ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 MÔN TOÁN
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai : 12/01/2013 Bài 5 (7,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số :f →R R th ỏ a mãn : (0) 0f = , (1) 2013f = và 2 2 2 2 ( )( ( ( )) ( ( ))) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))x y f f x f f y f x f y f x f y − − = − − đ úng v ớ i m ọ i ,x y ∈ R , trong đ ó 2 2 ( ) ( ( ))f x f x = . Bài 6 (7,0 đ i ể m). Cho tam giác nh ọ n ABC n ộ i ti ế p đườ ng tròn (O) và đ i ể m D thu ộ c cung BC không ch ứ a đ i ể m A. Đườ ng th ẳ ng thay đổ i đ i qua tr ự c tâm H c ủ a tam giác ABC c ắ t các đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABH và tam giác ACH l ầ n l ượ t t ạ i M và N ( , )M H N H ≠ ≠ . a) Xác đị nh v ị trí c ủ a đườ ng th ẳ ng để di ệ n tích tam giác AMN l ớ n nh ấ t. b) Ký hi ệ u 1 d là đườ ng th ẳ ng đ i qua M và vuông góc v ớ i DB, 2 d là đườ ng th ẳ ng đ i qua N và vuông góc v ớ i DC. Ch ứ ng minh r ằ ng giao đ i ể m P c ủ a 1 d và 2 d luôn thu ộ c m ộ t đườ ng tròn c ố đị nh. Bài 7 (6,0 đ i ể m). Tìm s ố các b ộ s ắ p th ứ t ự ( , , , ', ', ')a b c a b c th ỏ a mãn: ' ' 1(mod15) ' ' 1(mod15) ' ' 1(mod15) ab a b ac a c bc b c + ≡ + ≡ + ≡ v ớ i { } , , , ', ', ' 0,1, .,14a b c a b c ∈ . ------------------------------------------------------H Ế T------------------------------------------------- • Thí sinh không đượ c s ử d ụ ng tài li ệ u và máy tính c ầ m tay. • Giám th ị không gi ả i thích gì thêm. . ch ứ a đ i ể m A. Đườ ng th ẳ ng thay đổ i đ i qua tr ự c t m H c ủ a tam giác ABC c ắ t các đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABH và tam giác ACH l. (6,0 đ i ể m) . T m s ố các b ộ s ắ p th ứ t ự ( , , , ', ', ')a b c a b c th ỏ a m n: ' ' 1(mod15) ' ' 1(mod15) '