Đề thi chọn hsg lớp 10, 11 THPT năm học 2015 2016 đề thi môn: Toán 1028630

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI MƠN: TỐN 10 - THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (1,5 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau có tập xác định ¡ 2015 x  2016 y (m  1) x  2(m  1) x  Câu (2,5 điểm) a) Giải bất phương trình x    x   x  b) Giải phương trình x  x3  x  x   x Câu (1,0 điểm) Cho phương trình x3  (2m  1) x  (m  2) x  m   , m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12  x22  x32  17 Câu (3,0 điểm) a) Cho hình vng ABCD, M trung điểm CD Tìm điểm K đường thẳng BD cho K không trùng với D đường thẳng AK vng góc với đường thẳng KM b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A 5;1 , điểm C nằm đường thẳng d : x  y   Gọi giao điểm đường trịn tâm B bán kính BD với đường thẳng CD E ( E  D) Hình chiếu vng góc D đường thẳng BE điểm N 4;   Tìm tọa độ điểm B, C , D c) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài đường cao kẻ từ đỉnh B, C hb , hc , độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A ma Tính cos A , biết hb  8, hc  6, ma  ìï x3 - y + x + y + = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ïí ïï x + y + x - 13 y + = ỵ Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a < b  ab  Tìm giá trị nhỏ ba 1  a 1  b  biểu thức P  2 a ( a  b) Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh………………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN MÔN: TỐN 10 - THPT (Đáp án có 04 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm (1,5 điểm) Hàm số có tập xác định ¡ 0,25 f ( x) = (m - 1) x + 2(m - 1) x + > 0, " x Ỵ ¡ Với m = 1, ta có f ( x) = > 0, " x Ỵ ¡ Do m = thỏa mãn 0,25 ïì m > Với m ¹ 1, f ( x) > 0, " x Ỵ ¡ Û ïí ïïỵ (m - 1) - 4(m - 1) < 0,5 ïì m > Û ïí ïïỵ (m - 1)(m - 5) < 0,25 Û < m < Vậy £ m < 0,25 a (1,5 điểm) Bất phương trình tương đương: Điều kiện xác định: x ³ 0,25 x- + x+ 1³ x - + Û x - + ( x - 2)( x + 1) ³ x - + x - 0,25 éx ³ Û x - x + 18 ³ Û ê ê x £ ë 0,5 Vậy nghiệm bất phương trình x ³ b (1,0 điểm) Điều kiện xác định: x  x  £ x £ PT cho tương đương x  x   x  x   x  x  Đặt t  x  x , t  , ta PT: t  t  2.t       0,25 0,25  t t  t    t t  t  2.t    t  t  0,25 Với t  x  x   x  0; x  0,25 Với t  x  x    x  1; x  Vậy nghiệm PT x  1;0;1; 2 0,25 0,25 (1,0 điểm) x  PT  ( x  1)[ x  2mx   m]     x  2mx   m  (1) 0,25 Yêu cầu tốn tương đương: Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác thỏa 0,25 mãn x12 + x22 = 16 Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt khác ThuVienDeThi.com m  m    '  m  (*)    1  2m   m   m  2 m   x  x  2m Theo định lí Viet ta có  Khi x12  x22  16  ( x1  x2 )  x1 x2  16   x x m  0,25 Do 4m - 2(2 - m) = 16 5 Û m = m   Kết hợp với điều kiện (*) ta m = , m   2 (3,0 điểm) a (1,0 điểm) A 0,25 B K D M C        Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD Đặt DA  u; DC  v u  v  a u.v       Giả sử DK  xDB ( x  0) DK  x u  v  0,25             Suy AK  DK  DA  ( x  1)u  xv MK  DK  DM  xu   x   v 2          1  Ta có AK MK   ( x  1)u  xv  xu   x   v    x( x  1)a  x  x   a  2  2    uuur uuur 3  x  x   x  Vậy, điểm K nằm BD thỏa mãn DK = DB 4 b (1,0 điểm)   0,25 0,25 0,25 N B A I D C E ฀ Gọi I  AC  BD , BND  900 nên IA  IB  IC  ID  IN , suy ฀ ANC  900 uuur CN có véc tơ pháp tuyến AN = (9; - 3) nên phương trình CN : x - y - 14 = 0,25 3 x  y  14  Tọa độ C thỏa mãn hệ  , suy C 5;1 x  y   0,25 Do BD = BE BC ^ DE nên C trung điểm DE, suy CI || BE Do D đối xứng 0,25 với N qua AC ThuVienDeThi.com Phương trình AC : y   , từ suy D 4;  Do I 0;1 nên B 4; 2  0,25 Vậy B 4; 2 , C 5;1, D 4;  c (1,0 điểm) M N A F E B C K Vẽ đường cao BM CN tam giác ABC ( M  AC , N  AB ) Gọi K trung điểm BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN BM cắt AB, AC E F Khi E trung điểm BN F trung điểm CM Bốn điểm A, E , K , F nằm đường trịn đường kính AK  , theo định lý sin tam ฀  5sin A giác EKF ta EF  AK sin EKF Áp dụng định lý cosin tam giác EKF ta : ฀ EF  KE  KF  KE.KF cos EKF  32  42  2.3.4.cos A 0,25 0,25 0,25  25sin A  25  24.cos A  25 1  cos A  25  24.cos A 24 (vì cos A  ) 25 ìï x3 - y + x + y + = (1) (1,0 điểm) Giải hệ ïí ïï x + y + x - 13 y + = (2) ỵ Cộng tương ứng hai vế (1) (2) ta  cos A   x3 + x + x = y - y + 13 y - 12 Û ( x + 1)3 + ( x + 1) = ( y - 2)3 + ( y - 2) 2 ù= Û y = x + Û ( x + 1- y + 2) é ê ú ë( x + 1) + ( x + 1)( y - 2) + ( y - 2) + 1û é - + 177 êx = ê Thế y = x + vào (2) ta được: x + x - 14 = Û ê ê - - 177 êx = ê ë ỉ- + 177 15 + 177 ỉ- - 177 15 - 177 ÷ ÷ çç ÷ ÷ ; ; ; Vậy hệ có nghim ( x; y ) l: ỗỗỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố ỗ 6 6 ứố ứ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Ta có b  a    ab (1), mà  ab  ab , suy b a   a b a 1 b Đặt t  ta t    t   b  3a   t b a 3 b  a   ab  ThuVienDeThi.com 0,25 1  a 1  b   (b  a)  ab  1 Ta có P  a ( a  b) 2 a ( a  b)  4(ab  1) (theo (1)) 3a (a  b) 4(ab  1) 4.4ab 16b 16 16      3a (a  b) 3a (a  b) 3(a  b) a  1    1   1 b  3  Do P  Đẳng thức xảy a  ; b  Vậy P  Mặt khác -Hết - ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ... VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,1 1 THPT NĂM HỌC 2015- 2016 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN 10 - THPT (Đáp án có 04 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm... (1) 0,25 Yêu cầu toán tương đương: Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác thỏa 0,25 mãn x12 + x22 = 16 Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt khác ThuVienDeThi.com m  m ... Do BD = BE BC ^ DE nên C trung điểm DE, suy CI || BE Do D đối xứng 0,25 với N qua AC ThuVienDeThi.com Phương trình AC : y   , từ suy D 4;  Do I 0;1 nên B 4; 2  0,25 Vậy B 4; 2 ,