CHƯƠNG 2 TUYỂN CHỌN CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH B Chủ đề 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC 3 Hình thoi Bài 01 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho hình thoi có , phương trình đường thẳng là Tìm toạ[.]
B Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC Hình thoi Bài 01 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A 1; , phương trình đường thẳng BD x y 0 Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình thoi, biết BD AC B có tung độ âm Định hướng: Bài toán bản, việc sử dụng tính chất hai đường chéo vng góc với đường Viết phương trình đường thẳng AC Tìm tọa độ tâm I giao điểm AC BD Suy tọa độ điểm C Tham số hóa tọa độ điểm B từ BD AC IB IA Lời giải: Đường thẳng AC qua A vng góc với BD nên có phương trình x y 0 x y 0 x 2 I 2;1 Tọa độ giao điểm I AC BD nghiệm hệ phương trình x y 0 y 1 Vì I trung điểm AC nên suy C 3; 2 Gọi B b; b 1 Do BC AC IB IA IB IA b b 8 b b 4 Vì B có tung độ âm nên B 0; 1 D 4; b 0 Vậy B 0; 1 , C 3; , D 4; Bài 02 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I 2; 1 AC BD Điểm 1 M 0; thuộc đường thẳng AB , điểm N 0; thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có 3 hồnh độ dương Định hướng: B M N' A Với giả thiết tốn hình thoi có tọa độ tâm I điểm C I D M , N nằm cạnh song song AB , CD hình thoi, hướng ta có cách nghĩ lấy điểm đối xứng điểm qua tâm N I , chẳng hạn N ' đối xứng với N qua I N ' AB Viết phương trình đường thẳng AB Tính d I ; AB Sử dụng thức AC BD , tính IB B Lời giải: Gọi N ' đối xứng với N qua I N ' AB , ta có N ' 4; Phương trình đường thẳng AB : x y 0 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB d I ; AB 4.2 3.1 42 32 2 Vì AC BD nên AI BI , đặt BI x AI x tam giác vng ABI có: I ; AB d 1 1 x BI 4x IA IB x x 1; y x y 0 2 x ; y x y 5 Tọa độ B nghiệm hệ: Vì B có hồnh độ dương nên B 1; 1 Bài 03 [Trích Đề thử sức trước kì thi THTT- 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD 1 có tâm I 2;1 AC 2 BD Điểm M 0; thuộc đường thẳng AB , N 0;7 thuộc đường thẳng CD 3 Tìm tọa độ điểm P biết BP 5 BI điểm B có hoành độ dương Định hướng: Yêu cầu toán tọa độ điểm P biết BP 5 BI nghĩa hệ thức cho ta mối quan hệ ba điểm B, P, I mà điểm I có tọa độ, thực chất cần tìm tọa độ điểm B Liệu B AB BC AB BD ? Yếu tố định lượng AC 2 BD cho ta cách nghĩ xác định giá trị lượng giác góc liên quan cos ABD 1 Giả thiết có điểm M 0; thuộc đường thẳng AB , N 0;7 thuộc đường thẳng CD với nhận xét 3 AB, CD đối xứng qua I Do phương trình đường thẳng AB xác định qua M N ' điểm đối xứng N qua I Như viết phương trình đường thẳng AB, BD , tốn xem có hướng giải Lời giải: Gọi N ' đối xứng với N qua I N ' 4; Đường thẳng AB qua M N ' nên có phương trình x y 0 Ta có AC 2 BD nên IA 2 IB tan ABD IA 2 cos ABD IB Gọi phương trình đường thẳng BD có dạng a x b y 1 0 với a2 b2 Theo ta có cos AB, BD a 3b 2 a b a 2b a2 b2 16 a2 24 ab 9b2 11a2 24 ab 4b2 0 11a 2b Với a 2b , chọn a 2 b ta có phương trình x y 0 4 x y 0 Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình 2 x y 0 x 1 y Với 11a 2b , chọn a 2 b 11 ta có phương trình BD : x 11 y 0 4 x y 0 Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ 2 x 11 y 0 x y 3 Vì B có hồnh độ dương nên B 1; 1 x 6 xP 5 1 P yP 9 yP 5 1 Từ BP 5 BI Vậy P 6;9 Bài 04 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: x y 31 0 hai đỉnh B , D thuộc đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ âm Định hướng: Phân tích tốn ta thấy giải tốn cách sử dụng tham số hóa tọa độ Tham số hóa tọa độ B , D Chú ý đến tính chất hình thoi trung điểm BD AC AC BD tâm I hình thoi Sử dụng giả thiết diện tích hình thoi 75 tính IA Suy A ,C Lời giải: Gọi B b; b d1 , D d 3; d d2 Khi BD b d 3; b d trung điểm BD b 2d b d I ; Theo tính chất hình thoi ta có : 2 BD AC I AC 