Ôn tập chương 4 A Lý thuyết 1 Số phức 1 1 Số i Số i là số thỏa mãn i 2 = – 1 1 2 Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a; b ; i 2 = – 1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Số phức 1.1 Số i Số i số thỏa mãn: i2 = – 1.2 Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , a; b ; i2 = – gọi số phức Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a phần thực, b phần ảo z Tập hợp số phức kí hiệu Ví dụ Các số sau số phức: – 3i; –8 + 4i; i 2; 2i Ví dụ Số phức – i có phần thực 6, phần ảo – 1.3 Số phức – Định nghĩa: Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng : a + bi = c + di a = c b = d Ví dụ Tìm số thực x y biết : (2x – 1) + (y – 2)i = + (4 – y)i Lời giải : Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = + (4 – y)i 2x x y y y Vậy x = y = – Chú ý : a) Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo : a = a + 0i Như vậy, số thực số phức Ta có : b) Số phức + bi gọi số ảo viết đơn giản bi : bi = + bi Đặc biệt: i = + 1.i Số i gọi đơn vị ảo 1 1 Ví dụ Số phức z có phần thực phần ảo là z i 2 2 1.4 Biểu diễn hình học số phức Điểm M(a ; b) hệ tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi Ví dụ Điểm A biểu diễn số phức – 2i Điểm B biểu diễn số phức Điểm C biểu diễn số phức – Điểm D biểu diễn số phức + 3i Điểm E biểu diễn số phức Điểm F biểu diễn số phức – + 2i Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i 1.5 Môđun số phức Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a ; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài vecto OM gọi môđun số phức z kí hiệu |z| Vậy z OM hay a bi OM Ta thấy : a bi a b2 Ví dụ 2 3i (2) 32 13 4i ( 2) (4) 18 1.6 Số phức liên hợp – Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi Ta gọi a – bi số phức liên hợp z kí hiệu z a bi Ví dụ Nếu z = –3 + 5i z 5i Nếu z = –4 + 4i z 4i – Nhận xét : + Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục Ox + Từ định nghĩa ta có : z z; z z Cộng, trừ nhân số phức 2.1 Phép cộng phép trừ – Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức – Tổng quát: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d).i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i 2.2 Phép nhân – Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân hai đa thức, thay i2 = – vào kết – Tổng quát: (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bd Vậy (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc).i – Chú ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực Phép chia số phức 3.1 Tổng tích hai số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi, ta có: z z = (a + bi) + (a – bi) = 2a; z z = (a + bi) (a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 = z + Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức + Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơ đun số phức Vậy tổng tích hai số phức liên hợp số thực 3.2 Phép chia hai số phức Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác tìm số phức z cho c + di = (a + bi).z Số phức z gọi thương phép chia c + di cho a + c di bi kí hiệu là: z a bi Ví dụ Thực phép chia – 6i cho + i Lời giải: Giả sử z 6i 1 i Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = – 6i Nhân hai vế với số phức liên hợp + i ta được: (1 – i) (1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i) Suy ra: 2z = – – 10i Do đó, z = –1 – 5i Vậy 6i 5i 1i – Tổng quát: Giả sử z c di Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có: a bi (a + bi).z = c + di Nhân hai vế với số phức liên hợp a + bi, ta được: (a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di) Hay (a2 + b2).z = (ac + bd) + (ad – bc).i Nhân hai vế với số thực z ta được: a b2 (ac bd) (ad bc)i a b2 Vậy c di ac bd ad bc i a bi a b2 a b2 – Chú ý Trong thực hành để tính thương c di , ta nhân tử mẫu với số a bi phức liên hợp a + bi Ví dụ Thực phép chia – 4i cho + i Lời giải: 4i (2 4i).( i) i (2 i)(2 i) [2.2 (4).(1)] + 2.( 1) ( 4).2 i 22 12 10i 2i Phương trình bậc hai với hệ số thực 4.1 Căn bậc hai số thực âm Tương tự bậc hai số thực dương, từ i2 = –1, ta nói i bậc hai – 1; –i bậc hai –1 (– i)2 = –1 Ta đó, ta xác định bậc hai số thực âm, chẳng hạn Căn bậc hai –16 4i 4i 16 Căn bậc hai –5 5i 5i Tổng quát, bậc hai số thực a âm i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với a; b ; c ;a Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac phương trình Ta thấy: b 2a Khi ∆ > 0, có hai bậc hai thực ∆ phương trình có hai Khi ∆ = 0, phương trình có nghiệm thực x nghiệm thực phân biệt, xác định công thức x1;2 b 2a Khi ∆ < 0, ta có hai bậc hai ảo ∆ i Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức xác định cơng thức x1;2 b i 2a – Nhận xét: Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (khơng thiết phân biệt) Tổng quát: Mọi phương trình bậc n ( n 1) : a0.xn + a1.xn–1 + ….+ an–1.x + an = Trong đó; a0 ; a1;… ; an ; a có n nghiệm phức (các nghiệm không thiết phân biệt) B Bài tập tự luyện Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết : a) – + 2i ; b) i ; c) – ; d) – 10i Lời giải : a) Phần thực – ; phần ảo b) Phần thực ; phần ảo c) Ta có : – = –8 + 0.i nên có phần thực – ; phần ảo d) Ta có : –10i = – 10i nên có phần thực ; phần ảo –10 Bài Tìm số thực x ; y biết : a) (6 – 3x) + (x – y)i = + 2i ; b) (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i Lời giải : a) Để (6 – 3x) + (x – y)i = + 2i 6 3x 3x x x y x y y 1 Vậy x = y = –1 b) Để (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i 7y0 y7 y x y x x Vậy x = y = Bài Tính z , với : a) z 3i ; b) z i ; c) z 7i ; d) z Lời giải : a) z 22 ( 3)2 b) z ( 5)2 12 c) Ta có : z 7i 7i z 02 ( 7) d) Ta có : z 0.i z ( 5)2 02 Bài Tìm z , biết : a) z 3i ; b) z i ; c) z = –5i; d) z = Lời giải: a) Số phức liên hợp z z 3i ; b) Số phức liên hợp z z i c) Số phức liên hợp z z 5i ; d) Số phức liên hợp z z Bài Thực phép tính: a) (2 + 3i) + (– + 6i); b) (– + 2i) + (3 – 7i); c) (3 – 2i) – (8 – 4i); d) (– + 2i) – (2 – 3i) Lời giải: a) (2 + 3i) + (– + 6i) = [2 + ( –3)] + (3 + 6).i = –1 + 9i b) (– + 2i) + (3 – 7i) = (– + 3) + (2 – 7).i = –3 – 5i c) (3 – 2i) – (8 – 4i) = (3 – 8) + [– – (–4)].i = –5 + 2i d) (– + 2i) – (2 – 3i) = (– – 2) + [2 – ( – 3)].i = – + 5i Bài Thực phép tính sau: a) (3 – i) (4 – 2i); b) (4 + 2i) (– – i); c) 4.(– + 2i); d) (– + 4i) 2i Lời giải: a) (3 – i) (4 – 2i) = [3 – (– 1) (–2)] + [3 (–2) + (–1).4].i = 10 – 10i b) (4 + 2i) (– – i) = [4.(–3) – 2.(–1)] + [4.(–1) + 2.(–3)].i = –10 –10i c) 4.(– + 2i) = 4.(–4) + 4.2i = –16 + 8i d) (– + 4i) 2i = –3 2i + 4i 2i = –6i + 8i2 = – 6i – Bài Tính a) (2 – 2i)2; b) (1 – 2i)3; c) (–2 + 5i) (– – 5i) Lời giải: a) (2 – 2i)2 = 22 – 2.2i + (2i)2 = – 8i + 4i2 = – 8i – = – 8i b) (1 – 2i)3 = 13 – 12.2i + 3.1.(2i)2 + (2i)3 = – 6i + 4i2 + 8i2.i = – 6i – 12 – 8i = –11 – 14i c) (–2 + 5i) (– – 5i) = (–2)2 – (5i)2 = – 25i2 = + 25 = 29 Bài Thực phép chia sau: a) 4i ; i b) 2i ; 1 i c) 2i 2i Lời giải: a) i (4 i).(3 i) i (3 i).(3 i) 4.3 (1).(1) 4.(1) (1).3i b) 32 12 11 7i 11 i 10 10 10 2i 1 i 2i.(1 i) 2i 2i (1 i).(1 i) (1) 12 2i i 1 i c) 2i 2i (8 2i).(2i) 16i 4i 2i.(2i) 4i 16i 4i 4i Bài Tìm nghịch đảo số phức z, biết: z a) z = –2i; b) z 2i ; c) z = 4i Lời giải: a) Ta có: 1 z 2i 2i 2i (3 2i)(3 2i) 22 2i i 13 13 13 b) Ta có: 1 z 2 2i 2 2i 2 2i (2 2i)(2 2i) 2 2i 2 2i (2)2 ( 2) 1 i c) Ta có: 1 z 4i 4i 4i 1 i 4i.(4i) 16 Bài 10 Giải phương trình sau: a) (2 + i).z – (–1 + 4i) = – 2i; b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z; c) z (4 8i) 10i 3i Lời giải: a) (2 + i).z – ( –1 + 4i) = – 2i (2 + i).z = – 2i + (–1 + 4i) (2 + i) z = + 2i z 2i 2 i z 2(2 i) 2 2i Vậy z = b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z (4 – 4i)z – (3 – i)z = – 8i [(4 – 4i) – (3 – i)]z = – 8i (1 – 3i).z = – 8i 8i 3i (6 8i).(1 3i) z (1 3i)(1 3i) z z z 6.1 (8).3 6.3 (8).1.i 12 32 30 10i 3 i 10 Vậy z = + i c) z (4 8i) 10i 3i z 10i (4 8i) 3i z 2i 3i z (2 2i).(4 3i) z = [2 – (–2) 3] + [2 + (–2) 4].i z = 14 – 2i Vậy z = 14 – 2i Bài 11 Tìm bậc hai phức số sau: – 10; – 15; – 73; –144 Lời giải: Căn bậc hai –10 10i 10.i 10 73.i 73.i Căn bậc hai – 15 15.i 15.i 15 Căn bậc hai – 73 73 Căn bậc hai –144 12i 12i 144 Bài 12 Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) 2z2 + 4z + = 0; b) 5z2 – 3z + = 0; c) –z2 – 4z – = Lời giải: a) 2z2 + 4z + = có a = 2; b = 4; c = ∆ = 42 – 2.3 = – < Suy ra, phương trình cho có nghiệm phức phân biệt là: z1;2 4 i 1 i 2.2 b) 5z2 – 3z + = có a = 5; b = –3; c = ∆ = (–3)2 – 5.1 = –11 < Suy ra, phương trình cho có nghiệm phức phân biệt là: z1;2 i 11 11 i 2.5 10 10 c) – z2 – 4z – = có a = –1; b = – 4; c = –8 ∆ = (– 4)2 – 4.(–1).(–8) = 16 – 32 = –16 < Suy ra, phương trình cho có nghiệm phức phân biệt là: z1;2 4i 2i 2.(1) Bài 13 Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z4 + 3z2 + = 0; b) z4 – 3z2 – 18 = Lời giải: a) z4 + 3z2 + = 0; z4 + z2 + 2z2 + = 0; z2.(z2 + 1) + 2(z2 +1) = (z2 + 2) (z2 + 1) = z i z 2 z 1 z i Vậy tập nghiệm phương trình cho S i; i;i 2; i b) z4 – 3z2 – 18 = z4 + 3z2 – 6z2 – 18 = z2.(z2 +3) – 6.(z2 + 3) = (z2 – 6) (z2 + 3) = z z2 z i z 3 Vậy tập nghiệm phương trình cho là S i 3; ... (4 – 2i); b) (4 + 2i) (– – i); c) 4. (– + 2i); d) (– + 4i) 2i Lời giải: a) (3 – i) (4 – 2i) = [3 – (– 1) (–2 )] + [3 (–2 ) + (–1 ) .4] .i = 10 – 10i b) (4 + 2i) (– – i) = [4. (–3 ) – 2. (–1 )] + [4. (–1 )... + (3 – 7i) = (– + 3) + (2 – 7).i = –3 – 5i c) (3 – 2i) – (8 – 4i) = (3 – 8) + [– – (? ?4) ].i = –5 + 2i d) (– + 2i) – (2 – 3i) = (– – 2) + [2 – ( – 3)].i = – + 5i Bài Thực phép tính sau: a) (3 –. .. + [4. (–1 ) + 2. (–3 )].i = –1 0 –1 0i c) 4. (– + 2i) = 4. (? ?4) + 4. 2i = –1 6 + 8i d) (– + 4i) 2i = –3 2i + 4i 2i = –6 i + 8i2 = – 6i – Bài Tính a) (2 – 2i)2; b) (1 – 2i)3; c) (–2 + 5i) (– – 5i) Lời giải: