PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỨC TRỌNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009- 2010 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI: Bài 1(1đ): Tính giá trị biểu thức sau: A= 3 2010 2007 2007 2004 1008 1005 Bài 2(1,5đ): Tìm đa thức bậc hai P(x) Biết đa thức chia cho đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư 6027; 2009; 6030 Bài 3(1,5đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 28x2 - 31x + 58 Bài 4(1đ)): Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với x R x4 - x3 + 2x2 - x + = 2 x y xy Bài 5(2 đ): Giải hệ phương trình sau: 2 x y x y 2 Bài 6(1 đ): Với a; b; c số dương thỏa a 2901 b 2901 c 2901 Chứng minh rằng: a b 2c Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2 1) 13 2 14 số vô tỷ Bài 8(1 đ): Chứng minh tổng tích bốn số nguyên dương liên tiếp với số phương Bài 9(1,5 đ): Chứng minh với n nguyên dương, phân số sau: 21n tối giản 14n Bài 10(1 đ): Chứng minh với n số tự nhiên lẻ, A 3.17 n 22 n.3n 1 29 Bài 11(2 đ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh : CB sin A CA sin B Bài 12(2 đ): Cho AB, BC, CA ba dây cung đường tròn (O) Gọi AE phân giác góc BAC, E BC Chứng minh : AB.AC - EB.EC=AE2 Bài 13(3 đ): Cho tam giác ABC cân A Gọi BN; CM đường cao (M AB; N AC) a/ Chứng minh rằng: MN // BC b/ Cho AB = c ;BC = a Tính MN theo a c HẾT - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC : 20009 -2010 Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau: A= = 3 2010 2007 2007 2004 1008 1005 2010 2007 2007 2004 1008 1005 2010 1005 1005( 1) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 2(1,5đ):Tìm đa thức bậc hai P(x).Biết đa thức chia cho đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư 6027; 2009; 6030 Lập luận p(1)=6027; p(-1)=2009; p(-2)=6030 (0,5 đ) a b c 6027 Đưa hệ phương trình a b c 2009 4a 2b c 6030 Giải hệ tìm a,b,c kết luận đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 28x2 - 31x + 58 Tách số hạng hợp lý để nhóm :x3-27x2-x2-58x+27x+58 Đưa (x-1)(x2-27x-58) Tách phân tích (x2-27x-58) đưa kết cuối (x-1)(x+2)(x-29) Bài 4(1đ)):Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với x R x4 - x3 + 2x2 - x + = Phân tích vế trái đưa phương trình tích (x2+1)(x2-x+1)=0 Lập luận vế trái dương với x,kết luận phương trình vơ nghiệm x y xy Bài 5(2 đ):Giải hệ phương trình sau: 2 x y x y 2 3( x y ) xy Đưa hệ đả cho hệ 2 x y xy 3u v Đặt biến phụ u=x+y ;v=xy đưa hệ u v u v Giải hệ đưa ; u 4 v 15 (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) giải tìm x y (0,5 đ) ThuVienDeThi.com Bài 6(1 đ):Với a;b;c số dương thỏa a 2901 b 2901 c 2901 Chứng minh rằng: a b 2c Chứng minh vận dụng bất đẳng thức 2(x2 +y2) (x+y)2 2 2( a 2901 b 2901 ) ( a 2901 b 2901) c 2901 (0,5 đ) 2(a+b) 4c Từ có đpcm (0,5 đ) Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2 1) 13 2 14 số vô tỷ Biến đổi khai phương dấu Biến đổi khai phương dấu Biến đổi đưa kết 11 kết luận (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 8(1 đ): Chứng minh tổng tích bốn số nguyên dương liên tiếp với số phương Viết A= n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 (0,5 đ) Đặt y=n2+3n; đưa y2 +2y+1=(y+1)2 kết luận (0,5 đ) Bài 9(1,5đ): Với n nguyên dương ,thì phân số sau : Cần chứng minh ƯCLN(21n+4;14n+3)=1 Gọi ƯCLN(21n+4;14n+3)=d, với d suy 21n+4=kd;14n+3=hd;với k,h nguyên dương Suy 7n+1=(k-h)d;do 21n+3=3(k-h)d Vì :1=(3h-2k)d; d=3h-2k=1.kết luận 21n 14n tối giản (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 10(1 đ):Nếu n số tự nhiên lẻ, A= A 3.17 n 22 n.3n 1 29 Viết A=3(17n+12n) với n lẻ; Vận dụng Xn+Yn= (X+Y)(Xn-1-… ); A=3(17+12).B kết luận A chia hết cho 29 Bài 11(2 đ):Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh : Vẽ thêm đường kínhCD vận dụng hệ thức lượng CB sin A CA sin B AC AC CD R Tam giác vng ACD ; tam giác vngBCD có BC BC sin A sin CDB CD R sin B sin D (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 d) (0,5d ) Suy điều cần chứng minh (0,5 đ) Bài 12(2 đ):Cho AB,BC,CA ba dây cung đường tròn (O).Gọi AE phân giác góc BAC,(E BC).Chứng minh :AB.AC - EB.EC=AE2 Nối AE cắt đường trịn (O)tại D Vận dụng tính chất góc nội tiếp chứng minh T am giác ADB đồng dạng tam giác ACE Viết hệ thức AB.AC=AE.AD (1) (0,75 đ) T am giác ECA đồng dạng tam giác EDB Viết hệ thức EC.EB=AE.ED (2) (0,75 đ) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh (0,5 đ) ThuVienDeThi.com Bài 13(3 đ):Cho tam giác ABC cân A, gọi BN; CM đường cao (M (AB;N AC) a/ Chứng minh :MN // BC b/ Cho AB= c ;BC=a Tính MN theo a c câu a/ chứng minh MB =MC (0,5 đ) Lập tỷ lệ thức MB NC suy MN//BC AB AC câu b/ viết tỷ số MN AN BC Suy MN AN BC AC AC (0,5 đ) (1) (0,5 đ) kẻ đường cao AK Chứng minh tam giác ACK đồng dạng BCN Viết hệ thức BC BC CN CK AC AC ;tính AN=AC-CN (2) Từ (1)và (2) tính MN (1 đ) (0,5 đ) HẾT - ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC : 200 09 -2010 Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau: A= = 3 2010 2007 2007 2004 1008 1005 2010 2007 2007 ... ThuVienDeThi.com Bài 6(1 đ):Với a;b;c số dương thỏa a 290 1 b 290 1 c 290 1 Chứng minh rằng: a b 2c Chứng minh vận dụng bất đẳng thức 2(x2 +y2) (x+y)2 2 2( a 290 1 b 290 1 ) ... đ) a b c 6027 Đưa hệ phương trình a b c 20 09 4a 2b c 6030 Giải hệ tìm a,b,c kết luận đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử