NGUYEN ANH TUAN
Giao trinh
LOGIC TOAN
LICH SỬ TỐN HỌC
Trang 3
UNIVERSITY OF EDUCATION PUBLISHING HOUSE
GIÁO TRÌNH LOGIC TỐN VÀ LỊCH SỬ TỐN HỌC
Nguyễn Anh Tuấn
Sách được xuất bản theo chỉ đạo biên soạn của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội phục vụ cơng tác đào tạo
Mã số sách tiêu chuẩn quốc tế: ISBN 978-604-54-2344-8 Bản quyền xuất bản thuộc về Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Mọi hình thức sao chép tồn bộ hay một phần hoặc các hình thức phát hành
mà khơng cĩ sự cho phép trước bằng văn bản của Nhà xuất bản Đại học Sư phạm đều là vi phạm pháp luật
Chúng tơi luơn mong muốn nhận được những ý kiến đĩng gĩp của quý vị độc giả để sách ngày càng hồn thiện hơn Mọi gĩp ý về sách, liên hệ về bản thảo và dịch vụ bản quyền
xin vui lịng gửi về địa chi email: kehoach@nxbdhsp.edu.vn
Trang 4
MỤC LỤC Trang In 5 Phần thứ nhất: LOGIC TỘN - Q.2 HH1 re 7 NHAP MON 7 BH sẽ — ƠỎ 7 HK AR MIG 10 lui S6 wT Ni on ẽ.ẽẽ HHĂ 13 Chương !- ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ .0 212101211 re TỔ AmH u .LƠƠƠÐỊỎ 16
I Phép tốn lOQÍC «series "—— ` 17 II Biểu thức logic, cơng thức tương đương .sie, ¬ 21 IV Cac quy luat cla logic M@nh GE w.eccsssscsssssssssseesesscssssssssssessessssnssesessessssescsessssssseens 22
'NN c2 , Câu hỏi và bài tập Chương l ii 26 Chương II - ĐẠI SỐ VỊ TỪ sesseussstastaassanassnesuvsnsnsensssssnvasnesvassanesnnanensassnesensnesensnsee " 31
| Hàm mệnh dé “ sai M 32 ll Các phép tốn logic trên hàm mệnh đề một biến ., 33 lIl Lượng từ “Tồn tại” và “Với mọỌi” -ccccccsstkxesttrrksrksrrkeririeiirsriiinrrvree 35 Câu hỏi và bài tập Chương lÍ ««- «412.1 re "1 37
Chương III- SUY LUẬN TRONG TỐN HỌC NH1 0115815011555 <1814s.si re 40
| Suy luận hợp logic và suy luận khơng hợp logic .- e -eo-c.e 40
II Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch co — 41 lII Một số quy tắc suy luận diễn dịch se reerriee 42
IV Chứng minh .« HH1 1010011106101111001146 ¬"- -
Câu hỏi và bài tập Chương lll «eo Ổ
Chương IV- VẬN DỤNG LOGIC TỐN sọ,
TRONG DAY HOC MON TOAN O TRUONG PHO THONG "“ 54
Trang 5VI Dạy học quy tắc, phương pháp . ccss ch .erriie 77 VII Dạy học giải tốn .eeeeeeHHHHeiiiirrrrrerreonouusee Ơ ]
Câu hỏi và bài tập Chương IV sec ng HH, 96
Phần thứ hai: LỊCH SỬ TỐN HỌC 22 ScSnrrriiiiriiiiiiiirirriee 97
Chương I- ĐẠI CƯƠNG VỀ LỊCH SỬ TỐN HỌC 2 97
1 Khoa học tốn học và khoa học lịch sử tốn học - _ 97 II Sơ lược về các giai đoạn phát triển của tốn học .- .«e 101 Câu hỏi và bài tập Chương l ceeihiiih HH 103
_ Chương II— GIAI ĐOẠN PHÁT SINH TỐN HỌC ¬ 104
- ] Hồn cảnh lịch sử xã hội sccrisrrrriee t9 104 -IL Tin hinh phat trigny ecsesesssssssssscssssscsssssssssssssssssssssesssssecseessecsessessenscestsesssenesssssnnssseeeesee 104 III - Tốn học cổ Ai Cập va Babylonn . -‹c-«s°<sec<<rxeeeee " 107 IV - Kết luận về giai đoạn phát sinh tốn học . -‹ -c52eccesssrrrrreree 110 Câu hỏi và bài tập Chương ll +++iec222v222EEEEtSTEEtirrErkriririiirirore 1 TƠ
Chuong Ill - GIAI ĐOẠN TỐN HỌC SƠ CẤP Hee 11
1 Một số vấn đề chung . -.c-eerre Hee "¬ 111
ll - Tốn học sơ cấp ở Hy Lạp cổ đại ¬ 113
III - Tốn học sơ cấp Hy Lạp ở thời kì Ê-lê-nit (Thời đại Alexandria) xe 123
lV Tốn học sơ cấp Hy Lạp ở thời kì đơ hộ của La Mã HH xe 127 V._- Tốn học sơ cấp ở Trung Quốc .e.-ecvevccee TH ghe 129
'/TNNH 2.70 7a ẽ 135
VII Tốn học sơ cấp ở Trung Á - Cận Đơng . -senHH eirie 136 VIII Tốn học sơ cấp ở châu Âu aseasvaseosscenvetocovesseensscees easeesssses „138 IX Kết luận chung về giai đoạn tốn học sơ cấp ¬ ¬— 145
Câu hỏi và bài tập Chương lÌl -.s + T108 1< re "` 145
- Chương IV - GIAI ĐOẠN TỐN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 146
| - Hồn cảnh lịch sử xã hội .<s.HH HH Hung 1 mi 146
1I - Đặc điểm chung .e eeceec-ee _ khen 146 lÍI - Tình hình phát triển căccĂĂSSccSriiiiierirrioooi T TỢ IV Kết luận về giai đoạn tốn học cao cấp cổ điển series 158
Trang 6
LỜI NĨI ĐẦU
Logic tốn và Lịch sử tốn học là những ngành khoa học cĩ vai trị
quan trọng trong sự phát triên nghiên cứu và học tập tốn học
Nội dung của Giáo trình Logic tốn và lịch sử tốn học gồm hai phần:
Phần thứ nhất: Logic tốn, bao gồm: |
Nhập mơn
Chương I Đại số mệnh đề
Chương II Đại số vị từ
Chương III Suy luận trong tốn học
Chương IV Vận dụng logic tốn trong dạy học mơn Tốn ở trường phơ thơng
Phần thứ hai: Lich sử Tốn học, bao gồm:
Chương I Đại cương về Lịch sử tốn học
Chương II Giai đoạn phát sinh tốn học
Chương III Giai đoạn Tốn học sơ cấp
Chương IV Giai đoạn Tốn học cao cấp cơ điển
Giảng viên, sinh viên các trường Đại học Sư phạm và Cao đăng Sư phạm cĩ thê sử dụng giáo trình này khi dạy và hoc các mơn “Logic tốn” và “Lịch sử tốn học” Giáo viên phơ thơng cĩ thê tham khảo giáo trình này trong quá trình dạy học mơn Tốn ở trường phơ thơng
Khi học các mơn Loglic tốn và Lịch sử tốn học theo tài liệu này, sinh viên sư phạm Tốn cân thực hiện những yêu câu sau:
1 Nắm vững những kiến thức cơ bản của logic tốn, từ đĩ biết vận dụng vào những tình huống dạy học điển hình của mơn Tốn ở trường phơ thơng, đặc biệt là định nghĩa khái niệm, chứng mình định lí, giải bài tốn, nhằm:
* Giúp học sinh năm vững và sử dụng đúng các thuật ngữ tốn học và các
kí hiệu;
e Rèn luyện năng lực định nghĩa, nhận dạng các khái niệm;
» Rèn luyện năng lực suy luận chính xác, chặt chẽ trong chứng minh
Trang 72 Nắm được quá trình hình thành và phát triển của tốn học, đặc
biệt là giai đoạn tốn học sơ cấp, liên hệ với nội dung mơn Tốn và vận
dụng hợp lí trong giảng dạy mơn Tốn ở trường phổ thơng
Tác giả trân trong cém on GS TSKH Đỗ Đức Thái, GS.TSKH Lê Mậu Hải, ‘TS Đỗ Mạnh Hùng đã gĩp ý để hồn thiện cuốn sách nay Tác giả mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp của các độc giả để cuén sách ngày càng hồn thiện hon
Trang 8Phần thứ nhất LOGIC TOAN NHAP MON I MỞĐẦU
Logic hay luận lí học, theo tiếng Hy Lạp cơ điển là “2ĩyoe” (logos), nghia nguyên thuỷ là ?z ngữ, hoặc điều đã được nĩi, (nhưng trong nhiều ngơn ngữ châu Âu, logic cĩ ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lí trí) Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề cịn đang được bàn cãi giữa các triết gia Tuy nhiên khi mơn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học là đây mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận cĩ hiệu lực và suy luận nguy biện để cĩ thể
phân biệt được luận cứ nào là hợp lí và luận cứ nào khơng hợp lí
Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học Kể từ giữa thế ki XIX, logic đã thường xuyên được nghiên cứu trong các lĩnh vực tốn học và luật Gần đây nhất, logic đã được áp dụng vào các lĩnh vực khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo Logic là ngành khoa học hình thức nghiên cứu và phân loại câu trúc của các khẳng định và các lí lẽ, đều thơng qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và sự nghiên cứu lí lẽ trong ngơn ngữ tự nhiên Do vậy tầm bao quát của logic là rất rộng, di từ các đề tài cốt lõi như
nghiên cứu các lí lẽ nguy biện và nghịch lí, đến những phân tích chuyên gia về lập
luận, chẳng hạn lập luận cĩ xác suất đúng và các lí lẽ cĩ liên quan đến quan hệ nhân quả Ngày nay, logic cịn được sử dụng phơ biến trong các lí thuyết lí luận
Trong lịch sử, đã cĩ nhiều sự quan tâm khi phân biệt lập luận tốt và lập luận
khơng tốt, và do đĩ logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều là quen thuộc đối với chúng ta Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc đạy lí luận thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đĩ Trong khi đĩ, logic tốn học và triết học phân tích (analyrical philosophy) được nhân mạnh như là một đối tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ trùu tượng hơn
I.1 Logic hình thức là gì?
