CHƯƠNG 2 TUYỂN CHỌN CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH B Chủ đề 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC 1 Hình thang Bài 06 Trong mặt phẳng với trục toạ độ cho hình thang cân Gọi lần lượt là hình chiếu vuông gó[.]
B Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC Hình thang Bài 06.Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD AB / / CD Gọi H , I hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, CD Giả sử M , N trung điểm AD, HI Viết phương trình đường thẳng AB biết M 1; , N 3;4 đỉnh B nằm đường thẳng x y 0 , cos ABM Định hướng: Bài toán xoay quanh điểm B mà giả thiết cho tọa độ điểm M ,N Nên dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt mối quan hệ điểm B, M , N BM MN Giả thiết hình thang cân ABCD AB / / CD Gọi H , I hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, CD cho ta nghĩ đến tứ giác nội tiếp B, H , I , C suy góc tam giác đồng dạng để từ chứng minh khẳng định giả thuyết Lại có đỉnh B nằm đường thẳng x y 0 , cos ABM , ta định lượng yếu tố Lời giải Xét tam giác ABD HBI có: ABD HCI HBI Và ADB ACB HIB Suy ABD HBI Ta có BM , BN hai trung tuyến tam giác ABD, HBI đó: BM BA BN BH (1) Lại có ABM HBN MBN ABH Từ (1) (2) suy ABH (2) MBN Do MNB AHB 90 hay MN NB Đường thẳng BN qua N vng góc với MN nên có phương trình : x y 15 0 x y 0 x 6 Toạ độ điểm B thoả mãn Suy B( 6; ) x y 15 0 y 3 2 Gọi n a; b a b 0 vec tơ phương đường thẳng AB Ta có MB 5; phương với vec tơ uMB 1; 1 Theo ta có: ab 2( a b 8( a2 b2 ) 5( a ab b2 ) 3a 10 ab 3b2 0 a 3b a b Với a 3b , chọn b 1 a ta có phương trình x y 21 0 Với b a chọn a 1 b ta có phương trình x y 15 0 (loại trùng với BN ) Vậy phương trình đường thẳng AB là: x y 21 0 Bài 22 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A, B với đáy nhỏ AD , có hai đường chéo BD AC vng góc với E Biết AB 2 10 , F trung điểm đoạn thẳng CD 21 3 3 ; , F ; Viết phương trình đường thẳng , điểm C nằm trục Ox có hồnh độ dương E 5 2 BC Định hướng: Bài toán chứa đựng nhiều yếu tố quan hệ vng góc, có định lượng độ dài đoạn thẳng nên ta hồn tồn nghĩ đến phương pháp đại số để giải nó, từ việc khai thác giả thiết quan trọng sau: + Tam giác ECD vuông E mà F trung điểm đoạn thẳng CD nên FC FD FE +Tam giác BAD vng A có AE đường cao nên BE.BD BA Lời giải: Gọi C x;0 với x Tính EF 65 ; FC x 2 Vì tam giác ECD vng E mà F trung điểm đoạn thẳng CD nên FC FD FE x 7 2 Suy FC FE x x 28 0 x loai Do C 7;0 suy C 4;3 Từ ta có ED a 4 2 Đặt BE a a , tam giác vng ABD có BE BD BA a a 40 a Khi BE 4 BE 4 ED Mà B, D, E thẳng hàng E nằm B, D nên EB ED 21 xB x B hay B 5; yB y 28 B 5 Đường thẳng BC qua B C nên có phương trình x y 0 Bài 23 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD , BC Biết B 2;3 AB BC , đường thẳng AC có phương trình x y 0 , điểm M 2; 1 nằm đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD Định hướng : Khai thác giả thiết hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn AB BC Suy AC đường phân giác góc BAD , giả thiết có tọa độ điểm B phương trình đường thẳng nên cách nghĩ quen thuộc lấy điểm B ' đối xứng B qua AC B ' AD Bài tốn có hướng giải trọn vẹn Lời giải: Vì hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn AB BC Suy AC đường phân giác góc BAD Gọi B ' đối xứng B qua AC B ' AD Gọi H hình chiếu B lên AC Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình x y 0 x 3 Suy H 3;2 x y 0 y 2 Vì B ' đối xứng với B qua AC nên H trung điểm BB ' Do B ' 4;1 Đường thẳng AD qua M B ' nên có phương trình x y 0 x y 0 x 1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ Do A 1;0 x y 0 y 0 Ta có tứ giác ABCB ' hình bình hành nên AB B ' C Do C 5;4 Gọi d trung trực BC , suy d : x y 14 0 38 11 Gọi I d AD I trung điểm AD Do D ; 5 Đường thẳng CD qua C D nên có phương trình x 13 y 97 0 Bài 29[Trích Đề thi thử THPT Hùng Vương 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có CD 2 AD 2 AB Gọi E 2;4 điểm thuộc đoạn AB cho AB 3 AE Điểm F thuộc BC cho tam giác DEF cân E Phương trình EF x y 0 Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết D thuộc đường thẳng d : x y 0 điểm A thuộc đường thẳng d ' : x y 0 Định hướng: Khai thác tính chất hình thang ABCD vng A D có CD 2 AD 2 AB ta có DBC vng B hay DBF 90 Giả thiết đáng quan tâm tam giác DEF cân E Một giả thuyết đặt liệu DEF 90 ? Muốn khẳng định giả thuyết ta cần chứng minh tứ giác DEBF nội tiếp tốn có hướng giải Lời giải: Gọi P điểm đối xứng D qua A Tam giác BDP vuông cân B nên EP ED Mặt khác tam giác DEF cân E nên ED EF , suy E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DPF Suy AED PED EBFD tứ giác nội tiếp Suy DEF DBF 90 Vậy tam giác DEF vuông cân E Đường thẳng DE qua E vng góc với EF nên có phương trình x y 0 x y 0 x D 2;2 Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình x y 0 y 2 Xét tam giác vng EDA có EA AB AD, DE AD2 AE 10 AE Vì A d ' A a;8 3a , a a 1 2 Ta có phương trình 10 a 2 a 5a 14 a 0 a loai 2 Vậy A 1;5 xB 2 x 4 B B 4;2 yB yB 2 Ta có EB EA xC 6 Ta có DC 2 AB yC xC 4 C 4; yC Vậy A 1;5 , B 4;2 , C 4; , D 2;2 Bài 32.[Trích Đề thi thử Mathlink.vn] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo BD AC vng góc với H Gọi M điểm nằm cạnh AB cho AB 3 AM , N trung điểm HC Biết B 1;3 , đường thẳng HM qua điểm T 2; , đường thẳng DN có phương trình x y 0 Tìm tọa độ điểm A D Định hướng: Giả thiết tốn cho phương trình đường thẳng DN , đường thẳng HM qua T , cần xác định phương đường thẳng HM Dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt HM DN ? Khai thác giả thiết : “Hình thang cân ABCD có hai đường chéo BD AC vng góc với H , M điểm nằm cạnh AB cho AB 3 AM , N trung điểm HC ” phương pháp vec tơ công cụ tối ưu việc chứng minh khẳng định giả thuyết C B N L H T M A D Lời giải: Ta có ABCD hình thang cân nên có hai đường chéo BD AC vng góc với H nên HB HC, HA HD Ta đặt HB HC a, HA HD b a,b , đó: HM MA MB HA HB HA HB AB AB 3 DN DH HC 2 1 1 HM DN HA HB DH HC HA HC DH HB ab ab 0 Do Suy 3 3 3 HM DN Đường thẳng HM qua T 2; vng góc với DN nên có phương trình là: x y 0 Gọi H t;2t HM Theo định lí Talet ta có: HD HB , suy D 4t ; t 19 HD AD 3 HD, HB ngược hướng nên HB BC Mặt khác D DN nên 4t 8t 19 0 t H 2; D 11; D DN 4t 8t 19 0 t 2 H 2; 3 D 11; 3 Nhận xét H T , đường thẳng BD : y Đường thẳng AC qua H vng góc với BD có phương trình : x 0 x 2 x 0 3 Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình: N 2; 2 x y 0 y Vì N trung điểm HC nên C 2; x 2 x A 0 A A 2; 30 Mặt khác HA HC y A y A 30 Vậy tọa độ hai điểm cần tìm A 2; 30 D 11; Bình luận: Có thể chứng minh HM DN cơng cụ lượng giác hóa Bài 39.[Trích Đề thi thử số 7/2015-Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD , biết AB BC , điểm A 2; , đường phân giác góc ABC có 29 ; Tìm phương trình d : x y 0 , hình chiếu vng góc B đường thẳng CD điểm H 5 tọa độ đỉnh B ,C ,D biết diện tích hình thang ABCD 12 Định hướng : Khai thác giả thiết AB BC đường phân giác góc ABC d để suy A đối xứng với C qua d Các yếu tố định lượng khác khai thác tính chất vng góc từ giả thiết hình chiếu B đường 29 ; diện tích hình thang Khi thiết lập hệ phương trình tốn thẳng CD điểm H 5 giải trọn vẹn Lời giải: Ta có tam giác ABC cân B nên AC d Suy phương trình đường thẳng AC x y 0 Gọi I giao điểm AC d tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình x y 0 x 3 I 3; x y 0 y 2 3 Mà I trung điểm AC nên C 4; 1 HC ; 5 Đường thẳng BH qua H vng góc với HC nên có phương trình x y 19 0 x y 19 0 x 5 B 5; Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 0 y 4 Ta có AB 10 , BH 10 10 Diện tích hình thang SABCD BH AB CD 12 10 CD CD 10 Suy CD AB AB , DC hướng nên DC AB xD x D D 2; 1 yD 1 yD Do Vậy A 2; , B 5; , C 4; 1 , D 2; 1 Bài 46 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A 0; B Trên cạnh 6 7 AB lấy điểm M cho MB MA , điểm N ; hình chiếu vng góc M CD Biết 5 5 tam giác MCD vuông M điểm B nằm đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh B ,C , D Định hướng: Từ giả thiết tốn hướng tìm mối quan hệ ba điểm A , B , N Dựa vào hình vẽ khơng khó khăn để đốn nhận tính chất NA NB 6 7 90 với giả thiết điểm N ; hình chiếu vng góc Khai thác giả thiết hình thang có A B 5 M CD ta có tứ giác ACNM BMND nội tiếp , từ suy cặp góc nội tiếp chắn cung có số đo kết hợp tam giác MCD vng M Bằng phương pháp cộng góc ta chứng minh nhận định Vấn đề cịn lại tính tốn tham số hóa tọa độ điểm B d , sử dụng NB.NA 0 B Viết phương trình đường thẳng AC , BD Sử dụng MB MA M CD C , D Như tốn có hướng giải trọn vẹn! Lời giải: Ta có MAC MNC 90 , MND MBD 90 nên tứ giác ACNM BMND nội tiếp Suy ACM ANM (góc nội tiếp chắn cung AM ), MNB (góc nội tiếp chắn cung MB ) MCB Do ANB ANM MNB ACM MDB 90 AMC 90 CMB 180 AMC CMB BMC 90 6 7 Hay NA NB N ; A 0; 5 5 51 7 18 ; b , NA ; Gọi B 3b 9; b d ta có NB 3b 5 5 6 51 18 7 36 36 b 0 b 0 b Ta có NA.NB 0 3b 5 5 5 Suy B 6; 1 Theo ta có MB MA MA , MB ngược hướng nên MB MA Do x xM xM M M 2; yM yM yM Đường thẳng CD qua N vng góc với MN nên có phương trình x y 0 Đường thẳng AC vuông góc với AB A nên có phương trình x y 0 Đường thẳng BD vuông góc với AB B nên có phương trình x y 0 x y 0 x 2 C 2; Tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 0 y 3 x y 0 Tọa độ điểm D nghiệm hệ x y 0 x D 2; y Vậy B 6; 1 , C 2; , D 2; Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD có BCD ADC 900 BC CD AD Qua điểm E thuộc cạnh BC kẻ đường thẳng vng góc với DE cắt đường thẳng AB F Tìm tọa độ điểm B, C, D biết A 6; , E 1;2 , F 5; 1 Định hướng: Gọi H giao điểm AD đường thẳng qua F vuông góc với AB Phát chứng minh tam giác HFA vuông cân F Lời giải Gọi H giao điểm AD đường thẳng qua F vng góc với AB 1 Đặt BC CD AD a BD BA a H 450 HFA vuông cân F Suy tam giác BDA vuông cân B FA Ta có: Phương trình đường thẳng AB : x y 4 Phương trình đường thẳng FH : x y 6 Phương trình đường thẳng DE : x y m 4 Giả sử H m; m , từ FA FH m 6 +) Với m 4 H 4; Từ ta có: Phương trình đường thẳng BC : y 2; phương trình đường thẳng AD : y Tọa độ điểm D 2; Phương trình đường thẳng DC : x Suy C 2;2 , B 2;2 +) Với m 6 H 6;0 Giải tương tự trường hợp loại nghiệm ... 2 Gọi n a; b a b 0 vec tơ phương đường thẳng AB Ta có MB 5; phương với vec tơ uMB 1; 1 Theo ta có: ab 2( a b 8( a2 b2 ) 5( a ab b2 ) 3a 10 ab 3b2... , chọn b 1 a ta có phương trình x y 21 0 Với b a chọn a 1 b ta có phương trình x y 15 0 (loại trùng với BN ) Vậy phương trình đường thẳng AB là: x y 21 0 Bài 22 ... phương trình x 13 y 97 0 Bài 29 [Trích Đề thi thử THPT Hùng Vương 20 15] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có CD ? ?2 AD ? ?2 AB Gọi E 2; 4 điểm thuộc đoạn AB cho AB