Ban Học tập và NCKH LCĐ Viện Toán ứng dụng và Tin học Nguyễn Trung Nghĩa Lương Tùng Dương CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số 1 1 Định nghĩa Xét không gian Euclid n chiều R[.]
Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương CHƯƠNG 3: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Định nghĩa hàm số nhiều biến số 1.1 Định nghĩa Xét không gian Euclid n chiều Rn (n > 1) ; phần tử x ∈ Rn x = ( x1 ; x2 ; ; xn ) D tập khác rỗng Rn Ta gọi ánh xạ f : D → R xác định x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ D 7→ z = f ( x) = f ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R hàm n biến xác định D • D miền xác định hàm số f • x1 , x2 , , xn biến độc lập • Nếu xem M = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn hệ tọa độ ta viết u = f ( M ) 1.2 Miền xác định D p Ví dụ 1: z = − x2 − y2 , D : x2 + y2 ≤ Ví dụ 2: z = ln( x + y − 1), D : x + y > x Ví dụ 3: u = p , D: x2 + y2 + z2 < 1 − x2 − y2 − z2 Giới hạn tính liên tụ 2.1 Giới hạn ( • Ta nói { M n ( xn ; yn )}∞ → M0 ( x0 , y0 ) ∈ R hay M n → M0 n → ∞ lim d ( M0 , M n ) = ⇔ n→∞ lim xn = x0 n→∞ lim yn = x0 n→∞ • Giả sử z = f ( M ) = f ( x, y) xét lân cận V có khơng có điểm M ( x0 , y0 ) Ta nói f ( M ) có giới hạn l - Cách 1: M ( x, y) dần đến M0 với dãy điểm M n ( xn , yn ) khác M0 thuộc lân cận V dần đến M0 (Thường dùng chứng minh phản chứng) - Cách 2: lim f ( M ) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃δε > : ∀ M : < d ( M 0, M ) < δ ⇒ | f ( M ) − l | < ε ( M0 cho trước) M → M0 Ví dụ 1: Chứng minh: Ví dụ 2: Tính lim (x,y)→(0,0) xy lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy p x2 + y2 không tồn • Các cách tính giới hạn hàm nhiều biến: +) Chứng minh không tồn giới hạn định nghĩa +) Thay vô bé tương đương +) Nguyên lý kẹp +) Khai triển Taylor, Maclaurin 2.2 Tính liên tục • f ( M ) xác định D ; M0 ∈ D Ta nói f ( M ) liên tục M0 ⇔ lim f ( M ) = f ( M0 ) M → M0 Tính chất: D miền đóng bị chặn → f đạt max, D GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤ Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương • f ( M ) liên tục D ⇒ f ( M ) liên tục ∀ M0 ∈ D α | x y| , ( x, y) 6= (0, 0) Ví dụ 1: Khảo sát tính liên tục hàm số: f ( x, y) = x2 + y2 (α số dương) 0, ( x, y) = (0, 0) Đạo hàm riêng Cho hàm số f ( x, y) xác định D , M0 ( x0 , y0 ) ∈ D Ký hiệu ∆x f = f ( x0 + ∆ x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) số gia riêng f theo x ( x0 , y0 ) Đạo hàm riêng f với x M0 : f 0x ( x0 , y0 ) = Tương tự f 0y ( x0 , y0 ) = * Chú ý • ∂f ∂x ∂f ( x0 , y0 ) = lim ∂x f ( x0 , y) − f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) = lim y→ y0 ∂y y − y0 ∂f x → x0 f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) x − x0 ký hiệu, khơng phải thương • Hàm nhiều biến có đạo hàm riêng gián đoạn xy , ( x, y) 6= (0, 0) Ví dụ: f ( x, y) = x + y2 Ta có f x0 = f y0 = f ( x, y) không liên tục (0,0) 0, ( x, y) = (0, 0) Vi phân toàn phần 4.1 Định nghĩa Cho hàm số z = f ( x, y) xác định D; M0 ( x0 , y0 ), M ( x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) ∈ D Ký hiệu ∆ f = f ( x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) số ½ gia tồn phần f M0 A, B phụ thuộc x0 , y0 Nếu ∆ f = A.