Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện năm học: 2011 2012 môn: Toán4628

SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG PHÒNG GD&ĐT PHÚ QUỐC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP VÒNG HUYỆN Năm học: 2011- 2012 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Bài 1: ( điểm ) Chứng minh với x, y nguyên A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: x x 1 x  x  x      5 2000 2001 2002 2003 2004 x 5 b) 10 x  45   x 5  25 a) Bài 3: (2điểm) Chứng minh với số tự nhiên n thì: n  6n3  11n  30n  24 chia hết cho 24 Bài 4: (2 điểm ) Cho số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  Tính: T = x 1 x2 2 1 y2 2 1 z2 Bài 5: (4 điểm ) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca   c  ab a  bc b  ca Bài 6: (3 điểm) Gọi H trực tâm tam giác ABC, đường cao AD Lấy điểm M thuộc cạnh BC; Gọi E F thứ tự hình chiếu M AB AC; Gọi I trung điểm AM a) Xác định dạng tứ giác DEIF (1,5 điểm) b) Chứng minh đường thẳng MH, ID, EF đồng quy (1,5 điểm) Bài 7: (3 điểm) Cho ABC coù ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AM, BN CK ABC cắt H Điểm D đối xứng với điểm B qua điểm O AH (1,0 điểm) DC AH BH CH   2/ Chứng minh: tổng có giá trị số (2,0 điểm) AM BN CK 1/ Tính Hết - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Đáp án Câu Bài (3điểm ) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = ฀ (x + y)(x + 4y) ฀ ฀ (x + 2y)(x + 3y) ฀ + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y  Z neân x2 + 5xy + 5y2  Z  A số phương Bài (3điểm ) a) PT cho tương đương: Biểu điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5  x   x 1   x    x    x    1    1    1    1    1    2000   2001   2002   2003   2004  x  2000 x  2000 x  2000 x  2000 x  2000      0 2000 2001 2002 2003 2004 1 1    ( x  2000)      0  2000 2001 2002 2003 2004  1 1     0 Vì 2000 2001 2002 2003 2004 Nên Pt cho tương đương với x- 2000 =  x = 2000 0,5 0,5 0,5 (0,25đ) Vậy S = {2000} x     b) 10 x   x   x  45  25   Bài (2 điểm ) x    x9 x  Vậy S ={9} n  6n3  11n  30n  24 = n  6n3  11n  6n  24n  24   n n3  6n  11n   24 n  1 = 0,75 0.5 n n3  n  5n  5n  6n    24 n  1  n n  1n  5n   24 n  1 0.5 0.5 = n n  1n  n  3  24 n  1 Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên n  6n3  11n  30n  24 0.5 chia hết cho 24 ThuVienDeThi.com Bài (2 điểm ) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z) 1+z2 =(z+x)(z+y) T= x z Bài (4 điểm ) y  x y  z z  x z  y   y z  x z  y x  y x  z  x  z x  y  x  y y  z  x  y x  z y  x y  z  = z  x z  y  0.5 =x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = Có: a  b  c   c  a  b  c .c  ac  bc  c 0.5 0.5 0.5  c  ab  ac  bc  c  ab  a(c  b)  c(b  c) = (c  a)(c  b) a b  ab ab    ca cb c  ab (c  a )(c  b) a  bc  (a  b)(a  c) Tương tự: b  ca  (b  c)(b  a ) b c  bc bc    ab ac a  bc (a  b)(a  c) 0.5 0.5 c a  ca ca   bc ba b  ca (b  c)(b  a ) a b b c c a       P  ca cb ab ac bc ba = ac cb ba   a  c c  b ba = = 2 Dấu “=” xảy a  b  c  3 Từ giá trị lớn P đạt a  b  c  A 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 Bài (3 điểm ) 0,25 N I F H O E B ThuVienDeThi.com M C D a) Xét tam giác AEM có: EI=1/2.AM tam giác ADM có: DI=1/2.AM Do tam giác EID cân I (1) Ngồi ra: GócEIM = 2.gócEAI gócDIM=2.gócDAI => góc EIM + góc DIM = góc EID = 2.góc EAD = 2.30o = 60o Vậy góc EID = 60o (2) Từ (1) (2) => tam giác EID (3) Tương tự ta chứng minh tam giác IDF (4) Từ (3) (4) => DEIF hình thoi b) Gọi O giao điểm ID EF, ta cần chứng minh: M,O,H thẳng hàng Thật vậy, gọi N trung điểm AH Vì H trực tâm nên H trọng tâm tam giác ABC => AN=NH=HD Khi đó: OH đường trung bình tam giác DIN => OH // IN IN đường trung bình tam giác AHM => MH // IN Do M,O,H thẳng hàng hay MH, ID, EF đồng quy O ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Bài (3 điểm ) 1/ Tam giaùc BCD có OB = OC = OD = bán kính đường tròn tâm O, nên tam giác BCD vuông C Vậy AH // DC ( vuông góc với BC) Tương tự, tam giác ADB vuông A, AD//CH (vì vuông góc với AB) Vậy, tứ giác AHCD hình bình hành AH =1 DC 2/ Gọi S diện tích ABC S1, S2, S3 theo thứ tự diện tích tam Do AH= DC, suy 0,25 0,25 0,25 0,25 giác BHC, AHB, AHC Ta có S= BC AM 0,5 S1= BC.HM S S  S1 AM  HM HM AH suy ra:  (1)    S AM S AM AM S  S BH S  S CH Tương tự, ta coù (2); (3)   S CK S BN Cộng vế theo vế (1), (2), 0,5 0,5 (3) AH BH CH 3S  ( S1  S  S ) S      không đổi AM BN CK S S ThuVienDeThi.com ta có: 0,5 ... Vậy S = {2000} x     b) 10 x   x   x  45  25   Bài (2 điểm ) x    x? ?9 x  Vậy S = {9} n  6n3  11n  30n  24 = n  6n3  11n  6n  24n  24   n n3  6n  11n  ... 2.3.4 = 24 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên n  6n3  11n  30n  24 0.5 chia hết cho 24 ThuVienDeThi.com Bài (2 điểm ) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có:... giá trị lớn P đạt a  b  c  A 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 Bài (3 điểm ) 0,25 N I F H O E B ThuVienDeThi.com M C D a) Xét tam giác AEM có: EI=1/2.AM tam giác ADM có: DI=1/2.AM Do tam giác EID cân I