m ngun c ng khơng có nghi m h u t nên khơng phơn tích đ cn a Ví d 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví d 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x ậ 20012 - 2001 = (x2 ậ 20012) ậ (x + 2001) = (x + 2001)(x ậ 2002) II THểM , B T CỐNG M T H NG T : ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN Thêm, b t m t s h ng t đ xu t hi n hi u hai bình ph ng: Ví d 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 ậ 36x2 = (2x2 + 9)2 ậ (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + ậ 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 ậ 6x + 9) Ví d 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 ậ 16x2(x4 + ậ 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 ậ 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 ậ 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 ậ 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, b t m t s h ng t đ xu t hi n nhơn t chung Ví d 1: x7 + x2 + = (x7 ậ x) + (x2 + x + ) = x(x6 ậ 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x ậ 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x ậ 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 ậ x4 + x2 - x + 1) Ví d 2: x7 + x5 + = (x7 ậ x ) + (x5 ậ x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 ậ 1)(x3 + 1) + x2(x3 ậ 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x ậ 1)(x4 + x) + x2 (x ậ 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 ậ x4 + x2 ậ x) + (x3 ậ x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 ậ x4 + x3 ậ x + 1) Ghi nh : Các đa th c có d ng x3m + + x3n + + nh : x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … đ u có nhơn t chung lƠ x2 + x + III T BI N PH : Ví d 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 t x2 + 10x + 12 = y, đa th c có d ng (y ậ 12)(y + 12) + 128 = y2 ậ 144 + 128 = y2 ậ 16 = (y + 4)(y ậ 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví d 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 ậ 6x + Gi s x ta vi t ThuVienDeThi.com B ID 20 CHUYÊN x4 + 6x3 + 7x2 ậ 6x + = x2 ( x2 + 6x + ậ t x- NG TOÁN 1 2 )+7] + ) = x [(x + ) + 6(x x x x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x ậ 1)2 x Chú ý: Ví d có th gi i b ng cách áp d ng h ng đ ng th c nh sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 ậ 6x + = x4 + (6x3 ậ 2x2 ) + (9x2 ậ 6x + ) = x4 + 2x2(3x ậ 1) + (3x ậ 1)2 = (x2 + 3x ậ 1)2 Ví d 3: A = ( x2 y2 z2 )( x y z)2 ( xy yz+zx)2 = ( x2 y2 z2 ) 2( xy yz+zx) ( x2 y2 z2 ) ( xy yz+zx)2 t x2 y2 z2 = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2 y2 z2 + xy + yz + zx)2 Ví d 4: B = 2( x4 y4 z4 ) ( x2 y2 z2 )2 2( x2 y2 z2 )( x y z)2 ( x y z)4 t x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a ậ b2 ậ 2bc2 + c4 = 2a ậ 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a ậ b2) + (b ậc2)2 Ta l i có: a ậ b2 = - 2( x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) b ậc2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4( x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) + (xy + yz + zx)2 = 4 x2 y2 y2 z2 4z2 x2 4x2 y2 y2 z2 4z2 x2 8x2 yz 8xy2 z 8xyz2 8xyz( x y z) Ví d 5: (a b c)3 4(a b3 c3 ) 12abc t a + b = m, a ậ b = n 4ab = m2 ậ n2 a3 + b3 = (a + b)[(a ậ b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn 2 4c3 3c(m2 - n ) = 3( - c +mc ậ mn + cn ) C = (m + c) ậ 4 = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PH NG PHÁP H S B T NH: Ví d 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN Nh n xét: s B ID NG TOÁN 1, không lƠ nghi m c a đa th c, đa th c khơng có nghi m ngun c ng khơng có nghi m h u t Nh v y n u đa th c phơn tích đ c thƠnh nhơn t ph i có d ng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c 6 ac b d 12 đ ng nh t đa th c nƠy v i đa th c đƣ cho ta có: ad bc 14 bd Xét bd = v i b, d Z, b 1, 3 v i b = d = h u ki n tr thƠnh a c 6 ac 8 2c 8 c 4 a c 14 ac a 2 bd V y: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví d 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nh n xét: đa th c có nghi m lƠ x = nên có th a s lƠ x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a 3 b 2a 7 a b 5 = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c c 2b c 4 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta l i có 2x3 + x2 - 5x - lƠ đa th c có t ng h s c a h ng t b c l vƠ b c ch n b ng nahu nên có nhơn t lƠ x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) V y: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví d 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy ậ ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN ac 12 bc ad 10 a c 3c a bd 12 b 6 d 3d b 12 2 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI T P: Phơn tích đa th c sau thƠnh nhơn t : 1) x3 - 7x + 10) 64x4 + y4 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 3) x3 - 6x2 - x + 30 12) x3 + 3xy + y3 - 4) 2x3 - x2 + 5x + 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 14) x + x + 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x - 32x + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 15) x8 + 3x4 + 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63 CHUY N ThuVienDeThi.com 2-S L C V CH NH H P, B ID 20 CHUYÊN NG TOÁN 2: HOÁN V , T CHUYÊN H P A M C TIểU: *B c đ u HS hi u v ch nh h p, hoán v vƠ t h p * V n d ng ki n th c vƠo m t ssó bƠi toán c th vƠ th c t * T o h ng thú vƠ nơng cao k n ng gi i toán cho HS B KI N TH C: I Ch nh h p: đ nh ngh a: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i cách s p x p k ph n t c a t p h p X ( k n) theo m t th t nh t đ nh g i lƠ m t ch nh h p ch p k c a n ph n t S t t c ch nh h p ch p k c a n ph n t đ c kí hi u A y k n Tính s ch nh ch p k c a n ph n t A k n = n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)] II Hoán v : nh ngh a: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i cách s p x p n ph n t c a t p h p X theo m t th t nh t đ nh g i lƠ m t hoán v c a n ph n t S t t c hoán v c a n ph n t đ c kí hi u Pn Tính s hốn v c a n ph n t Pn = ( n! : n giai th a) y A n n = n(n - 1)(n - 2) …2 = n! III T h p: nh ngh a: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i t p c a X g m k ph n t n ph n t c a t p h p X ( k n) g i lƠ m t t h p ch p k c a n ph n t S t t c t h p ch p k c a n ph n t đ c kí hi u C Tính s t h p ch p k c a n ph n t C k n = A n n : k! = n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! ThuVienDeThi.com k n y 20 CHUN B ID NG TỐN C Ví d : Ví d 1: Cho ch s : 1, 2, 3, 4, a) có s t nhiên có ba ch s , ch s khác nhau, l p b i ba ch s b) Có s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, l p b i c ch s c)Có cách ch n ba ch s ch s Gi i: a) s t nhiên có ba ch s , ch s khác nhau, l p b i ba ch s lƠ ch nh h p ch p c a ph n t : A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 s b) s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, l p b i c ch s lƠ hoán v cua ph n t (ch nh h p ch p c a ph n t ): A 5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = = 120 s c) cách ch n ba ch s ch s lƠ t h p ch p c a ph n t : C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60 10 nhóm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Ví d 2: Cho ch s 1, 2, 3, 4, Dùng ch s nƠy: a) L p đ c s t nhiên có ch s khơng có ch s nƠo l p l i? Tính t ng s l p đ c b) l p đ c s ch n có ch s khác nhau? c) L p đ c s t nhiên có ch s , hai ch s k ph i khác d) L p đ c