HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN docx

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN . x’Ox: trục hoành . y’Oy: trục tung . z’Oz: trục cao . O : gốc tọa độ . 1 2 3 , , e e e  : véc tơ đơn vị 1 2 3 / ( ; ; ) đ n M x y z OM xe xe xe         1 / 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) đ n a a a a a a e a e a e           II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VÉC TƠ * Định lý 1: Nếu 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   và 1 2 3 ( ; ; ) b b b b   , ( ) k   1, 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b             2, 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b        3, 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b        4, 1 2 3 . ( ; ; ) k a ka ka ka   5, 2 2 2 1 2 3 a a a a     6, a  cùng phương b  !k     sao cho . a k b    1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 : : : : a kb a kb a a a b b b a kb            Nếu 0 a    thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: +) k > 0 khi a  cùng hướng b  +) k < 0 khi a  ngược hướng b  a k b    * Định lý 2: Cho ( ; ; ) A A A A x y z , ( ; ; ) B B B B x y z , ( ; ; ) C C C C x y z 1, ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z      2, 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB AB x x y y z z         3, Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( 1) k  nếu như: . MA k MB    Nếu A (x A , y A , z A ), B (x B , y B , z B ) và . MA k MB    ( 1) k  thì . . . ; ; 1 1 1 A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k          Đặc biệt: M là trung điểm của AB ; ; 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x y z        4, A, B, C thẳng hàng khi AB  cùng phương AC  * Định lý 3: Tích vô hướng của 2 véc tơ 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   , 1 2 3 ( ; ; ) b b b b   là: 1, 1 1 2 2 3 3 . a b ab a b a b      2, . . .cos( , ) ab a b a b        +) . 0 a b a b        +) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( , ) . . a b a b a b ab a b a b a a a b b b               * Định lý 4: Tích có hướng của 2 véc tơ: 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   , 1 2 3 ( ; ; ) b b b b   là: 3 32 1 1 2 3 32 1 1 2 ; ; ; a a a a a a ab b b b b b b               TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) +) Nếu a  cùng phương b  ; 0 a b          +) , sin( , ) . a b a b a b            * Định lý 5: Các ứng dụng: 1, 1 ; 2 ABC S AB AC         2, ; hbhABCD S AB AD        3, 1 ; . 6 ABCD V AB AC AD         4, ' ' ' ' ; . ' ABCDA B C D V AB AD AA         5, , , a b c    đồng phẳng ; . 0 a b c          6, a  cùng phương , . 0 b a b c           7, ; a b a b c a c                    III. PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình mặt cầu a. Phương trình tổng quát: x 2 +y 2 +z 2 +2Ax+2By+2Cz+D=0 điều kiện A 2 +B 2 +C 2 -D>0 Tâm I(-A, -B, -C), Bán kính R= DCBA  222 b. Phương trình chính tắc: (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 = R 2 Tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ), bán kính R 2. Phương trình mặt phẳng a. Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 +B 2 +C 2  0) Véc tơ pháp tuyến (véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) ký hiệu n  (A;B;C) b. Phương trình tham số:         sctczz sbtbyy sataxx 210 210 210 với s, t là tham số Có 2 véc tơ chỉ phương (nằm trên mặt phẳng hoặc nằm trên đường thẳng // với mặt phẳng, chúng không cộng tuyến nhau) ký hiệu );;();;;( 22221111 cbaucbau   3. Phương trình đường thẳng a. Phương trình tổng quát:      0 0 2112 1111 DzCyBxA DzCyBxA Véc tơ chỉ phương   21 ,nnu     với   1111 ;; CBAn  ,   2221 ;; CBAn  b. Phương trình tham số         ctzz btyy atxx 0 0 0 Véc tơ chỉ phương   cbau ;;  và điểm   000 ;; zyxM thuộc đường thẳng, t là tham số TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) c. Phương trình chính tắc: c zz b yy a xx 000      Véc tơ chỉ phương   cbau ;;  và điểm   000 ;; zyxM thuộc đường thẳng IV. BÀI TẬP LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 2. Những mặt cầu đặc biệt a. Mặt cầu có tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đi qua A(x A ;y A ;z A ) PT : (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 ={(x A -x 0 ) 2 +(y A -y 0 ) 2 + (z A -z 0 ) 2 } 2 b. Mặt cầu chùm +) Mặt cầu qua giao của 1 mặt phẳng và 1 mặt cầu khác m(ax + by + cz + d) + n(x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D) = 0 với n 2 + m 2 0  +) Mặt cầu qua giao của 2 mặt cầu khác m(x 2 + y 2 + z 2 + 2A 1 x + 2B 1 y + 2C 1 z + D 1 ) + n(x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D) = 0 với n 2 +m 2 0  c. Mặt cầu có đường kính A(x A ;y A ;z A ), B (x B ;y B ;z B ) Phương trình : (x- 2 BA xx  ) 2 +(y- 2 BA yy  ) 2 +(z- 2 BA zz  ) 2 = 4 )()()( 222 ABABAB zzyyxx  d. Mặt cầu biết tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ), tiếp xúc mặt phẳng (P) Ax+By+Cz+D=0 Phương trình : (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = 2 222 000           CBA DCzByAx II. BÀI TẬP A. Mặt cầu liên quan tới đường tròn 1. Xác định tâm và bán kính đường tròn có phương trình      0922 100 )1()2()3( 222 zyx zyx 2. ĐH khối A năm 2009: Cho (P): 2x-2y-z-4 = 0 và (S): x 2 +y 2 +z 2 – 2x – 4y -6z – 11 = 0. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn tạo bởi (P) cắt (S) 3. Cho đường tròn C:      0122 017664 222 zyx zyxzyx , (Q): x + y + z + 3 = 0. Lập (S) tâm thuộc (Q), chứa C B. Mặt cầu có tâm thuộc một đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng 4. Cho d: 2 1 1 1 2     zyx , (P): x + y - 2z + 5 = 0, (Q): 2x - y + z + 2 = 0. Lập (S) tâm thuộc d và tiếp xúc (P), (Q) 5. Cho d: 2 3 1 2 2 1      zyx , (P 1 ): 2x - y - z - 6=0, (P 2 ): 2x + y + 2z - 1=0. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc với (P 1 ), (P 2 ) TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) 6. Cho (R 1 ): 2x + 4y - z - 7=0, (R 2 ): 4x + 5y + z - 14=0, (P): x + 2y - 2z - 2=0, (Q): x + 2y - 2z + 4 = 0. Lập (S) tâm thuộc giao tuyến của (R 1 ) và (R 2 ) và tiếp xúc (P), (Q) C. Lập phương trình mặt cầu khác 7. D: 1 1 2 3 1 zyx     , (P): 2x+y-2z+2=0.Lập (S) tâm thuộc D, tiếp xúc (P) và bán kính = 1 8. Cho đường thẳng (d) 1 2 2 1 1     zyx , (P): 2x - y - 2z - 2=0. Lập (S) tâm thuộc d, cách (P) 1 khoảng = 3 và mặt cầu này cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính = 3 9. I(2;3;-1); D:      0843 020345 zyx zyx . Lập (S) tâm I sao cho (S) cắt D tại A, B sao cho AB=16 10. I(1;2;-2), (P): 2x + 2y + z + 5=0. Lập (S) tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu và (P) là đường tròn có chu vi=8  11. Cho (P): 6 x - y + 3z - 4=0. Viết phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu có tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với (P) qua (P) 12. Lập phương trình mặt cầu qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) tâm thuộc Oxy 13. Lập phương trình mặt cầu qua 2 điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và tâm thuộc Oz 14. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) tiếp xúc Oxy 15. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;4;-7) tiếp xúc (P): 6x + 6y - 7z + 42 = 0. 16. ĐH khối D năm 2012: Cho (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2;1;3). Viết phương trình cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có R=4. 17. ĐH khối A, A1 năm 2012: Cho d: 1 2 1 2 1 x y z     và điểm I(0;0;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt d tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. 18. ĐH khối B năm 2012: Cho d: 1 2 1 2 x y z     và điểm A(2;1;0), B(2;3;2). Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A, B và có tâm thuộc d. 19. ĐH khối A năm 2010: Cho A(0;0;-2) và  : 2 2 3 2 3 2 x y z      . Tính khoảng cách từ A đến  . Viết phương trình mặt cầu tâm A cắt  tại 2 điểm B và C sao cho BC = 8. 20. CĐ khối A, B, D năm 2010: Cho A(1;-2;3), B(-1;0;1) và (P): x + y + z + 4 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có 6 AB R  , có tâm thuộc đường thắng AB và (S) tiếp xúc với (P). . tích trong không gian (Bài 1) I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN . x’Ox: trục hoành . y’Oy: trục tung . z’Oz: trục cao . O : gốc tọa độ a a a a a e a e a e           II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VÉC TƠ * Định lý 1: Nếu 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   và 1 2 3 (