Bài tập Mặt cầu Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Câu 1 Cho hình lập phương ABCD A''''B''''C''''D'''' có cạnh bằng a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là Lời giải Ta có Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại[.]
Bài tập Mặt cầu - Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là: Lời giải: Ta có: Ta nhận thấy tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương tâm hình lập phương Do I trung điểm AC’ mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính Đáp án C Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đều cạnh 1, mặt bên SAB tam giác đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khới cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho Lời giải: Câu 3: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S,ABC , biết cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên Lời giải: Câu 4: Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Lời giải: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Gọi G, G; tâm hai đáy ABC A'B'C' Ta có GG' trục tam giác ABC A'B'C' Gọi O trung điểm GG' O cách đều đỉnh hình lăng trụ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu R = OA Xét tam giác OAG vng G , ta có: Câu 5: Cho mặt cầu tâm O bán kính R điểm A khơng gian Điểm A khơng nằm mặt cầu khi: A OA = R B OA ≤ R C OA < R D OA > R Lời giải: Đáp án B Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuôg cân đỉnh B BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a Khẳng định sau đúng? A Điểm S nằm mặt cầu tâm A bán kính a B Điểm S nằm ngồi mặt cầu tâm A bán kính 2a C Điểm C nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a D Cả ba điểm S, B, C nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a Lời giải: Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a Đáp án C Câu 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R mặt phẳng (P) Kí hiệu h khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) có nhiều điểm chung với mặt cầu (S) : A h ≤ R B h ≥ R C h > R D h < R Lời giải: Từ vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án D Câu 8: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R đường thẳng d Kí hiệu h khoảng cách từ O đến đường thẳng d Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu: A h ≤ R B h = R C h > R D h < R Lời giải: Từ vị trí tương đới đường thẳng mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) đường thẳng d tiếp xúc cắt mặt cầu (S) Đáp án A Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 2a, SA vng góc với đáy SA = a Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là: A 2a B a Lời giải: Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) r = d(A; (SBC)) Hạ AH ⊥ SB H Do BC ⊥ AB BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy BC ⊥ AH Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có: Đáp án D Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a SA vng góc với đáy, góc cạnh bên SB đáy 45o Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo đường trịn có bán kính a là: Lời giải: Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo đường trịn có bán kính a ta có Ta có: Hạ AK ⊥ BD K, hạ AH ⊥ SK H Do BD ⊥ AK BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK) , suy BD ⊥ AH Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH Xét tam giác vuông SAK tam giác vng ABD ta có: Khi ta có: Đáp án C II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a : Lời giải: Ta có mặt cầu S(A ;r) tiếp xúc với đường thẳng SC ta có r = d(A; SC) Xét tam giác vng ABC ta có vng SAC ta có : Hạ AH ⊥ SC H Xét tam giác Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo dây có độ dài 2a là? Lời giải: Do (SAB) ⊥ (ABCD) (SAD) ⊥ (ABCD) ta có SA ⊥ (ABCD) Theo định lí ba đường vng góc ta có BC ⊥ SB Hạ BH ⊥ SC H Xét tam giác vng SBC ta có: Ta có mặt cầu S(B;r) cắt đường thẳng SC theo dây cung có độ dài 2a ta có Câu 3: Cho hai cầu bán kính 5cm Để đựng hai cầu Nam phải làm hình hộp chữ nhật từ bìa carton Hỏi đáp án dưới đây, Nam cần xen-ti-mét vng bìa carton để làm hộp đó? Lời giải: Hình hộp chữ nhật đựng hai cầu bán kính 5cm độ dài cạnh 10cm, 10cm, 20cm Khi ta có: Stp = x 102 + x 10 x 20 = 1000(cm2) Câu 4: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đáy tứ giác nội tiếp đường trịn -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp có cạnh bên -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp có cạnh bên vng góc với đáy Lời giải: Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đáy đa giác nội tiếp đường tròn nên mệnh đề A B Hình chps có cạnh bên có hình chiếu vng góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp có đáy nội tiếp đường trịn Câu 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? - Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình vng -Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng - Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp có đáy đa giác nội tiếp đường trịn - Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng tam giác Lời giải: Đáp án Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: Lời giải: Theo định lí ba đường vng góc ta có tam giác SBC, SDC vng B, D Gọi I trung điểm SC Từ tam giác SAC, SBC, SDC vng ta có: Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính mặt cầu Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A, góc A’B mặt phẳng (ABC) 60o Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ : Lời giải: Trong tam giác vuông ABC ta có => AA' = AB.tan60o = Gọi I tâm hình chữ nhật BCC’B’ M trung điểm BC Do tam giác ABC vuông A nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IM trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABC I cách đều B, B’ nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Khi ta có : Câu 8: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Lời giải: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi H tâm đáy SH trục hình vng Gọi M trung điểm ABCD Trong mp (SDH) kẻ trung trực đoạn SD cắt SH O Thì OS = OA = OC = OD Nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu R = SO Ta có : Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A AB = SB = a , SB vng góc với mặt phẳng (ABC) Bán kính nhỏ mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC AB là? Lời giải: Mặt cầu S(I,r) tiếp xúc với AB, SC T, K Khi ta có: 2r = IT + IK ≥ d(AB; SC) => r ≥ Dựng hình bình hành ABDC, ta có ABDC hình vng cạnh a Hạ BH vng góc với SD H Khi ta có BH ⊥ (SCD) Suy ra: d(SC; AB) = d(AB, (SCD)) = d(B; (SCD)) Câu 10: Cho đường thẳng a điểm A cách đường thẳng a khoảng 4cm Trong mặt cầu qua A tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ diện tích bằng? Lời giải: Gọi S(I ;r) mặt cầu qua A tiếp xúc với a Ta có diện tích mặt cầu : S = 4πr3 nên S đạt giá trị nhỏ r đạt giá trị nhỏ Gọi tiếp điểm đường thẳng a mặt cầu H hình chiếu vng góc hạ từ A lên đường thẳng A A’ Khi ta có : 2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ = 2(cm) Vậy r đạt giá trị nhỏ 2cm I trung điểm AA’ Khi mặt cầu (S) có diện tích nhỏ S = 4π22 = 16π(cm2) III Bài tập vận dụng Bài Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R mặt phẳng (P) Kí hiệu h khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có điểm chung nếu? Bài Trong không gian cho đường thẳng Δ điểm O cách Δ khoảng 20cm Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng? Bài Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy góc 30o SA=2a Trong điểm S, B, C điểm nằm mặt cầu tâm A bán kính 3a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 2a, SAB tam giác đều Bán kính mặt cầu tâm A cắt SB theo dây có độ dài a là? Bài Cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh a, chiều cao AH Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khới cầu tương ứng là? Bài Cho tam giác ABC vuông A có BC = 2a Quay tam giác vng quanh trục AB , ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón Bài S2 diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ sớ là? Bài Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vng góc với đáy, SA = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là? Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đều cạnh a, SA vng góc với mặt đáy SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ... = 16π(cm2) III Bài tập vận dụng Bài Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R mặt phẳng (P) Kí hiệu h khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có điểm chung nếu? Bài Trong không... định sau đúng? A Điểm S nằm mặt cầu tâm A bán kính a B Điểm S nằm ngồi mặt cầu tâm A bán kính 2a C Điểm C nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a D Cả ba điểm S, B, C nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a Lời giải:... -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp có cạnh bên -Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp có cạnh bên vng góc với đáy Lời giải: Hình chóp có mặt cầu ngoại