CHƯƠNG 2 TUYỂN CHỌN các DẠNG TOÁN điển HÌNH

CHƯƠNG 2 TUYỂN CHỌN CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH B Chủ đề 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC 1 Hình bình hành Bài 05 Trong hệ toạ độ mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình bình hành có Biết rằng lần lượt[.]

B Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC Hình bình hành  Bài 05 Trong hệ toạ độ mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có AC  10 BD Biết M   2;  1 , N  2;  1 hình chiếu D xuống đường thẳng AB, BC đường thẳng x  y 0 qua A, C Tìm tọa độ điểm A, C Định hướng: Với giả thiết hình bình hành nên gọi I giao điểm đường chéo hình bình hành Dựa vào hình vẽ dễ thấy quan hệ điểm I , M , N IM  IN Từ tìm tọa độ điểm I Kết hợp giả thiết AC  10 BD định lượng độ dài đoạn thẳng IA A  AC Từ tìm tọa độ điểm A  C Lời giải: Gọi I giao điểm AC BD C D Gọi I (7 a; a) Ta có tam giác BDM vng M ,tam giác BDN vuông N nên IM  IN  BD Do : I x-7y=0 A (7 a  2)2  ( y  1)2  (7a  2)2  (a  1)2  a 0 Suy I (0;0) Khi đó: BD 2 IM 2 Mà B M(-2;-1) N(2;-1) AC  10 BD 10 nên IA  IC 5  x  y 0  x 7 y  Tọa độ A, C thỏa mãn hệ phương trình  2  y 1  x  y 50 Vậy A  7;1  C   7;  1 A   7;  1  C  7;1  Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A   3;1 AB  BD  13  Gọi N điểm đối xứng C qua D H  ;  hình chiếu vng góc N BC Tìm  5 toạ độ đỉnh B, C, D biết D thuộc đường thẳng x  y  0 Định hướng: Từ số liệu giả thiết ta hướng đến tìm mối liên hệ bốn điểm A, H ,N,D Hình vẽ giúp ta phát AND  AHD 90 việc chứng minh dựa vào tứ giác nội tiếp phương án tối ưu Bài tốn có hướng giải Lời giải: Do AB  BD nên tứ giác ABDN hình chữ nhật  Suy NAB  NHB 90 tứ giác ABHN nội tiếp Đường trịn đường trịn ngoại tiếp tam giác ABN có tâm trung điểm BN (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, H , D, N thuộc đường trịn đường kính BN Vì AHD  AND 90 hay AH  HD Đường thẳng DH qua H vng góc với AH có phương trình x  y  20 0 7 x  y  20 0  x 3    D  3;  1 Toạ độ điểm D nghiệm hệ   x  y  0  y  Đường thẳng BC qua H song song với AD nên có phương trình x  y  0 Gọi B   3b; b thuộc đường thẳng BC ta có  b 3   AB DB 0   11  3b   3b    b    b   0  5b2  24b  27 0    b 9    Vì B khác H nên B   1;3  Ta có AB  DC từ suy C  5;1 Vậy B   1;3  , C  5;1 D  3;  1  Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC 2 AB Phương trình đường chéo BD x  0 Gọi E điểm thuộc đoạn AC thoả mãn AC 4 AE , M trung 5  điểm cạnh BC Tìm toạ độ A, B, C, D biết E  ;7  , SBEDC 36 điểm M nằm đường thẳng 2  x  y  18 0 điểm B có tung độ nhỏ Định hướng: Giả thiết toán hướng ta khai thác tính chất từ điểm B, D, M , E Hình vẽ giúp ta nhận định giả thuyết EM  BD BE  BM Các hệ thức AC 2 AB , E điểm thuộc đoạn AC thoả mãn AC 4 AE kết nối tỉ lê thức  ABE đồng dạng với ACB  BEM cân B Vấn đề định lượng yếu tố lại nhờ sử dụng giả thiết SBEDC 36 Lời giải: Gọi I tâm hình bình hành ABCD AC AB  2 Do ABE đồng dạng với ACB Xét hai tam giác ABE ACB có A chung AB AE Suy BC 2 BE 2 BM  BEM cân B Mặt khác IE  EM  AB nên I nằm đường trung trực EM hay BI trung trực EM EM  BD Đường thẳng EM qua E vng góc với BD có phương trình y  0 2 x  y  18 0  Toạ độ điểm M thoả mãn hệ   y  0 11   11  x   M  ;7      y 7 2SBED 16 Ta có: SBEDC  SBED  SBCD 3SBED 36  SBED 12  BD  d  E; BD  Gọi  4;b thuộc đường thẳng BD , M trung điểm BC nên C  7;14  b     b ta có AE  ;  2   5   x 1    14  b  7  x A 4   x A   A   2  Do AC 4 AE   14  b  A  1;   14  b  y 4   y   yA   A A  28  4b  28  b  8  Suy I  4;   IB 8  3   Từ suy A  1;5  C  7;13  Vậy A  1;5  , B  4;1 , C  7;13  D  4;17   b 1  B  4;1 , D  4;17    b 13 Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo  23 15    ;  trực tâm tam giác ABC , G   ;4  điểm thuộc đoạn BD AC x  y  0 , điểm H    7    thoả mãn GB 2GD Tìm toạ độ đỉnh hình bình hành ABCD Định hướng: Bài tốn hồn tồn mang tính chất giải tích việc giải tốn ta cần nhớ đến quan hệ tam giác: “Trực tâm  Đường cao  Vng góc”   Giả thiết G   ;4  điểm thuộc đoạn BD thoả mãn GB 2GD giúp   ta xác định hệ thức vec tơ Lời giải: Đường cao BH qua H vng góc với AC nên có phương trình 23  15     x     y   0  x  y  14 0     Gọi B  5b  14; b  thuộc BH , gọi I tâm hình bình hành ABCD   Ta có GB 2GD  BI 3 IG  16  5b     xI   x  b  14    x I   I      Do  12  b  y  b 3   y  y  I  I  I Mặt khác I thuộc AC nên  16  5b 12  b   0  b 2  B   4;2  4    10  ;    D  1;5  Vì GB  2GD       43  23   a;  5a  Gọi A  a;  a   thuộc AC suy AD   a;9  a  , AH     Vì AD / / BC AH vng góc với BC nên    23   43  AD AH 0    a     a     5a   5a  0  26 a2  a  0  7        a   a   Suy A   1;1 , C   2;6  A   2;6  , C   1;1 Vậy A   1;1 , B   4;2  , C   2;6  , D  1;5  A   2;6  , B   4;2  , C   1;1  , D  1;5   Bài 37.[Trích Đề thi thử số 4/2015- Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AD  AB Biết A   4;   , đường phân giác góc ABC có phương trình d : x  y 0 đường thẳng CD qua K  3;   Tìm tọa độ đỉnh B ,C , D hình chữ nhật ABCD Định hướng Khai thác giả thiết ABCD có AD  AB ta có gọi M trung điểm AB BM  AB nên tam giác ABM cân B , lại có đường phân giác góc ABC x  y 0 đường phân giác đồng thời đường cao, trung trực Đó “nút thắt” tốn Cơng việc cịn lại túy giải tích Bài tốn có hướng giải trọn vẹn Lời giải: Gọi M trung điểm AB AD  AB  BM  AB  BM nên tam giác ABM cân B Suy đường thẳng AM qua A vng góc với d nên có phương trình x  y 0  x  y 0  Gọi  I  AM  d , ta có tọa độ điểm I nghiệm hệ   x  y 0  x 0  I  0;    y 0 Mà I trung điểm AM nên M  4;  Vì B thuộc d nên B  b;  2b  C   b;  2b   Suy AB  b  4;  2b   , CK  b  5;  2b  10    Do AB / / CK nên AB , CK phương nên  b     2b  10    2b    b     30b  30 0  b  Do B   1;  , C  9;  D  6;    Bài 49 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD , trực tâm tam giác BCD  3 H  4;  , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD I  2;  Điểm B thuộc đường thẳng x  y 0  2 BC qua M  5;  Viết phương trình cạnh hình bình hành biết điểm B có hồnh độ dương Định hướng Khai thác giả thiết toán ta cần quan tâm đến hai điểm, với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD , H trực tâm tam giác BCD Do I H đứng riêng biệt chắn chẳng có quan hệ nên ta có vài suy nghĩ sau: I liên quan đến đường cao tam giác BCD hay H liên quan đến đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ? Giữa I , H có chung chung với BD ,vẽ hình thử nối H với B , D Rõ ràng nhìn tam giác BCD ta có kết luận BH  CD , DH  BC ta mở rộng tầm nhìn hình bình hành ABCD thật may mắn kết đẹp phát BH  AB , DH  AD nghĩa tứ giác ABHD nội tiếp Vậy việc phát H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD nút thắt tốn ta có mối quan hệ điểm I , H , B IH  IB Do việc tham số hóa tọa độ điểm B  dễ tìm B việc xác định yếu tố lại túy mang tính giải tích Lời giải: Gọi B  4b; 3b  b   Ta có BH  CD , DH  BC mà AB / / CD , AD / / BC suy BH  AB , DH  AD Do tứ giác ABHD nội tiếp đường trịn đường kính AH Ta có R  IH   3 25   Đường tròn  C  :  x     y    2  3 25   b2  b 0  Do B   C  nên  4b     3b    2   b 0  b 1  Vì B có hồnh độ dương nên B  4;  Đường thẳng BC qua B , M nên có phương trình x  y  15 0 Đường thẳng AB qua B vng góc với BH nên có phương trình y  0 Đường thẳng DH qua H vng góc với BC nên có phương trình x  y  0  3 25  x  4; y 0   x     y      Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình  2   x  13 ; y    10 10  x  y  0   13 Vì D  H nên D  ;   10 10   Đường thẳng CD song song với AB nên có phương trình y  0 10 Đường thẳng AD qua D song song với BC nên có phương trình x  y  0  Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I  2;2  ,  điểm D chân đường phân giác góc BAC Đường thẳng AD cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai M (khác A ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm J  0;2  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD phương trình đường thẳng CM x  y  0 Lời giải 1     MAB  MAC  CJD Ta có MCB 1    Suy JCM  MCB  DCJ  CJD   180   CJD  90  JC  MC Phương trình đường thẳng CJ : x  y   x  y   C   1;3  Tọa độ điểm C nghiệm hệ   x  y 2 Phương trình đường thẳng AC : x  0 Phương trình đường trịn  I  :  x  2 2   y   10 ngoại tiếp tam giác ABC Tọa độ điểm A nghiệm hệ x  0   A   1;1  2  x     y   10 x  y  0  Tọa độ điểm M nghiệm hệ  2  x     y   10  M  1;5   Đường thẳng BC qua C nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x  y  10 0   Tọa độ điểm B nghiệm hệ  x  y  10 0   x     y    19 23   B ;  10  5   Bài 17 (Thi thử QG năm 2015 – chuyên Hà Tĩnh) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có điểm N trung điểm cạnh CD đường thẳng BN có phương trình 13 x  10 y  13 0; điểm M   1;2  thuộc đoạn thẳng AC cho AC 4 AM Gọi H điểm đối xứng với N qua C Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết AC 2 AB H thuộc đường thẳng x  y 0 Lời giải 5 xC    xG   Gọi G giao điểm AC BN  G trọng tâm tam giác CBD  MG 5 MC    y  yC   G   xc    yc   Mà G  BN  13    10    13 0  13 xc  10 yc  0  C   : 13 x  10 y  0       10n  3a  13n  2a  ; Giả sử N  10n  1;13n  , H  3a;2a   C   2   Từ C    100n  19a  19 0  *  Ta lại có  a 1 16 32 5CG 4 MG  d  C; BN   d  M; BN    d  H ; BN  2d  C; BN      a  45 269 269  19 Do H , M khác phía với đường thẳng BN nên H  3;2  Thay a 1 vào (*), suy n 0  N   1;0  Suy C  1;1 Từ N trung điểm CD  D   3;  1      7  13  Từ CM 3 MA  A   ;  ; từ AB  DC  B  ;   3 3  ...  Do  12  b  y  b 3   y  y  I  I  I Mặt khác I thuộc AC nên  16  5b 12  b   0  b ? ?2  B   4 ;2  4    10  ;    D  1;5  Vì GB  2GD       43  23   a;... , B   4 ;2  , C   2; 6  , D  1;5  A   2; 6  , B   4 ;2  , C   1;1  , D  1;5   Bài 37.[Trích Đề thi thử số 4 /20 15- Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình bình... B thuộc d nên B  b;  2b  C   b;  2b   Suy AB  b  4;  2b   , CK  b  5;  2b  10    Do AB / / CK nên AB , CK phương nên  b     2b  10    2b    b     30b