PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI Câu (6 điểm) 6x Cho P = 3x 3x 3x x x x x a, Rút gọn P b, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) a, Giải phương trình: x + x3 = x + b, Cho 00 < < 900 sin + cos Tính tan Câu (3 điểm) a, Cho a, b, c > thỏa mãn biểu thức a + b + c = Chứng minh rằng: a bc b ac c ab b, Cho < x < Tìm GTNN A x 1 x x Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có A 1v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC) AH ) cắt AB P AC Q Qua P Q vẽ hai tiếp AH tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC E F Vẽ đường tròn ( I; Chứng minh rằng: a, PE// QF b, AB AP = AQ AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tính EF d, Giả sử BC cố định A di động ln nhìn BC góc 900 Tìm vị trí A để diện tích tam giác APQ lớn Câu (1 điểm) Chứng minh không tồn x, y số nguyên thỏa mãn biểu thức: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015 Hết ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN Năm học: 2015– 2016 Nội dung Câu 6x (6 điểm) a, P = 3x 3x x 3x 3x 3x 3x x đk: x 6x 3x 3x x P= 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x x 3x 3x P= x 3x 3x 3x 3x P= P= P= x 3x 3x 3x 23x 3x (1 - x + 3x - 3x ) 3x 3x (3x - 3x + 1) 3x 3x 3x 3x 1 3x 2 ( 3x - 1)2 3x b, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên 3x 1 3x 2 2 3x 2 P Ta có 3x 3x 3x P = ( 3x - 2) + + P = 3x + 3x 3 x n (n Z ) Để P có giá trị nguyên x U (1) (2) x 3(TM ) 3x 3x Từ (2) có x (loai ) x x Vậy với x = P có giá trị ngun a, (4 điểm) Giải phương trình: x + x3 = x + điều kiện: x -3 x x = 2x + 2x + - x x = (x - x + 1) + x + - x + = x 12 x 22 = x x x x=1 (thỏa mãn) x ThuVienDeThi.com Điểm b, Cho 00 < < 900 sin + cos Vì sin + cos Tính tan 7 sin cos 5 Mà sin cos nên cos cos 5 49 14 cos cos cos 25 50 cos cos 24 25 cos 35 cos 12 25 cos 20 cos 15 cos 12 (5cos - 4) (5cos - 3) = 3 cos sin tan cos sin tan 5 3 Vậy tan cos sin 5 4 Hoặc tan cos sin 5 a, Ta có: a bc a bc a(a b c) bc (a b)(a c) 2 (3 điểm) Tương tự: b ac (b a)(b c) c ab (c a)(c b) (b a )(b c) (b a b c) (c a )(c b) (c a c b) Nên a bc b ac c ab (4a 4b 4c) 2(a b c) 2 a b c a b a c Dấu (=) xảy a=b=c= b a b c c a c b Mà: (a b)(a c) (a b a c) b, Ta có: < x < – x > x x 5x 5x 1 x x 1 x x x 5(1 x) x x 5(1 x) A 5 1 x x x 1 x x x 5(1 x) x 5(1 x) Vì 2 2 1 x x 1 x x Và A ThuVienDeThi.com Do đó: A 0 x1 Dấu (=) xảy x 5(1 x) 1 x x Kết luận: giá trị nhỏ A (5 + ) x = Vẽ hình 0,25điểm (6 điểm) 5 A Q I P I K B a, Chứng minh được: E H F +) P, I, Q thẳng hàng +) PE, QF vng góc với PQ b, +) APHQ hình chữ nhật +) góc BAH góc C +) góc APQ góc BAH +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) c, +) Tính BC = 13cm +) E trung điểm BH; F trung điểm HC +) EF = C BC = 6,5cm d, Kẻ AK PQ ta có SAPQ= 1 AK PQ = AK AH 2 AH trung tuyến ABC ABC vuông cân A Ta có với x 2012x2015 nên số chẵn Vì AK AH nên SAPQ AH2 SAPQ lớn AH lớn (1 điểm) +) Nếu y số chẵn 2013.y2018 số chẵn, y2018 số chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) số chẵn mà 2015 Là số lẻ (vơ lí) +) Nếu y số lẻ y1009 số lẻ Do chọn y1009 = (2n+1) (n Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho dư Còn số 2015 chia cho dư (vơ lí) Vậy khơng có số nguyên x, y mà 2012x2015 2013.y2018 = 2015 ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN Năm học: 2015? ?? 2016 Nội dung Câu 6x (6 điểm) a, P = 3x 3x x 3x 3x ... Nếu y số lẻ y10 09 số lẻ Do chọn y10 09 = (2n+1) (n Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho dư Còn số 2015 chia cho dư... với x 2012x2015 nên số chẵn Vì AK AH nên SAPQ AH2 SAPQ lớn AH lớn (1 điểm) +) Nếu y số chẵn 2013.y2018 số chẵn, y2018 số chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) số chẵn mà 2015 Là số lẻ