Trang 9các hình thức khái niệm, phán đốn và suy luận Đồng thời tư duy gắn liền với
ngơn ngữ như một phương tiện biểu đạt và giao tiếp
Từ cảm nhận trực quan, con người di đến nhận thức lí tính (tư duy) Mục đích
của tư duy chính là nắm được bản chất thực sự của vẫn đề Muốn vậy, con người phải trừu tượng hố và khái quát hố để gạt bỏ những nội dung cụ thẻ, tách ra cái
bản chất, cái chung của sự vật hiện tượng, và diễn đạt chúng dưới các hình thức
của tư duy
Logic hình thức là khoa học nghiên cứu các hình thức và các quy luật của tư duy Chú ý: Cùng với logic hình thức, lồi người cịn nghiên cứu những loại logic khác, trong đĩ cĩ logic bién chứng — khoa hoc nghiên cứu các quy luật của tư duy, mà ở đĩ tư dụy gan với nội dung cụ thể, cĩ quá trình hình thành, vận động và phát triển của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan Do vậy, người ta cịn gọi logic biện chứng là “ ‘logic nội dung” Những người cĩ cơng xây: dựng và hồn thiện logic biện chứng là Georg 'Wilhelm Eriedrich Hegel (nhà triết học duy tâm người Đức, 1770 — 1881), Karl Heinrich Marx (Các Mác), Vladimir Tyích Lenin
(V.I.LêNin), ˆ
Khoa hoc vé logic can thiết cho ThỌI người, nhờ v vận dụng đúng đấn tri thức logic học, con đường đến chân lí của nhận thức sẽ gần hơn, quá trình tiếp thu và xử lí tri thức của nhân loại cũng sẽ nhanh chĩng và đạt hiệu quả hơn
I.2 Logic tốn là gì? :
Logic tốn học (cịn gọi là logic tốn) nghiên cứu về hai lĩnh vực khác nhau: thứ nhất là áp đụng các kĩ thuật trong ngơn ngữ hình thức vào tốn học và lập luận tốn hoc, thir hai la 4p dung cac Kĩ thuật trong tốn học vào việc biểu điễn và phân
tích logic hình thức
Những áp dụng sớm nhất của tốn học, đặc biệt là hình học trong quan hệ với logic và triết học thuộc về những người Hy Lạp cổ dai nhu Euclid, Platon, Aristote
Trang 10Chương trình Hilbert vẫn được cơng nhận là nỗi tiếng nhất về triết học của tốn học, và thường được gọi là hình thức hố Cách tiếp cận này đã thành cơng
và cĩ ảnh hưởng đến các cơng trình của Hilbert trong đại số và giải tích hàm, nhưng thất bại trong cách tiếp cận tương tự với vật lí và logic
Nhà tốn học và logic học nổi tiếng người Áo là Kurt Gưdel (28/4/1906 —
14/01/1978) đã chứng minh rằng, bất kì một hệ thống hình thức khơng chứa đựng mâu thuẫn nào, đủ phức tạp để chứa đựng ít nhất là số học, khơng thể chứng minh sự tồn vẹn của nĩ bằng các tiên để của chính nĩ Vào năm 1931, định lí bất tồn
của Gưdel đã cho thấy rằng chương trình vĩ đại của Hilbert là khơng thể như đã
phát biểu Điểm thứ hai khơng thể kết nối một cách hợp lí với điểm thứ nhất, miễn
là hệ thống tiên đề thực sự là hữu hạn
Tuy vậy, định lí bất tồn cũng khơng nĩi đến việc biểu diễn sự tồn vẹn của tốn học bằng một hệ thống hình thức hố khác Về sau, if thuyét chứng minh da làm rõ hơn sự nhất quán khi nĩ liên hệ đến các lí thuyết nam trong tam quan tâm chung của các nhà tốn học
Cơng trình của Hibert đã khởi đầu cho việc nghiên cứu logic trên cơ sở
hướng đi làm rõ lí thuyết chứng minh Cơng trình của Gưdel sau này dẫn đến sự
phát triển của lí thuyết đệ quy và sau đĩ là logic tốn học như là một ngành khoa học độc lập trong những năm 1930 — 1940
Cố gắng táo bạo nhất để áp dụng logic vào tốn học là chủ nghĩa luận lí
(logicism) do các triết gia kiém nha logic nhu Gottlob Frege va Bertrand Russell
đi tiên phong, với ý tưởng là: Các lí thuyết tốn học là những điều khẳng định mang tính logic, và cần chứng minh điều này bằng cách suy giản tốn học về logic
Nhiều cố gắng khác nhau dé tiến hành việc này đã gặp phải một loạt các thất bại,
từ việc dự án của Frege trong cơng trình Grundgesetze bị nghịch li Russell lam
cho lun bại, đến sự thất bại của chương trình Hilbert trước định lí Gưdel về sự
khơng tồn vẹn (của bat ki hệ thống logic nào)
Các cơng trình của Hilbert và Gưdel thiết lập nên lĩnh vực thứ hai của logic
tốn học, đĩ là áp dụng của tốn học vào logic dưới hình thức lí thuyết chứng minh
Mặc cho bản chất phủ định của các định lí về sự khơng tồn vẹn, định lí Gưdel
Trang 11Lí thuyết chứng minh và lí thuyết mơ hình là cơ sở của logic, tuy vậy chúng chỉ là hai trong bốn trụ cột của ngành học đĩ Lí thuyết tập hợp bắt nguồn trong sự nghiên cứu của Georg Cantor về sự vơ hạn, và nĩ đã là nguồn gốc của nhiều vẫn
đề quan trọng và thách thức nhất trong logic, từ định lí Cantor, qua vi thế của tiên
dé chọn lựa (Axiøm øƒ Choice) và câu hỏi về sự độc lập của giả thuyết về tính liên
tục (continuum hypothesis), dén những tranh cãi hiện đại về những tiên đề về số
dém.cyc lén (large cardinal)
Người cĩ cơng đầu trong việc xây dựng logic học là nhà tốn 1 hoc Aristotle (384 — 322 trước Cơng nguyên, người Hy Lạp cơ đại) Ơng đã tổng kết các thuyết logic riêng biệt, rời rạc, thành một hệ thống và gọi là “logic hình thức” Sau Aristotle, người ta tiếp tục nghiên cứu và phát triển “logic hình thức” Cho dén thé ki XVI, nha tốn học Gottfried Withelm Leibnitz (01/7/1646 — 04/11/1716, người Đức) đã đề xuất những tư tưởng nhằm sử dụng các kí hiệu đề hồn thiện và đổi mới “logic hình thức” Nhưng mãi tới nửa cuối thế ki XIX, dau thé ki XX, do cơng lao của George Boole (02/ 11/1815 — 08/12/1564, người Anh) và nhiều nhà
tốn học khác, tư tưởng và ý đồ của G.W Leibnitz mới được thực hiện Từ đĩ,
nhờ sử đụng ngơn ngữ kí hiệu và sử đụng các phương pháp của tốn học, đặc biệt là phương pháp tiền đẻ, “logic hình thức” đã đạt tới trình độ chặt chẽ và cĩ tính hình thức cao, cĩ nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Ở trình độ này,
“logic hình thức” được mang tên gọi mới là “logic tốn” hay là “logic kí hiệu”
Tên gọi “logic tốn” được xuất hiện trên hai khía cạnh:
Thứ nhất: Logic hình thức được xây dựng như một lí thuyết tốn học, đĩ chính là logic tốn, tức là ngành tốn logic
Thứ hai: Logic toan được xem xét như là ngơn ngữ logic chính xác của tốn học, do đĩ về mặt này logic tốn chính là logic của tốn học
Để nghiên cứu logic tốn, ta cần phải tìm hiểu các hình thức tư duy của con người, đĩ là khái miệm, phán đốn và suy luận
II KHÁI NIỆM | |
l1.4 Khai niém là gi?
Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng (giai đoạn nhận thức lí tính), trong đĩ phản ánh các dấu hiệu đặc trưng, khác biệt của một đối tượng hay một lớp đối tượng
Trang 12và hiện tượng của hiện thực khách quan.” (Ro-den-tan M., I-u-din P., Từ điển
Triết học, [38, tr.44]) :
Khái niệm là điểm nút của nhận thức, là vật liệu xây dựng quá trình nhận thức mới
Mỗi khái niệm là một điểm kết thúc của quá trình nhận thức, đồng thời lại là cơ sở cho quá trình nhận thức mới, sâu sắc hơn, đi đến khái niệm mới phong phú hơn
Muốn hiểu một khoa học nào đĩ, trước hết phải hiểu hệ thống khái niệm của
khoa học đĩ, nhất là những khái niệm cơ bản, những khái niệm mở đầu
Khơng nắm được khái niệm thì khơng cĩ cơ sở dé tư duy |
11.2 Cau tric logic của khái niệm
Mỗi khái niệm bao gồm hai mặt là nội hàm và ngoại diên
Mặt nội hàm (bên trong) của khái niệm là tập hợp tất cả các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của loại đối tượng (mà khái niệm phản ánh) Nội hàm cho biết đơi
tượng đĩ là cái gì và phân biệt nĩ với cái khác
Mặt ngoại diên (bên ngồi) của khái niệm là tập hợp tất cả các đối tượng cĩ
đủ các dấu hiệu, thuộc tính bản chất phản ánh trong nội hàm Ngoại diên cho biết
tất cả các đối tượng cùng loại thuộc phạm vi của khái niệm :
Chú ý: Nội hàm và ngoại điên của một khái niệm cĩ quan hệ chặt chẽ với nhau:
Số lượng phần tử của nội hàm “tỉ lệ nghịch” với số lượng phần tử của ngoại điên Tức là: Nếu vì một lí do nào đĩ mà ta thay đổi nội hàm nhỏ đi thì ngoại điên của nĩ
sẽ mở rộng hơn, ngược lại, nếu làm cho nội hàm lớn lên thì ngoại điên sẽ thu hẹp lạt
Khi đĩ, khái niệm ban đầu sẽ bị thay đổi, chuyển thành khái niệm khác II.3 Định nghĩa khái niệm |
Định nghĩa khái nệm đà một thao tác logic nhằm vạch ra một nhĩm thuộc tính đặc trưng của khái niệm, cần và đủ để phân biệt khái niệm này với khái niệm khác
Nhờ định nghĩa của khái niệm mà người ta cĩ thể nhận ra, phân biệt và từ đĩ Sử _- được những đối tượng thuộc khái niệm
| PHAN DOAN
III.1 Phán đốn là gì?
