Đề đề xuất thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học: 2011 – 2012 môn: Toán Trường Thcs TT Phù Mỹ49184

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2011 – 2012 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu 1: ( điểm ) Chứng minh với x, y nguyên A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 laø số phương Câu 2: ( điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = Câu 3: ( điểm ) Giải phương trình x   x   x  11  x   Câu 4: ( điểm ) Cho số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  Tính: T = x 2 1 x2 1 y2 2 1 z2 Câu 5: ( điểm ) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= ab bc ca   c  ab a  bc b  ca Câu 6: ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC , IK AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z Tìm vị trí I cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ Câu 7: ( 3điểm ) Cho tứ giác ABCD, gọi I giao điểm hai đường chéo Kí hiệu S1  S AIB ; S  S CID ; S  S ABCD a Chứng Minh: S1  S  S b Khi tứ giác ABCD hình thang hệ thức xảy nào? HẾT Đề thi có 01 trang Giám thị khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Đáp án Câu Câu (3điểm ) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = ฀ (x + y)(x + 4y) ฀ ฀ (x + 2y)(x + 3y) ฀ + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y  Z neân x2 + 5xy + 5y2  Z  A số phương Câu (3điểm ) Phương trình cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 Nhận xét rằng: y   x  y  y  y   y  ( y  1)3 y    x3  y  y  y   (5 y  2)  ( y  1)3 Từ (2) (3) suy ra: ( y  1)3 < x3  ( y  1)3 , Vì y  Z Biểu điểm 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ (1) (2) (3)  x3  y  y3  y  y   y3    3  x  ( y  1)  y  y  y   ( y  1) 2 y  y    y  1 (vi y  Z )  y  1    y  y  y  Với y = -1  x= -1 Với y =  x= Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên (-1; -1) (1; 0) Câu (2 điểm ) 0.5đ 0.5đ 0.5đ ĐKXĐ: x  -2 x64 x2  x  11  x    ( x   2)  ( x   3)  | x   | + | x  -3| =  | x   | + | - x  2| = áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | x   | + | - x  |  Dấu "=" xảy : ( x   )( - x  )    x   3 2 x  Vậy tập nghiệm phương trình : S = x /  x  7 Câu (2 điểm ) 1đ 0.5đ Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z) 1+z2 =(z+x)(z+y) T= x z y  x y  z z  x z  y   y z  x z  y x  y x  z  x  z x  y  x  y y  z  x  y x  z y  x y  z  = z  x z  y  =x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = ThuVienDeThi.com 1đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1đ 0.5đ 0.5đ Câu (4 điểm ) Có: a  b  c   c  a  b  c .c  ac  bc  c  c  ab  ac  bc  c  ab  a (c  b)  c(b  c) = (c  a )(c  b) a b  ab ab    ca cb c  ab (c  a )(c  b) a  bc  (a  b)(a  c) Tương tự: b  ca  (b  c)(b  a ) b c  bc bc    ab ac a  bc (a  b)(a  c) c a  ca ca   bc ba b  ca (b  c)(b  a ) a b b c c a       P  ca cb ab ac bc ba = ac cb ba   a  c c  b ba = = 2 Dấu “=” xảy a  b  c  3 Từ giá trị lớn P đạt a  b  c  Câu (3 điểm ) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ A k B K K n x N I y M z m C h.36 Đặt BK = k , CM = m , AN = n , BC = a , AC = b , AB = c x2 +y2 +z2 = (IA2  IK2 ) + (IB2  IM2 ) + (IC2  IN2 ) = (IA2  IN2 ) + (IB2  IK2 ) + (IC2  IM2 ) = n2 + k2 + m2  2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) 0.5đ 0.5đ x  k  AB c ≥   2 2 y  m  BC  a2 2 y +m ≥   2 2 z  n  AC b2 2 z +n ≥   2 x2+ k2 ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ a  b2  c2 a  b2  c2 2 min(x +y +z ) =  x = k , y = m , z = n  x2 +y2 +z2 ≥ 0.5đ 0.5đ 0.25đ  I giao điểm đường trung trực ABC Câu (3 điểm ) Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S = S AID Kẻ AH  BD; CK  BD AH BI S BI Ta có:   (1) S DI S AID  AH DI SCID  CK DI S BI   (2) S DI S BIC  CK BI S S Từ (1) (2) suy ra:   S1.S2  S3 S4 (3) S4 S2 B S AIB  S1 0.25đ H S3 I C A S4 K S2 0.25đ D 0.5đ 0.5đ Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4  S1  S2  S3 S4 (4) Từ (3) (4) ta suy ra: 0.5đ S  S1  S  S1.S  ( S1  S )  S  S1  S b Khi tứ giác ABCD hình thang ta xét: * Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S = S  S  S1  S2 * Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD Suy ra: S = S  Dấu xảy khi: S1 = S = S = S = S  S1  S 2 S  ABCD hình bình hành ThuVienDeThi.com 0.5đ 0.25đ 0.25đ ... 2y)(x + 3y) ฀ + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y  Z neân x2 + 5xy + 5y2... z y  x y  z  = z  x z  y  =x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = ThuVienDeThi.com 1đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1đ 0.5đ 0.5đ Câu (4 điểm ) Có: a  b  c   c  a  b  c .c  ac...  AB c ≥   2 2 y  m  BC  a2 2 y +m ≥   2 2 z  n  AC b2 2 z +n ≥   2 x2+ k2 ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ a  b2  c2 a  b2  c2 2 min(x +y +z ) =  x = k , y = m , z = n  x2