CÂU 5 ROIRACHSG9HP318 BV 01LT Trong tuần mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong ba ngày liên tiếp Vào thứ hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày[.]
CÂU ROIRACHSG9HP318 BV 01LT Trong tuần ngày Nam chơi môn thể thao Nam chạy ba ngày tuần không chạy ba ngày liên tiếp Vào thứ hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá Nam cịn bơi chơi cầu lơng, khơng Nam chơi cầu lông sau ngày chạy bơi Hỏi ngày tuần Nam bơi Câu Đáp án Điểm Vào ngày thứ Hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá 0,25 - Nếu ngày sau chơi bóng đá ngày chơi bóng đá thứ - Nếu ngày sau chơi bóng đá ngày chơi bóng đá thứ Ba - Đề cho hai ngày sau chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá thứ Tư 0,25 Suy ngày chạy là: 1) Thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy Khi ngày chơi cầu lơng thứ Sáu Chủ Nhật(khơng xảy sau ngày chạy) 2) Thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy Khi ngày chơi cầu lơng thứ Sáu (khơng xảy sau ngày chạy thứ Năm) thứ (không xảy sau ngày bơi thứ Sáu) 3) Thứ Ba, thứ Sáu, Chủ Nhật Khi ngày chơi cầu lơng thứ Năm ngày bơi Thứ Bảy(thỏa mã điều kiện đề bài) 0,25 0,25 02LT Cho x số nguyên dương Biết ba mệnh đề A, B, C sau có mệnh đề sai Tìm x? A x + 51 số phương B x có chữ số tận C x – 38 số phương Nội dung cần đạt Giả sử mệnh đề B x + 51 có chữ số tận (vơ lí) nên A sai Khi x – 38 có chữ số tận (vơ lí) mệnh đề C sai ( Do số phương khơng có chữ số tận 3) Điểm 0,25 Vậy mệnh đề B phải sai nên mệnh đề A C (vì có mệnh đề sai) 0,25 (1,0đ ) Từ đó: ( với ) suy ra: n2-m2 = 89 0,25 Vậy số cần tìm x = 45 - 51 = 1974 04LT Một gia đình lớn gồm bốn hệ, có bảy cặp ơng nội – cháu nội Biết rằng, gia đình người có nhiều hai Hỏi gia đình có người nam? Tại sao? DAPAN Xét người cháu nội: +/ Nếu người hệ hệ trước người phải có nam (vì người nam cha nhiều hai người con) hệ trước phải có hai nam (cha người nam nói trên) Như số người nam trường hợp khơng +/ Nếu người thuộc vào hai hệ (thế hệ hệ 4) số người nam khơng (tự suy luận tương tự) 0,25 0,25 0,25 Vậy mơ hình gia đình hệ thỏa mãn yêu cầu đề có người nam (nút tròn trai, nút vuông gái) 0,25 07LT Khi điều tra kết học tập mơn Tốn, Lý, Hóa lớp có 45 học sinh, người ta nhận thấy: có 19 học sinh khơng khơng giỏi mơn nào, 18 học sinh giỏi Toán, 17 học sinh học sinh giỏi Lý, 13 học sinh học sinh giỏi Hóa, 10 học sinh học sinh giỏi hai mơn Tốn Lý, học sinh học sinh giỏi hai mơn Lý Hóa, 10 học sinh học sinh giỏi hai mơn Tốn Hóa Hỏi có học sinh giỏi ba mơn? Bài Điểm Đáp án Kí hiệu T tập hợp học sinh cuả lớp A, B, C tập hợp học sinh giỏi Tốn, Lý, Hóa lớp 19 học sinh khơng giỏi mơn 0,25 Nên số học sinh giỏi mơn là: 1đ A B C = 45-19 = 26 Suy số học sinh giỏi ba môn là: 0,25 0,25 Vậy có học sinh giỏi ba mơn 0,25 08LT Một tờ giấy được xé thành mảnh, một mảnh nhỏ này lại xé thành mảnh nhỏ nữa, và một số mảnh nhỏ này lại được xé thành mảnh, … Vậy cứ tiếp tục xé vậy thì có nào ta được 1995 mảnh giấy hay không? Được 2011 mảnh giấy không? Nội