S GIÁO D C VÀ ÀO T O LÀO CAI K THI CH N I TUY N D THI H C SINH GI I QU C GIA THPT N M H C 2015 - 2016 Mơn: TỐN Ngày thi: 20 – 10 - 2015 Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) ( thi g m có 01 trang, 05 câu) THI CHÍNH TH C Câu (5,0 m) Gi i h ph ng trình 11x 1 y 19 x 11 y 30 x x 2 x x, y y x 1 y x y Câu (4,0 m) Cho dãy s Ch ng minh r ng dãy s Câu (5,0 m) Cho đ đ un đ u1 2016 c xác đ nh b i: * un 1un 10un 27un 16, n un có gi i h n h u h n tính gi i h n ng trịn w có tâm O hai đ ng kính AB, CD Ti p n v i ng tròn w t i B c t AC t i E G i F giao m th hai c a đ tròn w Ch ng minh r ng ba đ ng th ng DE v i đ ng ng th ng AF, BC, OE đ ng quy Câu (3,0 m) Cho a, b hai s nguyên th a mãn 24a b Ch ng minh r ng có m t ch m t hai s chia h t cho Câu (3,0 m) M t kì thi h c sinh gi i Tốn có 20 h c sinh tham gia Ng i ta x p 20 h c sinh ng i xung quanh m t bàn tròn Ban t ch c có t t c lo i đ thi khác H i có cách phát đ cho 20 h c sinh cho khơng có h c sinh ng i c nh có đ thi H t Ghi chú: Thí sinh khơng đ c s d ng tài li u máy tính c m tay; Giám th coi thi khơng gi i thích thêm ThuVienDeThi.com S H GIÁO D C VÀ ÀO T O LÀO CAI NG D N CH M K THI CH N I TUY N D THI H C SINH GI I QU C GIA THPT N M H C 2015 – 2016 THI CHÍNH TH C (H Mơn: TOÁN Ngày thi: 20 – 10 - 2015 ng d n ch m g m có 05 trang, 05 câu) I H ng d n ch m: Cho m l t i 0,25; i m toàn t ng m thành ph n, không làm tròn; Ch cho m t i đa làm c a thí sinh xác v m t ki n th c; Thí sinh gi i b ng cách khác cho m t ng ng ph n II Bi u m: Câu 1: (5,0 m) Gi i h ph ng trình 11x 1 y 19 x 11 y 30 x x 2 x 1 y x 1 y x y N i dung i u ki n: 11x 1 y 19 x 11 y 30 0; x x y x y y 1 y 1 (3) 3 Xét hàm s f t t 3t R f ' t 3t 0, t Suy hàm s f t đ ng bi n liên t c R Khi 3 f x y f y 1 x y y (4) Th (4) vào (1) ta có: 11x 19 x 19 x x 2 x x 10 x 26 x 17 x 1 x 3 x x 2 5 x x x x x x x 2x2 5x x2 5x 1 x2 x2 x x 3 19 x2 5x x x x x2 V y, h ph 19 19 ng trình cho có nghi m nh t x; y ; Trang 1/5 ThuVienDeThi.com i m 0,75 0,5 0,75 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 Câu (4,0 m) Cho dãy s u1 2016 * un 1un 10un 27un 16, n un đ c xác đ nh b i: un có gi i h n h u h n tính gi i h n Ch ng minh r ng dãy s N i dung T gi thi t ta d dàng ch ng minh đ T ta có: un 1 Khi un1 i m c u n , n * 16 27 2 10 10 un un un 0.25 16 27 27 2 10 10 un u n un 10 10 Suy 10 un , t c dãy un b ch n 0,25 0,25 16 27 2 10 , kho ng (0; ) x x x 32 27 3 x x 0, x (0; ) f ' x x 16 27 10 2 x x Xét hàm s 0,25 f x 0,25 Suy hàm f(x) ngh ch bi n liên t c 0, Ta có 0,25 u1 2016 un 1 f un u1 u3 f u1 f u3 u2 u4 f u2 f u4 u3 u5 f u3 f u5 u4 u6 0,25 B ng quy n p ch ng minh đ 0,25 c u2 n 1 u2 n 1 ; u2 n u2 n Nh v y u2 n 1 gi m u2n t ng H n n a c hai dãy u2 n 1 , u2n đ u b ch n nên chúng h i t Gi s lim u2 n 1 A, lim u2 n B n n A 10, B 10 0,25 AB 10 B 27 B 16 Chuy n qua gi i h n t h th c truy h i ta có : AB 10 A2 27 A 16 0,5 AB 10 B 27 B 16(*) A B 0,25 Ta có (*) A2 10 A2 27 A 16 A4 A2 16 10 A2 27 A 16 0,25 A A A2 A A 33 0,5 3 AB Do v y ta đ c lim un 33 0,25 Trang 2/5 ThuVienDeThi.com ng trịn w có tâm O hai đ Câu (5,0 