s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, có hai ch s l , hai ch s ch n Gi i ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TỐN a) s t nhiên có ch s , ch s khác nhau, l p b i ch s lƠ ch nh h p ch p c a ph n t : A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = = 120 s Trong m i hang (Nghìn, tr m, ch c, đ n v ), m i ch s có m t: 120 : = 24 l n T ng ch s T ng s đ m i hang: (1 + + + + 5) 24 = 15 24 = 360 c l p: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) ch s t n có cách ch n (lƠ ho c 4) b n ch s tr c lƠ hoán v c a c a ch s cịn l i vƠ có P4 = 4! = = 24 cách ch n T t c có 24 = 48 cách ch n c) Các s ph i l p có d ng abcde , : a có cách ch n, b có cách ch n (khác a), c có cách ch n (khác b), d có cách ch n (khác c), e có cách ch n (khác d) T t c có: = 1280 s d) Ch n ch s ch n, có cách ch n ch n ch s l , có cách ch n Các ch s có th hốn v , có: 4! =1 = 72 s 1800 Trên Ax l y m khác A, Ay l y m khác A 12 Bài 3: Cho xAy m nói (k c m A), hai m nƠo c ng đ c n i v i b i m t đo n th ng Có tam giác mƠ đ nh lƠ 12 m y Gi i Cách 1: Tam giác ph i đ m g m ba lo i: + Lo i 1: tam giác có m t đ nh lƠ A, đ nh th thu c Ax (có cách ch n), đ nh th thu c Ay (có cách A A1 ch n), g m có: = 30 tam giác + Lo i 2: Các tam giác có đ nh lƠ m B1, B2, B3, B4, B5 (có cách ch n), hai đ nh lƠ m A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có C B1 6.5 30 15 cách ch n) 2! G m 15 = 75 tam giác ThuVienDeThi.com B2 A2 B3 A3 B4 A4 y B5 A5 A x 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN + Lo i 3: Các tam giác có đ nh lƠ m A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đ nh lƠ m B1, B2, B3, B4, B5 g m có: C 5.4 20 60 tam giác 2! T t c có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác Cách 2: s tam giác ch n 12 m y lƠ C 12 12.11.10 1320 1320 220 3! 3.2 S b ba m th ng hang m thu c tia Ax lƠ: C S b ba m th ng hang m thu c tia Ay lƠ: C 7.6.5 210 210 35 3! 3.2 6.5.4 120 120 20 3! 3.2 S tam giác t o thƠnh: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác D BÀI T P: Bài 1: cho s : 0, 1, 2, 3, t ch s có th l p đ a) Có ch s g m c ch s c s t nhiên: y? b) Có ch s , có ch s khác nhau? c) có ch s , ch s khác nhau? d) có ch s , ch s có th gi ng nhau? Bài 2: Có s t nhiên có ch s l p b i ch s 1, 2, bi t r ng s chia h t cho Bài 3: Trên trang v có đ ng k th ng đ ng vƠ đ H i trang v có hình ch nh t 10 ThuVienDeThi.com ng k n m ngang đôi m t c t B ID 20 CHUYÊN CHUYểN NG TOÁN - LU TH A B C N C A M T NH TH C A M C TIểU: HS n m đ c công th c khai tri n lu th a b c n c a m t nh th c: (a + b)n V n d ng ki n th c vƠo bƠi t p v xác đ nh h s c a lu th a b c n c a m t nh th c, v n d ng vƠo bƠi tốn phơn tích đa th c thƠnh nhơn t B KI N TH C VÀ BÀI T P V N D NG: I Nh th c Niut n: Trong đó: C kn (a + b)n = an + C1n an - b + C2n an - b2 + …+ Cnn 1 ab n - + bn n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] 1.2.3 k II Cách xác đ nh h s c a khai tri n Niut n: Cách 1: Dùng công th c C kn Ch ng h n h s c a h ng t C 74 n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! a4b3 khai tri n c a (a + b)7 7.6.5.4 7.6.5.4 35 4! 4.3.2.1 Chú ý: a) C kn n! v i quy n!(n - k) ! c 0! = C 74 b) Ta có: C kn = C kn - nên C 74 C 37 7! 7.6.5.4.3.2.1 35 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 7.6.5 35 3! Cách 2: Dùng tam giác Patxcan nh Dòng 1(n = 1) Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) Dòng 6(n = 6) 1 1 10 15 10 20 Trong tam giác nƠy, hai c nh bên g m s 1; dòng k + đ 11 ThuVienDeThi.com 15 c thƠnh l p t dòng k 20 CHUYÊN (k 1), ch ng h n B ID NG TỐN dịng (n = 2) ta có = + 1, dịng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … V i n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 V i n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 V i n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 Cách 3: Tìm h s c a h ng t đ ng sau theo h s c a h ng t đ ng tr c: a) H s c a h ng t th nh t b ng b) Mu n có h s c a c a h ng t th k + 1, ta l y h s c a h ng t th k nhơn v i s m c a bi n h ng t th k r i chia cho k Ch ng h n: (a + b)4 = a4 + 1.4 4.3 2 4.3.2 4.3.2 ab+ ab + ab3 + b 2.3 2.3.4 Chú ý r ng: h s c a khai tri n Niut n có tính đ i x ng qua h ng t đ ng gi a, ngh a lƠ h ng t cách đ u hai h ng t đ u vƠ cu i có h s b ng (a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) n - 2 n(n - 1) n a b + …+ ab 1.2 1.2 -2 + nan - 1bn - + bn III Ví d : Ví d 1: phơn tích đa th c sau thƠnh nhơn t a) A = (x + y)5 - x5 - y5 Cách 1: khai tri n (x + y)5 r i rút g n A A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) x5 + y5 chia h t cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhơn t chung lƠ (x + y), đ t (x + y) lƠm nhơn t chung, ta tìm đ c nhơn t l i b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 y7 12 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )] = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 Ví d 2:Tìm t ng h s đa th c có đ c sau khai tri n a) (4x - 3)4 Cách 1: Theo cônh th c Niu t n ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 T ng h s : 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = b) Cách 2: Xét đ ng th c (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 T ng h s : c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Thay x = vƠo đ ng th c ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 V y: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = * Ghi chú: T ng h s khai tri n c a m t nh th c, m t đa th c b ng giá tr c a đa th c t i x = C BÀI T P: BƠi 1: Phơn tích thƠnh nhơn t a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 BƠi 2: Tìm t ng h s có đ a) (5x - 2)5 c sau khai tri n đa th c b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 13 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN CHUểN B ID - CÁC BÀI TOÁN V S NG TOÁN CHIA H T C A S NGUYểN A M C TIểU: * C ng c , kh c sơu ki n th c v bƠi toán chia h t gi a s , đa th c * HS ti p t c th c hƠnh thƠnh th o v bƠi toán ch ng minh chia h t, không chia h t, s nguyên t , s ph ng… * V n d ng thƠnh th o k n ng ch ng minh v chia h t, không chia h t… vƠo bƠi toán c th B.KI N TH C VÀ CÁC BÀI TOÁN: I D ng 1: Ch ng minh quan h chia h t Ki n th c: * ch ng minh A(n) chia h t cho m t s m ta phơn tích A(n) thƠnh nhơn t có m t nhơn t lƠm ho c b i c a m, n u m lƠ h p s ta l i phơn tích thƠnh nhơn t có đoi m t nguyên t nhau, r i ch ng minh A(n) chia h t cho s * Chú ý: + V i k s nguyên liên ti p bao gi c ng t n t i m t b i c a k + Khi ch ng minh A(n) chia h t cho m ta xét m i tr ng h p v s d chia A(n) cho m + V i m i s nguyên a, b vƠ s t nhiên n thì: +) an - bn chia h t cho a - b (a - b) +) (a + 1)n BS(a )+ +) a2n + + b2n + chia h t cho a + b +)(a - 1)2n B(a) + + (a + b)n = B(a) + bn +) (a - 1)2n + B(a) - BƠi t p: Các toán Bài 1: ch ng minh r ng a) 251 - chia h t cho b) 270 + 370 chia h t cho 13 c) 1719 + 1917 chi h t cho 18 d) 3663 - chia h t cho nh ng không chia h t cho 37 14 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN e) 24n -1 chia h t cho 15 v i n N Gi i a) 251 - = (23)17 - 23 - = b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 17 + = 18 1917 - 19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 18 d) 3663 - 36 - = 35 3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 d - e) 4n - = (24) n - 24 - = 15 Bài 2: ch ng minh r ng a) n5 - n chia h t cho 30 v i n N ; b) n4 -10n2 + chia h t cho 384 v i m i n l n Z c) 10n +18n -28 chia h t cho 27 v i n N ; Gi i: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia h t cho (n - 1).n.(n+1) lƠ tích c a ba s t nhiên liên ti p nên chia h t cho vƠ (*) M t khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) lƠ tích c a s t nhiên liên ti p nên chia h t cho 5n(n2 - 1) chia h t cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia h t cho (**) T (*) vƠ (**) suy đpcm b) t A = n4 -10n2 + = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n l nên đ t n = 2k + (k Z) A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia h t cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) lƠ tích c a s nguyên liên ti p nên A có ch a b i c a 2, 3, nên A lƠ b i c a 24 hay A chia h t cho 24 (2) 15 ThuVienDeThi.com B ID 20 CHUYÊN NG TOÁN T (1) vƠ (2) suy A chia h t cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 27 (1) + 10 n - 9n - = [( 9 - n) 27 (2) + 1) - 9n - 1] = 9 - 9n = 9( 1 n n n 1 - n 1 - n m t s có t ng ch s chia h t cho n n T (1) vƠ (2) suy đpcm Bài 3: Ch ng minh r ng v i m i s nguyên a a) a3 - a chia h t cho b) a7 - a chia h t cho Gi i a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) lƠ tích c a ba s nguyên liên ti p nên t n t i m t s lƠ b i c a nên (a - 1) a (a + 1) chia h t cho b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) N u a = 7k (k Z) a chia h t cho N u a = 7k + (k Z) a2 - = 49k2 + 14k chia h t cho N u a = 7k + (k Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia h t cho N u a = 7k + (k Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia h t cho Trong tr ng h p nƠo c ng có m t th a s chia h t cho V y: a7 - a chia h t cho Bài 4: Ch ng minh r ng A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia h t cho B = + + + + 100 Gi i Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 ch ng minh A chia h t cho B ta ch ng minh A chia h t cho 50 vƠ 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia h t cho 101 (1) 16 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TỐN L i có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) M i s h ng ngo c đ u chia h t cho 50 nên A chia h t cho 50 (2) T (1) vƠ (2) suy A chia h t cho 101 vƠ 50 nên A chi h t cho B BƠi t p v nhƠ Ch ng minh r ng: a) a5 ậ a chia h t cho b) n3 + 6n2 + 8n chia h t cho 48 v i m i n ch n c) Cho a l Ơ s nguyên t l n h n Cmr a2 ậ chia h t cho 24 d) N u a + b + c chia h t cho a3 + b3 + c3 chia h t cho e) 20092010 không chia h t cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia h t cho D ng 2: Tìm s d c a m t phép chia Bài 1: Tìm s d chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Gi i a) Lu th a c a sát v i b i c a lƠ 23 = = - Ta có : 2100 = (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - = B(9) + V y: 2100 chia cho d b) T ng t ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + V y: 2100 chia chop 25 d c)S d ng công th c Niut n: 2100 = (5 - 1)50 = (550 - 549 + … + 50.49 - 50 ) + Không k ph n h s c a khai tri n Niut n 48 s h ng đ u đƣ ch a th a s v i s m l n h n ho c b ng nên đ u chia h t cho 53 = 125, hai s h ng ti p theo: c ng chia h t cho 125 , s h ng cu i V y: 2100 = B(125) + nên chia cho 125 d 17 ThuVienDeThi.com 50.49 - 50.5 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN Bài 2: Vi t s 19951995 thƠnh t ng c a s t nhiên T ng l p ph ng chia cho d bao nhiêu? Gi i t 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an G i S a13 a 23 + a 33 + + a n = a13 a 23 + a 33 + + a n + a - a = (a1 - a1) + (a2 - a2) + …+ (an - an) + a M i d u ngo c đ u chia h t cho m i d u ngo c lƠ tích c a ba s t nhiên liên ti p Ch c n tìm s d chia a cho 1995 