Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp huyện năm học: 2015 2016 môn: Toán Trường Thcs Kim An34108

PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI Câu (6 điểm)  6x  Cho P =    3x      3x 3x    x   x  x     x  a, Rút gọn P b, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) a, Giải phương trình: x + x3 = x + b, Cho 00 <  < 900 sin  + cos   Tính tan  Câu (3 điểm) a, Cho a, b, c > thỏa mãn biểu thức a + b + c = Chứng minh rằng: a  bc  b  ac  c  ab  b, Cho < x < Tìm GTNN A  x  1 x x Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có A  1v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC) AH ) cắt AB P AC Q Qua P Q vẽ hai tiếp AH tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC E F Vẽ đường tròn ( I; Chứng minh rằng: a, PE// QF b, AB AP = AQ AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tính EF d, Giả sử BC cố định A di động ln nhìn BC góc 900 Tìm vị trí A để diện tích tam giác APQ lớn Câu (1 điểm) Chứng minh không tồn x, y số nguyên thỏa mãn biểu thức: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015 Hết ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN Năm học: 2015– 2016 Nội dung Câu  6x   (6 điểm) a, P =      3x 3x    x     3x  3x     3x   3x    x  đk:   x    6x     3x 3x      x P=    3x  3x  3x     3x       3x  3x  3x  x   3x 3x  P=   x  3x  3x  3x    3x     P= P= P=      x   3x  3x  3x  23x   3x   (1 -   x + 3x - 3x ) 3x  3x  (3x - 3x + 1) 3x  3x  3x     3x  1   3x  2 ( 3x - 1)2 3x  b, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên  3x  1   3x  2  2 3x  2 P Ta có 3x  3x  3x  P = ( 3x - 2) + + P = 3x + 3x  3 x  n (n  Z ) Để P có giá trị nguyên   x   U (1)   (2)  x  3(TM )  3x    3x  Từ (2) có     x  (loai ) x    x     Vậy với x = P có giá trị ngun a, (4 điểm)      Giải phương trình: x + x3 = x + điều kiện: x  -3 x  x  = 2x + 2x + - x  x  = (x - x + 1) + x + - x  + =  x  12   x   22 =     x     x      x      x=1 (thỏa mãn)  x    ThuVienDeThi.com Điểm b, Cho 00 <  < 900 sin  + cos   Vì sin  + cos   Tính tan  7   sin     cos   5  Mà sin   cos  nên   cos    cos   5  49 14   cos   cos   cos   25  50 cos   cos   24   25 cos   35 cos   12   25 cos   20 cos   15 cos   12   (5cos  - 4) (5cos  - 3) = 3    cos   sin    tan         cos   sin    tan      5 3 Vậy tan   cos   sin   5 4 Hoặc tan   cos   sin   5 a, Ta có: a  bc  a  bc  a(a  b  c)  bc  (a  b)(a  c) 2 (3 điểm) Tương tự: b  ac  (b  a)(b  c) c  ab  (c  a)(c  b) (b  a )(b  c)  (b  a  b  c) (c  a )(c  b)  (c  a  c  b) Nên a  bc  b  ac  c  ab  (4a  4b  4c)  2(a  b  c)  2 a  b  c  a  b  a  c Dấu (=) xảy   a=b=c= b  a  b  c c  a  c  b Mà: (a  b)(a  c)  (a  b  a  c) b, Ta có: < x <  – x > x x  5x  5x    1 x x 1 x x x 5(1  x) x x 5(1  x) A     5 1 x x x 1 x x x 5(1  x) x 5(1  x) Vì  2 2 1 x x 1 x x Và A ThuVienDeThi.com Do đó: A   0 x1 Dấu (=) xảy  x 5(1  x) 1  x  x Kết luận: giá trị nhỏ A (5 + ) x = Vẽ hình 0,25điểm (6 điểm) 5 A Q I P I K B a, Chứng minh được: E H F +) P, I, Q thẳng hàng +) PE, QF vng góc với PQ b, +) APHQ hình chữ nhật +) góc BAH góc C +) góc APQ góc BAH +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) c, +) Tính BC = 13cm +) E trung điểm BH; F trung điểm HC +) EF = C BC = 6,5cm d, Kẻ AK  PQ ta có SAPQ= 1 AK PQ = AK AH 2  AH trung tuyến  ABC   ABC vuông cân A Ta có với x 2012x2015  nên số chẵn Vì AK  AH nên SAPQ  AH2  SAPQ lớn  AH lớn (1 điểm) +) Nếu y số chẵn 2013.y2018 số chẵn, y2018 số chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) số chẵn mà 2015 Là số lẻ (vơ lí) +) Nếu y số lẻ y1009 số lẻ Do chọn y1009 = (2n+1) (n  Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho dư Còn số 2015 chia cho dư (vơ lí) Vậy khơng có số nguyên x, y mà 2012x2015 2013.y2018 = 2015 ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN Năm học: 2015? ?? 2016 Nội dung Câu  6x   (6 điểm) a, P =      3x 3x    x     3x  3x ... Nếu y số lẻ y10 09 số lẻ Do chọn y10 09 = (2n+1) (n  Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho dư Còn số 2015 chia cho dư... với x 2012x2015  nên số chẵn Vì AK  AH nên SAPQ  AH2  SAPQ lớn  AH lớn (1 điểm) +) Nếu y số chẵn 2013.y2018 số chẵn, y2018 số chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) số chẵn mà 2015 Là số lẻ