Thông tin tài liệu
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Mơn : Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Bài (5 điểm) Cho biểu thức: x x 1 x x 1 x 1 x 1 ; với x > 0; x x P= x x x x x x 1 x Rút gọn P Tính P x = Tìm x để P < Bài (3 điểm) 21 Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 2 x x y x2 y2 2.Cho x, y R, x 0, y Chứng minh: 3 y x y x Bài (3 điểm) 1.Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) cho x x y 3x y Chứng minh a,b,c ba số thỏa mãn a+b+c= 2014 1 1 ba số a,b,c phải có số 2014 a b c 2014 Bài (5 điểm) Cho đường tròn đường trịn (O; R), đường kính AB vng góc với dây cung CD H ( H O ) Biết AH = a; CD = 2b a) Chứng minh tam giác HAD HCB đồng dạng với b) Tính R theo a b c) Qua H vẽ hai dây cung MN PQ vng góc với Xác định vị trí dây để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3 tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 3a 3b 3c 1 b2 1 c2 1 a2 Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = BC) có đường cao BH Trên AM CN cạnh AB BC lấy điểm M N cho a, b Đường BM BN HO thẳng MN cắt đường cao BH O Tính BO Chú ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh ThuVienDeThi.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Bài 1/ Biến đổi (5điểm) P= ( x 1)( x x 1) x ( x 1) Ta P = 2( x x 1) x HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Nội dung Điểm ( x 1)( x x 1) x ( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 2 0.5đ 1.5đ 0,5đ 1đ 2/ Tính x = Thay x = tính P = 2( x x 1) 21 21 x > 0, x 2 x ( x 4)(4 x 1) < Kết luận < x < x ĐK < x 3/ P < Bài (4điểm) 0.5 1.0đ 0,25đ Đặt x = a, x = b a2 + b2 = (a > 0, b > 0) a2 2a b2 b Biến đổi ta được: 0,75đ (2 ab) (a b)(2 ab) Vì a > 0, b > + ab > a - b = a2 - 2ab - b2 = 2ab = ab = Ta có : 2 x 2 x x x x (TM) x y x y x2 y2 x2 y2 2/ 3 (1) 3 o y x y x y x y x x y Đặt a = a2 = 0.25đ 0,75đ (2) a y x y x y a 2 x y x y x a 2 0,5đ x2 y2 2 y2 x2 BĐT (2) trở thành a2 - 3a + (a - 2)(a - 1) 0.(3) a Từ a nằm miền nghiệm bất phương trình (3) a 2 ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ Vậy a thoả mãn a2 - 3a + (1) Vậy 0.25đ x y x y y2 x2 y x 2 0,25đ x5 x 3x Bài 1/ Biến đổi y x (4điểm) x 2 x2 2 Vì x Z , y Z nên ( x 5) ( x 2) ( x 5)( x 5) ( x 2) ( x 25) ( x 2) ( x 27) ( x 2) 2 2 27 ( x 2) mà x2 + Xét trường hợp xảy kết luận cặp số nguyên ( x; y ) (-1;-3);(5;5) 2/Từ giả thiết ta có 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ 0,75đ 0,25đ 1 1 1 1 ( )( )0 a b c abc a b c abc ab ab (a b)(b c)(c a) ab c(a b c) a b 0,75đ b c c a - Nếu a+b=0 c=2014 - Nếu a+c=0 b=2014 - Nếu c+b=0 a=2014 Vậy ba số a,b,c phải có số 2014 0,25đ 0,5 đ 0,25đ A Bài (5điểm) Q O M L K H D C P B N a/ Ta có OA OB OC nên ACB vuông C nên góc BCH + góc ACH = 900 (1) Vì AB CD nên góc CAH + góc ACH = 900 (2) Từ (1) (2) suy góc CAH = góc BCH Mặt khác AB CD nên HC=HD hay ACD tam giác