b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN 8 (Đề gồm 6 câu in trên 02 trang Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm câu in 02 trang Thời gian làm 150 phút) Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012 x 2013 b) Tìm cặp số nguyên x; y cho: 3x y xy x y 40 c) Cho f ( x) ax bx c với a, b, c số thỏa mãn 13a b 2c Chứng tỏ f 2 f 3 Câu (4,0 điểm) x4 x2 4x x x x2 Cho biểu thức A (với x 1 ) x2 x x x3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Giải phương trình 4 x 3x x 12 x x x x 3 Câu (3,5 điểm) a) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – – đẹp Học sinh khối lớp nhận làm vệ sinh đoạn đường em chăm Lớp 8A nhận 10 mét 10% phần lại, lớp 8B nhận 20 mét 10% phần lại, lớp 8C nhận 30 mét 10% phần lại … chia lớp cuối vừa đủ phần đường lớp dài Hỏi khối có lớp đoạn đường lớp nhận dài mét ? b) Cho tam giác ABC có a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 p a p b p c a b c Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC EF c) Chứng minh rằng: 1 2 AD AM AN Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh AH2 HB.HC b) Chứng minh AH3 BD.CE.BC c) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Câu (1,0 điểm) Cho A (p 1)(p 1) Chứng minh p số nguyên tố lớn A chia hết cho 24 - HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh: Họ tên, chữ kí: Giám thị 1: Giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Nội dung Câu Điểm a) (1,5đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012 x 2013 x 2013x 2012 x 2013 0,5 x x 2013x 2013x 2013 x x 1 x x 1 2013. x x 1 0,5 x x 1 x x 2013 4,0đ 0,5 b) (1,5đ) Tìm cặp số nguyên x; y cho: 3x y xy x y 40 Ta có: 3x y xy x y 40 x x y xy x y 1 41 0,5 x y 1 x 41 2 3x y 1 y x 1 41 Đặt: 3x y a y x b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: 41 1 41 b 1 41 41 a b 10 10 10 10 a 3b 4 12 x y 0,25 0,5 32 30 10 Vậy cặp số nguyên x; y cần tìm là: 10; 12 ; 10; 32 ; 10;30 ; 10;10 c) (1,0đ) Ta có 0,25 f 2 4a 2b c; f 3 9a 3b c f 2 f 3 13a b 2c nên: 0,25 Hoặc: f 2 f 3 f 2 f 3 (1) 0,25 Hoặc : f 2 f 3 hai số đối f 2 f 3 (2) 0,25 Từ 1 f 2 f 3 0,25 (2,5 đ) x4 x2 4x x x x2 x2 x x x3 Cho biểu thức A (với x 1 ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên a) (1.5 đ) Với x 1 ta có: x4 x2 4x x x x2 A x2 x x x3 x4 x2 4x x2 2x x2 2x x2 A x2 x 1 x4 x2 x2 x4 x2 A x2 x 1 x3 0,5 0,25 A ( x x) ( x x 1) x( x 1) ( x x 1) x3 x3 0,5 A ( x x 1)( x x 1) x x ( x 1)( x x 1) x 1 0,25 b) (1,0 đ) Với x 1 ta có: A x2 x x2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 (5,0đ) Với x Z để A Z Z x 1 Ư(1) x 1 x 11;1 x 0;2 Đối chiếu với đk x 1 ta có x 0;2 A Z (1,5 điểm) Giải phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 4 (1) x 3x x 12 x x x x 3 Ta có: x3 3x x 12 (2 x 3x ) (8 x 12) x (2 x 3) 4(2 x 3) (2 x 3)( x 2)( x 2) x ( x 2)( x 2) x x (2 x x) (4 x 6) (2 x 3)( x 2) ĐKXĐ: x 2; 2; 0,5 3 2 4 + =0 (2x+3)(x+2)(x-2) (x+2)(x-2) (2x+3)(x+2) 2x+3 Ta có (1) (2x 3) 4(x 2) (x 2)(x 2) 0 (2x 3)(x 2)(x 2) 0,25 2x 4x x x 6x 0,25 ( x 1)(x 5) x x 0,25 Đối chiếu với ĐKXĐ ta có tập nghiệm PT S 1;5 0,25 a) (2đ) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – – đẹp Học sinh khối lớp nhận làm vệ sinh đoạn đường em chăm Lớp 8A nhận 10 mét 10% phần lại, lớp 8B nhận 20 mét 10% phần lại, lớp 8C nhận 30 mét 10% phần lại … chia lớp cuối vừa đủ phần đường lớp dài Hỏi khối có lớp đoạn đường lớp nhận dài mét? 4,0đ Gọi x(m) chiều dài đoạn đường khối làm vệ sinh ( x ) 0,25 Lớp 8A nhận đoạn đường dài : 10 0,1 x 10 0,1x 0,25 Sau lớp 8A nhận đoạn đường lại: x 0,1x 0,9 x 0,25 Lớp 8B nhận đoạn đường dài : 20 0,1. 0,9 x 20 0,09 x 17,1 0,25 Ta có phương trình : 0,1x 0,09 x 17,1 Giải : x 810 (thích hợp) 0,75 0,25 Vậy khối có lớp Mỗi lớp nhận làm đoạn đường dài 90m b (2,0) Cho tam giác ABC có a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 p a p b p c a b c + Áp dụng bất đẳng thức m x n y mn với x, y >0 xy Ta có với p nửa chu vi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên 1 (1 1) p a p b p a p b c 1 (1 1) p-a > 0; p – b > 0; p – c > p a p c p a p c b 1 (1 1) p b p c p b p c a 1,0 Cộng vế ba bất đẳng thức ta 2 pa pb 1 1 1 1 1 4 2 pc p a p b p c a b c a b c Dấu xảy p a p b p c a b c ABC tam giác 0,5 0,5 Vẽ hình E A B H F D 0,5 M C N 4,0 đ a) (1,5) Ta có: DAM ABF (cùng phụ với BAH ) AB AD( gt ); BAF ADM 900 (ABCD hình vng) ADM BAF g.c.g DM AF , mà AF AE ( gt ) nên AE DM 0,25 0,25 0,25 0,25 Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE 900 ( gt ) 0,25 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0,25 b) (1đ) Chứng minh ABH FAH ( g.g ) BC BH AB BH hay AB BC; AE AF AE AH AF AH 0,25 Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH ) CBH 0,25 AEH (c.g.c) 2 S SCBH BC BC CBH , 4( gt ) mà BC AE S EAH AE S EAH AE 0,25 BC AE E trung điểm AB, F trung điểm AD 0,25 Do đó: BD 2EF hay AC EF (dfcm) c) (1đ) Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: 0,25 AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC / / AB gt Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: MN MC AD MC AB MC hay AN AN MN AB AN MN 0,25 CN CM MN AD AD CN CM 1 0,25 MN MN AM AN MN MN ( Pytago) 2 2 2 1 AD AD 1 2 AM AN AD AM AN 0,25 Vẽ hình A E 0,5 D B C H a) (1,0 điểm) Chứng minh AH2 HB.HC Chứng minh BHA AHC đồng dạng (gg) 0,5 AH HB AH2 HB.HC HC AH 0,5 b) (1,0 điểm) Chứng minh: AH3 BD.CE.BC Theo CM ý a ta có AH2 HB.HC AH4 HB2 HC2 Chứng minh BDH BHA đồng dạng (1) 0,25 BH BD BH2 BD.AB (2) AB BH 0,25 Chứng minh tương tự ta có HC2 CE.AC (3) 3,5 đ Thay (2) (3) vào (1) ta có AH BD.CE.AB.AC Mà AB.AC BC.AH ( = SABC ) 0,25 AH BD.CE.BC.AH AH BD.CE.BC 0,25 c) (1,0 điểm)Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Tứ giác ADHE hình chữ nhật ( ADH AEH DAE 900 ) nên S SADHE 2SDHA mà S ABC 2S ADHE (gt) Do SABC 4SDHA DHA SABC 0,25 AH SDHA Chứng minh DHA đồng dạng ABC (g.g) BC SABC (1) 0,25 Gọi M trung điểm BC, ABC vuông A nên AM 1 AM AM BC BC BC (2) 0,25 2 AH AM Từ (1) (2) AH AM H M ABC vuông cân BC BC 0,25 A Vậy, S ABC 2S ADHE tam giác ABC vuông cân A Cho A (p 1)(p 1) Chứng minh p số nguyên tố lớn A chia hết cho 24 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ Do P = 2k +1 ( k Z, k ) suy A (p 1)(p 1) 2k(2k 2) 4k(k 1) 1,0đ Do k k+1 hai số nguyên liên tiếp nên k(k 1) A Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Do p 3m p 3m Nếu p 3m (p 1) A Nếu p 3m (p 1) A Do A ln chia hết cho Vì A A mà UCLN(8;3) A (8.3) Vậy A 24 Chú ý: + Ở ý, học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa + HS phép sử dụng số BDT chứng minh theo HD SGD 0,25 0,25 0,25 0,25 ... kí: Giám thị 1: Giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Nội dung Câu Điểm