Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f(x) có dạng ( ) ( ) ( ) P x f x Q x = trong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q Hàm[.]
Nguyên hàm hàm số phân thức hữu tỉ cách giải A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f(x) có dạng f ( x ) = P(x) P Q đa thức, P Q( x ) không chia hết cho Q - Hàm f(x) gọi hàm phân thức hữu tỉ thực bậc P < bậc Q - Trong tốn tìm ngun hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ, f(x) chưa phải hàm phân thức hữu tỉ thực ta thực chia tử thức cho mẫu thức để f (x) = P(x) R (x) = S( x ) + = S( x ) + h ( x ) , Q( x ) Q( x ) Khi đó, h ( x ) hàm phân thức hữu tỉ thực Ta có: Một phân thức thực ln phân tích thành tổng phân thức đơn 1 ax + b ax + b giản Đó biểu thức có dạng ; ; ; k x − a ( x − a ) x + px + q ( x + px + q )k hàm số tìm ngun hàm cách dễ dàng Để tách phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định Trường hợp phương trình Q(x) = có nghiệm thực nghiệm nghiệm đơn Q ( x ) = ( a1x + b1 )( a x + b ) ( a k x k + b k ) (Số nhân tử bậc đa thức Q ( x ) ) Trong trường hợp này, g(x) biểu diễn dạng: g(x) = R (x) A1 A2 Ak = + + + Q ( x ) a1x + b1 a x + b a k x + bk Sau biểu diễn g(x) dạng này, tốn trở thành tốn Ví dụ cách phân tích: 4x − 4x − A B Ax − 2A + Bx − B = = + = x − 3x + ( x − )( x − 1) x − x − ( x − 1)( x − ) Khi ( A + B ) x − 2A − B = 4x − , đồng hệ số ta A + B = A = −1 2A + B = B = Khi ta được: 4x − 4x − −1 = = + x − 3x + ( x − )( x − 1) x − x − 2 Trường hợp Q(x) = có nghiệm thực nghiệm bội - Nếu phương trình Q ( x ) = có nghiệm thực a1;a ; ;a n a nghiệm bội k ta phân tích g ( x ) = g(x) = R (x) dạng Q( x ) A1 A2 Ak B1 B2 B + + + + + + + n +1 k x − an ( x − a1 ) ( x − a1 ) ( x − a1 ) x − a x − a Ví dụ cách phân tích: 2x (1 − x ) = = = A B C + + − x (1 − x ) (1 − x )3 A ( x − 2x + 1) + B (1 − x ) + C (1 − x ) Ax + ( −2A − B ) x + A + B + C (1 − x ) A = A = Từ đây, đồng hệ số ta có −2A − B = B = −2 A + B + C = C = Khi đó: 2x (1 − x ) = −2 (1 − x ) + (1 − x ) TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ thực sau phân tích đưa dạng nguyên hàm sau: A x − a dx = A.ln x − a + C, A (x − a) dx = − k k 1 A +C k − ( x − a )k −1 Mở rộng: Nguyên hàm hàm phân thức chứa mẫu thức 3.1 Dạng 1: I = dx ax + bx + c Phương pháp chung ( Ta có ln u + u + k du u +k ) 1+ = u 1+ u u2 + k = u2 + k = u + u2 + k u + u2 + k u2 + k = ln u + u + k + C 3.2 Dạng 2: I = ( mx + n ) dx ax + bx + c Phương pháp chung Ta có I4 = ( mx + n ) dx ax + bx + c = m ( 2ax + b ) dx mb dx − 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c m d ( ax + bx + c ) mb = − I3 2a ax + bx + c 2a 3.3 Dạng 3: I = dx ( px + q ) ax + bx + c Phương pháp chung dt 1 Đặt px + q = pdx = − ; x = − q Khi t t p t I5 = = dx ( px + q ) ax + bx + c −dt a 1 b 1 pt − q + − q + c t p t p t dt = At + Bt + (quay trở toán dạng 1) Nguyên hàm số nguyên hàm liên quan dạng dx = ax + b a ln ax + b + C a + x2 + a2 +C x x + a = − a ln x dx dx x = arctan +C a +x a a a dx dx a+x = ln +C −x 2a a − x x +a x ( dx x−a = ln +C −a 2a x + a B VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ Ngun hàm x dx là: − 7x + x−6 ln + C x −1 A x −1 ln + C x−6 B C ln x − 7x + + C D − ln x − 7x + + C Lời giải Ta có: 1 dx = x − 7x + ( x − 1)( x − ) dx = 1 − dx = ( ln x − − ln x − ) + C x − x −1 x−6 = ln +C x −1 Đáp án B 2x − 6x + 4x + dx là: Ví dụ Nguyên hàm x − 3x + ) = ln x + x + a + C A x + ln C x −1 + C x−2 B x −1 x + ln + C x−2 x−2 x + ln +C x −1 D x + ln x−2 + C x −1 Lời giải Ta có: 2x − 6x + 4x + x − 3x + dx = 2x ( x − 3x + ) + x − 3x + dx = 2x + dx x − 3x + = 2x + dx x − x − ( )( ) 1 = 2x + − dx x − x −1 = x + ln x−2 +C x −1 Đáp án D C BÀI TẬP TỰ LUYỆN x + 3x + 3x − Câu Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = với F(0) = là: (x + 1)2 x2 A +x+ x +1 x2 B +x− x +1 x2 C −x+ x +1 D Một kết khác Câu ( x + 1)( x + ) dx bằng: x +1 +C x+2 A ln x + + ln x + + C B ln C ln x + + C D ln x + + C Câu x x +1 dx bằng: − 3x + A 3ln x − − 2ln x − + C B 3ln x − + 2ln x − + C C 2ln x − − 3ln x − + C D 2ln x − + 3ln x − + C Câu A ln C x dx bằng: − 4x − x −5 +C x +1 B 6ln x −5 ln +C x +1 x −5 +C x +1 x −5 +C D − ln x +1 x(x − 3)dx Câu Tìm nguyên hàm: A x ln +C x −3 B x+3 ln +C x C x ln +C x+3 D x −3 ln +C x Câu A − x dx bằng: + 6x + +C x+3 B Câu Cho hàm f ( x ) = A f ( x ) dx = ln +C x −3 C − +C x −3 D +C 3− x Khi đó: x − 3x + 2 x +1 +C x+2 B f ( x ) dx = ln x −1 +C x−2 C f ( x ) dx = ln x+2 +C x +1 D f ( x ) dx = ln Câu Họ nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = x−2 +C x −1 x − 4x + x −3 | +C A F(x) = ln | x −1 x −1 | +C B F(x) = ln | x −3 C F(x) = ln | x − 4x + | +C D F(x) = ln | Câu Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f (x) = x −3 | +C x −1 3 thỏa mãn F = x − 3x + 2 Khi F(3) bằng: A 2ln2 B ln2 Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) biết f (x) = A − (x x + 3x + 4x + 3) +C x + 3x C +C x + 4x + Câu 11 Tính D –ln2 C -2ln2 2x + x + 4x + B (2x + 3)ln x + 4x + + C D ( ln x + + 3ln x + ) + C dx x + 2x − A −1 x − ln +C x+3 B −1 x + ln +C x −1 C x +3 ln +C x −1 D x −1 ln +C x +3 Câu 12 Họ nguyên hàm f(x) = A F(x) = ln x +1 +C x là: x(x + 1) B F(x) = ln x +C x +1 C F(x) = x ln +C x +1 D F(x) = ln x(x + 1) + C Câu 13 Nếu F(x) nguyên hàm hàm f (x) = x −3 ,F(0) = x + 2x − số C A − ln 3 B ln C Câu 14 Nguyên hàm hàm số: y = ln 3 dx a − x là: A a−x ln +C 2a a + x B a+x ln +C 2a a − x C x −a ln +C a x+a D x+a ln +C a x −a Câu 15 Nguyên hàm hàm số: y = D − ln x dx là: − a2 A x−a ln +C 2a x + a B x+a ln +C 2a x − a C x −a ln +C a x+a D x+a ln +C a x −a Câu 16 Để tìm họ nguyên hàm hàm số: f (x) = Một học sinh trình x − 6x + bày sau: (I) f (x) = 1 1 1 = = − x − 6x + (x − 1)(x − 5) x − x − (II) Nguyên hàm hàm số 1 , theo thứ tự là: ln x − , ln x − x − x −1 (III) Họ nguyên hàm hàm số f(x) là: 1 x −1 (ln x − − ln x − + C = +C 4 x −5 Nếu sai, sai phần nào? A I B I, II C II, III D III x +1 Câu 17 Tính: P = x2 + dx A P = x x + − x + C B P = x + + ln x + x + + C + x2 + +C C P = x + + ln x D Đáp án khác Câu 18 Hàm số nguyên hàm hàm số: y = A F(x) = + x + x2 B F(x) = x + + x ( C F(x) = ln x − + x ) Câu 19 Tính nguyên hàm ( D F(x) = ln x + + x dx x +a ) ? A ln x − x + a + C B ln 2x − x + a + C C ln 2x + x + a + C D ln x + x + a + C Câu 20 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x (1 − x ) A F ( x ) = + +C x − ( x − 1)2 B F ( x ) = − +C x − ( x − 1)2 C F ( x ) = 1 + +C − x (1 − x )4 D F ( x ) = 1 − +C − x (1 − x )4 Đáp án 10 A B A C D A D A D D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B D B A D B D D B ... hệ số ta có −2A − B = B = −2 A + B + C = C = Khi đó: 2x (1 − x ) = −2 (1 − x ) + (1 − x ) TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ thực sau phân tích đưa dạng nguyên hàm. .. + C + x2 + +C C P = x + + ln x D Đáp án khác Câu 18 Hàm số nguyên hàm hàm số: y = A F(x) = + x + x2 B F(x) = x + + x ( C F(x) = ln x − + x ) Câu 19 Tính nguyên hàm ( D F(x) = ln x + + x dx x... A − ln 3 B ln C Câu 14 Nguyên hàm hàm số: y = ln 3 dx a − x là: A a−x ln +C 2a a + x B a+x ln +C 2a a − x C x −a ln +C a x+a D x+a ln +C a x −a Câu 15 Nguyên hàm hàm số: y = D − ln x dx là: