CHƯƠNG 2 TUYỂN CHỌN CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH A Chủ đề 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC 1 Tam giác vuông Bài 06 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác vuông tại nội tiếp đường tròn tâm ,[.]
A Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC Tam giác vuông Bài 06 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng C nội tiếp đường trịn tâm I , chân đường cao hạ từ đỉnh C điểm H Tiếp tuyến đường tròn ( I ) A, C cắt M , đường 5 12 13 thẳng BM cắt CH N Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết H ; , N ; điểm P 0; 2 5 5 thuộc đường thẳng AC Định hướng : 12 13 Dựa vào hình vẽ ta thấy toán quen thuộc ,giả thiết cho H ; , N ; 5 5 Lại có N CH nên ta nhận định N trung điểm CH , việc chứng minh tính chất hướng ta sử dụng định lí Ta lét tiếp tuyến A song song với CH Yếu tố phụ tốn xuất K giao điểm BC với tiếp tuyến đường tròn I A Từ tốn giải Lời giải: Gọi K giao điểm BC tiếp tuyến đường tròn I A Khi ta có: MA MC (tính chất tiếp tuyến) nên MAC mà MKC MAC 90 ; MCK MCA 90 MCA Suy MKC , MKC cân M MC MK Từ suy MA MK MCK Ta có CH / / AK nên theo định lí ta let ta có NC MK 1 NH NC NH MA hay N trung điểm CH 13 xC 2 5 C 5;0 Tọa độ điểm C thỏa mãn y 2 12 0 C 5 Đường thẳng AC qua C P nên có phương trình x y 0 Đường thẳng AB qua H vng góc với NH nên có phương trình x y 0 x y 0 Tọa độ điểm A nghiệm hệ 2 x y 0 x A 3; y Đường thẳng BC qua C vng góc với AC nên có phương trình x y 10 0 2 x y 10 0 Tọa độ điểm B nghiệm hệ 2 x y 0 x 2 B 2;6 y 6 Vậy A 3; ,B 2;6 C 5;0 Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân C Gọi M trung điểm cạnh AC , D điểm thuộc đoạn AB thoả mãn DB 2 DA , H hình chiếu vng góc D BM 18 24 ; đỉnh B có hồnh độ nguyên Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết D 2;4 , H 5 Định hướng: Dựa vào hình vẽ xác định mối quan hệ thẳng hàng ba điểm C , H , D Bằng phương pháp vec tơ xác định hệ thức vec tơ CH HD Sử dụng tính chất tam giác vuông cân dùng hệ thức lượng ta xác định độ dài cạnh BC B ,C Lời giải: Đường thẳng DH có phương trình x y 0 Đường thẳng BM qua H vng góc với DH nên có phương trình x y 12 0 1 Ta có DB 2 DA DB, DA ngược hướng nên DB DA , suy CD CB CA 3 1 2 1 CA Do CD MB CB CA CB CA CB CA 0 (Vì tam giác 3 3 ABC vuông cân C ) nên C, H , D thẳng hàng CH , HD hướng Và MB CB Kẻ CK / / AC K MB ta có Gọi C xC ; yC 3 CH CM AM AB Suy CH HD HD DK DK DB 2 18 3 18 xC xC ta có yC 6 24 y 24 C 2 Đặt CA CB a a AB a 2; BD 2a Áp dụng định lý hàm số Cơ-sin cho tam giác BCD có CD2 BC BD2 BC.BD cos45 20 a2 a a a2 36 b 2 2 Gọi B b;2b thuộc BM ta có BC 36 b 2b 36 5b 36b 36 0 b 1 Vì B có hồnh độ ngun nên B 6;0 Và DA DB A 0;6 Vậy A 0;6 , B 6;0 , C 6;6 Bài 24 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC vng A có A 1;2 Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh A , F điểm đối xứng E qua A H 1; 1 trực tâm tam giác FBC Tìm toạ độ đỉnh B, C biết diện tích tam giác FBC 78 đỉnh B có hồnh độ âm Định hướng: Phát chứng minh tính chất: H trung điểm AE việc chứng minh H trực tâm tam giác APC Viết phương trình đường thẳng BC Tham số hóa tọa độ điểm B C Sử dụng giải thiết ABC vuông A AB.AC 0 , kết hợp SFBC 78 Giải tìm nghiệm có tọa độ B ,C Lời giải Gọi P trung điểm cạnh BE , ta có AP đường trung bình cuả tam giác BEF Mặt khác CH FB CH AP Lại có AH CP nên H trực tâm tam giác APC Do PH AC , suy PH / / AB (vì vng góc với AC ) Vì PH / / AB , P trung điểm BE nên H trung điểm AE Suy E 1; F 1;8 Đường thẳng BC qua E vng góc với AE nên có phương trình y 0 Gọi B b; , C c; với b Ta có SFBC 78 1 d F ; BC BC 78 12 b c 78 b c 13 2 (1) Mặt khác AB AC 0 b 1 c 1 ( 2)( 2) 0 b c 36 Vì b nên từ (2) suy c c b Do ta có hệ phương trình b 10 b 1 c 1 36 c 3 b c b 13 c 2 Vậy B 10; , C 3; B 8; , C 2; (2) Bài 38 [Thi thử Quảng Ninh] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A có AC 2 AB Điểm M 2; trung điểm cạnh BC Gọi E điểm thuộc cạnh AC cho 4 8 EC 3 EA , điểm K ; giao điểm AM BE Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC , 5 5 biết điểm E nằm đường thẳng d : x y 0 Phân tích định hướng : Phát chứng minh BE AM K Viết phương trình đường thẳng BE E Viết phương trình đường thẳng BI B Lời giải : Kẻ MI AC I BD MI D Khi ta có tứ giác AIDB hình vng có M , E trung điểm ta có BE AM K Đường thẳng BE qua K vng góc với KM nên có phương trình x y 0 x y 0 x 2 E 2;2 Tọa độ điểm E nghiệm hệ x y 0 y 2 Ta có AD BI , ME đường trung bình tam giác AID Ta có F 2;0 trung điểm ME Đường thẳng BI có phương trình y 0 x y 0 Tọa độ điểm B nghiệm hệ y 0 x B 4;0 y 0 Vì M 2; trung điểm BC nên C 8; Ta có BI 4 FI suy tọa độ điểm I 4;0 trung điểm AC nên A 0;4 Kết luận : A 0;4 , B 4;0 , C 8; 5 5 Bài 06 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC vuông A có AB AC , I ; trung 2 điểm BC Trên cạnh AC lấy điểm M cho AB MC Biết E 1;1 trung điểm AM C thuộc đường thẳng d : x y 0 Xác định tọa độ điểm A Định hướng: Từ giả thiết toán ta thấy để giải cần xác định mối quan hệ ba điểm I , E ,C Dựa vào hình vẽ ta thấy ba điểm không thẳng hàng nên hướng ta cách nghĩ chứng minh IEC không đổi Sử dụng tính chất đường trung bình với giả thiết tam giác ABC vng A AB MC ta có gọi F trung điểm BM suy tam giác IEF vng cân từ suy IEC 45 Lời giải IF / / MC Gọi F trung điểm BM Ta có EF / / AB MC 2 IFE vuông cân F Do IEC 45 Giả sử C 2c 4; c ta có: EI EC cos45 c2 10 c 10 3 c EI EC c 2 c c c 1 c lo¹i Với c 1 C 6;1 B 1;4 Phương trình đường thẳng AC : y 1 , phương trình đường thẳng AB : x Tọa độ điểm A 1;1 Chú ý EI EC Nếu thay hệ thức (*) cos45 EI EC cần loại trường hợp c cách tính góc IEC cách sử dụng giả thiết điểm M nằm cạnh AC a.b Thông thường ta sử dụng cos không xác định chiều véctơ a, b (ví dụ a.b trường hợp ta sử dụng véc-tơ pháp tuyến hay véc-tơ phương đường thẳng Bài 09 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc 1 A BC , điểm M 2; 1 , N trung điểm HB HC ; điểm K ; 2 trực tâm tam giác AMN Xác định tọa độ đỉnh C, biết A nằm đường thẳng x y 0 có tung độ âm Định hướng: Giả thiết tốn có hai yếu tố đáng quan tâm để khai thác trực tâm tam giác trung điểm đoạn thẳng nên ta cần kẻ thêm đường phụ đường trung bình tam giác, cụ thể tốn đường trung bình MI tam giác HAB đường trung bình NK tam giác HCI Khi nút thắt tốn phát : K trung điểm IH Lời giải Gọi I trung điểm AH , ta có MI / / AB MI AC I AMC CI AM trực tâm tam giác mà NK AM NK / / CI K trung điểm HI 2a 2 a ; Giả sử A 2a 4; a , từ AK 3 KH H Lại từ a AK MH 0 10 a 13 a 23 0 A 2; a 23 lo¹i 10 Bài 19 [THPT Quốc Gia năm 2015] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC ; D điểm đối xứng B qua H ; K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD Giả sử H 5; , K 9; trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x y 10 0 Tìm tọa độ điểm A Định hướng : Phát chứng minh A, K đối xứng với qua đường thẳng HM Từ MH MK M Viết phương trình đường thẳng HM , AK Tìm tọa độ điểm E (Vì E trung điểm AK ) suy tọa độ điểm A Lời giải Ta có MH MK AC Giả sử M m; m 10 Từ MH MK m 0 M 0;10 Lại có : HKA HCA 900 ABC 1 (Tứ giác HKCA nội tiếp tam giác ABC vuông) Lại có ABC BDA (Do tam giác ABD cân A ) HAD 900 HDA 900 ABD Từ (1), (2) cho ta HAK cân H Lại MA MK nên A, K đối xứng với qua đường thẳng HM Phương trìn đường thẳng HM : x y 10 Đường thẳng AK qua K vng góc với HM nên có phương trình x y 0 3 x y 10 E 3;1 A 15;5 (Vì E trung điểm AK ) Tọa độ điểm E nghiệm hệ x y 0 Vậy tọa độ điểm A 15;5 Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông B, BC 2 BA Điểm M 2; trung điểm AC Gọi N điểm cạnh BC cho BN BC; Điểm 4 8 H ; giao điểm AN BM Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết N nằm 5 5 đường thẳng x y 0 Định hướng: Nút thắt tốn việc phát quan hệ vng góc AN BM Để chứng minh điều sử dụng cơng cụ vec tơ hay cộng góc khả thi Lời giải Gọi D trung điểm BC MD BA tan MBD Lại có tan BAN MD BD BN BA Từ suy BAN MBD HBN HNB 900 AN BM Giả sử N 2n; n , từ NH MH 0 n 2 N 2;2 Phương trình đường thẳng BM : x y 4 ; Phương trình đường thẳng AN : x y Giả sử A 3a 4; a C 3a 8; a 3a 3 xb a B a; Từ CN 3 NB a 3 yb Do B BM a a 4 a 0 Từ suy A 4;0 , B 0;4 , C 8; Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác AMC vuông A có M(0; 2) , phương trình đường thẳng AC x y 0 Gọi D điểm tia MC Biết MD.MC 10, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC 10 Xác định toạ độ điểm C Định hướng: Xác định phương trình AM qua M vng góc với AC Từ lấy tọa độ A giao AC AM Vận dụng phương tích M đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD ta xác định tọa độ giao điểm B AM đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Kết hợp với giả thiết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC 10 ta suy BC Từ C thuộc AC ta giải tọa độ C Lời giải: D C M B A Ta có AMC tam giác vuông A nên AM qua M nhận vectơ phương uAC (3;4) AC làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3( x 0) 4( y 2) 0 x y 0 3 x y 0 Tọa độ A nghiệm hệ 4 x y 0 x 8 4 Suy A ; MA 2 5 5 y 4 Gọi B điểm tia MA cho MA MB MC.MD Khi bốn điểm A, B, C, D thuộc đường MB MA MA tròn MB = Suy MB MA 58 xB Suy B(4;-1) y 5 B C thuộc AC nên (3c + 1; 4c) Do BAC 90 o nên A, B, C, D thuộc đường trịn đường kính BC c 0 Suy BC 10 (3 c 4) (4 c 1) 10 25 c 10 c 0 Suy c 2 C(1;0) 11 24 C ; 15 Bài 09 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông C có phân giác AD 7 7 với D ; thuộc BC Gọi E F thuộc cạnh AB AC saoc cho AE AF 2 5 Đường thẳng EF cắt BC K Biết E ; , F có hồnh độ nhỏ phương trình 2 đường thẳng AK x y 0 Viết phương trình cạnh tam giác ABC Định hướng: Phân tích tốn , kết nối kiện ta có AD phân giác có AE AF nên AD EF trung điểm I EF Từ phát chứng minh DF AK Viết phương trình DF Tham số hóa tọa độ điểm F E Sử dụng IE ID 0 giải có tọa độ F I Viết phương trình AD A Viết phương trình cạnh Lời giải: Gọi I giao điểm AD EF Do tam giác AEF cân A có AI phân giác nên AI đồng thời đường cao trung tuyến Ta có EK AD , AC KD DF AK 7 7 Do đường thẳng DF qua D ; vng góc với AK 2 Ta có phương trình đường thẳng DF : x y 0 2t 2t ; Vì F EF nên F t ; 2t Mặt khác I trung điểm EF nên I 2t 11 2t ; t , ID ; t , Ta có IE 4 t 2 Khi IE ID 0 2t 11 t 16 t t 0 20 t 140 t 225 0 t 5 3 Vì F có hồnh độ nhỏ nên F F ; I 2; 2 Đường thẳng AD có phương trình x y 0 x y 0 x 1 A 1; 1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 y Từ ta có phương trình đường thẳng chứa cạnh là: AC : x y 0; AB : x y 0; BC : x y 14 0 Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông B , AB BC , gọi D trung điểm AB , E nằm đoạn thẳng AC cho AC EC Biết phương trình đường 16 ; Tìm tọa độ đỉnh A , B , C thẳng chứa CD x y 0 điểm E Định hướng: Phân tích toán ,ta thấy giả thiết cho hệ thức độ dài đoạn thẳng AB BC , AC EC AE 2EC Suy EA BC , BE phân giác góc B EC BA Lại có D trung điểm AB nên tam giác BCD vng cân B Từ suy BE CD Viết phương trình đường thẳng BE I B Tham số hóa tọa độ điểm C , từ tính độ dài BC C Lời giải: Gọi I BE CD Ta có EA BC , BE phân giác góc B EC BA Lại có BA BC BD AB nên tam giác BCD vng cân B Từ suy BE CD Phương trình đường thẳng BE : x y 17 0 x y 17 0 x 5 I 5; Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình x y 0 y 2 Đặt BC a a , ta có BI a a 2 ; CE AC suy IE CE CI 3 a Mà IB , IE ngược hướng nên IB IE 16 5 xB xB Từ suy yB y B a 1 2 Gọi C a 1; a , ta có BC a a 20 10 a 40 a 30 0 a 3 Với a 1 C 2; 1 , A 12; 1 với a C 8; , A 0; Vậy A 12; 1 , B 4; , C 2; 1 A 0; , B 4; , C 8; Bài 42 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A(0;4) I(3;0) trung điểm cạnh BC Điểm D(6;0) thuộc đoạn IC Tìm tọa độ điểm E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACD Định hướng: Từ việc xác định vị trí E, F ta dễ dàng thấy E, F giao trung trực AD với IM , IN (M, N trung điểm AB, AC) Ta xác định tọa độ B C từ suy tọa độ M N Xác định phương trình đường MI, NI, EF Từ suy tọa độ điểm E F lời giải: Gọi M, N trung điểm AB, AC Vì I trung điểm BC nên MI // AC, NI // AB Mà tam giác ABC vuông A nên MI AB, NI AC Do MI, NI trung trực AB, AC EF trung trực AD Ta có E = MI EF , F NI EF Gọi K trung điểm AD, ta có K(3; 2) Đường thẳng ID qua I D nên có phương trình y = Gọi B(b;0), C(c;0), ta có IB = IC = IA nên (b – 3)2 = (c – 3)2 = 25 Do ID < IB nên B(-2;0), C(8;0) M(-1;2) N(4;2) Đường thẳng IM có phương trình x + 2y – = 0, đường thẳng IN có phương trình 2x – y – = 0, đường thẳng EF qua K nhận KA (3; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x – 2y – = 3 x y 0 1 Tọa độ điểm E nghiệm hệ E 2; 2 x y 0 3 x y 0 1 Tọa độ điểm F nghiệm hệ F(7;8) Vậy E 2; F(7;8) 2 x y 0 Bài 51 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB = 3AM Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM điểm thứ hai D Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC 4 biết đường thẳng BC qua N ;0 , phương trình đường thẳng CD: x – 3y – = điểm C có hồnh độ 3 dương Định hướng: Nhận thấy tam giác DCM có phương trình CD đường thẳng CD qua I nên biết góc MCD ta viết đường thẳng CD Ta ý thêm giả thiết tam giác AMB vng A có AB = 3AM nên ta dể dàng tính cos góc ABM Quan sát hai tam giác vng ABM CDM ta sẻ khảng định hai góc ABM MCD Khi viết đường thẳng MC ta xác định tọa độ đỉnh C, suy tọa độ điểm M Từ viết đường thẳng CB DM Xác định tọa độ B giao BC MD Tiếp theo xác định tọa độ A hình chiếu B CM Lời giải Ta có MCD 90 o DMC 90 o AMB ABM cosMCD cosABM AB AB2 AB2 10 Đường thẳng CD có vectơ pháp tuyến nCD (1; 3) 2 Gọi nCM ( a; b) a b 0 vectơ pháp tuyến CM Kết hợp với CM qua I suy CM: a(x-1) – 1(y+1) = cosMCD 10 TH1: a a 0 a b 10 10 a2 b2 a 3b 3 b Chọn a = 3, b = -4 ta có CM: 3x – 4y – = 3 x 3 x y 0 C ; 11 C giao CM CD nên có tọa độ nghiệm hệ (loại) 5 x y 0 y 11 TH2: a = Chọn b = ta có CM: y + = y 0 x 3 C 3; 1 (thỏa mãn) C giao CM CD nên có tọa độ nghiệm hệ x y 0 y Vì I trung điểm CM nên M(-1; -1) Đường thẳng BM vng góc với CD qua M nên BM: x 1 y 1 x y 0 x y 1 x y 0 BC qua C N nên có phương trình 1 3 3 x y 0 x B( 2;2) B giao BC BM nên có tọa độ nghiệm hệ 3 x y 0 y 2 AB qua B nhận CM ( 2;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + = x 0 A giao AB CM nên tọa độ A nghiệm hệ y 0 x A( 2; 1) y Vậy A(- 2; - 1), B(-2; 2), C(3; -1) Bài 36 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A, Biết B C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc B d: x + 2y – = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng AC qua K(6;2) Định hướng: Sử dụng tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho M đối xứng với O qua d Vì B thuộc d nên ta biểu diễn tọa độ điểm B theo tham số, kết hợp với O trung điểm BC ta suy tọa độ điểm C theo tham số B Tiếp tục vận dụng quan hệ vng góc CK BM (vì tam giác ABC vuông A) ta giải tọa độ điểm B Suy tọa độ điểm C Viết phương trình đường AB qua B, M AC qua C K ta giải tọa độ A Lời giải Gọi M ( m1 , m2 ) điểm đối xứng với O qua d Khi M thuộc AB m m m m Ta có OM ( m1 ; m2 ) trung điểm OM có tọa độ ; Vì OM vng góc với d ; d 2 2 2m1 m2 0 m 2 M (2;4) nên ta có hệ m1 m2 0 m2 4 2 B thuộc d nên B(5-2b ; b) Vì B C đối xứng qua O nên C(2b-5 ; -b) Ta có HB (3 2b; b 4), KC (2b 11; b 2) Vì tam giác ABC vuông A nên b 1 B(3;1), C( 3; 1) HB KC 0 (3 2b)(2b 11) ( b 4)( b 2) 0 b2 6b 0 b 5 B( 5;5), C(5; 5) Vì ( 2( 1) 5)(2 2.4 5) C( 3; 1), H(2;4) nằm phía d(loại) Vì (5 2( 5) 5)(2 2.4 5) C(5; 5), H (2;4) nằm khác phía d (thỏa mãn) Đường thẳng AB qua B H nên có phương trình x y x y 30 0 7 Đường thẳng AC qua C K nên có phương trình x y x y 40 0 1 7 x y 30 0 A giao AB AC nên tọa độ A nghiệm hệ 7 x y 40 0 31 17 Vậy A ; , B( 5;5), C(5; 5) 5 31 x 31 17 A ; 17 5 y ... 2b)(2b 11) ( b 4)( b 2) 0 b2 6b 0 b 5 B( 5;5), C(5; 5) Vì ( 2( 1) 5) (2 2. 4 5) C( 3; 1), H (2; 4) nằm phía d(loại) Vì (5 2( 5) 5) (2 2. 4... hàm số Cơ-sin cho tam giác BCD có CD2 BC BD2 BC.BD cos45 20 a2 a a a2 36 b 2 2 Gọi B b;2b thuộc BM ta có BC 36 b 2b 36 5b 36b 36 0 b... (2; 4) nên ta có hệ m1 m2 0 m2 4 2 B thuộc d nên B(5-2b ; b) Vì B C đối xứng qua O nên C(2b-5 ; -b) Ta có HB (3 2b; b 4), KC (2b 11; b 2) Vì tam giác ABC vuông A