Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2012 2013 môn thi: Toán32760

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi gồm 01 trang)  x 2 x   x2  x  Câu 1: (3 điểm) Cho A =     x 1 x  x 1  a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x  x  x  x   18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + ( x  y )( x  y )  45 c) Giải hệ phương trình:  ( x  y )( x  y )  85 Câu : (4 điểm) a) Cho a  b  c  , tính giá trị biểu thức: 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A  n  n  số phương P Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N  (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị khơng đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  x 10 y 10  16     ( x  y 16 )  (1  x y ) 2 y x  Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu Đáp án hướng dẫn chấm ý a ĐKXĐ: x  0, x  A   x ( x  1) A    x ( x  1)   x ( x  1)  b c  x  (vì x  x  )    x 1  x   1 1 A   x ( x  1)   x  x    ( x  )   4 4  A 1 Vậy GTLN A = x   x  (t / m) 4 Điểm 0.25đ 0.75đ 0.25đ 0.75đ 0.75đ 0.25đ x  x  x  x   18  2( x  x  8)  x  x    Đặt x  x   y, y  ta phương trình: y2  3y    y2  y  y   a y   ( y  2)(2 y  1)    y    y =  b 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 2 x   x  x  Nên: |2x-7| < x2 + 2x +  0.5đ x    0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ 2 x    x  x  2  x  x   ThuVienDeThi.com x   c 0.5đ 0.25đ ( x  y )( x  y )  45 ( x  y )( x  y )  45 (1) Biến đổi   ( x  y )( x  y )  85 ( x  y )( x  y )  85 (2) 0.25đ Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2)  4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = x = => khơng thỏa mãn hệ Nếu y  , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - t = - 1/4 x = -4y y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y)  {(4;-1);(1;-4)} 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 1  2  2  2 2 b  c  (b  c) a  c  (a  c) a  b  (a  b) abc 1     0 (voi : abc  0) 2bc 2ac 2ab 2abc A  n  n  số phương nên A có dạng A  n  n   k (k  N * ) P a b x     x   3  x  5 Kết luận nghiệm bất phương trình 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ (dk : abc  0) 1đ 1đ  4n  4n  24  4k  (2k )  (2n  1)  23 0.5đ 2k  2n   23  (2k  2n  1)(2k  2n  1)  23    2k  2n   0.5đ 2k  2n   23 k     2k  2n   n  0.75đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) a Vậy với n = A số phương C ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA P = (AB+BM)+(CN+CA) O A (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM C (t/c tt cắt nhau) N = OA2  OM  a  R Vì A cố định nên OA=a khơng đổi P di chuyển cung nhỏ MN chu vi tam giác ABC không đổi C ABC = a  R ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần)  S BIA Trình bày c/m: S BID  S BIC Trình bày c/m: S BIC b 0.5đ A 1.0đ => S BID  S BIA  S ABD 0.5đ Trình bày c/m: S ABD  S ABC => S BID 36 S ABC  1 36 36 E 0.5đ I B D C 0.5đ Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0  16   ( x  y 16 )  (1  x y )    x 10 y 10      1  ( x 16  y 16   1)  (1  x y )  2 y x  Q  x 10 y 10    y x 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:   x 10 y 10     1  x y 2 y x  16 ( x  y 16   1)  x y 4 0.25đ 0.25đ => Q  x y  x y   x y  x y    Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0.5đ 0.5đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02 /2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu Đáp án... < x2 + 2x +  0.5đ x    0.25đ x2+4x+4 >9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ 2 x    x  x  2  x  x   ThuVienDeThi.com x   c 0.5đ 0.25đ ( x  y )( x  y )  45 (... hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần)  S BIA Trình bày c/m: S BID  S BIC