Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2009 2010 môn thi: Toán41234

PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỨC TRỌNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009- 2010 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI: Bài 1(1đ): Tính giá trị biểu thức sau: A= 3    2010  2007 2007  2004 1008  1005 Bài 2(1,5đ): Tìm đa thức bậc hai P(x) Biết đa thức chia cho đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư 6027; 2009; 6030 Bài 3(1,5đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 28x2 - 31x + 58 Bài 4(1đ)): Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với x  R x4 - x3 + 2x2 - x + = 2  x  y  xy  Bài 5(2 đ): Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  x  y  2 Bài 6(1 đ): Với a; b; c số dương thỏa a  2901  b  2901  c  2901 Chứng minh rằng: a  b  2c Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2  1) 13  2  14  số vô tỷ Bài 8(1 đ): Chứng minh tổng tích bốn số nguyên dương liên tiếp với số phương Bài 9(1,5 đ): Chứng minh với n nguyên dương, phân số sau: 21n  tối giản 14n  Bài 10(1 đ): Chứng minh với n số tự nhiên lẻ, A  3.17 n  22 n.3n 1  29 Bài 11(2 đ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh : CB sin A  CA sin B Bài 12(2 đ): Cho AB, BC, CA ba dây cung đường tròn (O) Gọi AE phân giác góc BAC, E  BC Chứng minh : AB.AC - EB.EC=AE2 Bài 13(3 đ): Cho tam giác ABC cân A Gọi BN; CM đường cao (M  AB; N  AC) a/ Chứng minh rằng: MN // BC b/ Cho AB = c ;BC = a Tính MN theo a c HẾT - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC : 20009 -2010 Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau: A= = 3    2010  2007 2007  2004 1008  1005 2010  2007  2007  2004   1008  1005   2010  1005  1005(  1) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 2(1,5đ):Tìm đa thức bậc hai P(x).Biết đa thức chia cho đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư 6027; 2009; 6030 Lập luận p(1)=6027; p(-1)=2009; p(-2)=6030 (0,5 đ) a  b  c  6027  Đưa hệ phương trình a  b  c  2009 4a  2b  c  6030  Giải hệ tìm a,b,c kết luận đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 28x2 - 31x + 58 Tách số hạng hợp lý để nhóm :x3-27x2-x2-58x+27x+58 Đưa (x-1)(x2-27x-58) Tách phân tích (x2-27x-58) đưa kết cuối (x-1)(x+2)(x-29) Bài 4(1đ)):Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với x  R x4 - x3 + 2x2 - x + = Phân tích vế trái đưa phương trình tích (x2+1)(x2-x+1)=0 Lập luận vế trái dương với x,kết luận phương trình vơ nghiệm  x  y  xy  Bài 5(2 đ):Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  x  y  2 3( x  y )  xy  Đưa hệ đả cho hệ  2  x  y  xy  3u  v  Đặt biến phụ u=x+y ;v=xy đưa hệ u  v   u   v  Giải hệ đưa  ;  u  4   v  15 (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) giải tìm x y (0,5 đ) ThuVienDeThi.com Bài 6(1 đ):Với a;b;c số dương thỏa a  2901  b  2901  c  2901 Chứng minh rằng: a  b  2c Chứng minh vận dụng bất đẳng thức 2(x2 +y2)  (x+y)2 2 2( a  2901  b  2901 )  ( a  2901  b  2901)  c  2901 (0,5 đ) 2(a+b)  4c Từ có đpcm (0,5 đ) Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2  1) 13  2  14  số vô tỷ Biến đổi khai phương dấu Biến đổi khai phương dấu Biến đổi đưa kết 11 kết luận (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 8(1 đ): Chứng minh tổng tích bốn số nguyên dương liên tiếp với số phương Viết A= n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 (0,5 đ) Đặt y=n2+3n; đưa y2 +2y+1=(y+1)2 kết luận (0,5 đ) Bài 9(1,5đ): Với n nguyên dương ,thì phân số sau : Cần chứng minh ƯCLN(21n+4;14n+3)=1 Gọi ƯCLN(21n+4;14n+3)=d, với d  suy 21n+4=kd;14n+3=hd;với k,h nguyên dương Suy 7n+1=(k-h)d;do 21n+3=3(k-h)d Vì :1=(3h-2k)d; d=3h-2k=1.kết luận 21n  14n  tối giản (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 10(1 đ):Nếu n số tự nhiên lẻ, A= A  3.17 n  22 n.3n 1  29 Viết A=3(17n+12n) với n lẻ; Vận dụng Xn+Yn= (X+Y)(Xn-1-… ); A=3(17+12).B kết luận A chia hết cho 29 Bài 11(2 đ):Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh : Vẽ thêm đường kínhCD vận dụng hệ thức lượng CB sin A  CA sin B AC AC  CD R Tam giác vng ACD ; tam giác vngBCD có BC BC sin A  sin CDB   CD R sin B  sin D  (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 d) (0,5d ) Suy điều cần chứng minh (0,5 đ) Bài 12(2 đ):Cho AB,BC,CA ba dây cung đường tròn (O).Gọi AE phân giác góc BAC,(E  BC).Chứng minh :AB.AC - EB.EC=AE2 Nối AE cắt đường trịn (O)tại D Vận dụng tính chất góc nội tiếp chứng minh T am giác ADB đồng dạng tam giác ACE Viết hệ thức AB.AC=AE.AD (1) (0,75 đ) T am giác ECA đồng dạng tam giác EDB Viết hệ thức EC.EB=AE.ED (2) (0,75 đ) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh (0,5 đ) ThuVienDeThi.com Bài 13(3 đ):Cho tam giác ABC cân A, gọi BN; CM đường cao (M  (AB;N  AC) a/ Chứng minh :MN // BC b/ Cho AB= c ;BC=a Tính MN theo a c câu a/ chứng minh MB =MC (0,5 đ) Lập tỷ lệ thức MB NC  suy MN//BC AB AC câu b/ viết tỷ số MN AN BC  Suy MN  AN BC AC AC (0,5 đ) (1) (0,5 đ) kẻ đường cao AK Chứng minh tam giác ACK đồng dạng BCN Viết hệ thức BC BC CN  CK  AC AC ;tính AN=AC-CN (2) Từ (1)và (2) tính MN (1 đ) (0,5 đ) HẾT - ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC : 200 09 -2010 Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau: A= = 3    2010  2007 2007  2004 1008  1005 2010  2007  2007 ... ThuVienDeThi.com Bài 6(1 đ):Với a;b;c số dương thỏa a  290 1  b  290 1  c  290 1 Chứng minh rằng: a  b  2c Chứng minh vận dụng bất đẳng thức 2(x2 +y2)  (x+y)2 2 2( a  290 1  b  290 1 ) ... đ) a  b  c  6027  Đưa hệ phương trình a  b  c  20 09 4a  2b  c  6030  Giải hệ tìm a,b,c kết luận đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử