Tổng hợp 20 chuyên đề bồi dưỡng Toán 8

81 338 0
Tổng hợp 20 chuyên đề bồi dưỡng Toán 8

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai TỔNG HỢP 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP **CHUYÊN ĐỀ - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Hệ thống lại dạng to|n v{ c|c phương ph|p ph}n tích đa thức thành nhân tử * Giải số tập ph}n tích đa thức thành nhân tử * N}ng cao trình độ kỹ ph}n tích đa thức thành nhân tử B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p l{ ước hệ số tự do, q l{ ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số nguyên a-1 a+1 Để nhanh chóng loại trừ nghiệm l{ ước hệ số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta t|ch f(x) th{nh c|c nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 – x2 – =  x3  x2    x2  x    x  4  x2  x  2  x( x  2)  2( x  2) =  x    x2  x   Cách 2: x3  x2   x3   x2    x3  8   x2  4  ( x  2)( x2  x  4)  ( x  2)( x  2) =  x  2  x2  x    ( x  2)   ( x  2)( x  x  2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, 5 không nghiệm f(x), f(x) nghiệm nguyên Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x3  x2  x2  x  15x    3x3  x2    x2  x   15x  5 Ta nhận thấy x = = x2 (3x 1)  x(3x 1)  5(3x 1)  (3x 1)( x2  x  5) Vì x2  x   ( x2  x  1)   ( x 1)2   với x nên không ph}n tích thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ nên không ph}n tích Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: C|c đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x  ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – Đặt x - 1 + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] x x x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = ( x2  y  z )( x  y  z )2  ( xy  yz +zx)2 = ( x2  y  z )  2( xy  yz +zx) ( x2  y  z )  ( xy  yz +zx)2 Đặt x2  y  z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2  y  z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x4  y  z )  ( x2  y  z )2  2( x2  y  z )( x  y  z)2  ( x  y  z)4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x2 y  y z  z x2 ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4( x2 y  y z  z x2 ) + (xy + yz + zx)2 = 4 x2 y  y z  z x2  x2 y  y z  z x  8x yz  8xy z  8xyz  8xyz( x  y  z) Ví dụ 5: (a  b  c)3  4(a3  b3  c3 )  12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + C = (m + c)3 m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn  4c3  3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) – 4 = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số  1,  không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên củng nghiệm hữu tỉ Như đa thức ph}n tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a  c  6 ac  b  d  12  đồng đa thức với đa thức đ~ cho ta có:  ad  bc  14 bd  Xét bd = với b, d  Z, b  1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành a  c  6 ac  8 2c  8 c  4     a  2 a  3c  14 ac  bd  Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a   3 b  2a  7 a    = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c    b  5 c  2b   c  4 2c  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - l{ đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nahu nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – ac  12 bc  ad  10 a  c      3c  a  bd  12 b  6  d  3d  b  12  12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI TẬP: Ph}n tích c|c đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 10) 64x4 + y4 2) x3 - 9x2+ 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 + W: www.hoc247.net 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 14) x8 + x + 15) x8 + 3x4 + +10 16) 3x2 +ĐỀ 22xy 11x + 37yVỀ + 7y CHUYấN -+SƠ LƯỢC CHỈNH HỢP, 17) x4 - 8x + 63 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai **CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP A MỤC TIÊU: * Bước đầu HS hiểu chỉnh hợp, hoán vị tổ hợp * Vận dụng kiến thức vào ssó toán cụ thể thực tế * Tạo hứng thú nâng cao kỹ giải toán cho HS B KIẾN THỨC: I Chỉnh hợp: định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử tập hợp X (  