lƠ s l chia h t cho 3, nên a c ng lƠ s l chia h t cho 3, chia cho d Bài 3: Tìm ba ch s t n c a 2100 vi t h th p phơn gi i Tìm ch s t n lƠ tìm s d c a phép chia 2100 cho 1000 Tr c h t ta tìm s d c a phép chia 2100 cho 125 V n d ng bƠi ta có 2100 = B(125) + mà 2100 lƠ s ch n nên ch s t n c a ch có th lƠ 126, 376, 626 ho c 876 Hi n nhiên 2100 chia h t cho 2100 = 1625 chi h t ba ch s t n c a chia h t cho s 126, 376, 626 ho c 876 ch có 376 chia h t cho V y: 2100 vi t h th p phơn có ba ch s t n lƠ 376 T ng quát: N u n lƠ s ch n không chia h t cho ch s t n c a lƠ 376 Bài 4: Tìm s d phép chia s sau cho a) 2222 + 5555 b)31993 c) 19921993 + 19941995 d) 32 1930 Gi i a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 ậ 1)55 = (BS +1)22 + (BS ậ 1)55 = BS + + BS - = BS nên 2222 + 5555 chia d b) Lu th a c a sát v i b i c a lƠ 33 = BS ậ 18 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN Ta th y 1993 = BS + = 6k + 1, đó: 31993 = 6k + = 3.(33)2k = 3(BS ậ 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta th y 1995 chia h t cho 7, đó: 19921993 + 19941995 = (BS ậ 3)1993 + (BS ậ 1)1995 = BS ậ 31993 + BS ậ Theo câu b ta có 31993 = BS + nên 19921993 + 19941995 = BS ậ (BS + 3) ậ = BS ậ nên chia cho d 1930 d) 32 = 32860 = 33k + = 3.33k = 3(BS ậ 1) = BS ậ nên chia cho d BƠi t p v nhƠ Tìm s d khi: a) 21994 cho b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = + + + + 99 D ng 3: Tìm u ki n đ x y quan h chia h t Bài 1: Tìm n Z đ giá tr c a bi u th c A = n3 + 2n2 - 3n + chia h t cho giá tr c a bi u th c B = n2 - n Gi i Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + = (n + 3)(n2 - n) + A chia h t cho B ph i chia h t cho n2 - n = n(n - 1) chia h t cho n, ta có: n -1 -2 n-1 -2 -3 n(n - 1) 2 lo i V y: lo i giá tr c a bi u th c A = n3 + 2n2 - 3n + chia h t cho giá tr c a bi u th c B = n2 - n n 1; 2 Bài 2: a) Tìm n N đ n5 + chia h t cho n3 + b) Gi i bƠi toán n u n Z 19 ThuVienDeThi.com 20 CHUN B ID NG TỐN Gi i Ta có: n5 + n3 + n2(n3 + 1) - (n2 - 1) n3 + (n + 1)(n - 1) n3 + 2 (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n - n + 1) n - n - n + (Vì n + 0) a) N u n = N u n > n - < n(n - 1) + < n2 - n + nên không th x y n - n2 - n + V y giá tr c a n tìm đ c lƠ n = b) n - n2 - n + n(n - 1) n2 - n + (n2 - n + ) - n2 - n + n - n + Có hai tr ng h p x y ra: n + n2 - n + = n(n - 1) = (Tm đ bƠi) n + n2 - n + = -1 n2 - n + = (Vô nghi m) Bài 3: Tìm s nguyên n cho: a) n2 + 2n - 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 - d) n3 - n2 + 2n + n2 + Gi i a) Tách n2 + 2n - thƠnh t ng hai h ng t có m t h ng t lƠ B(11) n2 + 2n - 11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11 n 311 n = B(11) + (n - 3)(n + 5) 11 n + 11 n = B(11) - b) 2n3 + n2 + 7n + = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 2n3 + n2 + 7n + 2n - 2n - hay 2n - lƠ 2n 2n (5) 2n 2n 1=-5 n = - n = = -1 n = 1=1 1=5 n = V y: n 2; 0; 1; 2n3 + n2 + 7n + 2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 - t A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) 20 ThuVienDeThi.com ... - x - 200 1 .200 2 = x2 - x - 200 1. (200 1 + 1) = x2 - x ậ 200 12 - 200 1 = (x2 ậ 200 12) ậ (x + 200 1) = (x + 200 1)(x ậ 200 2) II THểM , B T CỐNG M T H NG T : ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN B ID NG TOÁN Thêm,... b) (x2 + x - 2 )201 0 + (x2 - x + 1 )201 1 13 ThuVienDeThi.com 20 CHUYÊN CHUểN B ID - CÁC BÀI TOÁN V S NG TOÁN CHIA H T C A S NGUYểN A M C TIểU: * C ng c , kh c sơu ki n th c v bƠi toán chia h t gi... 12 12.11.10 1 320 1 320 220 3! 3.2 S b ba m th ng hang m thu c tia Ax lƠ: C S b ba m th ng hang m thu c tia Ay lƠ: C 7.6.5 210 210 35 3! 3.2 6.5.4 120 120 20 3! 3.2 S tam