Các mối liên hệ và quan hệ của các sự vật, hiện tượng của hiện thực xung
quanh với tất cả các tính chất của chúng được con người nhận thức và khẳng định trong phán đốn
Trang 13Phán đốn được biểu đạt thành một câu (hay mệnh đề) phản ánh đúng hay sai
thực tê khách quan Mơi phán đốn cĩ giá trị chân lí hoặc đúng, hoặc sai Phán đốn cĩ giá trị chân lí đúng được gọi là phán đốn đúng
Phán đốn cĩ giá trị chân lí sai được gọi là phán đốn sa Dấu hiệu đặc trưng của phán đốn:
+ Câu (cĩ vị ngữ);
+ Giá trị chân lí của câu hoặc đúng, hoặc sai ( khơng được vừa đúng, vừa sai, cũng khơng thể khơng đúng và khơng sai i)
Ví dụ 1:
(1) Hà Nội là thủ đơ của nước Việt Nam
(2) Hàm số y = x” là một hàm số chẵn trên tập xác định R
Phán đốn (1) nhận giá trị chân lí đúng gọi là phán đốn đúng, cịn phán đốn (2) nhận giá trị chân lí sai gọi là phán đốn sai
_Chú ý: Phán đốn khác với khái nệm ở chỗ: Trong các c phán đốn, bao giờ người ta cũng nều rõ và quy định chính xác về những thuộc tính, hoặc quan hệ nào đĩ của các đối tượng Chăng hạn: 7n giác phẳng bắt kì cĩ tong các gĩc của nĩ bằng một gĩc bẹt Cịn trọng các khái niệm, các thuộc tính và quan hệ của đối tượng khơng được quy định dưới dạng tường minh Do vậy, cĩ thể nĩi: Nội hàm và ngoại diên của khái niệm khơng được nêu một cách cụ thể, tường minh mà cần
được biểu hiện qua các phán đốn a
Vi du 2: Khai niém “ham sé luỹ thừa” khơng chỉ rõ ra tất cả các hàm số luỹ thừa một cách cụ thể Khi đĩ, nếu học sinh chỉ ra các hàm số y = X, y = X” thì phan ánh đúng đắn khái niệm, cịn nếu lay y = 3%, y= = /2° " thì phản ánh
sai khái niệm |
Mặt khác, nếu như khái niệm (trong đĩ khơng khẳng định điều gì đĩ: về đối tượng nào đĩ) được biểu hiện bằng các từ riêng biệt và các cụm từ thì phán đốn luơn luơn được biểu điễn đưới đạng một câu ngữ pháp (cĩ khẳng định một điều gì đĩ về đối tượng nào đĩ)
Ví đụ 3: Trong khi ở khái niệm “khối đa diện đều”, người ta khơng chỉ rõ ra
tất cả hình khối nào là khối đa diện đều thì ở phán đốn, chẳng hạn “Hình lập
phương là một khối đa diện đều”, hoặc “Hình chĩp ngũ giác đều khơng phải là một khối đa diện đều” người ta luơn khẳng định hình khối cụ thể đĩ phải (hoặc khơng phải) là một khối đa diện đều
Trang 14III.2 Phán đốn đơn và phán đốn phức Những phán đốn:
“dfQ2 + x) = f(x?) + d(x)”; “ [ (xVx)dx = Í xdx [Jxdx ” được gọi là phần
đốn đơn, bởi lẽ chúng là những phán đốn khơng thể chia nhỏ hơn được |
Những phán đốn do nhiều phán đốn đơn tạo thành (nhờ các liên từ logic
“hoặc”, “và”, “nêu thì .”, ) gọi là phán đốn phức
Ví dụ 4-
+ Nếu một hàm số khả vi trên [a; b] và khả vi trên [c; d] thì sẽ khả vi trên
[a; b]U[e; d]
+ Với mọi phương trình thì nĩ hoặc là cĩ vơ số nghiệm, hoặc là cĩ hữu hạn
nghiệm, hoặc là vơ nghiệm
IV SUY LUẬN
IV.1 Suy luận là gi?
Suy luận là hình thức của tư duy, để rút ra một phán đốn mới từ một hay nhiều
phán đốn đã cĩ Các phán đốn đã cĩ gọi là tién dé, phán đốn mới được rút ra gọi
là kê? luận của suy luận, cách thức rút ra kêt luận từ tiên đê gọi là /áp luận
Ví dụ: s
+ Từ “Nếu một số tự nhiên cĩ chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết
cho 5” ta rút ra “Nếu một số tự nhiên chia hết cho 5 thì cĩ chữ số tận cùng bằng 0
hoặc 5”
+ Từ “Hàm số liên tục thi khá ví” suy ra “Hàm số khả vì thì liên tục”
+ Từ hai tiền đề A;: “Tam giác vuơng cĩ 3 gĩc nhọn” và Az: “3 là số nguyên tổ” rút ra kết luận B: “Đường trịn cĩ vơ số đường kính”
Cĩ thể phân chia các suy luận thành hai loại: 1 Suy luận điễn dịch (cịn gọi là suy diễn) 2 Suy luận quy nạp
IV.2 Suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp
IV.2.1 Suy luận diễn dịch (cịn gọi là suy diễn)
Suy luận diễn dịch là suy luận theo một quy tắc thoả mãn điều kiện: Nếu riển
Trang 15IV.2.2 Suy luận quy nạp
uy luận quy nạp là suy luận khơng theo một quy tắc nào và kết luận thường được rút ra dựa trên cơ sở xem xét những trường hợp riêng
a) Suy luận quy nạp khơng hồn tồn (cịn gọi là suy luận nghe cĩ It) là một loại suy luận quy nạp Trong đĩ, kêt luận rút ra dựa trên việc xét khơng đây đủ các trường hợp riêng, do vậy kết luận chỉ cĩ tính chat dự đốn, giả thuyêt
Sơ để: Từ ba tiền dé: aj, a¿, , a; cĩ tinh chat (a);
Q}, A2, ., On 1a một số phần tử của tập hop A; : A\ fa, A, wy An} #QD, Kết luận: Mọi phẩn tử của A cĩ tính chdt (a) Ví dụ 1: “Số nguyên tỗ Fermat" Từ việc xét thấy: Số 27 +1 =5 là số nguyên tố; Số 2” + 1 = 17 là số nguyên tố; Số 2? + 1 =257 là số nguyên tố; Số 2? + 1 = 65537 là số nguyên tố
Fermat rút ra kết luận: Vne N*, số (27+ 1 là số nguyên tố Tuy nhiên sau đĩ người ta phát hiện được với n = 5, đây khơng phải là số ) nguyên tố vì
2? +1 =4294967297 = 641 x 6700417
Vi du 2: Wilehm Leibnitz - nha triết học, nhà tốn học lừng danh người Đức, là người đầu tiên chứng minh được rắng:
(n° — n):3; (n° —n):5 và (n” —n):7 Vn e N
Vì thế, ơng tin rằng (n" — n):k Vn e N và k lẻ Tuy nhiên khơng lâu sau, chính ơ ơng lại là người bác bỏ, bởi phát hiện ra rằng (2 — 2) = 510 là số © khong chia hét cho 9
Kết luận trên đã sai ngay với số l liên sau 7, nhưng khơng ai nghĩ đến việc kiêm tra mà chỉ tìm cách chứng minh băng được, cĩ lẽ bởi khơng ai nghĩ nhà tốn học vĩ đại Leibmitz lại cĩ thê mặc sai lâm (1)
b) Quy nạp hồn tồn —
Quy nạp hồn tồn là phép suy luận nhằm rút ra kết luận chung về tất cả
trường hợp cụ thê đã được xét đên
Kết luận thu được từ quy nạp hồn tồn luơn luơn đúng Do đĩ, thực chất quy nạp hồn tồn là một phép chứng minh
Trang 16Sơ đồ: Ai, Ag, , Ax c6 tinh chat B;
Ai, A¿ , A là các tập hợp con cua tap hop A va A, VA, U U A, =A
Két luan: Moi phan tir cha A cé tính chất B
Ví dụ 3: Khi chứng minh định lí về số đo gĩc nội tiếp trong đường trịn
Sử dụng con đường quy nạp hồn tồn, ta xét ba trường hợp:
_— Tâm đường trịn ở trên một cạnh của gĩc nội tiếp;
— Tâm đường trịn ở trong gĩc nội tiếp; — Tâm đường trịn ở ngồi gĩc nội tiếp
Trong cả ba trường hợp trên, ta đều chứng minh được số ẩo gĩc nội tiếp đều băng nửa số đo gĩc ở tâm cùng chăn một cung Ngồi ba trường hợp trên khơng cịn trường hợp nào khác
Do đĩ, dùng phép quy nạp hồn tồn, ta chứng minh được: Trong đường trịn, sơ đo gĩc nội tiệp băng nửa sơ đo gĩc ở tâm cùng chăn một cung
Ví dụ 4: Nghiên cứu dãy các số chẵn sau đây ta thay
4=2+2 6=3+3 8=5+3
10=3+7=5+5 12=5+7 14=3+11=7+7
16=3+13=5+11 18=5+13 =7+11 20=3+17=7+13
Từ những kết quả cụ thê trên đây, nếu ta kết luận:
“Mọi số chấn lớn hơn 2 và khơng lớn hơn 20 đâu cĩ thể biểu thị í! nhất theo
một cách thành tơng của hai số nguyên tổ” thì ta đã tiền hành một phép quy nạp © hồn tồn Kêt luận này chắc chăn đúng :
Tuy nhiên, ta cĩ thể suy nghĩ rằng: Phải chăng điều này cĩ thể xảy ra với mọi `
số chấn lớn hơn 2? Khi đĩ nếu ta kết luận: “Mọi số chấn lớn hon 2 déu cĩ thể
biểu thị ít nhất theo một cách thành tổng của hai số nguyên tổ” thì như vậy ta đã
tiến hành một phép quy nạp khơng hồn tồn và do đĩ kết luận này chưa chắc
Trang 17Chương I - ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ
Đại số mệnh đề là một bộ phận logic, nghiên cứu các phép tốn logic trong tập hợp các mệnh đề (cịn gọi là phép tốn mệnh dé)
Cac phép tốn mệnh đề ° 'nghiên cứu các mối liên quan hình thức giữa các mệnh đê một cách độc lập đơi với mọi sự đốn nhận mà ta cĩ thê đưa ra về chúng và đơi với các giá trị chân lí mà ta cĩ thê gan cho chúng” ({19, tr.387]) Phép tốn mệnh đề cĩ thể được định nghĩa bang tién đề hoặc được nghiên cứu bằng đại số, xem như một ứng dụng của lí thuyết các đại số Boole
I MỆNH ĐỀ I.1 Định nghĩa
Trong suy luận và biểu đạt người ta thường đùng các mệnh dé (Statements)
Mệnh đề là một câu biểu thị một nội dung mà ta cĩ thể khẳng định đúng hoặc sai
(như vậy mệnh đề là một phán đốn)
Moi mệnh đề đều hoặc đúng hoặc sai Đĩ là luật bài trung
Khơng mệnh đề nào cĩ thể vừa đúng vừa sai Đĩ là luật phi mâu thuẫn ({19, tr.419]) Kí hiệu mệnh đề là A, B, X, Y, Ví dụ: Một số mệnh đề đúng: A = “Hàm số y = x` là hàm số lẻ trên R”
B= “Đối với gĩc đa diện đơi), tổng các gĩc phẳng ở đỉnh nhỏ hơn 27”
C = “Tổng của hai hàm số liên tục trên cùng một tập hợp X cũng là một hàm
số liên tục trên X” ,
Một số mệnh đề sai:
A= “Đạo hàm của một tích hai hàm số bang tích các đạo hàm của tửng | hàm sơ đĩ”
B = “Đối với gĩc tam diện, tổng các gĩc phẳng nhị điện nhỏ hơn 7Ÿ” C = “Mọi dãy số bị chặn thì cĩ giới hạn”
Chú ý: Khơng phải bất cứ câu nào cũng là một mệnh đề
Trong dạy học Tốn, tat ca các định nghĩa, các câu hỏi, câu cảm thán,
mệnh lệnh đêu khơng phải là mệnh đê Chăng hạn:
+ “Số chin là số tự nhiên chia hết cho 2”
Trang 18+ “Cĩ phải hàm số y = 3” là hàm số siêu việt khơng?”
+ “Chứng minh “Mọi hàm số liên tục trên D đều khả vi trên D” khĩ thế!”
+ “Hãy dựng một tứ diện đều ABCD cĩ cạnh bằng 5cm”
I.2 Giá trị chân lí của mệnh đề
Giá trị chân lí của một mệnh đề là một phân loại mệnh đề đúng hoặc sal,
kí hiệu bằng T (true) hoặc F (false)
+ Nếu mệnh đề A đúng thì A cĩ giá trị chân lí bằng 1 (kí hiệu A = 1); + Nếu mệnh đề A sai thì A cĩ giá trị chân lí bằng 0 (kí hiệu A = 0)
I.3 Bảng giá trị chân lí (Truth Tables)
Để thuận tiện cho việc xác định một mệnh đề phức hợp là đúng hoặc sai, người ta thường dùng bảng giá trị chân lí Bảng giá trị chân lí liệt kê tất cả các
tổ hợp cĩ thê cĩ của từng mệnh dé đơn cùng với giá trị chân lí của chúng cũng
như của mệnh đề phức hợp Sử dụng bảng giá trị chân lí ta cĩ thể xác định được
lập luận đúng hay sa II PHÉP TỐN LOGIC
Gọi M là tập hợp Các mệnh đề {A, B, } Khi đĩ ta cĩ các phép tốn logic “phủ định”, “hội”, “tuyên”, “kéo theo”, “tương đương”
II.1 Phép “phủ định” Phép phủ định là ánh xạ: ]|:M-›M
Ap ÌA
Mệnh đề |A (hay A) gọi là “mệnh đề phủ định của A” (cịn gọi là mệnh đề _
Trang 19Phép hội cho tương ứng một cặp mệnh đề (A; B) với mệnh đề A A B cĩ giá trị chân lí được xác định theo giá trị chân lí của A và B (bảng 1b) Mệnh đề A ^ B gọi là hội của hai mệnh đề A và B, cịn được kí _ hiệu là A & B, hay đơn giản l AB | ơ|Cl|lCl> â|ơ|c|E So Từ đĩ, ta cĩ: Mệnh đề A ^ B chỉ đúng khi và chỉ khi A và B cùng đúng © Ví dụ 1:
4) Từ những khái niệm đã cĩ, ta cĩ thể liên kết chúng lại để định nghĩa một
khái niệm mới bằng phép hội:
P = “tứ giác ABCD cĩ một gĩc vuơng”; Q := “tứ gác ABCD là hình bình hành”; - R:= “tứ giác ABCD cĩ 2 cạnh kể bằng nhau”
Khi đĩ: P ^ Q = “tứ giác ABCD là hình chữ nhật”; Q ^ R = “tứ giác ABCD là hình thoi” và P A Q A R = “tứ giác ABCTD là hình vuơng”
b) Giải hệ hai phương trình thực chất là ta đi tìm tập hợp M các nghiệm thoả mãn cả hai phương trình đã cho: M= Mựn Mẹ Theo ngơn ngữ mệnh đề, đĩ là:
Hội của hai mệnh đề “f¡(xạ) = Øi(Xo)” và ““fo(Xo) = Ø2(Xo)”` với xoe D
Bang 1b
Ví dụ 2: Sơ đồ mạch điện mắc nối tiếp tuân theo quy luật của phép hội:
“Mạch điện P sẽ cĩ điện khi và chỉ khi tât cả các cơng tắc A; 4 = 1, 2, ., n) cùng đĩng
Trong tất cả các trường hợp cịn lại, mạch điện P sẽ khơng cĩ dịng điện chạy qua P ⁄ ⁄ ⁄ ° Ay Ao An ° P= Ay A A2 Au A Án I.3 Phép “tuyên” v:MxM>M (A; B) Hh AVB
; Phép tuyén cho tương ứng một cặp mệnh đề (A; B) với mệnh [ A | B [AvB dé A v B, cĩ giá trị chân lí được xác định theo giá trị chân lí của |o [0| 0
Mệnh đề A v B gọi là tuyển của hai mệnh đề A và B 1/0! 1
Từ đĩ, ta cĩ: Mệnh dé A v B chỉ sai khi và chỉ khi A vàB |1|1| 1
cùng sal Bang Ic
Trang 20Ví dụ 3: Giải tuyên phương trình thực chất là ta đi tìm tập hợp các nghiệm (thuộc tập xác định chung D) thoả mãn một trong hai phương trình đã cho:
M=(M;UM;) ¬ D, tức là tuyển của hai mệnh đề “f¡(xo) = gi(xo)” và “f2(xo) =
ø2(xo)” hội với “xo thuộc D”
Ví dụ 4: Sơ đồ mạch điện mắc song song tuân theo quy luật của phép tuyển:
Mạch điện P sẽ cĩ điện khi và chỉ khi cĩ ít nhất một cơng tắc A; (¡ = l, 2, , n)
đĩng Chỉ cĩ đuy nhất một trường hợp, khi tất cả các cơng tắc đều khơng đĩng, thì
mạch điện P khơng cĩ dịng điện chạy qua
P=A, Vv Avy Vv Ap
II.4 Phép “kéo theo” =:MxM—M (A; B) (A> B) Phép kéo theo cho tương ứng một cặp mệnh đê (A; B) với mệnh đề A— B, là mệnh đề cĩ giá trị chân lí được xác định theo giá trị chân lí của A và B (bảng 1d)
Mệnh đề A—B gợi là mệnh để “A kéo theo B” hay “Nếu A
thì B”
Từ đĩ, ta cĩ: Mệnh dé A = B chỉ sai khi và chỉ khi A đúng ——
B sai Bang Id
Vi du 5: Goi A = “ham số y = f(x) cố đạo hàm tại x = xo”; B = “hàm số y = f(x) liên tục tại x = x” Khi đĩ, mệnh đề kéo theo “Nếu hàm số y = f(x) c6 dad ham tai x = xo thi no lién tuc tai x = xq” chi sai khi tồn tại một hàm
số f(x) nao đĩ là khả vi tại x = xạ nhưng hàm số đĩ lại khơng liên tục tại x = Xo
Khi xét các hàm số cụ thể, nếu “một hàm số khơng cĩ đạo hàm tại x = xọ”
ta vẫn cĩ thể rút ra “hàm số đĩ khơng liên tục tại x = xo”; tương tự như vậy đối với các trường hợp “một hàm số khơng cĩ đạo hàm tại x = xọ suy ra liên tục tại đĩ”;
“một hàm sỐ cĩ đạo hàm tại x = xọ suy ra khơng liên tục tại đĩ” Tuy nhiên,
tính đúng đẫn của những mệnh dé thu được chưa chắc chắn đúng
Chú ý: Từ một mệnh đề sai, ta cĩ thé rút ra một mệnh để đúng bất kì, tức là:
Nếu A = 0 thi ménh dé kéo theo “A => B” dting (vé mat logic) Chang hạn:
“Hình lập phương cĩ đúng 4 mặt thì sin 90° = 2”,
Trang 211S Phép “tương đương” (cịn gọi là phép “đẳng giá”)
©:MxMM '
(A;B) HASB ¬
_ Phép tương đương cho tương ứng một cặp mệnh dé (A; B) với mệnh đề ASB, 1a mệnh đề cĩ giá trị chân lí được xác định theo giá trị chân lí của A và B (bảng 1e)
Mệnh đề A © B gợi là mệnh đề “A tương đương với B” Từ định nghĩa phép kéo theo và phép tương đương, ta cĩ:
A@B=(A => B)AB >A) Mệnh dé A©>B chỉ đúng khi và chỉ khi A và B cùng giá trị Chú ý: + Phép tương đương cĩ tính chất phản xạ, giao hốn, bắc cầu trong tập hợp các mệnh đề ||C|C'> â||Cl ơ
+ Khi mệnh đề A © B cĩ giá trị chân lí bằng 1, người ta nĩi 1| 1
“mệnh đề A (hoặc B) tương đương với mệnh đẻ B (hoặc A)” Bang le
Thực chất, mỗi định nghĩa khái niệm đều được phát biểu đưới dạng một mệnh để tương đương: ` Ví dụ 6: P := “hàm số y = f(x) tuần hồn trên tập xác định X c R”; Q := “ST > 0: Vxe X thì x + TT và x ~ T cũng thuộc X và f(x + T) = f(x)” Khi đĩ, ta cĩ thể định nghĩa khái niệm bờzn số tuân bồn dưới dạng P © Q như sau: “Hàm số y = f(x) là hàm số tuần hồn trên tập xác định X c R khi và chỉ khi 3T >0: Vx e Xthix+Tvax—T cũng thuộc X và f(x + T) = f()”
+ Điều kiện cần và đủ chính là sử dụng các mệnh đề tương đương
+ Qua trinh ching minh A & B bing cách liên tiếp chứng minh A © Aj & ©AL©B
+ Giải phương trình, bất phương trình bằng cách biến đổi tương đương: _Xuất phát từ việc xem xết phương trình, bất phương trình theo quan điểm mệnh đề, hàm mệnh đẻ, khi giải phương trình f(x) = g(x), ta cĩ thé coi là việc tim Xo dé cd ménh đè đúng “f(xo) = gŒo)” Chẳng hạn, ta cĩ thê biến đổi hệ phương trình
x+3y-5=0 eo x+3y—5=0
x+4y-6=0 y=l
Trang 22Ill BIEU THUC LOGIC, CONG THUC TUONG DUONG
III.1 Biểu thức (cơng thức) logic
Từ một hay nhiều mệnh đẻ, ta cĩ thể lập những mệnh để mới bằng cách sử
dụng từ “khơng” và các liên từ “và, hoặc, nêu, thì ” biêu thị các phép tốn logic Các cách viết, kí hiệu A A B, A v B, như trên và một dãy hữu: hạn các kí hiệu như thế gọi là các biểu thức (hay cơng thức) logic
II.2 Cơng thức tương đương 11.2.1 Định nghĩa
Hai mệnh đề (cơng thức) A và B mà giá trị chân lí của chúng bằng nhau trong mọi trường hợp gọi là hai mệnh để (cơng thức) tương đương (cịn gọi là biểu thức tương đương — Equivalent Expressions)
Ta nĩi “A, B tương đương logic với nhau” và viết A = B Ta cũng gọi Á =B là một cơng thức logic, hay một cơng thức tương đương
Chú ý:
+ Trong logic khơng cố khái niệm “hai mệnh dé bang nhau” mà chỉ cĩ khái niệm “hai mệnh đê tương đương logic với nhau”
+ Hai mệnh để tương đương logic với nhau cĩ thể khơng cĩ liên quan gì về nội dung Chẳng hạn: “15 là sơ siêu việt” và “hình chĩp tam giác cĩ đúng 3 cạnh” là hai mệnh đề tương đương logic với nhau
III.2.2 Các cơng thức tương đương cơ bản
Trang 23Cơng thức kéo theo:
°A=B=(|A)vB;
*A>B=AVB=AAB
Đề chứng minh các cơng thức này, ta cĩ thể lập bảng giá trị chân lí của các mệnh đề và thấy hai mệnh đề tương đương cĩ cùng giá trị chân lí trong mọi trường hợp Song việc lập bảng chân lí cũng cĩ khi dài dịng, ta cĩ thê chứng minh cơng thức mới nhờ các cơng thức đã biết
Ví dụ: Chứng minh cơng thức kéo theo A—B = ( A) vB
Bằng cách lập bảng chân lí, ta thấy A=B và (| A) vB cĩ cùng giá trị chân lí trong mọi trường hợp „ Chứng tỏ A > B=(1A)vB A B A 1 0 0 1 => 1 1 1 0
IV CÁC QUY LUẬT CỦA LOGIC MỆNH ĐỀ
Cơng thức là một mệnh để hoặc được tạo thành từ những mệnh để dưới tác
động của các phép logic (| A,V; =>, &)
Một cơng thức luơn nhận giá trị bằng 1 với mọi bộ giá trị của các biến chứa trong nĩ (cơng thức hằng đúng) gọi là một quy luật (gợi tắt là luật) Cĩ thể phát biểu các quy tắc suy luận dưới hình thức các quy luật Các quy luật chung nhất gọi là quy luật logic cơ bản
IV.1 Luật đồng nhất: A = A
Tư tưởng cĩ tính chất xác định nếu nội dung của nĩ (các thuộc tính và các mỗi
quan hệ của các sự vật phản ánh trong đĩ) đã được quy định một cách chính xác Trong tư duy, người ta chỉ cĩ thê đồng nhất (và do đĩ phân biệt) các tư tưởng với nhau nếu chúng cĩ tính chất xác định
Trong quá trình lập luận, mọi tư tưởng phải đồng nhất với chính nĩ (A = A),
nêu khơng tuân thủ quy luật đồng nhất sẽ sinh lủng củng, sai lầm trong tư duy Điều này bắt buộc khơng được biến đổi một cách tuỳ tiện, vơ căn cứ nội dung
của tư tưởng (khơng được thay thế tư tưởng này bằng tư tưởng khác)
Bình thường, tư duy của mọi người biết suy nghĩ cĩ tính chất xác định Song cũng
cĩ khi tính xác định này bị vi phạm do người ta thiếu hiểu biết về đối tượng,
do sai lầm trong ngơn ngữ (những nội dung khác nhau lại được điễn đạt bằng cùng một từ hay cụm từ) _
Trang 24Ví dụ 1: Tư tưởng về “tứ điện đêu¿' chỉ tồn tại ở con người khi từ “# điện đâu”
gắn chặt với các tính chất hồn tồn xác định, quy định riêng cho các /ứ điện đêu
và phân biệt chúng với các hình khối khác Do vậy, khi nĩi tới điện đều ABCD tức là nhắc tới hình khối cĩ 4 mặt là các tam giác đều ABC, ABD, ACD, BCD
bằng nhau chứ khơng phải là z giác đều hay khối đa diện khác
Nếu một người nào đĩ khi nĩi “## điện đều” mà lúc thì gắn từ “?ứ điện đêu” với tính chất thực sự vốn cĩ của nĩ; lúc lại gắn với tính chất của tứ giác đều, hình lập phương, thì người này khơng cĩ tư tưởng xác định (cũng cĩ nghĩa là người đĩ chẳng cĩ tư tưởng gì!) Khi gan “wer dién đều” với nội dung “cĩ 4 cạnh bằng nhau” thì khơng những ta khơng thể sửa sai cho họ được mà cịn khơng thể hiểu được người đĩ nĩi gì!
Ví dụ 2
+ Cĩ thể đưa ra những câu hỏi ngây thơ kiểu như: “Một ki: lơ-gam sắt và một ki-lơ-gam bơng thì cái nào nặng hơn?”;
+ Một học sinh viết: “Anh bộ đội bị thương hai lần, một lần ở đùi và một lần ở Quang Tri” (?!) Trong trường hợp này, học sinh đã đồng nhất hai cách dùng chỉ vị
trí của từ ở: 1 Nơi bị thương ở trên thân thể; 2 Địa danh mà anh bộ đội bị thương Vi du 3: Giai thoai “Einstein khéng biết chữ” Albert Einstein (14/3/ 1872 — 18/4/1955) là nhà vật lí lí thuyết người Mỹ gốc Đức — Do Thái
Người ta kể: Cĩ một lần, Einstein vào quán ăn, vì khơng mang theo kính nên ơng khơng đọc được thực đơn, Einstein đã nhờ người hầu bàn đọc hộ thực đơn Thấy vậy, người hầu bàn ghé vào tai ơng và nĩi: “Xin ngài thứ lơi! Tơi cũng
khơng biết chữ như ngài”
Trong trường hợp này, người hầu bàn đã nhằm hiện tượng với bản chất, tức là vi phạm quy luật đồng nhất khi đồng nhất sự kiện “khơng đọc được” với sự kiện
“khơng biết chữ” (!)
Chú ý:
4) Trong định nghĩa khái niệm khơng được dùng chính khái niệm A để định nghĩa nĩ (định nghĩa vịng quanh) | Vi du 4: + Định nghĩa “Tổng là kết quả của phép cộng” và lại coi “Phép cộng là phép tốn tìm tổng” (!) ag: - n aay lL „ + Định nghĩa “sĩc vuơng là gĩc 90°” va lại định nghĩa “một độ là 90 của gĩc vuơng” (†)
Trang 25- Ví dụ 5- -
_` + “Chứng minh 1 = 2”: Ta cĩ 1 =2 © 19=29 o> 1= 1 Từ đĩ ta cĩ điều
phải chứng minh (!)
+ Để “chứng minh” tién dé 5 trong hé tién dé Euclid, lại dựa trên nhận xét sau: “Qua một điểm nằm trong gĩc bao giờ cũng cĩ một đường thang cat ca hai canh của gĩc” (l)
c) Bằng cách đánh tráo khái niệm, người ta cĩ thể tạo ra những sự nguy biện Vi du 6: Một học sinh lập luận: Mọi số nguyên tố đều lẻ \ vì nếu khơng thì chúng sẽ chia hết cho 2, tức là cĩ ước khác I và chính nĩi
IV.2 Luật bài trung (loại trừ cái thứ ba)
— Trong hai phán đốn phủ định lẫn nhau: A và |A, một phán đốn nhất thiết phải chân thực (đúng) Khơng thể cả hai cùng giả dối (sai)
— Luật bài trung là cơ sở cho chứng minh phản chứng: Tu |A là sai suy ra buộc A phải đúng
Ví dụ 7: Dựa trên cơ sở luật bài trung, ta cĩ thé dùng phép: nhị phân để chia
ngoai dién khái niệm thành hai tập hợp cĩ quan hệ đối lập Chẳng hạn, chia số
thực thành số hữu tỉ và số vơ tỉ Do vậy, cĩ thể chứng minh A42 là số vơ tỉ bằng
cách chứng tỏ nĩ là sơ thực mà khơng phải là sơ hữu tỉ
Chú ý: Khơng nên phát biểu quy luật đồng nhất dưới một trong hai dạng sau:
a) Nếu A là B thì A là B : hài
b) Ala A
IV.3 Luật khơng mâu thuẫn (cịn gọi là luật mâu thuẫn): A AB
- Hai phán đốn, trong đĩ một phán đốn khẳng định (“A là B”), cịn phán đốn kia phủ định cùng cái đĩ về cùng đối tượng (“A khơng là B”) thì khơng thê đồng thời cùng chân thực (đúng)
- Chú ý: Cĩ những phán đốn tuân theo luật khơng mâu thuẫn mà khơng tuân theo luật bài trung Ngược lại, mọi phán đốn tuân theo luật bài trung đều tuân theo luật khơng mâu thuẫn ([12, tr.252 - 253])
Ví dụ 8: Tất cả những phán đốn cĩ dạng “Khơng một S nao 1a P” va “At ca S déu 1a P” tuân theo luật khơng mâu thuẫn, nhưng khơng tuân theo luật bài trung Ching han:
= “khơng cĩ một số nguyên tố nào chẵn” và B = “tất cả các số nguyên tổ đều chấn" khơng thể đồng thời cùng là đúng, tức là tuân theo luật khơng mâu thuẫn Tuy nhiên, cũng khơng nhất thiết một trong hai phán đốn A và B phải đúng: Rõ ràng “cĩ đuy nhất một số nguyên tố 2 là số chẵn” nên cả A và B đều sai
Trang 26Ý nghĩa:
a) Luật bài trung và luật khơng mâu thuẫn là cơ sở của phép phủ định
b) Luật khơng mâu thuẫn cĩ giá trị lớn đối với tư quy đúng đắn, nêu lên căn
Cứ của sự ton tại tính tắt yếu logic của việc suy ra kết luận từ các tiền đề trong các suy luận diễn dịch, phản ánh sự kiện là: một sự vật (hoặc một thuộc tính) nào
đĩ khơng thể đồng thời vita ton tại vừa khơng tồn tại, vừa cĩ lại vừa khơng
Do vậy, trong quá trình lập luận về đối tượng nào đĩ, khơng được vửa khẳng định, vừa phủ định một cái gì đĩ ở cùng một quan hệ Chẳng hạn, khơng thể cĩ
một mệnh đề vừa đúng lại vừa sa1
-_ V, MỆNH ĐỀ TỐN HỌC
Các mệnh đề tốn học thường cĩ dạng “nếu P thi Q”, trong đĩ P, Q là
những mệnh đê
Nếu quy ước gọi (P—> Q) là mệnh đề thuận thì từ mệnh dé này ta cĩ các mệnh đề: (Q=>P) gọi là mệnh đề đảo; (P = Q) gọi là mệnh đề phản; (Q => P) gọi là
mệnh đề phản đảo
Quan hệ giữa bốn loại mệnh đề trên:
(P—>Q) =(Q = P) hay mệnh đề thuận tương đương với mệnh đề phản đảo
(Q=P) = (P = Q) mệnh đề đáo tương đương với mệnh đề phản
Do bốn loại mệnh để trên tạo thành hai cặp đối lập, nên để khẳng định (hay
phủ định) mệnh đê thuận ta cũng cĩ thê chứng minh (hay bác bỏ) mệnh đê phản đảo và ngược lại Tương tự như vậy đơi với cặp mệnh đề “đảo và phản”
Sơ đồ “tứ giác ” về mơi quan hệ giữa bồn loại mệnh dé Mệnh đề thuận Mệnh đề đảo P>Q Q=>P Ménh dé phan Mệnh đề phản đảo P>Q QP
Chú ý 1: Mệnh đề thuận (X>Y) tương đương với mệnh đề phản đảo (Y= |x) nén ta cĩ thể chứng minh mệnh để thuận bằng cách “phản chứng”: gia su ÌY rồi sau đĩ lập luận dé di đến ÌX
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu n là số tự nhiên và n” chía hết cho 5 thì n chia
hết cho 5 (Bài 11, trang 12, SGK Đại số 10 nâng cao)
Phản chứng: Giả sử n khơng chia hết cho 5 Khi đĩ, n cĩ các đạng sau 5k + l;
Trang 27Chú ý 2: Mệnh đề thuận chỉ tương đương với mệnh đề phản đảo mà khơng tương đương với mệnh đê phản nên đê chứng minh mệnh đề thuận, ta khơng thê thay băng việc chứng minh mệnh đề phản
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nˆ+ 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi n là số tự nhiên lẻ
— Học sinh: Giá sử n chan, khi đĩ rõ ràng n” + 4n + 3 là một số lẻ nên khơng chia hêt cho 8 Từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh
— Ở đây, khi coi: P := “n” + 4n + 3 chia hết cho 8” và Q := “n là số tự nhiên lẻ”,
đo khơng hiệu câu trúc của mệnh đề cân chứng minh, học sinh đã hiệu lâm răng cần phải chứng minh P — Q nên đã đi chứng minh mệnh để phản đảo lạ= b
_ — Thực ra, bài tốn yêu cầu chứng minh Q=>P, nên |Q => ÌP chỉ là mệnh
dé phan của nĩ, khơng thê thay thê tương đương khi cân chứng minh mệnh đê
thuận Q—>P
Chú ý 3: Mệnh đẻ thuận và mệnh đề đảo khơng phải là phủ định của nhau, tức
là khơng phải phủ định của mệnh đề thuận ta được mệnh đẻ đảo, tránh hiểu sai là:
P>Q =Q =P va dẫn đến sai lầm: “để phủ định P—> Q, ta chỉ cần chứng
minh Q => P” Vi dụ 3:
+ Nếu ta cơi “Nếu hai gĩc đối đỉnh thì chúng bằng nhau” là mệnh đề thuận thì tương đương với nĩ là mệnh dé phan đảo “Nếu hai gĩc khơng bằng nhau thì chúng khơng đối đỉnh”
+ Khi đĩ, mệnh để đảo “Nếu hai gĩc bằng nhau thì chúng đối đỉnh” sẽ tương
đương với mệnh đề phản “Nêu hai gĩc khơng đơi đỉnh thì chúng khơng băng nhau”
CAU HOI VA BAI TAP CHUONG |
1 Mỗi đối tượng trong các trường hợp sau cĩ phải là một mệnh đẻ hay khơng?
a) Một phán đốn; b) Một câu hỏi; c) Một mệnh lệnh;
đ) Một câu cảm thán; e) Một đẳng thức; 9Ð Một phương trình;
Ø) Một bài tốn
2 Một để tốn cĩ dạng: “Cho A, chứng minh B” Các câu “Cho A” va “ching minh B” cĩ phải là mệnh đề khơng?
3 Chứng minh các cơng thức sau: a)AV(AAB)=A;
b) AA (Av B)=A;
c) A> Bv (BSA) = (BSA);
Trang 284 Các câu sau đây cĩ phải mệnh đề hay khơng, nếu là mệnh đẻ thì xét giá trị chân lí của nĩ? P = “Tứ điện ABCD cĩ hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp” Q = “Tổng các số tự nhiên từ 1 đến n bằng nin +1) ”, R = “Hãy chứng minh bài tốn bằng phép quy nạp ” T = “Hình hộp cĩ tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương” S = “Cho hàm số y = mx + n” Viết dưới dạng kí hiệu mệnh đề:
a) Nếu hai số dương thay đổi nhưng tổng của chúng khơng đổi thì tích của chúng sẽ lớn nhất khi chúng bằng nhau
b) Khơng phải hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuơng gĩc thì vuơng gĩc với nhau
c) Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi nĩ cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng hai lần bán kính đường trịn nội tiếp
6 Trong hình học khơng gian cho: P=ZSA vuơng gĩc với mp(ABC)” Q =“AB vuơng gĩc với BC”
R = “mp(SAB) vuơng gĩc với mp(SBC)”
Tìm giá trị chân lí của các mệnh đề sau: PQ—R, R—PQ, PR—Q, QR—P Chọn trong các từ: nếu, khi, thì, at, néu va chi nêu, khi và chi khi, dé dién vao cho trơng trong các câu sau đê được mệnh đê đúng:
a) Hai mặt phẳng vuơng gĩc c -«¿ cĩ một đường thẳng của mặt phẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng kia
b) Một dãy cĩ giới hạn - dãy đĩ tăng và bị chặn trên e) Tam giác ABC là tam giác đều a = 2b.cosC
Chứng minh rằng nếu mệnh để (R = (P A Q)) đúng thì các mệnh đề
(RRA Q>P)va(Ra P= Q) 1a ding Newoc lai, nếu các mệnh để (R A Q
= P) và (R A P — Q) là đúng thì mệnh đề (R = (P A Q)) cĩ chắc chắn đúng
hay khơng? Lay vi du minh hoa
Trang 29: x tak gO ax” +bx+c A ý ` 133
Q = “Đồ thị hàm sơ y = ——_ khơng cắt trục hồnh” x+e
10 Nêu coi hàm sơ đã cho là một hàm sơ cụ thê (với các hệ sơ a, b, c, đ nào đĩ),
các mệnh đề sau cĩ tương đương khơng? HH TC ax*+bx+c , - ¬ At ohfa củ P = “Hàm sơ y = —————— cĩ cực đại và cực tiêu năm cùng một phía của dx+e trục hồnh”; 2 ais Jk ax“+bx+c z ` Q= “Ham so y = ————— cắt trục hồ dx+e
11 Chứng minh các mệnh để sau tương đương:
P = “Tứ diện cĩ các cặp cạnh đối bằng nhau từng đơi một”;
Q = “Tứ diện cĩ các trung đoạn là các đường vuơng gĩc chung của các cặp cạnh đối”;
R = “Tứ điện cĩ trọng tâm trùng với tâm hình cầu ngoại tiếp tứ điện”;
§ = “Tứ điện cĩ bốn mặt tương đương”; |
T = “Tứ diện cĩ trọng tâm trùng với tâm hình cầu nội tiếp tứ điện”
12 Chứng minh các mệnh đề sau tương đương: P = “Tam giác ABC là tam giác nhọn”; |
Q = “Tam giác ABC cĩ a.sinA, b.sinB, c.sinC là ba cạnh của một tam giác” 13 Bài tốn: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau cĩ nghiệm? 3x*+xyt+y Sl 3m+1 m+2 Giả sử từ hệ trên ta suy ra được m > —2 Nếu kết luận m > -2 là kết quả của 5x?+7xy+2y” >"
bài tốn thì cĩ đúng khơng? Vì sao? Hãy giải bài tốn trên
14 Bài tốn: Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (R) cắt các cạnh AB, BC, CD, DA
lần lượt tai M, N, E, F Tim diéu kién cho mat phang ®) dé MNEF là hình
binh hanh
Lời giải: Nếu MNEF là hình bình hành thì giao tuyến của hai mặt phẳng
Trang 30cho mặt phẳng (R) để MNEF là một hình bình hành là mặt phẳng (R) phải song
song với AC và BD
Hãy nhận xét lời giải trên
15, Hãy chỉ ra những sai lầm về logic trong lời giải của các bài tốn sau:
Bài tốn 1:
Cho tam giác ABC cĩ AB = AC Chứng minh: 8= C A
Lời giải:
Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A xuống BC Ta cĩ:
sinB =sinABH = ^H và ginC = sin ACH = ^H1, AB AC
Do AB = AC (giả thiết) nên sinB = sinC B C
Rõ ràng ta cĩ nếu =€ thì sinB = sinC H
Do vậy từ sinB = sinC suy ra B=C
Bài tốn 2: a
Cho hình chữ nhật ABCD cĩ kích thước làavàb, | | x] |
a> b Ngwoi ta cắt bỏ đi ở 4 gĩc 4 hình vuơng cạnh x
(x > 0) Phần cịn lại tạo thành một hình hộp khơng ° b— 2x nắp Tim x đề thể tích hình hộp đĩ lớn nhất 1 2 a : a-— ¿X Tĩm tất lời giải: V = x(a— 2x)(b — 2x) = zante — 2x)(b — 2x) Ba số dương 4x, (a — 2x), (b — 2x) cĩ tổng là (a + b) khơng đổi, nên theo bat đẳng thức Cauchy ta cĩ: Tích đĩ lớn nhất (và do đĩ V lớn nhất) khi các số đĩ
bằng nhau, nghĩa là: 4x = a - 2x=b — 2x Hay khi a = b
Theo giả thiết thì a > b nên khơng thê cĩ giá trị lớn nhất của V
Bài tốn 3: Tìm m đễ đồ thị hàm số sau cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt:
y=mx° —3mx?+(2m+1)x+3—m (meR)
Tĩm tắt lời giải: Đễ đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt, diéu kién 18 y’
cĩ hai nghiệm phân biệt và y‹4.ye < 0 Suy ra: m khác 0, y' cĩ biệt thức A dương va
Ÿea.ye < 0 Giải hệ điều kiện trên ta được các giá trị của m Đĩ là các giá trị m thoả
mãn đề bài
Trang 31sini de Tun che gif tri nha a để hệ nhường ranh JŒX†?D=y+a
Bài tốn 4: Tìm các giá trị của a đê hệ phương trình CỐ (y+Đ“=x+a nghiệm duy nhất (ae R)
Tĩm tắt lời giải: Đề hệ phương trình hai ân cĩ nghiệm duy nhất thì điều kiện
lax=y
Ti d6 suy ra (x + 1)°= x + a cĩ nghiệm duy nhất Muốn vậy, biệt thức A = 0
3 Lo, "
hay a= T Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhât khi và chỉ khi a = :
16 Viết các mệnh đề sau ở dạng kí hiệu và phát biểu mệnh đề tương đương
voi nd:
“Tam gidc ABC khơng thể vừa cĩ gĩc A bằng 90”, vừa cĩ gĩc B bằng 90”,
“OD
“Khơng thể cĩ tứ điện gần đều ABCD mà các mặt là tam giác vuơng hoặc tù
“Đồ thị các hàm phân thức cĩ dạng bậc hai trên bậc một hoặc là khơng cĩ cực
đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hồnh hoặc là cắt trục hồnh”
“Hình chĩp hoặc là khơng cĩ các cạnh bên bằng nhau hoặc là đáy nội tiếp
đường trịn”
17 Hãy thiết lập các mệnh đề đảo của định lí: “Mọi đường thẳng đi qua tâm và
vuơng gốc với một dây cung của đường trịn thì đi qua trung điểm của dây cung đĩ” và xem xét giá trị chân lí của nĩ
18 Hãy xét xem các suy luận sau đây cĩ hợp logic hay khơng?
a) Cĩ một ơng vua gặp một người dân dắt một con lửa Ơng vua nĩi: Trong ba
chúng ta, cĩ một người là Vua Nhà ngươi hãy nĩi xem: Ai là Vua? Người dân nĩi:
Ở đây thì con lừa chắc chắn khơng phải là Vua rồi; cịn tơi thì khơng phải là Vua;
vậy chỉ cịn Ơng là Vua thơi! Cịn Tơi và Lừa thì là Lừa và Tơi
b) Người ta kê rằng: Cĩ một ơng vua được biếu một vị thuốc “bất tử” Nhưng
viên quan ngự y đã uống ngay vị thuốc đĩ trước nhà vua Vua nổi giận, định đem chém viên quan ngự y thì viên quan nĩi: Thuốc đĩ làm cho bắt tử thì ăn vào sẽ khơng chế! Nay hạ thân vừa ăn vào, nếu bị chém ngay, chắc chan sé chét! Như vậy, chứng tỏ đĩ khơng phải là thuốc bắt tử! Mà là thuốc tử Xin nhà vua mình xéH
c) Hoc sinh suy luận: “Vì c:a và c:b thì c:ab”, nên khi thấy ““72:6” và “72 :3” suy ra “72 chia hết cho 18”
Trang 32Chương lI - ĐẠI SỐ VỊ TỪ
Ngày nay, mơn học Logic được nghiên cứu khác với mơn học đã được nghiên cứu trước đây, và sự khác biệt chính là việc phát minh ra logic vị từ Trong khi, logic tam đoạn luận của Aristotle định ra những dạng thức cho những phần cĩ liên quan với nhau trong mỗi phán đốn, logic vị từ cho phép các câu được phân tích thành chủ đề và các luận cứ theo nhiều cách khác nhau, do vậy cho phép logic vị từ giải quyết được vẫn đề tổng quát hố nhiều lần — vấn để đã làm bối rối các nhà logic học thời Trung cổ Với logic vị từ, lần đầu tiên các nhà logic học đã cĩ
khả năng đưa ra cdc phép long hod (quantifiers) di tong quat dé dién tả mọi luận
cứ cĩ mặt trong ngơn ngữ tự nhiên
Việc khám phá ra logic vi từ thường được coi là cơng của Gottlob Erege, ơng cũng là một trong những sáng lập viên của ngành triết học phân tích Dạng phát biểu cĩ hệ thơng thơng dụng nhất ngày nay của logic vị từ là logic bậc nhất (fïrst — order logic) được trình bày trong cuốn sách “Các nguyên lí về logic lí thuyết (Grundzige der theoretischen LogiR)” của David Hilbert vi Wilhelm Ackermann vào năm 1928 Tính tổng quát cĩ phân tích của logic vị từ cho phép hình thức hố tốn học và đây mạnh nghiên cứu về lí thuyết tập hợp, cho phép sự
phát triển cách tiếp cận của Alfred Tarski đối với lí thuyết mơ hình; và khơng quá lời khi nĩi rang nĩ là nền táng của logic tốn học hiện đại
Hệ thống nguyên thuỷ của Frege về logic vị tử khơng phải là bậc nhất mà là
bậc hai Logic bậc hai được bảo vệ mạnh mẽ nhất bởi George Boole va Stewart Shapiro
(trước các phê phán của Willard Van Orman Quyne và những người khác)
Về thực chất, logic vị tử là sự mớ rộng logic mệnh để nhờ bổ sung thêm nhiều
yếu tố và thành phần mới vào ngơn ngữ hình thức hố của phép tốn logic mệnh dé
Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyên thành đại số vị £ừ và hệ tốn mệnh đề chuyển thành hệ tốn vị từ
Nếu logic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi tốn học chính xác
và chặt chẽ đối với các phán đốn thì logic vị từ, hon thế nữa, cịn cho phép thực
hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm Do đĩ, logic
vị từ khơng chỉ chính xác hố cơ sở logic của hệ thống phán đốn, mà cịn hồn
thiện cơ sở logic của hệ thống khái niệm Do đĩ, cùng với logic mệnh đề, nĩ cầu
thành cơ sở của logic tốn
Logic vị từ là cơ sở logic chung của tư duy chính xác, đặc biệt là các lĩnh vực
Trang 33Il HAM MENH ĐỀ
I.1 Khái niệm
e Hàm mệnh đề một biến là ánh xạ
f:X>{0;1} | |
x } gid tri chân lí của f(x) |
Tập hop X các giá trị xác định của biến gọi là tập xác định của hàm mệnh dé Tập hợp M c X gồm các giá trị của biến làm cho mệnh đề ứng với giá trị đĩ
là mệnh đê đúng gọi là miên đúng của hàm mệnh dé, tức là:
M={xeXIf(Œ&) = l}
e Ham ménh dé n biến là ánh xạ
f:X =X ,X X)X x X, > {0; 1}
(XI, X¿, , Xa) E> giá trị chân lí của Ấ(xị, Xạ, , Xa)
Như vậy: Hàm mệnh đề (hay cịn gọi là vị từ) là một câu cĩ chứa (một hay nhiều) biển và trở thành mệnh dé khi ta thay biến bằng các giá trị của biến trong tập hợp
xác định oe
Ham ménh dé một biến P(x) (cịn gọi là vị từ một ngdi) biểu thị một tính chat,
hàm mệnh đề n biến biểu thị một quan hệ n ngơi
Hang ménh dé (một biến) là một hàm mệnh đẻ luơn: đúng hoặc luơn sai với
mọi giá trị của biến Tức là:VxeX: f(x) chỉ nhận một giá trị chân lí (bằng 0 hoặc bằng 1) I.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: a) C(a, b, c) = “Phuong trinh ax’ + bx + c = 0 c6 nghiệm với a khác 0” la một hàm mệnh đề 3 biến cĩ tập xác định X = (R\(0)) xR xR Miền đúng T c X
gồm tất cả các bộ 3 số thực (a, b, c) với a # 0, thoả man (b* — 4ac) khơng âm `
b) Câu “Phương trình t vơ nghiệm thực” là một hàm mệnh đề biến t, xác định trên tập hợp các phương trình, cĩ miền đúng chính là tập hợp tất cả các phương trình khơng cĩ nghiệm thực
Với t := “x“ + 1 = 0”, ta cĩ một mệnh đề đúng, với t := “x” + 8 = 0” ta cĩ một
mệnh để sai Neu kí hiệu F4) = = “phương trình tvơ nghiệm thự thực”, thì F(x? +1=0)=1;
F(x? +8=0)=
Vi du 2: Cau “sé x nhé hon sé y’ ' là một hàm mệnh đề hai biến trên R (hoặc
N: Z; Q) Néu ta kí hiệu G(x; y) = “số x nhỏ hơn số y”, thì ta cĩ G(6; 1) = G(6; 8) = 1
Trang 34Ví dụ 3: Câu “Số 2?” +1 là số nguyên tố,ne N” (Bài tốn “Số nguyên tổ
Fermat”) là một hàm mệnh đề (đúng với n = 1; 2, 3, 4,.:.; sai với n = 5, 6, )
Ví dụ 4: Câu “Số trị cha (a — b)’ va (a? — 3ab + 3ab? — b’) là bằng nhau” luơn
đúng với mọi giá trị của a và b nên là hằng mệnh đề trên RỶ Cịn câu “Số trị của (x — y} và (x? + 2xy + y?) là bằng nhau” tuy là một hàm mệnh đề, nhưng khơng
phải luơn đúng, cũng khơng phải luơn sai với mọi giá trị của x và y nên khơng phải là hằng mệnh đề trên RẺ
Vi du 5: Gia thuyết Golbach: Mọi số chãn lớn hơn 4 đều cĩ thể viết được dưới dạng tổng của hai số nguyên tơ lẻ
Vì cho đến nay chưa cĩ ai chứng minh (hay bác bỏ) được điều này nên ta khơng thể xác định được tính đúng, sai của nĩ Do đĩ người ta khơng coi đây là
một mệnh đề
Điều thú vị là: Cũng đến nay, chưa một ai (kể cả dùng máy tính) ầm được một số n cụ thể nào để cho số (4 + 2n) khơng viết được dưới dạng tổng của hai số nguyên tổ lẻ Vì vậy, nếu xét câu “Số 4 + 2n (ne N*) viết được đưới dạng tổng của hai số nguyên tố lẻ” thì đây là một hàm mệnh đề vì cĩ chứa biến n và khi n
nhận một số tự nhiên cụ thể thì người ta lại xác định được ngày câu đĩ là đúng
