Đề thi chọn HSG

b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN 8 (Đề gồm 6 câu in trên 02 trang Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm câu in 02 trang Thời gian làm 150 phút) Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013x  2012 x  2013 b) Tìm cặp số nguyên  x; y  cho: 3x  y  xy  x  y  40  c) Cho f ( x)  ax  bx  c với a, b, c số thỏa mãn 13a  b  2c  Chứng tỏ f  2  f  3  Câu (4,0 điểm)  x4  x2  4x  x  x   x2    Cho biểu thức A   (với x  1 )  x2  x  x   x3   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Giải phương trình 4     x  3x  x  12 x  x  x  x  3 Câu (3,5 điểm) a) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – – đẹp Học sinh khối lớp nhận làm vệ sinh đoạn đường em chăm Lớp 8A nhận 10 mét 10% phần lại, lớp 8B nhận 20 mét 10% phần lại, lớp 8C nhận 30 mét 10% phần lại … chia lớp cuối vừa đủ phần đường lớp dài Hỏi khối có lớp đoạn đường lớp nhận dài mét ? b) Cho tam giác ABC có a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1    2    p a p b p c a b c Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC  EF c) Chứng minh rằng: 1   2 AD AM AN Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh AH2  HB.HC b) Chứng minh AH3  BD.CE.BC c) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Câu (1,0 điểm) Cho A  (p 1)(p 1) Chứng minh p số nguyên tố lớn A chia hết cho 24 - HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh: Họ tên, chữ kí: Giám thị 1: Giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Nội dung Câu Điểm a) (1,5đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013x  2012 x  2013 x  2013x  2012 x  2013 0,5   x  x   2013x  2013x  2013  x  x  1  x  x  1  2013. x  x  1 0,5   x  x  1 x  x  2013 4,0đ 0,5 b) (1,5đ) Tìm cặp số nguyên  x; y  cho: 3x  y  xy  x  y  40  Ta có: 3x  y  xy  x  y  40   x   x  y  xy  x  y  1  41 0,5   x  y  1   x   41 2   3x  y  1 y  x  1  41 Đặt: 3x  y   a y  x   b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: 41 1 41 b 1 41 41 a b 10 10 10 10 a  3b  4 12 x y 0,25 0,5 32 30 10 Vậy cặp số nguyên  x; y  cần tìm là:  10; 12 ; 10; 32 ;  10;30 ; 10;10  c) (1,0đ) Ta có 0,25 f  2   4a  2b  c; f  3  9a  3b  c f  2   f  3  13a  b  2c  nên: 0,25 Hoặc: f  2   f  3   f  2  f  3  (1) 0,25 Hoặc : f  2  f  3 hai số đối  f  2  f  3  (2) 0,25 Từ 1   f  2  f  3  0,25 (2,5 đ)  x4  x2  4x  x  x   x2     x2  x  x   x3   Cho biểu thức A   (với x  1 ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên a) (1.5 đ) Với x  1 ta có:  x4  x2  4x  x  x   x2  A    x2  x  x   x3   x4  x2  4x   x2  2x   x2  2x  x2  A  x2  x 1 x4  x2  x2  x4  x2  A   x2  x 1 x3  0,5 0,25 A ( x  x)  ( x  x  1) x( x  1)  ( x  x  1)  x3  x3  0,5 A ( x  x  1)( x  x  1) x  x   ( x  1)( x  x  1) x 1 0,25 b) (1,0 đ) Với x  1 ta có: A x2  x  x2  x 1    x x 1 x 1 x 1 x 1 (5,0đ) Với x  Z để A  Z  Z  x  1 Ư(1) x 1  x  11;1  x 0;2 Đối chiếu với đk x  1 ta có x 0;2 A  Z (1,5 điểm) Giải phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 4     (1) x  3x  x  12 x  x  x  x  3 Ta có: x3  3x  x  12  (2 x  3x )  (8 x  12)  x (2 x  3)  4(2 x  3)  (2 x  3)( x  2)( x  2) x   ( x  2)( x  2) x  x   (2 x  x)  (4 x  6)  (2 x  3)( x  2) ĐKXĐ: x  2; 2;  0,5 3   2 4 + =0 (2x+3)(x+2)(x-2) (x+2)(x-2) (2x+3)(x+2) 2x+3 Ta có (1)   (2x  3)  4(x  2)  (x  2)(x  2) 0 (2x  3)(x  2)(x  2) 0,25   2x   4x   x    x  6x   0,25  ( x 1)(x  5)   x  x  0,25 Đối chiếu với ĐKXĐ ta có tập nghiệm PT S  1;5 0,25 a) (2đ) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – – đẹp Học sinh khối lớp nhận làm vệ sinh đoạn đường em chăm Lớp 8A nhận 10 mét 10% phần lại, lớp 8B nhận 20 mét 10% phần lại, lớp 8C nhận 30 mét 10% phần lại … chia lớp cuối vừa đủ phần đường lớp dài Hỏi khối có lớp đoạn đường lớp nhận dài mét? 4,0đ Gọi x(m) chiều dài đoạn đường khối làm vệ sinh ( x  ) 0,25 Lớp 8A nhận đoạn đường dài : 10  0,1 x  10   0,1x  0,25 Sau lớp 8A nhận đoạn đường lại: x   0,1x    0,9 x  0,25 Lớp 8B nhận đoạn đường dài : 20  0,1. 