Đề thi chọn HSG huyện Ân Thi năm học 20092010 môn thi: Toán 930197

ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi Năm học 2009-2010 Mơn thi : Tốn ( Thời gian 150 phút) Bài1(1,5đ) a/ Tính 62  62 b/ Cho a +b +c = , a,b,c ≠0 Chứng tỏ 1   = a b2 c2 a b c |   | c/ Hãy chứng tỏ x     nghiệm phương trình x3 +3x – = Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A x  y  1      xy xy  x y  x  y  xy  x y   1     x  y    Với x =  3, y   b/ Giải phương trình x9  x7  Bài3(2,5đ) a/ Tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức B x2  x  x2  x  b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF ( A ,E  (O) , B , F  (O’) ) a/ Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh  AOM  BMO’ đồng dạng b/ Chứng minh AE vng góc với BF c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng ฀ Bài5(1đ) Cho hình vng ABCD Tính cos MAN biết M ,N theo thứ tự trung điiểm BC, CD Đáp án thang điểm Bài 1: a/ 62  62 =  1   1 = = |  | - |  1| =    =  b) CM 1 1 1  2 =   a b c a b c ThuVienDeThi.com   1    1 2 Ta có Vậy 2 1  1 1  1 1 abc         2      2   a b c  ab bc ac  a b c  abc  abc Mà a +b +c = , a,b,c ≠0 => 2  =0  abc  1   = a b2 c2 1   = a b2 c2 1 1     a b c = 1   a b c c) Hãy chứng tỏ x     nghiệm phương trình x3 +3x – = Tacó : x3 =   2 3 = –          3     3  .           .  .3     = - 3.3   x        = – 3x * x3 = – 3x x3 + 3x + = Vậy x     nghiệm PT x3 + 3x + = Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A x  y  1      xy xy  x y  x  y  xy Với x =  3, y   Giải : ĐK : x > , y > A x  y  1  :     xy xy  x y  x  y  xy x  y :  xy xy  xy x y   x y x y = :  xy x  y xy xy  = x y       2   x y   x y   1      x y    1      y   x   x  y      xy x y     xy x  y      x  xy  y   :   xy x  y  xy xy    x y x y   = :   xy x  y  xy xy   = x y    = x y xy    Khi x =  3, y   A = 2  2 2  2    2  2 => A2 = – = Do A < => A = - ThuVienDeThi.com    2 b/ Giải phương trình x   x   (1) ĐK: x  (1) => ( x   x  7)2  42 2x + + 2( x  9x   ) = 16 2( x  9x   ) = 16 – 2( x + 1) x  9x   = – (x + 1) (2) Nếu – ( x+ 1) < x + > x > (2) Vơ nghiệm => (1) Vô nghiệm Nếu – ( x+ 1)  x +  x  Kết hợp với ĐK đầu => x = Thử x = vào pt(2) ta có = Vậy x = nghiệm pt (2) nghiệm PT (1) Bài3(2,5đ) 2x  1 3x  3x   x  x  3  3 2 x  x 1 x  x 1 Ta có B = GTLN B = x = -1      3x  3x  x  2x  1 2x  1 x2  x 1 B=      2 3 x  x 1 3x  3x  3 x  x  x  x 1 GTNN B = x =  b)   y A O C x Đường thẳng qua hai điểm A( ;4) C( 3; 0) có dạng y = ax + b A(0;4)  đường thẳng y = ax + b  = a.0 + b  b = B(3;0)  đường thẳng y = ax + b  = a.3 + b  3a + =  a =  4 Vậy đường thẳng qua hai điểm A C : y =  x + Đường thẳng y = ax đường thẳng qua gốc toạ độ cắt cạnh BC hcn OABC M(3; y0) (y0 > 0) cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC =  1 OC.CM  OA.OC (1) ThuVienDeThi.com SOABC Mà OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1 3.y0 =  y0 = 3 Vậy đường thẳng y =ax qua M(3; 8 )  = a.3  a = 3 Bài 4: E O N O' 12 F A a) Chứng minh M B  AOM  BMO’ đồng dạng ฀  1v Ta có AB tiếp tuyến (O) => OAM ฀ ' AB tiếp tuyến (O’) => O BM  1v EF tiếp tuyến (O’) (O’) => OM phân giác ฀AME , O’M phân ฀ 'F giác BO ฀ ' B  FMB ฀ - Xét tứ giác BO’FM có FO = 1800 ฀ ฀ EMA  FMB = 1800 ฀ ' B  EMA ฀ => FO ฀ '  FO ฀ ' B (OM phân giác  AME ) Mà O 2 ฀  EMA ฀ M ( O’M phân giác  BO’F) =>  O2’ =  M2 Mà  OAM = O’BM = 1V =>  AOM đồng dạng  BMO’ ( g-g) b/ Chứng minh AE vng góc với BF Ta có OM đường trung trực AE => OM  AE O’M đường trung trực BF => O’M  BF Mà  O1’ =  O2’ ,  M1 =  M2 ,  O2’ =  M2 =>  O1’ =  M1 Ta có  FMO’ +  O1’ = 900 =>  FMO’ +  M1 = 900 =>  O’MO = 900 => O’M  MO Mà O’M  BF => BF // MO , OM  AE ( cmt) => BF  AE c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng ThuVienDeThi.com Bài5(1đ) B a M C N 2a a D A Đặt  BAM =  DAN =  cạnh hình vng 2a BM = DN = a Suy AM = AN = a ( theo định lý pitago tam giác vng có cạnh a, 2a) Vậy cos  = DN 2a   AN a 5 Và sin MAN = cos  ( hai góc phụ nhau) = 2cos2    - = 2     5 Mà sin2MAN + cos2MAN = => cos2MAN = – sin2MAN = => cosMAN = ThuVienDeThi.com 16  25 25 ... phân giác ฀AME , O’M phân ฀ 'F giác BO ฀ ' B  FMB ฀ - Xét tứ giác BO’FM có FO = 1800 ฀ ฀ EMA  FMB = 1800 ฀ ' B  EMA ฀ => FO ฀ '  FO ฀ ' B (OM phân giác  AME ) Mà O 2 ฀  EMA ฀ M ( O’M phân... phần chứa điểm A gấp đơi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC =  1 OC.CM  OA.OC (1) ThuVienDeThi.com SOABC Mà OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1...   Khi x =  3, y   A = 2  2 2  2    2  2 => A2 = – = Do A < => A = - ThuVienDeThi.com    2 b/ Giải phương trình x   x   (1) ĐK: x  (1) => ( x   x  7)2  42 2x