k  n) theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử k Số tất chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu A n Tính số chỉnh chập k n phần tử = n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)] II Hoán vị: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập hợp X theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử Số tất hoán vị n phần tử kí hiệu Pn Tính số hoán vị n phần tử Pn = = n(n - 1)(n - 2) …2 = n! ( n! : n giai thừa) III Tổ hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập X gồm k phần tử n phần tử tập hợp X (  k  n) gọi tổ hợp chập k n phần tử k Số tất tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C n Tính số tổ hợp chập k n phần tử = : k! = C Ví dụ: Ví dụ 1: Cho chữ số: 1, 2, 3, 4, a) có số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số b) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số c)Có cách chọn ba chữ số chữ số Giải: a) số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số chỉnh hợp chập phần tử: A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 số b) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số hoán vị cua phần tử (chỉnh hợp chập phần tử): A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = = 120 số c) cách chọn ba chữ số chữ số tổ hợp chập phần tử: C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60    10 nhóm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Ví dụ 2: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Dùng chữ số này: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Lập số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại? Tính tổng số lập b) lập số chẵn có chữ số khác nhau? c) Lập số tự nhiên có chữ số, hai chữ số kề phải khác d) Lập số tự nhiên có chữ số, chữ số kh|c nhau, có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn Giải a) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số chỉnh hợp chập phần tử: A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = = 120 số Trong hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), chữ số có mặt: 120 : = 24 lần Tổng chữ số hang: (1 + + + + 5) 24 = 15 24 = 360 Tổng số lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) chữ số tận có cách chọn (là 4) bốn chữ số trước hoán vị của chữ số lại có P4 = 4! = = 24 cách chọn Tất có 24 = 48 cách chọn c) Các số phải lập có dạng abcde , : a có c|ch chọn, b có cách chọn (khác a), c có cách chọn (khác b), d có cách chọn (khác c), e có cách chọn (khác d) Tất có: = 1280 số d) Chọn chữ số chẵn, có cách chọn chọn chữ số lẻ, có cách chọn Các chữ số hoán vị, có: 4! =1 = 72 số Bài 3: Cho xAy  1800 Trên Ax lấy điểm khác A, Ay lấy điểm kh|c A 12 điểm nói (kể điểm A), hai điểm củng nối với đoạn thẳng Có tam gi|c m{ c|c đỉnh 12 điểm Giải Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: y B B4 + Loại 1: tam giác có đỉnh l{ A, đỉnh thứ thuộc B3 B2 Ax (có cách chọn), đỉnh thứ thuộc Ay (có cách chọn), B1 gồm có: = 30 tam giác A + Loại 2: C|c tam gi|c có đỉnh l{ điểm B1, B2, A1 A B3, B4, B5 (có cách chọn), hai đỉnh l{ điểm A3 A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có C6  A4 6.5 30   15 cách chọn) 2! A5 A Gồm 15 = 75 tam giác + Loại 3: C|c tam gi|c có đỉnh l{ điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: Tất có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác C  5.4 20   60 tam giác 2! 12.11.10 1320 1320    220 3! 3.2 7.6.5 210 210    35 Số ba điểm thẳng hang điểm thuộc tia Ax là: C7  3! 3.2 6.5.4 120 120    20 Số ba điểm thẳng hang điểm thuộc tia Ay là: C6  3! 