∆ x + B.∆ y + α∆ x + β∆ y, đó: ⇒ z khả vi M0 α, β → M → M0 hay ∆ x, ∆ y → Vi phân toàn phần z M0 : d f ( M0 ) = A.∆ x + B.∆ y 4.2 Tính chất f ( x, y) khả vi M ( x0 , y0 ) ⇒ f liên tục M0 * Chú ý: Hàm nhiều biến có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 ) chưa đủ để suy khả vi (hàm biến được) Định lý 1: Nếu z khả vi M0 z0x ( M0 ) = A z0y ( M0 ) = B ⇒ dz = z0x dx + z0y d y Định lý 2: Nếu tồn z0x , z0y liên tục z khả vi (Cần đủ) ⇒ Ứng dụng tính gần VI PHÂN TOÀN PHẦN Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Đạo hàm hàm hợp Nhắc lại: hàm biến f [ g( x½ )]0 = f [ g( x)].g0 ( x) ¡ x = x ( t) • Trường hợp 1: z = z ( x, y) ; ⇒ z = z ( x ( t) , y ( t)) ⇒ z0t = z0x x0t + z0y y0t = z0x y = y ( t) µ z = z ( u, v) ¢ ¡ ¢ u0x ¡ z0x = z0u u0x + z0v v0x 0 • Trường hợp 2: u = u ( x, y) ⇒ ⇒ z x z y = zu zv z y = z0u u0y + z0v v0y v0x v = v ( x, y) f = f ( u, v, p) u0x u0y u0z ¡ ¢ ¢ ¡ u = u ( x, y, z) ⇒ f 0x f 0y f 0z = f 0u f 0v f 0p v0x v0y v0z • Trường hợp 3: v = v ( x, y, z) p0x p0y p0z p = p ( x, y, z) z0y  u0y v0y x0t y0t ¶ ∂z ¶ ¶ Định lý: Vi phân tồn phần bất biến Ví dụ: z( x, y), x = x( t), y = y( t) ⇒ dz = z0x dx + z0y d y = z0x x0t dt + z0y yt0 dt = z0t dt p 2 Ví dụ: Tính đạo hàm riêng: z = e u −2v ; u = cos x, v = x2 + y2 Đạo hàm vi phân cấp cao 6.1 ∂2 z ∂ x2 Đạo hàm cấp cao = ∂ µ ∂z ∂x ∂x ¶ = z00x ; ∂2 z ∂ y2 = ∂ µ ∂z ∂y ∂y ¶ = z00y ; ∂2 z ∂ x∂ y = ∂ µ ∂z ∂x ∂ y ¶ = z00yx ; ∂2 z ∂ y∂ x = ∂ µ ∂ y ∂x = z00x y Định lý Swarch: Nếu z00x y z00yx liên tục M0 z00x y = z00yx M0 , cho cấp cao 6.2 Vi phân cấp cao z = z( x, y), d z = z0x d x + z0y d y d z =d(d z) =d( z0x d x + z0y d y) =d( z0x )d x+d( z0y )d y = ( z00xx d x + z00x y d y)d x + ( z00yx d x + z00yy d y)d y = z00xx (d x)2 + z00x y d xd y + z00yy (d y)2 ¶2 µ ∂ ∂ d x + d y ( z) d z= y ả x (hỡnh thc) n ∂ ∂ n d z= d x + d y ( z) ∂x ∂y * Chú ý: Vi phân cấp cao khơng cịn bất biến Cơng thức Taylor Cho hàm f ( x, y) có đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục lân cận điểm M0 ( x0 , y0 ) Với ∆ x, ∆ y đủ nhỏ cho M ( x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) nằm lân cận ta có: CÔNG THỨC TAYLOR Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học f ( x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) = Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương n X dk f ( x0 , y0 ) + dn+1 f ( x0 + θ ∆ x, y0 + θ ∆ y) , < θ < k ! n + 1)! ( k=1 Hảm ẩn 8.1 Định nghĩa Cho phương trình F ( x, y) = (1) với F : U ⊂ R2 → R Nếu với giá trị x = x0 khoảng I đó, có hay nhiều giá trị y0 cho F ( x0 , y0 ) = ta nói phương trình (1) xác định hay nhiều hàm số ẩn y theo x khoảng I Tương đương: f : I → R hàm ẩn xác định phương trình (1) nếu: ∀ x ∈ I, ( x, f ( x)) ∈ U F ( x, f ( x)) = 8.2 Định lý Cho phương trình F ( x, y) = 0; ∃F 0x , F 0y liên tục tập mở U ⊂ R2 Giả sử M0 ( x0 , y0 ) ∈ U thỏa mãn F ( x0 , y0 ) = F 0y ( x0 , y0 ) 6= Khi phương trình giải nghiệm y = y( x) lân cận x0 thỏa mãn: y( x0 ) = y0 và: F x0 ( x, y) y ( x) = − F y ( x, y) 8.3 Định lí Xét phương trình F ( x, y, z) = 0, ∃F x0 , F 0y , F z0 liên tục tập mở U ⊂ R2 Giả sử M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ U thỏa mãn F ( x0 , y0 , z0 ) = Nếu F z0 ( x0 , y0 , z0 ) 6= phương trình giải nghiệm z = z( x, y) lân cận ( x0 , y0 ) thỏa mãn z( x0 , y0 ) = z0 và: z0x F 0y F x0 = − ; zy = − Fz Fz * Chú ý: Điểm kỳ ½ dị Điểm M ( x0 ; y0 ) mà: F 0x ( x0 , y0 ) = gọi điểm kỳ dị F 0y ( x0 , y0 ) = ⇒ Không kết luận tồn hàm số ẩn lân cận ( x0 , y0 ) Cực trị hàm nhiều biến 9.1 Định nghĩa Cho z = f ( x, y) xác định miền D điểm M0 ( x0 , y0 ) ∈ D Ta nói f ( x, y) đạt cực trị M0 ∃² > 0, để lân cận V = B( M0 , ²) ∈ D cho: ∀ M ∈ V , M 6= M0 ta có f ( M ) − f·( M0 ) khơng đổi dấu f ( M ) − f ( M0 ) > 0∀ M | → M0 cực tiểu Tức là: f ( M ) − f ( M0 ) < 0∀ M | → M0 cực đại CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học 9.2 Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Định lý 1: (Điều kiện cần) Cho z( x, y) đạt cực trị M0 tồn đạo hàm riêng 0 z x ( M0 ) = z y ( M0 ) = Chú ý: Điểm tới hạn là: 0 0 • điểm dừng, nghĩa ∃ z x , z y z x = z y = 0 • điểm mà ∃ z x z y 9.3 Định lý Giả sử f ( x, y) = z có đạo hàm riêng liên tục đến cấp lân cận M0 ( x0 , y0 ) với M0 điểm dừng Ta kí hiệu: 00 00 A = z xx ( M0 ), B = z x y ( M0 ), C = z yy ( M0 ), ∆ = B2 − AC TH1: ∆ > không đạt cực trị M0 TH2: ∆ = chưa kết luận TH3: ∆ < đạt cựu trị – A > cực tiểu – A < cực đại * Các bước giải tìm cực trị tốn 0 Bước 1: Tìm điểm dừng: f x = 0, f y = → M ( x0 , y0 ) Bước 2: Tính ∆ = B2 − AC Bước 3: Biện luận ∆ Ví dụ: Cho z = f ( x, y) = x4 + y4 − x2 − x y − y2 Tìm điểm cực trị hàm số Giải Bước 1: x= y=0 f x = x3 − x − y = → x= y=1 f y = y3 − y − x = x = y = −1 Giải điểm dừng M1 (0, 0), M2 (1, 1), M3 (−1, −1) ( Bước 2: Tính Delta 00 A = f xx = 12 x2 − 2, ½ Tại M2 (1, 1), có 00 B = f x y = −2, 00 C = f yy = 12 y2 − ∆( M2 ) = −96 < → M2 điểm cực tiểu A ( M2 ) = 10 > CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương ∆( M2 ) = −96 < → M3 điểm cực tiểu A ( M2 ) = 10 > Tại M1 (0, 0), có ∆( M2 ) = → M1 chưa kết luận 1 Xét ( x, y) = ( , ) n → ∞ có n n 1 2 f ( , ) = − = (1 − n2 ) < n n n n n −1 Xét ( x, y) = ( , ) n → ∞ có n