m) Cho đ đ ng kính AB, CD Ti p n v i ng tròn w t i B c t AC t i E G i F giao m th hai c a đ tròn w Ch ng minh r ng ba đ ng th ng DE v i đ ng th ng AF, BC, OE đ ng quy N i dung A ng i m (w) C O H K E S F 0,75 D B G i K trung m c a CE Ta có: m A, O, F, K thu c m t đ ng tròn OCA CDE CED Th t v y: OAE (1) DFO CED Tam giác CEF vng t i F có FK đ ng trung n nên 0,75 F KFE D (2) FK KE KFE KE CE DFO FK OAE OFK T (1) (2) ta có OAE E 1800 0,5 Suy m A, O, F, K n m m t đ 0,5 ng tròn (C1) G i H trung m c a AE Ta có: m O, B, C, H n m đ ng tròn Th t v y: 900 Ta có OH // BE nên BOH OBE Mà BCH 900 Suy m O, B, C, H n m đ đ ng kính BH H n n a E/(C2 ) EH EC EA.2 EK EA.EK E/(C1 ) Suy OE tr c đ ng ph ng c a hai đ ng c a hai đ ng tròn (w) (C1) BC tr c đ ng ph ng c a hai đ ng tròn (w) (C2) ba đ ng th ng AF, BC, OE đ ng qui t i S tâm đ ng ph ng tròn (w), (C1) (C2) Trang 3/5 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ng tròn (C1) (C2) AF tr c đ ng ph V y ba đ ng trịn (C2) có 0,5 0,5 ng c a 0,5 Câu (3,0 m) Cho a, b hai s nguyên th a mãn 24a b Ch ng minh r ng có m t ch m t hai s chia h t cho N i dung Ta có 24a b 1 không chia h t a b không th chia h t cho Gi s a b khơng chia h t cho Theo đ nh lí Fermat ta có a mod 5 ; b mod 5 Do a b a b2 a b mod 5 N u a b2 mod 25a a b mod (vô lý) V y a b mod 23a b a mod 23a mod 5 i m 0,5 0,5 0,5 Vì a,5 nên a 1 mod 5 ho c a 2 mod 0,5 + N u a 1 mod 5 23a 23 1 1 mod (vô lý) 0,5 + N u a 2 mod 23a 23 2 mod (vô lý) 0,5 V y u gi s sai Do ta có u ph i ch ng minh Trang 4/5 ThuVienDeThi.com Câu (3,0 m) M t kì thi h c sinh gi i Tốn có 20 h c sinh tham gia Ng i ta x p 20 h c sinh ng i xung quanh m t bàn trịn Ban t ch c có t t c lo i đ thi khác H i có cách phát đ cho 20 h c sinh cho khơng có h c sinh ng i c nh có đ thi ? N i dung i m G i S n s cách phát đ cho n h c sinh cho h c sinh ng i c nh có đ thi C đ nh m t h c sinh làm v trí đ u tiên h c sinh bên tay ph i c a h c sinh v trí th 2, th 3,…, th n (h c sinh v trí th n ng i c nh h c sinh 0,5 v trí th nh t) Ta th y: N u h c sinh v trí th nh t h c sinh s có cách phát đ cho h c sinh N u h c sinh v trí th n v trí th nh t h c sinh có cách phát đ cho h c sinh v trí th n có đ thi khác v trí th n có đ thi gi ng v trí th n Do ta có h th c: Sn 3Sn 1 4Sn S d ng ph 0,5 0,5 ng pháp sai phân đ tính S n Xét ph ng trình đ c tr ng: x 1 x 3x x 0,5 S n a.( 1)n b.4 n a 16b 20 a a 64b 60 b Do S 5.4 20, S3 5.4.3 60 nên ta có: V y Sn 1 4n S20 20 n 0,5 0,5 -H t - Trang 5/5 ThuVienDeThi.com ...S H GIÁO D C VÀ ÀO T O LÀO CAI NG D N CH M K THI CH N I TUY N D THI H C SINH GI I QU C GIA THPT N M H C 2015 – 2016 THI CHÍNH TH C (H Mơn: TỐN Ngày thi: 20 – 10 - 2015 ng d n ch m g m có 05... h c sinh cho khơng có h c sinh ng i c nh có đ thi ? N i dung i m G i S n s cách phát đ cho n h c sinh cho khơng có h c sinh ng i c nh có đ thi C đ nh m t h c sinh làm v trí đ u tiên h c sinh. .. Trang 4/5 ThuVienDeThi.com Câu (3,0 m) M t kì thi h c sinh gi i Tốn có 20 h c sinh tham gia Ng i ta x p 20 h c sinh ng i xung quanh m t bàn tròn Ban t ch c có t t c lo i đ thi khác H i có cách