3.2 Cách 2: số tam giác chọn 12 điểm C 12  Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác D BÀI TẬP: Bài 1: cho số: 0, 1, 2, 3, từ chữ số lập số tự nhiên: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 x Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Có chữ số gồm chữ số ấy? b) Có chữ số, có chữ số khác nhau? c) có chữ số, chữ số khác nhau? d) có chữ số, chữ số giống nhau? Bài 2: Có số tự nhiên có chữ số lập chữ số 1, 2, biết số chia hết cho Bài 3: Trên trang có đường kẻ thẳng đứng v{ đường kẻ nằm ngang đôi cắt Hỏi trang có hình chữ nhật W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai **CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC A MỤC TIÊU: HS nắm công thức khai triển luỹ thừa bậc n nhị thức: (a + b)n Vận dụng kiến thức vào tập x|c định hệ số luỹ thừa bậc n nhị thức, vận dụng v{o c|c b{i to|n ph}n tích đa thức thành nhân tử B KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I Nhị thức Niutơn: (a + b)n = an + an - b + an - b2 + …+ ab n - + bn Trong đó: C kn  n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] 1.2.3 k II C|ch x|c định hệ số khai triển Niutơn: Cách 1: Dùng công thức C kn  n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! Chẳng hạn hệ số hạng tử a4b3 khai triển (a + b)7 7.6.5.4 7.6.5.4   35 4! 4.3.2.1 n! 7! 7.6.5.4.3.2.1 Chú ý: a) C kn  với quy ước 0! =  C 74    35 n!(n - k) ! 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 7.6.5 b) Ta có: C kn = C kn - nên C 74  C 37   35 3! C 74  Cách 2: Dùng tam giác Patxcan Đỉnh Dòng 1(n = 1) Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) Dòng 6(n = 6) 1 1 10 10 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số 1; dòng k + thành lập từ dòng k (k  1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dòng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 Cách 3: Tìm hệ số hạng tử đứng sau theo hệ số hạng tử đứng trước: a) Hệ số hạng tử thứ b) Muốn có hệ số của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số hạng tử thứ k nhân với số mũ biến hạng tử thứ k chia cho k Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 15 20 1.4 4.3 2 4.3.2 4.3.2 a b+ ab + ab3 + b 2.3 2.3.4 Chú ý rằng: hệ số khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa hạng tử c|ch hai hạng tử đầu cuối có hệ số W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) n - 2 n(n - 1) n a b + …+ ab 1.2 1.2 -2 + nan - 1bn - + bn III Ví dụ: Ví dụ 1: ph}n tích đa thức sau thành nhân tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5 Cách 1: khai triển (x + y)5 rút gọn A A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung l{ (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm nhân tử lại b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )] = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số c|c đa thức có sau khai triển a) (4x - 3)4 Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 Tổng hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Tổng hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Thay x = v{o đẳng thức ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = * Ghi chú: Tổng hệ số khai triển nhị thức, đa thức giá trị đa thức x = C BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 Bài 2: Tìm tổng hệ số có sau khai triển đa thức a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai **CHUÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức toán chia hết số, c|c đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số phương… * Vận dụng thành thạo kỹ chứng minh chia hết, không chia hết… v{o c|c b{i to|n cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: I Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có c|c đoi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m + Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì: +) an - bn chia hết cho a - b (a - b) +) a2n + + b2n + chia hết cho a + b +) (a + 1)n BS(a )+ +)(a - 1)2n B(a) + Bài tập: + (a + b)n = B(a) + bn +) (a - 1)2n + B(a) - Các toán Bài 1: chứng minh a) 251 - chia hết cho b) 270 + 370 chia hết cho 13 c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải a) 251 - = (23)17 - 23 - = b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 17 + = 18 1917 - 19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 18 d) 3663 - 36 - = 35 3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dư - e) 4n - = (24) n - 24 - = 15 Bài 2: chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n  N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ** CHUYÊN ĐỀ 18 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A