dung cần đạt Điểm Ta thấy cứ sau mỗi lần xé thì số giấy lại tăng lên mảnh, ban đầu đã có mảnh, ta suy số giấy sau mỗi lần xé có dạng 5k + Đây là đại lượng bất biến của bài toán 0,25 Ta thầy không thể có dạng 1995 mảnh 0,25 nên xé bài thì không thể được Còn 2011 có dạng 2k + nên trường hợp náy có thể thực hiện được Khi đó trường hợp này có thể thực hiện số lần là thể thực hiện sau 402 lần 0,25 dư nên suy có 0,25 09LT Cho bảng ô vuông 3x3 (3 hàng cột) Người ta điền tất số từ đến vào ô bảng (mỗi số điền vào ô) cho tổng số bảng có kích thước x số T Tìm giá trị lớn T Câu 10 (1,0 điểm) Tổng tất số ghi bảng + + + + = 45 Gọi x số ghi ô (2 ; 2) (ô trung tâm bảng), cịn lại ghi số a, b, c, d, e, f, g, h (Hình 1) a b c h x d g f e 0,25 Hình Cộng tổng tất số ghi bảng kích thước x ta được: 4T = 4x + (a + c + e + g) + 2(b + d + f + h) 0,25 = 45 + 2x + (x + b + d + f + h) Do x ≤ 9; x + b + d + f + h ≤ + + + + = 35 0,25 nên 4T ≤ 45 + 2.9 + 35 = 98 T ≤ 24 (do T N) Trên hình phương án điền số cho T = 24 0,25 Hình 10LT Trong mặt phẳng cho 2000 điểm không thẳng hàng Chứng minh tồn đường tròn qua số 2000 điểm cho mà đường trịn khơng chứa điểm số 1997 điểm lại Bài Nội dung Điểm - Xét điểm A hình trịn tâm A bán kính Nếu tất 24 điểm cịn lại nằm (A; 1) hiển nhiên tốn chứng minh 0,25 - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (A; 1) Ta có AB > 0,25 Xét hình trịn tâm B bán kính Giả sử C điểm khác A B Ta chứng minh C phải thuộc hai hình trịn (1 điểm) (A; 1) (B; 1) Thật vậy, giả sử C không thuộc (A;1) (B;1) => AC >1 BC>1 Theo ta có AB > Như có ba điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách chúng nhỏ Điều trái với giả thiết, chứng tỏ C thuộc vào (A; 1) C thuộc vào (B; 1) Vậy 25 điểm thuộc vào (A; 1) (B; 1) Theo ngun lí Dỉrichlet phải có hình trịn chứa khơng 13 điểm (đpcm) 0,25 0,25 11LT Một đoàn học sinh học tập trải nghiệm ô tô Nếu ô tô chở 22 người cịn thừa người Nếu bớt tơ phân phối tất học sinh lên tơ cịn lại Hỏi có học sinh trải nghiệm có tơ? Biết tô chở không 30 người + Gọi số ô tô lúc đầu ( x nguyên x 2) 0,25 Số học sinh trải nghiệm là: 22x + (1,0điểm) + Theo giả thiết: Nếu số xe số học sinh phân phối cho tất xe, xe chở số học sinh y (y số nguyên < y 30) + Do ta có phương trình: + Vì x y số nguyên dương, nên Mà 23 nguyên tố, nên: phải ước số 23 0,25 0,25 Nếu (trái giả thiết) Nếu < 30 (thỏa điều kiện tốn) + Vậy số tơ là: 24 tổng số học sinh trải nghiệm là: học sinh 0,25 12LT Trong hình vng mà độ dài cạnh có cho trước 33 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Người ta vẽ đường trịn có bán kính , có tâm điểm cho Hỏi có hay khơng điểm số điểm nói cho chúng thuộc vào phần chung hình trịn có tâm điểm Bài Đáp án (1.điểm) ( 1.0 điểm) Điểm M N Q P - Chia hình vng cho thành 16 hình vng có cạnh đơn vị, đường thẳng song song với cạnh hình vng cho, ta thu 16 hình vng đơn vị -Theo nguyên tắc Di-rich-lê phương pháp phản chứng suy tồn điểm số 33 điểm cho nằm nằm biên hình vng đơn vị -Giả sử hình vng MNPQ với điểm A, B, C biên Ta có:MP = MQ QP = -Với điểm X thuộc hình vng MNPQ ta ln có AX MP Do AX X thuộc hình trịn (A, vng MNPQ -Tương tự ta có (B; ) Suy (A; ) phủ toàn hình 0,25 ) (C; ) phủ tồn hình vng MNPQ ), (B; Phần chung hình trịn (A; ) (C; ) chứa hình vng MNPQ A; B; C nằm phần chung hình trịn (A; (B; ) (C; 0,25 ), 0,25 0,25 2) -Kết luận: Tồn trog số điểm cho thuộc vào phần chung hình trịn có tâm điểm đó./ 14LT Giả sử người gửi 10 000 đơla vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Sau 30 năm có tiền tài khoản Phần Nội dung Điểm Gọi tổng số tiền có tài khoản sau n năm số tiền có tài khoản sau n năm số tiền có n – năm cộng lãi suất năm thứ n 0,25 Nên ta thấy dãy 0,25 thỏa mãn hệ thức truy hồi sau = Với điều kiện ban đầu Từ suy 0,25 = 10 000 đôla = ( 1,11)n.10 000 Thay n = 30 ta 0,25 228 922, 97 đôla 15LT Có số nguyên có chữ số cho tổng chữ số số nguyên 11 1,0 điểm Ta xác định chữ số hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị : (1) Đặt (2) Số nghiệm (1) số nghiệm (2) tức trừ nghiệm sau : (11;0;0) ; (10;1;0) ;(10;0;1); (1;10;0); (1;0;10) Vậy có tất : 0,25 0,25 0,25 0,25 16LT Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh tồn số có dạng 111 11 mà chia hết cho p Xét dãy số 1,11,111, , Ta chứng minh dãy phải có số chia hết cho p Giả sử kết luận không đúng, tức số dãylại chia hết cho p 0.25 Cho tương ứng số dư phép chia cho p Tập hợp số dư thuộc tập hợp {1, 2, 3, , p – 1} (Do thuộc tập hợp này) Ta lại có p số dãy số Vì theo ngun lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho p Giả sử số 111 11 (m chữ số 1) số 111 11 (n chữ số 1) với Từ ta có 0.25 (1) Do p s ố nguyên tố lớn nên (p; 10) = 1, Vì từ (1) ta suy (2) 0,25 số thuộc dãy nên từ (2) suy mâu thuẫn với giả thiết Vậy giả sử phản chứng sai Ta suy điều phải chứng minh 17LT Cho tam giácnhọnABCcó điểmbấtkỳ.Chứng minh 0,25 cm Bêntrong tam giácnàycho 13 rằngtrong 13 điểmấylntìmđược điểmmàkhoảngcáchgiữachúngkhơnglớnhơn 1cm DAPAN Điểm Nội dung Gọi (O) làđườngtrònngoạitiếptam giácABC vàM, N, PlầnlượtlàtrungđiểmcủaBC, CA, AB Do tam giácABCnhọnnênOnằmtrong tam giácABCVì nên , suyra 0,25 đ VìOnằmtrong tam giácABCvà Suyra tam giácABCđược chia thành tứgiácANOP, BMOP, 0,25 đ CMONnộitiếpcácđườngtrịncóđườngkính (đườngkínhlầnlượtlàOA, OB, OC) Theo ngunlýĐirichlê, tồntạiítnhấtmộttrong tứgiácnàychứtnhất điểmtrong 13 điểmđãcho, giảsửđólàtứgiácANOP GọiE, F, G, HlầnlượtlàtrungđiểmcủaNA, AP, PO, ONvàI làtrungđiểmOA, suyra KhiđótứgiácANOPđược chia thành tứgiácAEIF, FIGP, IGOH, IHNE nộitiếpcácđườngtrịncóđườngkính Theo ngunlýĐirichlê, tồntạiítnhấtmộttrong tứgiácnàychứtnhất điểmtrong điểmđãcho, giảsửđólàtứgiácAEIFchứa điểmX, Ytrongsố 13 điểmđãcho VìX, YnằmtrongtứgiácAEIFnênX, Ynằmtrongđườngtrịnngoạitiếptứgiácnày, 0,25 đ 0,25 đ đóXYkhơnglớnhơnđườngkínhđườngtrịnnày, nghĩalàkhoảngcáchgiữaX, Ykhơngvượtq 18LT Cho 2002 số tự nhiên khác cho số khác chúng lập thành tỷ lệ thức Chứng minh số cho ln tồn 501 số Giả sử số cho có nhiều số khác nhau, giả sử a1, a2, a3, a4, a5 số khác a1