n −1 f( , )= >0 n n n f (0, 0) = 0, suy ra: 1 - ∃( x, y) = ( , )sao cho f ( x, y) − f (0, 0) < n n → M1 điểm cực trị −1 - ∃( x, y) = ( , )sao cho f ( x, y) − f (0, 0) > n n ½ Tại M3 (−1, −1), có 10 Max, hàm nhiều biến miền đóng bị chặn 10.1 Một số định nghĩa Cho tập A ⊂ Rn • Điểm trong: Điểm x ∈ Rn đgl điểm A ∃² > để lân cận B( x, ²) nằm trọn A • Điểm biên: Điểm x ∈ Rn đgl điểm biên A ∀² > để lân cận B( x, ²) chứa điểm thuộc A khơng thuộc A • Điểm tụ: Điểm x ∈ Rn đgl điểm biên A ∀² > để lân cận B( x, ²) chứa vô số điểm A Nhận xét, x điểm tụ A ⇔ lẫn cận x chứa điểm A khác x • Miền(Tập) mở: Tập A đgl tập mở tất điểm A điểm • Miền(Tập) đóng: Tập A đgl tập đóng tất điểm khơng thuộc điểm phần bù Rn \ A A Nhận xét: Tập đóng chứa tất điểm biên Định lý: Tập A ⊆ Rn đóng ⇔ giới hạn dãy hội tụ { x k } A thuộc A, tức là: { x k } A { x k } → x0 kéo theo x0 ∈ A • Miền(Tập) bị chặn: Tập A đgl bị chặn ∃λ > cho || x|| ≤ λ, ∀ x ∈ A • Miền(Tập) Compact: Tập A đgl Compact vừa đóng bị chặn Nhận xét: Nếu A tập Compact dãy { x k } ⊂ A chứa dãy { x k j } hội tụ đến điểm thuộc A 10 MAX, MIN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TRONG MIỀN ĐÓNG BỊ CHẶN Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học 10.2 Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Định lý Mọi hàm nhiều biến · liên tục miền D đóng bị chăn (Compact) đạt max, miền điểm cực trị D Tại điểm: điểm biên D Ví dụ: Tìm max, z = x2 y(4 − x − y) 4O AB biết A (6, 0); B(0, 6); 0(0, 0) 11 Cực trị có điều kiện 11.1 Bài tốn tổng qt Tìm cực trị hàm số z = f ( x, y) vđk g( x, y) = 0, g( x, y) thỏa mãn: 0 • ∃ g x g y liên tục 0 • ( g x )2 + ( g x )2 6= 11.2 Phương pháp Lagrage Xết hàm: φ( x, y) = f ( x, y) + λ g( x, y) Bước :(Điều kiện cần) Hàm f ( x, y) đạt cực trị có điều kiện g( x, y) = ( x0 , y0 ) ∃λ cho: φ x ( x0 , y0 ) = 0 φ y ( x0 , y0 ) = g( x , y ) = 0 Bước (Điều kiện đủ) Nếu hàm φ đạt cực trị M ( x0 , y0 ) f ( x, y) đạt cực trị có điều kiên g( x, y) = điểm ( x0 , y0 ) Ví dụ: tìm cực trị có điều kiện hàm số sau f ( x, y) = x + y đk x2 + y2 = 2 f ( x, y) = x2 + y2 đk x + y = 11 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Trang ... chất f ( x, y) khả vi M ( x0 , y0 ) ⇒ f liên tục M0 * Chú ý: Hàm nhiều biến có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 ) chưa đủ để suy khả vi (hàm biến được) Định lý 1: Nếu z khả vi M0 z0x ( M0 ) = A z0y (... 10 MAX, MIN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TRONG MIỀN ĐÓNG BỊ CHẶN Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học 10.2 Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Định lý Mọi hàm nhiều biến · liên tục... tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Đạo hàm hàm hợp Nhắc lại: hàm biến f [ g( x½ )]0 = f [ g( x)].g0 ( x) ¡ x = x ( t) • Trường hợp 1: z = z ( x, y)