Kiến thức 1) Bổ đề hình thang: “Trong hình thang có hai đ|y không nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đ|y” Chứng minh: Gọi giao điểm AB, CD H, AC, BD G, trung điểm H AD, BC E F Nối EG, FG, ta có:  ADG  CBG (g.g) , nên : AD AG 2AE AG AE AG (1)      CB CG 2CF CG CF CG Ta lại có : EAG  FCG (SL ) (2) Từ (1) (2) suy :  AEG  CFG (c.g.c) Do đó: AGE  CGF  E , G , H thẳng hàng (3) Tương tự, ta có:  AEH  BFH  AHE  BHF  H , E , F thẳng hàng (4) A E / / D G Tõừ (3) (4) suy : H , E , G , F thẳng hàng // B 2) Chùm đường thẳng đồng quy: Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy O chúng cắt m A, B, C cắt n A’, B’, C’ // F C O m A B C AB BC AC AB A'B' AB A'B' =  = ;  A'B' B'C' A'C' BC B'C' AC A'C' * Đảo lại: C' A' B' + Nếu ba đường thẳng có hai đường thẳng cắt n nhau, định hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ba đường thẳng đồng quy c b a + Nếu hai đường thẳng bị cắt ba đường thẳng đồng quy tạo thành cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng song song với B Aùp dụng: 1) Bài 1: Cho tứ giác ABCD có M trung điểm CD, N trung điểm CB Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn Chứng minh ABCD hình bình hành Giải A D Gọi E, F giao điểm AM, AN với BD; G, H giao điểm F MN với AD, BD MN // BC (MN đường trung bình  BCD) M  Tứ giác HBFM hình thang có hai cạnh bên đòng quy E A, N trung điểm đ|y BF nên theo bổ đề hình thang B N trung điểm đ|y MH C N  MN = NH (1) Tương tự : hình thang CDEN M trung điểm GN  GM = MN (2) H W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 G Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Từ (1) (2) suy GM = MN = NH Ta có  BNH =  CNM (c.g.c)  BHN = CMN  BH // CM hay AB // CD (a) Tương tự:  GDM =  NCM (c.g.c)  DGM = CNM  GD // CN hay AD // CB (b) Từ (a) (b) suy tứ giác ABCD có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành 2) Bài 2: Cho  ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh: HM  PQ Giải A Gọi giao điểm AH BC I P N Từ C kẻ CN // PQ (N  AB), H ta chứng minh MH  CN  HM  PQ Q Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh K bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN  MK đường trung bình  BCN  MK // CN  MK // AB (1) H trực tâm  ABC nên CH  A B (2) M B I C Từ (1) (2) suy MK  CH  MK đường cao  CHK (3) Từ AH  BC  MC  HK  MI đường cao  CHK (4) Từ (3) (4) suy M trực tâm  CHK  MH  CN  MH  PQ A B 3) 3: K Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự trung điểm AD, BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K N // // M I giao điểm EM AC Chứng minh rằng: NM tia phân giác KNE Giải H D E C Gọi H giao điểm KN DC, giao điểm AC MN I IM = IN Ta có: MN // CD (MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD)  Tứ giác EMNH hình thang có hai cạnh bên EM HN đồng quy K I trung điểm MN nên C trung điểm EH Trong  ENH NC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên  ENH cân N  NC tia phân giác ENH mà NC  MN (Do NM  BC – MN // AB)  NM tia phân giác góc N  ENH Vậy NM tia phân giác KNE Bài 4: Trên cạnh BC = cm hình vuông ABCD lấy điểm E cho BE = cm Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = cm Gọi M giao điểm AE BF Tính AMC Giải A B H Gọi giao điểm CM AB H, AM DF G BH AB BH =   CF FG FG AB BE = =   CG = 2AB = 12 cm Ta lại có CG EC BH   BH = cm  BH = BE  FG = cm  Ta có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net M E D T: 098 1821 807 C F G Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  BAE =  BCH (c.g.c)  BAE = BCH mà BAE + BEA = 900 Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH  MEC + MCE = 900  AMC = 900 Bài 5: Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ đường thẳng song song với BD, cắt cạnh lại tứ giác F, G a) Có thể kết luận đường thẳng EH, AC, FG b) Gọi O giao điểm AC BD, cho biết OB = OD Chứng B minh ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy E Giải A a) Nếu EH // AC EH // AC // FG H Nếu EH AC không song song EH, AC, FG đồng quy M b) Gọi giao điểm EH, HG với AC O F Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy N A OB = OD nên theo bổ đề hình thang M trung điểm EF Tương tự: N trung điểm GH G C D Ta có O ME MF nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy = GN HN W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai **CHUYÊN ĐỀ 19 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói 2) Phương pháp a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A  k với k số + Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A  k với k số + Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B.Các tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Giải a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 –  - A = -  x = 4 9 x) + = - 5(x2 + 2.x + ) + = - 5(x + )2  5 5 5 25 max B =  x =  5 b) B = - 5(x2 + b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a < Giải b2 b b x) + c = a(x + ) + (c ) a 2a 4a b2 b Đặt c = k Do (x + )  nên: 2a 4a b b a) Nếu a > a(x + )  P  k  P = k  x = 2a 2a b b b) Nếu a < a(x + )  P  k  max P = k  x = 2a 2a Ta có: P = a(x2 + II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = (3x – 1)2 – 3x - + đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 +  A =  y =  W: www.hoc247.net x = 3x - = 3x - =    x = - 3x - = -  F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) B = x - + x - B= x-2 + x-3 =B= x-2 + 3-x  x-2 +3-x =1  B =  (x – 2)(3 – x)    x  2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x - x +  x - x - Ta có C = x - x +  x - x - = x - x +  + x - x2  x2 - x + + + x - x = C =  (x2 – x + 1)(2 + x – x2)   + x – x2   x2 – x –   (x + 1)(x – 2)   -  x  3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1) Và x   x   x    x  x    x = (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  + = Ta có từ (1)  Dấu xảy  x  (2)  Dấu xảy  x  Vậy T có giá trị nhỏ  x  III.Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36  - 36 Min A = - 36  y =  x2 – 7x + =  (x – 1)(x – 6) =  x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + x - y = x=y=1 x - = = (x – y)2 + (x – 1)2 +    c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b b2 3b 3b b b 0 + )+ = (a + )2 + 2 4 Min (C + 3) = hay C = -  a = b =  x = y = C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a 2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Đặt x + = y  C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 +   A =  y =  x = - b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2   D =  x = IV Dạng phân thức: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN -2 2  = 2 9x - 6x + (3x - 1)2  6x - - 9x 1 2 2    Vì (3x – 1)2   (3x – 1)2 +   A2 (3x - 1)  4 (3x - 1)  4 1 A = -  3x – =  x = Ví dụ : Tìm GTNN A = Phân thức có mẫu bình phương nhị thức W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 =  3  A= Đặt y = Thì 2 x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) x-1 A = – 2y + y2 = (y – 1)2 +   A =  y =  =1  x=2 x-1 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x2 - 4x + 4) (x - 2)2 =   2 x - 2x + (x - 1)2 (x - 1)2  A =  x – =  x = x b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = x  20x + 100 x x 1  Ta có B = Đặt y =  x =  10 x  20x + 100 (x + 10) y x + 10 A= 1 1 1   B = (  10 ).y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y y + )+ = - 10  y -  + y 10  20 40 40 40 400  1 Max B = =0  y=  y x = 10 40 10 10 x + y2 c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = x + 2xy + y2 (x + y)2  (x - y)  x + y2 1 (x - y) 1      A = Ta có: C =  x=y 2 x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) 2 Các phân thức có dạng khác - 4x x2 1 - 4x (4x  4x  4)  (x  1) (x - 2)     1  A = -  x = Ta có: A = x 1 x2 1 x 1 - 4x (4x  4)  (4x + 4x + 1) (2x  1)   4   max A =  x =  Ta lại có: A = 2 x 1 x 1 x 1 a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến 1) Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y =  x = – y nên A = (1 – y)2 + y2 = 2(y2 – y) + = Vậy A = 1  x= y= 2 2(y2 1 1 1  – 2.y + ) + =  y -  +  2 2  b) Cách 2: Sử dụng đk đ~ cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y =  x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2   x2 – 2xy + y2  (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x2 + y2)   x2 + y2  W: www.hoc247.net 1  A =  x=y= 2 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz Từ Cho x + y + z =  Cho (x + y + z)2 =  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta có x + y + z - xy – yz – zx = = ( x + y + z - xy – yz – zx) ( x  y)2  ( x z )2  ( y  z )2    x + y + z  xy+ yz + zx (2)  Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)  x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)  x2 + y2 + z2   A =  x = y = z = b) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)  xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)  xy+ yz + zx   max B =  x = y = z = 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x + y + z = 1 Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z  3 xyz  xyz   xyz  27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có  x  y   y  z   z  x   3  x  y   y  z   x  z    3  x  y   y  z   z  x  8   S 27 27 729 Vậy S có giá trị lớn x = y = z = 729 Dấu xảy x = y = z = 4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) x4  y  z Ta có  xy  yz  zx    x  y  z     x  y  z  (1) 2 áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x2 , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x2  y  z )2  (12  12  12 )( x  y  z )  ( x  y  z )2  3( x  y  z ) Từ (1) (2)   3( x4  y  z )  x  y  z  Vậy x4  y  z có giá trị nhỏ 3 x= y = z =  3 D Một số ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +  2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị: +) -A lớn  A nhỏ ; +) +) C lớn  C2 lớn Ví dụ: Tìm cực trị A = W: www.hoc247.net lớn  B nhỏ (với B > 0) B x4 + x + 1 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Ta có A > nên A nhỏ lớn nhất, ta có A  x + 1 2x =  x =  max A =  x =   1   A x +1 x +1 A b) Ta có (x2 – 1)2   x4 - 2x2 +   x4 +  2x2 (Dấu xẩy x2 = 1) 2x 2x Vì x4 + >  =  x2 =   1     max x +1 x +1 A  A =  x= 1 2 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN toàn tập xác định biến Ví dụ: Tìm GTLN B = y - (x + y) a) xét x + y  - Nếu x = A = - Nếu  y  A  - Nếu y = x = A = b) xét x + y  A  So sánh giá trị A, ta thấy max A =  x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2  (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262  2x + 3y  26 x y 3x  3x  = y =  x2 + y2 = x2 +   = 52  13x2 = 52.4  x =    Vậy: Ma x A = 26  x = 4; y = x = - 4; y = - Max A = 26  5) Hai số có tổng không đổi tích chúng lớn chúng Hai số có tích không đổi tổng chúng lớn chúng a)Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2  x2 – 3x – 10 =  x = x = - Khi A = 11 11 = 121  Max A = 121  x = x = - (x + 4)(x + 9) x (x + 4)(x + 9) x  13x + 36 36  x+  13 Ta có: B = x x x 36 36 36 36 Vì số x có tích x = 36 không đổi nên x + nhỏ  x =  x=6 x x x x 36  13 nhỏ A = 25  x =  A= x+ x b) Ví dụ 2: Tìm GTNN B = 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức Ví dụ: Tìm GTNN A = 11m  5n Ta thấy 11m tận 1, 5n tận Nếu 11m > 5n A tận 6, 11m < 5n A tận m = 2; n = thÌ A = 121  124 =  A = 4, chẳng hạn m = 2, n = W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ** CHUYÊN ĐỀ 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa dạng tổng  Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn; vế lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y  Z thoả mãn: 5x  xy  y  169 (1) 2   x  y   x  144  25 (1)  x  xy  y  x  144  25  169    2   x  y   x  169  2 (II) Từ (I) ta có:   x  y 2  122  x  5  x  5   ;   x  52  y   y  22    x  y 2  52  x  12  x  12  ;  2 y  19  y  29  x  12    Tương tự từ (II) ta có:   x  y 2  132 x      x   y  13    x  y 2   x  13   2  y  26 x  13     5; 2  ; 5; 22  ;  5; ;  5; 22 ; 12; 19 ; 12; 29    Vậy  x, y      12;19  ;  12; 29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13; 26 ;  13; 26     Ví dụ 2: Tìm x; y  Z thoả mãn: x2  y  x  y  (2) (2)  x2  x  y  y  32  x2  x   y  y   34   x  1   y  1  52  32   x  12  32  x  2; x  1      y  1  52  y  3; y  2      x  12  52  x  3; x  2      y  1  32  y  2; y  1  Vậy  x; y   2;3 ;  2; 2 ;  1;3 ;  1; 2 ; 3;2 ; 3; 1 ;  2;2 ;  2; 1  Ví dụ 3: Tìm x; y  Z thoả mãn: x3  y3  91 (1) (1)   x  y   x  xy  y   91.1  13.7 (Vì  x  xy  y   ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   x  y   x   x  5  ;  2 x  xy  y   91  y   y  6      x  y   x  xy  y   91.1     x  y  91  VN  2 x  xy  y      Ví dụ 4: Tìm x; y  Z thoả mãn: x2  x  y  (2) x  x  y   x  x  y    x  1   y     x  y  1 x  xy  1  2  2 x  y    x    x  y    y    2 x  y   1  x  1    2 x  y   1  y  Vậy:  x; y   0;0  ;  1;0    - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn  Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình đối xứng - Vì phương trình đối xứng nên x; y; z có vai trò bình đẳng Do đó; ta giả thiết x  y  z ; tìm điều kiện nghiệm; loại trừ dần ẩn để có phương trình đơn giản Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy nghiệm  Ta thường giả thiết  x  y  z  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm x; y; z  Z  thoả mãn: x  y  z  x y.z (1)  Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy đ}y phương trình đối xứng Giả sử  x  y  z Khi đó: (1)  x y.z  x  y  z  3z  x y  (Vì x; y; z  Z  )  x y 1; 2;3 * Nếu: x y   x  y    z  z (vô lí) * Nếu: x y   x  1; y  2; z  * Nếu: x y   x  1; y   z   y (vô lí) Vậy: x; y; z hoán vị 1;2;3  Ví dụ 2: Tìm x; y; z  Z  thoả mãn: 1    (2) x y z  Nhận xét – Tìm hướng giải: Đ}y phương trình đối xứng Giả sử  x  y  z Khi đó: x 1 3 y z x 1 Với: x       y   y  1; 2 y z y .Nếu: y    (vô lí) z .Nếu: y   z  Vậy: x; y; z hoán vị 1;2;2  (2)       x   x  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Các ví dụ minh hoạ: x2  x nhận giá trị nguyên x2  x  x2  x x2  x  1 Ta có: A  Khi đó:   1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 Để A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x  x 1   x  x  1   x  x  1 U1  1;1 Ví dụ 1: Tìm x; y  Z để: A  x   x  1 Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: x  x  1 Ví dụ 2: Tìm x; y  Z thoả mãn: y x  x  y   x2  y  x y (2)  y  x  1  x  x  1  y  x  1   * Vì :  x  x  1  0; x   x  x     Với: x  1; *    x  ngiệm phương trình Nên: y2  x  y   ** x 1 Phương trình có nghiệm nguyên   x 1 x    x  1 U (1)  1; 1   x  Ví dụ 3: Tìm x; y  Z  thoả mãn: 3x    y  1 (3) Ta có: (3)  3x   y  1   y  y   3x số lẻ  y;  y   hai số lẻ liên tiếp   y; y  2   y; y  luỹ thừa 3, nên: m   y  *  m  n  x   3m   3n  m  n  n   y   **  Với: m  0;  n   y  1; x   y   y;  y     ( vô lí)   y    Với: m  1;  n  Từ * ; **   x  y 1 Phương trình có nghiệm nguyên:   - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức  Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình mà hai vế đa thức có tính biến thiên khác - Áp dụng bất đẳng thức thường gặp: *Bất đẳng thức Cô – si: Cho n số không âm: a1; a2 ; a3 ; ; an Khi đó: a1  a2  a3   an n  a1.a2 a3 .an Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an n * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho 2n số thực: a1; a2 ; a3 ; ; an b1; b2 ; b3 ; ; bn Khi đó:  a1.b1  a2 b2  a3.b3   an bn  W: www.hoc247.net   a1  a2  a3   an b1  b2  b3   bn  F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Dấu “=” xảy   kbi  i  1; n  *Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối:  a  b  a.b  a b   a  b  a.b  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm x; y  Z  thoả: x y y.z z.x    (1) z x y Áp dụng BĐT Cô – si Ta có:  x y y.z z.x x y y.z z.x    3  3 x y.z z x y z x y  x y.z   x y.z   x  y  z  Vậy nghiệm phương trình là: x  y  z  Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  1   x  y  1 (2) (Toán Tuổi thơ 2) Theo Bunhiacôpxki,ta có:  x  y  1  12  12  12  x  y  1   x  y  1 x y    x  y 1 1 Vậy nghiệm phương trình là: x  y  Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: x   x  10  x  101  x  990  x  1000  2004 (3) Dấu “=” xảy   Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta nhận thấy: 2104   10  101  990  1000 101  2003 a  a Ta có:(3)   x  10  x  x  101  x  990  x  1000  2004 3 x  3 x   10  x  10  x  Mà a  a   x  101  x  101  2004  x  101  2003  x  101    x  990  x  990  x  1000  x  1000  Do đó: 1   x  101    x  