cân A =>AH phân giác góc A => góc CAH = góc DAH Suy góc BCH = góc DAH => Các tam giác HAD HCB đồng dạng ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ b/ Áp dụng định lí Pitago ta có AC AH HC2 a b Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ABC ta có AC2 AB.AH AB AC2 a b AB a b R AH a 2a 0,5đ c/ Gọi K, L hình chiếu vng góc O MN PQ Đặt OK = x; OL = y; Đặt OH = d tứ giác OKHL hình chữ nhật Đặt Ta có x y OH d 2 không đổi 0,5đ 0,5đ T MN PQ T MN PQ 2MN.PQ 4(R x ) 4(R y ) (R x )(R y ) 8R 4.d (R R d ) x y 2 2 0,25đ 8R 4(x y ) R R (x y ) x y * T đạt GTLN T2 đạt GTLN x y đạt GTLN xy đạt GTLN x y2 d Áp dụng BĐT Cơsi ta có xy 2 Dấu “=” xẩy x y OL = OK => HO tia phân giác góc tạo 0,5đ 0,5đ 0,25đ hai dây cung * T đạt GTNN T2 đạt GTNN x y đạt GTNN xy đạt GTNN 0,25đ Mặt khác x, y nên xy , dấu “=” xẩy x = y = => dây cung 0,25đ trở thành đường kính Bài5 (5điểm) Ta có (1 3a )b (1 3a )(1 b b ) 3a b(1 3a ) = =1+3a (1) 3a 2 2 1 b 1 b 1 b 0.5đ Do b 2b (Bất đẳng thức cô si) Tương tự ta có c(1 3b) 3b (2); 3b 2 1 c a (1 3c) 3c 3c (3) 2 1 a 0.25đ 0.25đ Từ (1)(2)(3) ThuVienDeThi.com a b c 3(ab bc ac) 5(a b c) 2 2 2 2 lại có (a-b) +(b-c) +(c-a) ta suy a +b +c (ab+bc+ac) nên (a+b+c)2 3(ab+bc+ac)=9 suy a+b+c Do P ta có p 3+3(a+b+c)- 0,5đ Vậy giá trị nhỏ P Khi a=b=c=1 Bài6 0.5đ Bài6: (2điểm) B N K O M A P H + Kẻ MP BH , NK BH ( K, H nằm BH) BK BN BN Chứng minh: BKN đồng dạng BHC nên BH BC BN NC BH b => BK = BH (1) => BK 1 b C 0,25đ Chứng minh tương tự BPM đồng dạng BHA => BP = BH (2) 1 a 0.25đ Chứng minh BKN đồng dạng BPM, kết hợp với (1) (2) ta BH BK KN b 1 a BP PM BH b 1 a (3) 0.25đ Chứng minh OKN đồng dạng OPM, kết hợp với (3) ta KO KN a PO PM b KO 1 a 1 a KO 1 a => KO PO (1 a) (1 b) a b KP a b ThuVienDeThi.com 0.25đ => KO 1 a BP BK a b KO 1 BH BH 1 a 1 b 1 a a b 1 (1 a ) BH a b (1 a )( b a)BH ( b a)BH KO = a b (1 a )(1 b)(2 a b) (1 b)(2 a b) ( b a)BH BH 1 b (1 b)(2 a b) BH(2 a b) ( b a)BH (1 b)(2 a b) 2BH(1 b) 2BH (4) = (1 b)(2 a b) a b 2BH BH(a b) +Tính HO = BH – BO = BH = a b a b + Từ (4) (5) tính HO BH(a b) 2BH ab : BO a b a b 0.25đ + Tính BO = BK + KO = 0.25đ 0.25đ (5) 0.25đ Lưu ý:- HS làm cách khác cho điểm tối đa Chứng minh hình phải có lập luận, chặt chẽ cho điểm tối đa.Không vẽ hình khơng chấm điểm hình ThuVienDeThi.com ... ĐÀOTẠO HUYỆN THI? ??U HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Bài 1/ Biến đổi (5điểm) P= ( x 1)( x x 1) x ( x 1) Ta P = 2( x x 1) x HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014- 2015 Mơn thi: Tốn... LỚP Năm học 2014- 2015 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Nội dung Điểm ( x 1)( x x 1) x ( x 1) x 1 x 1 x 1... b c) a b 0,75đ b c c a - Nếu a+b=0 c =2014 - Nếu a+c=0 b =2014 - Nếu c+b=0 a =2014 Vậy ba số a,b,c phải có số 2014 0,25đ 0,5 đ 0,25đ A Bài (5điểm) Q O M L K H D C P B N a/
Ngày đăng: 31/03/2022, 00:56
Xem thêm:
