ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi Năm học 2009-2010 Mơn thi : Tốn ( Thời gian 150 phút) Bài1(1,5đ) a/ Tính 62 62 b/ Cho a +b +c = , a,b,c ≠0 Chứng tỏ 1 = a b2 c2 a b c | | c/ Hãy chứng tỏ x nghiệm phương trình x3 +3x – = Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A x y 1 xy xy x y x y xy x y 1 x y Với x = 3, y b/ Giải phương trình x9 x7 Bài3(2,5đ) a/ Tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức B x2 x x2 x b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF ( A ,E (O) , B , F (O’) ) a/ Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh AOM BMO’ đồng dạng b/ Chứng minh AE vng góc với BF c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng Bài5(1đ) Cho hình vng ABCD Tính cos MAN biết M ,N theo thứ tự trung điiểm BC, CD Đáp án thang điểm Bài 1: a/ 62 62 = 1 1 = = | | - | 1| = = b) CM 1 1 1 2 = a b c a b c ThuVienDeThi.com 1 1 2 Ta có Vậy 2 1 1 1 1 1 abc 2 2 a b c ab bc ac a b c abc abc Mà a +b +c = , a,b,c ≠0 => 2 =0 abc 1 = a b2 c2 1 = a b2 c2 1 1 a b c = 1 a b c c) Hãy chứng tỏ x nghiệm phương trình x3 +3x – = Tacó : x3 = 2 3 = – 3 3 . . .3 = - 3.3 x = – 3x * x3 = – 3x x3 + 3x + = Vậy x nghiệm PT x3 + 3x + = Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A x y 1 xy xy x y x y xy Với x = 3, y Giải : ĐK : x > , y > A x y 1 : xy xy x y x y xy x y : xy xy xy x y x y x y = : xy x y xy xy = x y 2 x y x y 1 x y 1 y x x y xy x y xy x y x xy y : xy x y xy xy x y x y = : xy x y xy xy = x y = x y xy Khi x = 3, y A = 2 2 2 2 2 2 => A2 = – = Do A < => A = - ThuVienDeThi.com 2 b/ Giải phương trình x x (1) ĐK: x (1) => ( x x 7)2 42 2x + + 2( x 9x ) = 16 2( x 9x ) = 16 – 2( x + 1) x 9x = – (x + 1) (2) Nếu – ( x+ 1) < x + > x > (2) Vơ nghiệm => (1) Vô nghiệm Nếu – ( x+ 1) x + x Kết hợp với ĐK đầu => x = Thử x = vào pt(2) ta có = Vậy x = nghiệm pt (2) nghiệm PT (1) Bài3(2,5đ) 2x 1 3x 3x x x 3 3 2 x x 1 x x 1 Ta có B = GTLN B = x = -1 3x 3x x 2x 1 2x 1 x2 x 1 B= 2 3 x x 1 3x 3x 3 x x x x 1 GTNN B = x = b) y A O C x Đường thẳng qua hai điểm A( ;4) C( 3; 0) có dạng y = ax + b A(0;4) đường thẳng y = ax + b = a.0 + b b = B(3;0) đường thẳng y = ax + b = a.3 + b 3a + = a = 4 Vậy đường thẳng qua hai điểm A C : y = x + Đường thẳng y = ax đường thẳng qua gốc toạ độ cắt cạnh BC hcn OABC M(3; y0) (y0 > 0) cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC = 1 OC.CM OA.OC (1) ThuVienDeThi.com SOABC Mà OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1 3.y0 = y0 = 3 Vậy đường thẳng y =ax qua M(3; 8 ) = a.3 a = 3 Bài 4: E O N O' 12 F A a) Chứng minh M B AOM BMO’ đồng dạng 1v Ta có AB tiếp tuyến (O) => OAM ' AB tiếp tuyến (O’) => O BM 1v EF tiếp tuyến (O’) (O’) => OM phân giác AME , O’M phân 'F giác BO ' B FMB - Xét tứ giác BO’FM có FO = 1800 EMA FMB = 1800 ' B EMA => FO ' FO ' B (OM phân giác AME ) Mà O 2 EMA M ( O’M phân giác BO’F) => O2’ = M2 Mà OAM = O’BM = 1V => AOM đồng dạng BMO’ ( g-g) b/ Chứng minh AE vng góc với BF Ta có OM đường trung trực AE => OM AE O’M đường trung trực BF => O’M BF Mà O1’ = O2’ , M1 = M2 , O2’ = M2 => O1’ = M1 Ta có FMO’ + O1’ = 900 => FMO’ + M1 = 900 => O’MO = 900 => O’M MO Mà O’M BF => BF // MO , OM AE ( cmt) => BF AE c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng ThuVienDeThi.com Bài5(1đ) B a M C N 2a a D A Đặt BAM = DAN = cạnh hình vng 2a BM = DN = a Suy AM = AN = a ( theo định lý pitago tam giác vng có cạnh a, 2a) Vậy cos = DN 2a AN a 5 Và sin MAN = cos ( hai góc phụ nhau) = 2cos2 - = 2 5 Mà sin2MAN + cos2MAN = => cos2MAN = – sin2MAN = => cosMAN = ThuVienDeThi.com 16 25 25 ... phân giác AME , O’M phân 'F giác BO ' B FMB - Xét tứ giác BO’FM có FO = 1800 EMA FMB = 1800 ' B EMA => FO ' FO ' B (OM phân giác AME ) Mà O 2 EMA M ( O’M phân... phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC = 1 OC.CM OA.OC (1) ThuVienDeThi.com SOABC Mà OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1... Khi x = 3, y A = 2 2 2 2 2 2 => A2 = – = Do A < => A = - ThuVienDeThi.com 2 b/ Giải phương trình x x (1) ĐK: x (1) => ( x x 7)2 42 2x