8b 13d 13 0 b d 0 b 0 d 1 Suy B 0; , D 1;1 9 Khi I ; ; A AC A a 31; a 2 2SABCD 15 15 IA Theo ta có SABCD AC BD AC BD 2 2 a 3 63 9 225 9 a Do a a 2 2 a 6 Vì A có hồnh độ âm nên A 11; Suy C 10; Bài 05 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD đường thẳng chứa AC có phương trình là: x y 0 Điểm E 9; nằm đường thẳng AB , điểm F 2; thuộc AD AC 2 Tìm độ đỉnh hình thoi ABCD biết đỉnh C có hồnh độ âm Định hướng : Khai thác tính chất hình thoi : Đường chéo hình thoi xuất phát từ đỉnh đường phân giác góc đỉnh Bài tốn cho phương trình đường thẳng chứa AC E thuộc AB nên cách xử lý quen thuộc lấy điểm E ' đối xứng E qua AC E ' AD Viết phương trình AD , suy tọa độ điểm A Tham số hóa tọa độ điểm C Từ AC 2 C I Viết phương trình đường thẳng BD Từ D B B E I A J E' F D C Lời giải : Gọi E ' điểm đối xứng với E qua AC , AC phân giác góc BAD nên E ' thuộc AD EE ' vng góc với AC qua điểm E 9; nên có phương trình x y 0 x y 0 Gọi J giao AC EE ' , tọa độ J nghiệm hệ x y 0 x 3 I 3; y Vì I trung điểm EE ' nên E ' 3; Đường thẳng AD qua E ' F nên phương trình x y 0 x y 0 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 x 0 A 0;1 y 1 Giả sử C c ; c Theo AC 2 c c 2 Do C có hồnh độ âm nên C 2; Gọi I trung điểm AC suy I 1; , đường thẳng BD qua I vng góc với AC nên có phương trình x y 0 x y 0 x 1 D 1; Tọa độ điểm D nghiệm hệ x y 0 y 4 Vậy A 0; 1 , B 3; ,C 2; , D 1; Bài 06 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn C 2 có phương trình x y 1 8 điểm A thuộc đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết BD 2 AC hồnh độ điểm A khơng nhỏ Định hướng: Khai thác giả thiết hình thoi ngoại tiếp đường tròn I 2; 1 bán kính R 2 Ta có khoảng cách từ tâm I đến cạnh R Với giả thiết BD AC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, định lương IA ; IB Tham số hóa tọa độ điểm A từ suy A ,C Viết phương trình BD , tham số hóa tọa độ điểm B D Lời giải Kẻ IH AB H AB ta có Trong tam giác IAB có IA 10 1 IA2 IB2 IH IA2 IB 2 10 IA 10 a 2 hay A 1;2 Suy C 3; Giả sử A 2a 3; a từ x A 2 Phương trình đường thẳng BD : x y 0 Kết hợp với IB ID 2 10 Tọa độ điểm B, D x 8; y 1 x y 0 2 x 4; y x y 1 40 nghiệm hệ phương trình Vậy tọa độ đỉnh hình thoi ABCD A 1;2 , B 8;1 , C 3; , D 4; A 1;2 , B 4; , C 3; , D 8;1 Bài 07 [Trích Đề thi thử Chuyên Lam Sơn 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD 2 có diện tích 40 , đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn T : x y 1 2 , điểm 19 18 J ; nằm đường thẳng AB , đường thẳng AC có phương trình x y 0 Tìm tọa độ 5 điểm A, D biết D có hồnh độ nhỏ Định hướng: Với giả thiết tốn hình thoi ta quan tâm đến tính chất đối xứng trục hai đường chéo, tốn có tọa độ điểm J nằm đường thẳng AB phương trình đường thẳng AC nên gọi I điểm đối xứng J qua AC I thuộc AD Viết phương trình đường thẳng AD qua I tiếp xúc với T Yếu tố diện tích hình thoi giúp ta định lượng độ dài đoạn thẳng Từ tốn giải Lời giải: Gọi I điểm đối xứng J qua AC I thuộc AD I 5;0 Nhận xét I T nên đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn T I nên có phương trình x y 0 x y 0 x 8 A 8;3 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 y 3 Gọi E tâm hình thoi EAD ta có cos cot 2 Diện tích hình thoi ABCD 40 suy SEAD 10 DE.EA 20 DE.DE.cot 20 DE 2 20 DE 10 Gọi D d; d ta có DE d D; AC d d 5 10 Do hoành độ điểm D nhỏ nên D 3; Vậy A 8;3 , D 3; 16 2d 10 10 16 2d 10 16 2d 10 d 3 d 13 ... có cos AB, BD a 3b 2 a b a 2b a2 b2 16 a2 24 ab 9b2 11a2 24 ab 4b2 0 11a 2b Với a 2b , chọn a ? ?2 b ta có phương trình x y 0 4 x y... IA2 IB2 IH IA2 IB ? ?2 10 IA 10 a ? ?2 hay A 1 ;2 Suy C 3; Giả sử A 2a 3; a từ x A ? ?2 Phương trình đường thẳng BD : x y 0 Kết hợp với IB ID ? ?2 10 Tọa... AC A a 31; a 2? ?? 2SABCD 15 15 IA Theo ta có SABCD AC BD AC BD 2 2 a 3 63 9 22 5 9 a Do a a 2? ?? 2? ?? a 6 Vì A có hồnh