101  1;0;1  x  102; 101; 100  Với x  101  2004  2003 (vô lí) Vậy nghiệm phương trình là: x 102; 100 1) Tìm số nguyên x,y,z thoả mãn: x2  y  z  xy  y  z  Vì x,y,z số nguyên nên x2  y  z  xy  y  z    y2   3y2  x  y  z  xy  y  z     x  xy      y    z  2z        2 2 y y 2  y   y    x      1   z  1  (*) Mà  x      1   z  1  2 2  2   2  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net  T: 098 1821 807 x, y  R Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai y  x    x 1  2 y y   y    x      1   z  1        y  2  2  2   z 1  z 1     x 1  Các số x,y,z phải tìm  y   z 1  PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn Phương pháp: Phương pháp sử dụng với phương trình mà ta nhẩm (phát dể dàng) vài giá trị nghiệm - Trên sở giá trị nghiệm đ~ biết Áp dụng tính chất chia hết; số dư; số phương; chữ số tận … ta chứng tỏ với giá trị khác phương trình vô nghiệm Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm x; y  Z  thoả mãn: x6  3x3   y  Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy với x  0; y  1 phương trình nghiệm Ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm với x  + Với x  0; y  1 phương trình nghiệm + Với x  Khi đó: x6  x3   x6  3x3   x6  x3    x3  1  y   x3   (*) 2 Vì  x3  1 ;  x3   hai số nguyên liên tiếp nên giá trị y thoả (*) Vậy x  0; y  1 nghiệm phương trình Ví dụ 2: Tìm x; y  Z  thoả: x2  x   32 y 1 (2) Gọi b chữ số tận x ( Với b 0;1; 2; ;9 Khi đó:  x  x  1 có chữ số tận là: 1, (*) y1 Mặt khác: luỹ thừa bậc lẻ nên có tận (**) Từ (*) (**) suy phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Tìm x; y  Z  thoả mãn: x2  xy  13 y  100 (3)   y 5 2   25  y   n  n  (3)   x  3   25  y     Do đó: y 5; 4; 3;0;3;4;5  x 3;9;11;13 Phương trình có nghiệm nguyên:  x; y   5;3 ;  4;9  ;  3;11 ;  0;13 ; 3;11 ;  4;9  ; 5;3 PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang) Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác - Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) số tự do, để có phương trình đơn giản - Sử dụng linh hoạt phương pháp để giải phương trình Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x3  y3  z  (1)  Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy x3  y3  z    x3  y3  z  mà  3 y3  z  nên x3 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ta có: (1)   x3  y3  z   x3  x  x  3x1 Khi đó: (1)   27 x13  y3  z   9 x13  y3  3z   y3  y  y  y1   x13  27 y13  3z   z 3  z  y  3z1 * Tiếp tục biểu diễn gọi x0 ; y0 ; z0 nghiệm (1) U  x ; y ; z  0  x0 ; y0 ; z0  Thực thử chọn ta được: x0  y0  z0  Vậy nghiệm phương trình là: x0  y0  z0  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 0 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ c|c trường Đại học c|c trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c|c Trường ĐH v{ THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương t|c dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v{ c|c trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư To|n giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Gi|o viên To|n v{ Giảng viên ĐH Day kèm Toán c}p độ từ Tiểu học đến ĐH hay c|c chương trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đ|nh gi| lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ... sau cho 2; cho 5: a) 38; 1415 + 1514 b) 200 9201 0 – 200 82 00 9 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0 98 182 1 80 7 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai **CHUYÊN ĐỀ – ĐỒNG DƯ A Định nghĩa:... + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 200 1 .200 2 = x2 - x - 200 1. (200 1 + 1) = x2 - x – 200 12 - 200 1 = (x2 – 200 12) – (x + 200 1) = (x + 200 1)(x – 200 2) II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm,... 15) x8 + 3x4 + +10 16) 3x2 +ĐỀ 22xy 11x + 37yVỀ + 7y CHUYấN -+SƠ LƯỢC CHỈNH HỢP, 17) x4 - 8x + 63 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0 98 182 1 80 7 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai **CHUYÊN ĐỀ

Ngày đăng: 14/06/2017, 16:52

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan