CHƯƠNG 2 TUYỂN CHỌN CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH B Chủ đề 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC 1 Hình chữ nhật Bài 01 (Trích Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa 2015) Trong mặt phẳng với trục toạ độ cho hình chữ[.]
B Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC Hình chữ nhật Bài 01 (Trích Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa-2015) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H (1;2) hình chiếu vng 9 góc A BD Điểm M ;3 trung điểm cạnh BC , phương trình đường trung tuyến kẻ từ 2 x y 0 Viết phương trình đường thẳng BC đỉnh A tam giác Phân tích định hướng giải: Bài toán xoay quanh điểm A , giả thiết có tọa độ điểm H , M nhiên chưa có mối quan hệ ba điểm , khai thác thêm giả thiết cho phương trình trung tuyến kẻ từ A tam giác AHD “nút thắt” tốn gợi mở trung điểm HD Dựa vào hình vẽ đặt giả thuyết mối quan hệ điểm A, K , M AK KM Lời giải: Gọi K trung điểm HD Ta chứng minh AK KM Thật gọi P trung điểm AH Ta có PK song song nửa AD PK AB Mà AH KB P trực tâm tam giác ABK BP AK mà BPKM hình bình hành nên KM song song BP AK KM 9 Phương trình đường thẳng MK qua M ;3 vng góc với AK : x y 0 nên có phương trình 2 x 4y 4 x y 0 15 0 Toạ độ điểm K nghiệm hệ 15 x y 0 1 x K ;2 2 y 2 Do K trung điểm HD mà H 1;2 nên D 0;2 Phương trình đường thẳng BD y 0 Đường thẳng AH qua H 1;2 vng góc với BD nên có phương trình x 0 Suy tọa độ điểm A 1;0 9 Đường thẳng BC qua M ;3 song song với AD nên có phương trình là: x y 12 0 2 Bài 02 (Trích Đề thi thử chuyên Đại học Vinh lần 1-2015) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có ACD với cos , điểm H thỏa 1 4 mãn điều kiện HB HC , K giao điểm hai đường thẳng AH BD Cho biết H ; , K 1;0 3 3 điểm B có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D Phân tích định hướng giải:Vẽ hình phân tích giả thiết ta thấy tốn mang tính định lượng nhiều Từ đẳng thức HB HC , K giao điểm hai đường thẳng AH BD hướng cho ta cách nghĩ dùng đồng dạng để xác định mối quan hệ ba điểm A, H , K từ tìm tọa độ điểm A Khai thác tiếp giải thiết ACD với cos , giúp ta định lượng yếu tố độ dài đoạn thẳng sử dụng quan hệ vng góc hình chữ nhật cho ta xác định tọa độ điểm B Lời giải: Từ giả thiết H thuộc cạnh BC BH BC Vì BH / / AD nên 5 KH BH 2 HK KA HK , HA hướng nên HA HK KA AD 3 x A x 2 A A 2;2 Do y A 2 y 5 A 3 Vì tam giác ACD vuông D cos ACD cos nên AD 2CD, AC 5CD Đặt CD a a AD 2a AB a, BH a 2 Trong tam giác ABH ta có AB BH AH Suy AB 5, BH * x y 5 x 3, y 0 2 ta có 1 4 80 x , y ktm x y 5 Giả sử B x; y với x , từ * 25 125 a a 9 3 Suy B 3;0 , từ BC BH C 1; Từ AD BC D 2;0 Bài 07 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD Gọi M ,N hai điểm AB, AD thoả mãn AM AN Các đường thẳng qua A, M vng góc với 16 4 BN cắt đường thẳng BD K ; , H ;1 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh 3 A có hồnh độ ngun thuộc đường thẳng x y 0 Phân tích định hướng giải: Quan hệ song song hình vẽ giúp ta có định hướng đến định lí Talet để xác định tỉ số từ tìm hệ thức mối quan hệ ba điểm D, K , H D Với giả thiết hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD xác định tỉ số lượng giác cos BAD AD A Lời giải: Kéo dài AK , MH cắt CD E, F Ta có KE / / HF (vì cng góc với BN ) Theo Talets ta có: DK DE DH DF 1 Tứ giác AMFE hình bình hành có cặp cạnh đối song song với nhau, 2 EF AM AN DF DE AN Xét hai tam giác vng ADE BAN có DAE ABN ( phụ góc ANB ) ADE đồng dạng BAN suy ra: DE AD AN BA 3 DK DE 1 AN DK , DH Từ 1 , , suy ra: DH DE AN 1 DE hướng nên DK DH Từ suy D 2; +) Đường thẳng BD qua hai điểm K , H có phương trình AD x y 14 0 Do AB 2 AD cos BDA 1 tan2 BDA 12 +) Giả sử đường thẳng AD có vec tơ pháp tuyến a; b với a2 b2 , ta có phương trình: a 2b 85 a2 b2 b 4 a a 2b 17 a2 b2 64 a2 36 ab 13b2 16 a 13b TH1: Nếu 16 a 13b , chọn a 13, b 16 AD : 13 x 16 y 58 0 x 2 x y 0 Toạ độ điểm A nghiệm hệ 13 x 16 y 58 0 y 22 45 181 45 (loại) TH2: Nếu b 4 a , chọn a 1, b 4 phương trình AD : x y 0 2 x y 0 Toạ độ điểm A nghiệm hệ x y 0 x A 2; 1 y +) Đường thẳng AB qua A vng góc AD nên có phương trình AB : x y 0 4 x y 0 B 0;7 Toạ độ điểm B thoả mãn hệ 9 x y 14 0 Do BC AD C 4;6 Vậy A 2; 1 , B 0;7 , C 4;6 D 2; Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A 4;8 Gọi M điểm thuộc tia BC thoả mãn CM 2 BC , N hình chiếu vng góc B DM Tìm toạ độ 83 điểm B , biết N ; đỉnh C thuộc đường thẳng x y 0 13 13 Phân tích định hướng giải: Từ hình vẽ dễ nhận thấy A, B, C, N , D nằm đường tròn tâm I Giả thiết cho tọa độ điểm A, N đỉnh C thuộc đường thẳng x y 0 nên tham số tọa độ theo t điểm C I từ IA IN t Cũng từ tứ giác ADNC nội tiếp nên NAC NDC sử dụng ANC DCM (g-g), suy DC AN 3 DC CM 2CB 3 BC Từ định lượng độ dài đoạn thẳng BC CM NC 2 toán xem giải Lời giải: Gọi C t; 2t Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD , suy I trung điểm AC BD t 2t ; Do I Tam giác vuông N có I BDN trung điểm BD nên IN BD IB IA Ta có phương trình: 2 2 t 4 2t 83 t 2t t 1 13 13 2 1 Suy I ; , C 1; 2 Ta có tứ giác ADNC nội tiếp nên NAC NDC , ANC DCM (g-g), suy DC AN 3 DC CM 2CB 3 BC CM NC 2 Áp dụng Pitago BC2 DC2 AC2 BC2 BC2 250 BC 25 Gọi B a; b ta có a 1 2 b 25 a2 b2 2a 14b 25 0 (1) 2 125 3 1 125 a b 2 2 Mặt khác: IB2 IC 2 2 a 3b 17 a 5, b a b a b 60 Từ ta có: 2 a b 2a 14b 25 a 4, b a b 3a b 60 Đối chiếu B N khác phía đường thẳng AC suy B 4; Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 16 1 3 đỉnh A 3;1 Gọi M ; điểm thuộc đoạn BD thoả mãn DM 3 BM Đường thẳng CD qua 2 điểm N 1;1 Tìm toạ độ đỉnh B, D biết xD Phân tích định hướng giải: Đây tốn khơng q khó, giả thiết tốn cho nhiều yếu tố định lượng Yếu tố diện tích với hệ thức DM 3 BM hai điểm A,N nằm hai cạnh AB, CD song song với hướng ta cách nghĩ đưa toán khoảng cách Lời giải: Phương trình đường thẳng AD : a x b y 1 0 với a2 b2 Vì CD vng góc với AD nên đường thẳng CD có phương trình dạng b x 1 a y 1 0 Do DM 3 BM nên d M ; AD Suy SABCD AB BC DM DM AB AB, d M ;CD BC