0,9 x   20   0,09 x  17,1 0,25 Ta có phương trình : 0,1x   0,09 x  17,1 Giải : x  810 (thích hợp) 0,75 0,25 Vậy khối có lớp Mỗi lớp nhận làm đoạn đường dài 90m b (2,0) Cho tam giác ABC có a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1    2    p a p b p c a b c + Áp dụng bất đẳng thức m x  n y mn    với x, y >0 xy Ta có với p nửa chu vi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên  1 (1  1) p  a  p  b  p  a  p  b  c   1 (1  1)    p-a > 0; p – b > 0; p – c >   p  a p  c p  a  p  c b  1 (1  1)     p  b p  c p  b  p  c a 1,0 Cộng vế ba bất đẳng thức ta  2  pa  pb   1 1 1 1 1  4        2     pc p a p b p c a b c a b c Dấu xảy p  a  p  b  p  c  a  b  c  ABC tam giác 0,5 0,5 Vẽ hình E A B H F D 0,5 M C N 4,0 đ a) (1,5) Ta có: DAM  ABF (cùng phụ với BAH ) AB  AD( gt ); BAF  ADM  900 (ABCD hình vng)  ADM  BAF  g.c.g   DM  AF , mà AF  AE ( gt ) nên AE  DM 0,25 0,25 0,25 0,25 Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE  900 ( gt ) 0,25 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0,25 b) (1đ) Chứng minh ABH  FAH ( g.g ) BC BH AB BH   hay  AB  BC; AE  AF  AE AH AF AH 0,25 Lại có: HAB  HBC (cùng phụ với ABH )  CBH 0,25 AEH (c.g.c) 2 S SCBH  BC   BC   CBH   ,  4( gt )  mà      BC   AE  S EAH  AE  S EAH  AE  0,25  BC  AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD 0,25 Do đó: BD  2EF hay AC  EF (dfcm) c) (1đ) Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có:  0,25 AD AM AD CN    CN MN AM MN Lại có: MC / / AB  gt  Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: MN MC AD MC AB MC     hay AN AN MN AB AN MN 0,25 CN  CM MN  AD   AD   CN   CM    1         0,25 MN MN  AM   AN   MN   MN  ( Pytago) 2 2 2 1  AD   AD        1 2 AM AN AD  AM   AN  0,25 Vẽ hình A E 0,5 D B C H a) (1,0 điểm) Chứng minh AH2  HB.HC Chứng minh BHA AHC đồng dạng (gg) 0,5 AH HB   AH2  HB.HC HC AH 0,5  b) (1,0 điểm) Chứng minh: AH3  BD.CE.BC Theo CM ý a ta có AH2  HB.HC  AH4  HB2 HC2 Chứng minh BDH BHA đồng dạng  (1) 0,25 BH BD   BH2  BD.AB (2) AB BH 0,25 Chứng minh tương tự ta có HC2  CE.AC (3) 3,5 đ Thay (2) (3) vào (1) ta có AH  BD.CE.AB.AC Mà AB.AC  BC.AH ( = SABC ) 0,25  AH  BD.CE.BC.AH  AH  BD.CE.BC 0,25 c) (1,0 điểm)Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Tứ giác ADHE hình chữ nhật ( ADH  AEH  DAE  900 ) nên S SADHE  2SDHA mà S ABC  2S ADHE (gt) Do SABC  4SDHA  DHA  SABC 0,25  AH  SDHA  Chứng minh DHA đồng dạng ABC (g.g)      BC  SABC (1) 0,25 Gọi M trung điểm BC, ABC vuông A nên AM 1  AM  AM  BC      BC  BC  (2) 0,25 2  AH   AM  Từ (1) (2)       AH  AM  H  M  ABC vuông cân  BC   BC  0,25 A Vậy, S ABC  2S ADHE tam giác ABC vuông cân A Cho A  (p 1)(p 1) Chứng minh p số nguyên tố lớn A chia hết cho 24 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ Do P = 2k +1 ( k  Z, k  ) suy A  (p  1)(p  1)  2k(2k  2)  4k(k  1) 1,0đ Do k k+1 hai số nguyên liên tiếp nên k(k  1)  A Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Do p  3m  p  3m  Nếu p  3m   (p  1)  A Nếu p  3m   (p  1)  A Do A ln chia hết cho Vì A A mà UCLN(8;3)   A (8.3) Vậy A 24  Chú ý: + Ở ý, học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa + HS phép sử dụng số BDT chứng minh theo HD SGD 0,25 0,25 0,25 0,25 ... kí: Giám thị 1: Giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Nội dung Câu Điểm