BC AB DB d d 16 d M ; AD d M ;CD 9 16 M ; AD M ;CD 5 a b b a a b 2 Vì 9 36 a2 b2 a 5b a b 2 2 a 31b a b a b + Với a b , chọn a 1 b ta có AD : x y 0, CD : x y 0 x y 0 x D 1;3 Toạ độ điểm D nghiệm hệ x y 0 y 3 4 Ta có DB DM B 1; Với a 31b chọn a 31 b ta có AD : 31x y 94 0, CD : x 31 y 32 0 31 x y 94 0 Toạ độ điểm D nghiệm hệ x 31 y 32 0 1441 x 481 (loại) y 543 481 Vậy B 1; D 1;3 Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AC 2 BC phương trình đường chéo AC 3x y 0 Gọi G trọng tâm tam giác ACD điểm H 2; 3 trực tâm tam giác ABG Viết phương trình đường thẳng AD Phân tích định hướng giải: Giả thiết tốn cho hình chữ nhật ABCD có AC 2 BC , vẽ xác vài hình giúp mạnh dạn đặt giả thuyết : điểm H thuộc CD Trên mơ hình hình vng hay chữ nhật việc chứng minh quan hệ vng góc thường dễ chứng minh thẳng hàng nên giả sử đường cao GN tam giác ABG cắt CD H ' Ta cần chứng minh H ' trùng với H Lời giải: Gọi M trung điểm cạnh CD ; giả sử đường cao GN tam giác ABG cắt CD H ' Ta cần chứng minh H ' trùng với H Do GH '/ / AD nên MG MH ' CH ' CD MA MD 3 Đặt AD BC a, AC 2 BC AB DC a ACD 30 Ta có: AM AD DM AD DC , BH ' BC CH ' BC CD 2 1 a Suy ra: AM.BH ' BC CD AD DC a 3 0 Do BH ' AM nên H ' H Gọi a; b với a2 b2 véc tơ pháp tuyến đường thẳng CD ta có: 3a b 2 a b a2 b2 3a b b 0 2b2 ab 0 b b a 0 b 3a +) Với b 0 , chọn a 1 ta có đường thẳng CD : x 0 x 0 Toạ độ điểm C nghiệm phương trình x y 0 x 3 C 3;2 y 2 3 CD CH 0; D 3;0 Ta có Đường thẳng AD qua D vng góc với CD có phương trình: y 0 +) Với b a , chọn a 1, b ta có CD : x x Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình y 0 y 0 x y 3 x 1 C 1;0 0 y 0 Ta có CD CH 3; D 4; Đường thẳng AD qua điểm D vng góc với CD có phương trình Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán x y 0 x y 0 y 0 3 9 Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có B 1;5 Gọi E ; 5 5 19 hình chiếu vng góc A BD , G 1; điểm thuộc đoạn thẳng CD thoả mãn ECD CBG Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết C có hồnh độ ngun Phân tích định hướng giải: Bài toán xoay quanh điểm B, E, G, C , dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt BG CE Việc chứng minh khơng khó khăn nhờ vào giả thiết ECD CBG Lời giải: Gọi H giao điểm BG với CE Theo giả thiết có: ECD CBG Nên BHE BCG 90 BG CE Đường thẳng BG có phương trình x y 39 0 Đường thẳng CE qua E vng góc với BG nên có phương trình x y 0 Gọi C c;8 c 31 thuộc CE ta có CB c;8 c , CG c; c 31 Do CG vng góc với CB nên CB.CG 0 c c c c 0 c 1 65 c 126 c 61 0 C 1;5 c 61 ( ktm) 65 Đường thẳng CD qua C, G nên có phương trình x 0 Đường thẳng BD qua B, E nên có phương trình x y 0 x 0 Toạ độ điểm D nghiệm hệ 2 x y 0 x 1 D 1;1 y 1 Vì AB DC , suy A 1;1 Vậy toạ độ bốn điểm cần tìm A 1;1 , B 1;5 , C 1;5 , D 1;1 Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 16 M 4;7 trung điểm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AC điểm 13 F ; Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh D nằm đường thẳng x y 0 đỉnh C 5 có hồnh độ số nguyên dương Phân tích định hướng giải: Bài toán xoay quanh bốn điểm C,D, M , F mà lại có đường trịn ngoại tiếp 13 tam giác CDM cắt đường thẳng AC điểm F ; nên ta khai 5 thác tứ giác DCMF nội tiếp nên khẳng định mối quan hệ ba điểm DF FM , DC CM Giả thiết cho diện tích hình chữ nhật hướng ta cách nghĩ định lượng độ dài cạnh, khoảng cách Bài toán giải Lời giải: Tứ giác DCMF nội tiếp đường trịn đường kính DM nên DFM DCM 90 14 22 Vì DF vng góc với MF , đường thẳng DF qua F nhận FM ; làm vec tơ pháp tuyến 5 7 x 11 y 37 0 x nên có phương trình là: x 11 y 37 0 Toạ độ điểm D nghiệm hệ x y 0 y 4 D 1;4 Gọi C a; b với a, b nguyên dương Ta có SABCD BC.CD 2CD DM 4 SCDM 16 SCDM 4 DM 52 32 34 Đường thẳng DM có phương trình x y 23 0 nên d C; DM Ta có SCDM DM.d C; DM 4 a 5b 23 32 a 5b 23 34 4 3a 5b 23 8 34 Và C thuộc đường trịn đường kính DM nên x2 y2 x 11 y 24 0 x2 y2 27 x 99 y 216 0 (*) a 5b 23 34 a 5b 15 0 a 5b 31 0 Với a 5b 15 0 a 5b 15 thay vào (*) ta b 3 a 0 2 b 15 b b 15 99 b 216 17 b 147 b 288 b 96 a 75 17 17 Vì C có hồnh độ ngun nên trường hợp không thỏa mãn Với a 5b 31 0 a 5b 31 thay vào (*) ta b 8 a 0 5b 31 9b 5b 31 99b 216 0 17b 227b 728 0 91 24 b a 17 2 Suy C 3;8 Vì M trung điểm BC nên B 5;6 Vì AD BC A 1;2 Vậy A 1;2 , B 5;6 , C 3;8 , D 1;4 Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M ,N lần 16 lượt trung điểm AB, CD Đường thẳng BN cắt đường thẳng AC điểm E ;1 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C,D biết phương trình đường thẳng CM x y 0 đỉnh C có hồnh độ nhỏ Phân tích định hướng giải: Bài tốn hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M ,N trung điểm AB, CD ta dễ dàng phát tính chất BN CM Vấn đề cịn lại mang tính giải tích khơng khó khăn để giải Lời giải: Theo giả thiết BM CN BC MN nên BMNC hình vng, BN CM , gọi I giao điểm BN CM , J giao điểm AC BD J trung điểm MN Khi E trọng tâm tam giác CNM , IB IE Phương trình đường thẳng BE qua E vng góc CM x y 17 0 x y 0 x 5 I 5;2 Toạ độ điểm I nghiệm hệ 3 x y 17 0 y 2 c 1 2 Do IB IE B 4;5 Gọi C c 1; c ta có IC IB 10 3c c 10 c 3 Vì C có hồnh độ nhỏ nên C 2;1 Do AC 3 EC A 12;1 , J trung điểm AC BD nên J 7;1 , D 10; Vậy A 12;1 , B 4;5 , C 2;1 , D 10; Bài 27.[ Trích Đề thi thử Chuyên ĐHV lần 4-2015] Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC , B 7;3 Gọi M trung điểm AB E điểm đối xứng với D qua A Biết N 2; trung điểm DM , điểm E thuộc đường thẳng : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh D Phân tích định hướng giải tốn: Giả thiết cho tọa độ điểm B, N điểm E thuộc đường thẳng : x y 0 hướng ta cách tìm mối quan hệ ba điểm B, N , E Dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt BN NE Chứng minh điều ta dựa vào nhận xét AE AB nên dẫn đến chứng minh tứ giác AEBN nội tiếp Lời giải: Ta có AM AD AB nên tam giác ADM vuông cân A , suy AN DM Xét tam giac ANE MNB có AN MN DM , AE MB AD NAE 90 NAM NMB Do ANE MNB AEN MBN ABN , suy tứ giác ANBE nội tiếp, BNE BAE 90 hay BN NE Đường thẳng NE qua N vng góc với BN nên có phương trình x y 0 2 x y 0 Tọa độ điểm E nghiệm hệ x y 0 x y 3 Ta có BE 10 Vì AB AD BD BE 10 nên DE 4 x y 80 x 1; y Tọa độ điểm D nghiệm hệ 2 x 1; y 11 x y 100 Đối chiếu điều kiện B, D khác phía với NE nên D 1; Bài 28.[Trích Đề thi thử THPT Lương Thế Vinh] Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 15 Đường thẳng AB có phương trình x y 0 Trọng tâm tam giác BCD 16 13 điểm G ; Tìm tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật biết điểm B có tung độ lớn 3 Phân tích định hướng giải: Bài tốn túy giải tích, hướng giải tốn cần tham số hóa toán kết hợp yếu tố định lượng giải trọn vẹn tốn Giả thiết có diện tích hình chữ nhật, tọa độ trọng tâm G tam giác phương trình đường thẳng AB nên S xác định khoảng cách từ G đến AB BC d G ;AB suy AB ABCD BC Lời giải: Ta có d G; AB 10 10 BC AB 3 5 Đường thẳng d qua G vuông góc với AB nên có phương trình x y 15 0 Gọi N d AB N 6;3 Suy NB AB b 2 ( loai) 2 B 8;4 Gọi B 2b;b AB NB 5 b 6b 0 b 4 Ta có BA 3 BN A 2;1 3 Mặt khác AC AG C 7;6 CD BA D 1;3 Vậy A 2;1 , B 8;4 , C 7;6 , D 1;3 Bài 32.[Trích Đề thi thử THPT Đào Duy Từ] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có D 4; Điểm M trung điểm đoạn AD , đường thẳng CM có phương trình x y 10 0 Điểm B nằm đường thẳng x y 0 Tìm tọa độ điểm A , B C , biết điểm C có tung độ nhỏ Phân tích định hướng giải: Khơng khó để nhận hướng giải tốn phương pháp tham số hóa tọa độ với việc khai thác tỉ số khoảng cách từ điểm đến đường thẳng giả thiết cho tọa độ đỉnh D , phương trình đường thẳng CM điểm B thuộc đường thẳng cho trước Lời giải: Ta có d D ; CM d B ; CM d D ; CM 8.5 10 12 26 65 Gọi G BD CM G trọng tâm tam giác ACD nên BG BC 52 d B ; CM DG DM 65 Gọi B b; 2b 1 ta có d B ; CM 17 b 18 65 b 2 17 b 18 52 b 70 65 17 52 Vì B , D khác phía đường thẳng CM nên B 2; Suy I 3; Gọi C c 10; c Ta có CD.CB 0 14 c 12 c c c 0 65 c 208 c 143 0 c 1 Vì điểm C có tung độ nhỏ nên C 2; 1 A 8; 1 c 143 65 Vậy A 8; 1 , B 2; , C 2; 1 Bài 33.[Trích Đề thi thử THPT Lý Thái Tổ] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phân giác góc ABC qua trung điểm M đoạn AD , đường thẳng BM có phương trình x y 0 Điểm D nằm đường thẳng : x y 0 Tìm tọa độ điểm hình chữ nhật ABCD biết điểm B có hoành độ âm đường thẳng AB qua E 1; Phân tích định hướng giải: Bài toán với yếu tố đường phân giác ABC ,cho ta cách nghĩ lấy đối xứng điểm qua đường phân giác BM Sau việc tham số hóa tọa độ với tính chất vng góc hình chữ nhật tốn xem giải Ngồi dựa vào giả thiết phân giác góc ABC qua trung điểm M đoạn AD để phát đặc điểm hình chữ nhật có AD AB Lời giải: Gọi E ' điểm đối xứng E qua BM H EE ' BM ta có phương trình đường thẳng x y 0 EH x y 0 Tọa độ điểm H nghiệm hệ x y 0 x y 3 Vì H trung điểm EE ' nên E ' 0;1 Gọi B b; b ta có BE b; b , BE ' b; b b 0 Mà BE BE ' 0 2b b 0 Vì B có hoành độ âm nên B 1; 1 b Đường thẳng AB qua B , E nên có phương trình x d 9a d ; Gọi A 1; a , a 1 D d ; d Do M trung điểm AD nên M Mặt khác M BM nên d 9a d 0 a d 0 (1) 2 Ta có AD d 1; d a , AB 0; a Mà AB.AD 0 a d 0 (2) a d 0 Từ (1) (2) suy a d 0 a Suy A 1; , D 5; d 5 Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A 1; , B 1; 1 ,C 5; 1 , D 5; Bài 34.[Trích Đề thi thử số 1/2015- Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , đường thẳng AB , AC có phương trình x y 0 x y 0 Trọng tâm G tam giác ACD nằm đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ điểm hình chữ nhật ABCD Phân tích đinh hướng giải: Bài tốn túy hình học giải tích phương pháp giải tham số hóa tọa độ Giả thiết cần ý toán trọng tâm G tam giác ACD Lời giải: x y 0 x A 2; Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình x y 0 y 3 Vì B thuộc AB nên B b; b Đường thẳng BC qua B vng góc với AB nên có phương trình x y 2b x y 2b Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình x y 0 x 3b C 3b 4; b 1 y b Ta có AD BC nên D 2b 2; 2b 1 5b ; b Do G d suy Mặt khác G trọng tâm tam giác ACD nên G 5b b 1 0 b 1 Với b 1 ta có B 1; ,C 7; , D 4; Vậy A 2; , B 1; ,C ; , D 4; Bài 35.[Trích Đề thi thử số 2/2015- Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật 7 6 ABCD có tâm I 2; Hình chiếu vng góc A đường thẳng BD H ; Biết điểm C 5 5 nằm đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ điểm hình chữ nhật ABCD Phân tích định hướng giải: Giả thiết xem nút thắt tốn tâm I 2; 7 6 Ta có hình chiếu vng góc A đường thẳng BD H ; nên đường thẳng BD xác định 5 qua I , H Sau tham số hóa tọa độ điểm A ,C ,sử dụng tính chất I trung điểm AC suy tọa độ A ,C Chỉ cần xác định điểm cịn lại tốn xem giải trọn vẹn , chẳng hạn B , tham số hóa tọa độ thuộc BD với tính chất IA IB ta tìm tọa độ cụ thể B D Lời giải: Đường thẳng BD qua H , I nên có phương trình x y 0 Đường thẳng AH qua H vng góc với BD nên có phương trình x y 0 Vì A thuộc AH C thuộc d nên A 3a ; a , C c ; c 3a c 2 a 2 Vì I trung điểm AC nên c 5 a 2c Suy A 1; , C 5; Vì B thuộc BD nên B b; 3b b 3 2 2 2 Ta có IA IB IA IB 1 b 3b b 1 b 1 Từ suy B 3; , D 1; B 1; , D 3; Vậy A 1; , B 3; , C 5; , D 1; A 1; , B 1; , C 5; , D 3; Bài 36.[Trích Đề thi thử số 3/2015- Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm B 2; , đường thẳng qua đỉnh B vng góc với đường thẳng AC có phương trình x y 14 0 , đường thẳng qua A trung điểm BC có phương trình x y 0 Tìm tọa độ đỉnh D hình chữ nhật ABCD , biết A có hồnh độ âm Phân tích định hướng giải: Bài tốn có lối tư quen thc: “Khi gặp quan hệ vng góc sử dụng tích vơ hướng Khi gặp trung tuyến tham số hóa để sử dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng” Và vây tốn hồn tồn giải hình học giải tích túy Lời giải: Gọi M trung điểm BC ; H hình chiếu vng góc B lên AC Ta có A , M thuộc đường thẳng x y 0 nên A 2a ; a , M 2m ; m Do M trung điểm BC nên C 12 4m ; m Vì BH vng góc với AC nên 1. 4m 2a 7 2m a a 2m Ta có AB BC nên AB.BC 0 2a 10 4m a 2m 0 4m 10 4m 2m 2m 1 0 m 1 20 m 50 m 30 0 m 3 Với m 1 a A 1; loại A có hồnh độ âm Với m a A 1; , C 6; Vậy A 1; , B 2; , C 6; D 3; Bài 41 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm cạnh BC cho MC MB , tia đối tia DC lấy điểm N cho NC ND Biết điểm D 1; , điểm A nằm đường thẳng d : x y 0 đường thẳng MN có phương trình x y 0 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD Phân tích định hướng giải: Từ giả thiết tốn có tọa độ điểm D 1; , điểm A nằm đường thẳng d : x y 0 hướng ta tìm mối quan hệ D , A điểm thứ ba Dựa vào hình vẽ với giả thiết cho phương trình đường thẳng MN nên ta xác định điểm thứ ba giao điểm E MN AD Rõ ràng A , E , D thẳng hàng cần xác định hệ thức vec tơ mối quan hệ ba điểm Vậy tốn có hướng giải Lời giải: Gọi E giao điểm AD MN Khi ED đường trung bình tam giác MCN ta có 1 ED MC BC AD AD , ED hướng nên AD ED 3 Ta có A d A a ; 3a , E MN E t; t 1 1 a t a 3t Ta có AD ED a 4t 3a 3 t a t 0 Suy A 2; AD 3; Đường thẳng CD qua D vng góc với AD nên có phương trình x y 0 x y 0 x N 3; Tọa độ điểm N nghiệm hệ x y 0 y Vì D trung điểm CN nên ta có C 5; 1 Mà BC AD , suy B 2; Vậy A 2; , B 2; , C 5; 1 Bài 42 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB BC , đường trịn tâm D bán 22 ; kính CD cắt đường thẳng AC , AD điểm E F 0; 1 Biết điểm D 12 13 d : x y nằm đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích định hướng giải: Bài tốn xoay quanh vấn đề đường trịn tâm D bán kính DC , với giả thiết giao điểm đường tròn 22 ; đường thẳng AC , AD E F 0; 1 Lại biết điểm D nằm đường 12 13 thẳng d : x y 0 nên tham số tọa độ điểm D ta có DE DF D Từ viết phương trình đường thẳng CD , AD phương trình đường trịn T tâm D bán kính DF Suy tọa độ điểm C với C T CD AC A B Lời giải: 22 84 ;a , FD a ; a Gọi D t; t d Ta có ED a 13 13 Vì ED FD nên a a 2 22 84 a a a Suy D 2; 13 13 Đường thẳng AD qua D F nên có phương trình x y 0 Đường thẳng CD qua D vuông góc với AD nên có phương trình x y 12 0 2 Đường tròn T tâm D bán kính DF nên có phương trình x y 20 x y 20 Tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 12 0 x 6 y x y Vì C , E phía đường thẳng AD nên C 6; Đường thẳng AC có phương trình x y 0 x y 0 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 x A 1; 1 y 1 Ta có AB DC suy B 3; Vậy A 1; 1 , B 3; , C 6; , D 2; Bài 43 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30 , hai điểm E 3; , F nằm đường thẳng BC Hình chiếu vng góc D đường thẳng AF điểm 14 H ; Biết điểm M ; trung điểm AD đường thẳng BC có hệ số góc nguyên Tìm 5 tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích định hướng giải: Bài tốn hình chữ nhật cho diện tích nên hướng nghĩ sử dụng khoảng cách, định lượng độ dài đoạn thẳng Khai thác giả thiết ta có tam giác AHD vng H mà M trung điểm AD nên MH MD MA hay AD MH , có tọa độ điểm M , H nên tính độ dài đoạn thẳng AD AB d M ; BC Dựa vào ta xác định phương trình đường thẳng BC Viết BC AD tham số hóa A AD có AM A D Bài toán giải Lời giải: Ta có tam giác tam giác AHD vng H mà M trung điểm AD nên AD MH Diện tích hình chữ nhật ABCD SABCD AB.AD 30 AB Đường thẳng BC qua E có dạng ax by a 3b 0 với a b2 Ta có d M ; BC AB a a 3b 2 a b a 6b a b2 a 2b 31a 84 ab 44b 0 a 22 b 31 2 Vì phương trình đường thẳng BC có hệ số nguyên nên a 2b , chọn b 1 a Đường thẳng BC có phương trình x y 0 Đường thẳng AD qua M song song với BC nên có phương trinh x y 0 1 45 2 a 1 Gọi A a ; a 1 ta có AM AD nên a 2a 1 2 2 a 1 a Với a 1 A 1; D 2; Đường thẳng AB có phương trình x y 0 x y 0 x 5 B 5; 1 Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 0 y Ta có AD BC C 2; Với a ta có A 2; D 1; Đường thẳng x y 0 x y 0 Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 0 x 2 B 2; C 5; 1 y 5 Vậy A 1; , B 5; 1 , C 2; , D 2; A 2; , B 2; , C 5; 1 , D 1; Bài 45 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường trịn C Gọi M 10 trung điểm cạnh AB , đường thẳng CM cắt đường tròn C E 0; Biết G ; trọng tâm 3 tam giác ABC , điểm F 2; nằm đường tròn C điểm B có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích định hướng giải: Trước hết khai thác giả thiết hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn C tâm I , biết E , F C nên ta có IE IF Lại có G trọng tâm tam giác ABC ta có IB IG nên IE IG Từ tìm tọa độ điểm I Sử dụng IB IG B D C C A Như tốn hồn tồn giải theo túy giải tích Lời giải: Gọi I x ; y tâm hình chữ nhật ta có biết E , F C nên ta có IE IF Lại có G trọng tâm tam giác ABC ta có IB IG nên IE IG x2 y 2 Từ ta có hệ 2 x y 2 41 x 2 x y y x 3 y 2 10 1 16 y y 0 9 x 9 y 3 x y 41 1 ; Ta có IB IG B ; (loại) Với I 8 4 1 Với I ; Ta có IB IG B 5; Suy D 0; 2 Đường thẳng CM qua G , E nên có phương trình x y 0 2 5 Ta có IB Phương trình đường trịn C 2 2 5 1 25 : x y 2 2 x y 0 2 x 4 y Tọa độ điểm C nghiệm hệ 5 1 25 x y 2 2 y y 0 x 0; y x 6; y Vì C E nên C 6; 1 A 1; Vậy A 1; , B 5; , C 6; 1 , D 0; Bài 50 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB AD Gọi M điểm nằm cạnh AB , N điểm nằm tia đối tia AD thỏa mãn AD AM , AN BM Giả sử H 2; hình chiếu vng góc A lên DM , E 2; trung điểm BN Viết phương trình đường thẳng AD biết đỉnh B có hồnh độ dương điểm F 5; thuộc đường thẳng BC Phân tích định hướng giải: Chúng ta gặp toán tương tự Đề thi thử lần 4-Năm 2015 THPT Chuyên Đại học Vinh Nên theo lối tư quen thuộc ta phân tích tốn sau: Giả thiết cho tọa độ điểm H,E dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt BN HE Cùng với nhận xét NAB 90 nên dẫn đến cần chứng minh tứ giác ANBH nội tiếp Lời giải: Ta có AM AD AB nên tam giác ADM vuông cân A , suy AH DM Xét tam giac AHN MHB có AN MB , AH HB DM HAN 90 HAM HMB ... 2CB 3 BC CM NC 2 Áp dụng Pitago BC2 DC2 AC2 BC2 BC2 ? ?25 0 BC ? ?25 Gọi B a; b ta có a 1 2 b ? ?25 a2 b2 2a 14b 25 0 (1) 2 125 3 1 125 a b 2? ??... tuyến a; b với a2 b2 , ta có phương trình: a 2b 85 a2 b2 b 4 a a 2b 17 a2 b2 64 a2 36 ab 13b2 16 a 13b TH1: Nếu 16 a 13b , chọn a 13, b 16... a 5b 23 34 4 3a 5b 23 8 34 Và C thuộc đường trịn đường kính DM nên x2 y2 x 11 y 24 0 x2 y2 27 x 99 y 21 6 0 (*) a 5b 23 34 a 5b 15 0 a 5b