II CÁC PHÉP TỐN LOGIC TRÊN HÀM MỆNH ĐỀ MỘT BIẾN |
Cho A(x), B() là các hàm mệnh đề một biến cùng xác định trên X
Mở rộng các phép tốn logic mệnh đề đối với các hàm mệnh dé, ta cĩ các
phép tốn logic trên các hàm mệnh đề (ở đây ta chỉ xét với một biến) được định nghĩa như sau: | _
II.1 Phép phủ định
Hàm mệnh đề ê “phủ định của AQ@)”, kí hiệu là hàm mệnh đề A (x), được xác định: Với mỗi aeX được đặt tương ú ứng với giá trị chân lí caa A (a); được xác định là giá trị chân lí của mệnh đề A@)
II.2 Phép hội
Hàm mệnh để “A(x) hội B(x)”, kí hiệu là (A^B)(x) là hàm mệnh dé mà với
moi ae X thi đặt tương ứng với giá trị chân lí của mệnh đê (A^B)(a); được xác
định theo giá trị chân lí của hội hai mệnh đề A(a) và B(a) như sau: e (AAB \(a) = 1 nếu A(a) = B(a) = 1;
Trang 35II.3 Phép tuyên
Hàm mệnh để “A(x) tuyển B(x)”, kí hiệu là (AvB)(x) là hàm mệnh đề mà với mỗi
ae X, đặt tương ứng với giá trị chân lí của mệnh đề (AvB)(a); được xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đê A(a) và B(a) như sau:
e (AvB)(a) = 1 nếu cĩ ít nhất một trong hai mệnh đẻ A(a) hoặc B(a) nhận giá trị l;
® (AvB)(a) = 0 néu A(a) = B(a) = 0 |
lI.4 Phép kéo theo
Hàm “A(x) kéo theo B(©)”, kí hiệu là (A—B)(x) là hàm mệnh để mà với mỗi ae X thi đặt tương ứng với giá trị chân lí của mệnh đề (A—B)(a); được xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a) như sau:
e (A—B)(a) = 0 nếu A(a) = 1 va B(a) = 0;
® (A—=B)(a) = 1 trong tất cả các trường hợp cịn lại
ll.5 Phép tương đương (đẳng giá) |
Hàm “A(x) tương đương B(x)”, kí hiệu là (AeB)@) là hàm mệnh đề mà với
mỗi ae X, đặt tương ứng với giá trị chân lí của mệnh để (A©B)(a); được xác định
theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a) như sau:
© (A&B)(a) = 0 néu A(a) va B(a) khơng nhận cùng mt giỏ tr; đ(ACEâB)(a) = I nếu A@) và B(a) cùng nhận một giá trị
Chú ý: Ta cũng cĩ thể định nghĩa các hàm mệnh đề nĩi trên theo quan điểm hàm như sau:
- Hàm mệnh đề “phủ định của A(x)” là hàm:
A(x): X— {0;1}
a > gid trị chân lí của A(a)
— Ham ménh dé “A(x) hdi B(x)” 18 ham: (A A B)(x): X > {0; 1}
a giá trị chân lí của (A(a)AB(a))
- Hàm mệnh đề “A(x) tuyên B()” là hàm:
(AvB)Œ&):X — {0;1)
a giá trị chân lí của (A(a)vB())
- Hàm mệnh đề “A@) kéo theo B(x)” 1a ham: (A > B)Œœ): X — {0; 1)
Trang 36- Hàm mệnh để “A(x) tương đương B(x)” 1a ham:
(A © B)(x): X — {0;1}
ah giá trị chân lí của (A(a) © B(a)) III LƯỢNG TỪ “TỒN TẠI” VÀ “VỚI MỌI”
III.1 Lượng từ “tồn tại”, “với mọi” liên kết với hàm mệnh đề
một biến |
Cho A(x) là hàm mệnh đề xác định trên tập X Ta cĩ thê liên kết hàm mệnh đề A(x) với các lượng từ “tồn tại” (3) và “với mọi” ( V ) để được một mệnh đẻ
a) Mệnh đà “V x, A(x)” được xác định như sau
(Vx, A()) = 1 nếu A(a) = 1 với tắt cá những giá trị ac X;
(Vx, A(x)) =0 nếu cĩ ít nhất một ae X làm cho A(a) = 0
b) Mệnh đề “3x, A(x)” được xác định như sau
(4x, A(x)) = 0 néu A(a) = 0 với tất cả những giá trị ae X; \ (4x, A(x)) = 1 néu c6 it nhadt mét ae X 1am cho A(a) = 1
\ Ví dụ 1: Mỗi hằng mệnh đề cĩ thể diễn đạt dưới dạng mệnh đề bằng cách sử | dụng các lượng từ “tồn tại”, “với mọi”: Câu “Trên R, hàm số y = x” + x + 1 nhận
| giá trị dương” là một hằng mệnh đề (vì luơn đúng Vx e R) nên cĩ thể diễn đạt
\ thành mệnh đề đúng “hàm số y = x” + x + 1 nhận giá trị dương Vx e R” Cịn câu
“biểu thức x” + 3x — 1 khác 0” là một hàm mệnh đẻ, nhưng chỉ cần thêm lượng từ 3
_⁄ cĩ thể trở thành mệnh đề đúng “3x e R để biểu thức x” + 3x — 1 khác 0” Song
nếu thêm lượng từ V thì lại cĩ thể trở thành mệnh để sai “biểu thức
x’ + 3x — 1 khác 0, Vxe R”
Tương tự, khi nĩi “Tổng các gĩc trong một tam giác phẳng bằng 180°” thi ta
hiểu rang ở đây là “ với mọi tam giác ”
c) Quan hệ giữa các lượng từ “3” và “V ” trong phép phú định
Vx, A(x) =3x, A(x) (1)
Trang 37Chung minh (1): Ta sé ching minh hai về của (1) cĩ cùng gia tri chan lí với mọi x
- Nếu Vx,A(x) =1, nghĩa là “khơng phải với mọi x đều cĩ Aw” là câu đúng,
hay “cĩ một giá trị a của x mà khơng cĩ A(a)” là đúng Tức là 1x, A(x) = I1
- Nếu Vx,A(x) = 0, nghĩa là “khơng phải với mọi x đều cĩ A(x)” là câu sai,
hay “cĩ một giá trị a của x mà khơng cĩ A(a)” là sai Tức là 3x, A(x), =0
Ngược lại, chứng minh tương tự ta cũng cĩ: dx, AQ) = = 0 thi TEA) - =0 va 3x, A(x) = 1 thi Vx, A(x) A(x) = =1
Chú ý: Các cơng thức sai là:
Vx, A(x) = VX, A(x);
x, A(x) = 5x, A(x)
III.2 Lượng từ ( V,3) liên kết với hàm mệnh đề hai biến
Cho A(x, y) là hàm mệnh đề hai biến trên tập X x Y Tương tự đối với hàm mệnh để một biến, ta cĩ thể liên kết hàm mệnh đề hai biến với các lượng từ “3” va “VW” dé duoc mét ménh dé
— Mệnh đề “Với mọi x, với mọi , AŒ&, y)” được xác định như sau: Với mỗi b thuộc Y thì “VWVx, A(, b)” là mệnh đê xác định như mục a) ở trên, nghĩa là:
A(x, b) = 1 nêu A(a, b) = 1 VaeX;
A(x, b) = 0 nếu cĩ một ae X làm cho A(a, b) =0
= Các mệnh dé “Với moi x, ton tai y, A(x, y)”, “Tén tai x, voi moi y, A(x, y)”,
“Tơn tại x, tơn tại y, A(x, y)” được xác định tương tự
, ¬ ˆ A kes 9
Ví dụ 2: Từ ham ménh dé A(x, y) = “sin’x + sin’y + sin’(x + y) = 2 xác
định trên R?, ta cĩ các mệnh đề: |
“Voi moi xX, vOi mai y, sin’x + sin’y + sin’(x + y)=-”3 “Với mọi x, tồn tại y, sin’x + sin’y + sin?(x + y) = 3
“Tén tai x, với mọi y, sin’x + sin’y + sin’(x + y) = 3
`©
Trang 38III.3 Một số cơng thức tương đương của logic vị từ
a) Một số cơng thức đối với hàm mệnh đề một biến
Vx,A(x) = dx, A(x) (1)
Sx, A(x) = Vx, A(x) | (2)
(Vx, A(x)) A (Vx, B(x)) = Vx (A(x) A B(x)) (3) (ax, A(x)) v Gx, B(x)) = 3x (A(x) v B(x)) (4)
b) Một số cơng thức đối với hàm mệnh đề hai biến
(Vx,Vy, A(X y)) = (Vy, Vx, A(,y)) (5)
(x,dy, A@y)) = Gy,dx, A@y)) (6)
ox, Vy, A(x, y) = Vx; dy, A(x, y) (7)
Vx, ay, A(x, y) = 3x, Vy, AY) | (8)
3x,3y,A(%,y) = Vx, Vy, A(%,y) (9)
Vx,Vy,A(x,y)= 3x, 3y, A(%,y) -0)
CAU HO! VA BAI TAP CHUONG II
1 Trước các hàm mệnh đề sau đây, hãy đặt một (hoặc hai) dâu lượng hố để được mệnh đề đúng:
ayx+5>7; b)a+5=5+a;
c) Ixl > 0; đ) 15 là bội số của x; e)(a—b) =a’ — b’; g)(x-lxk+l=x - 1
2 Viết các mệnh đề sau đưới dạng kí hiệu logic kết hợp với các lượng từ và
xét giá trị chân lí của chúng:
a) Nếu các số thực x, y khác nhau và x lớn bơn y thi x” 16n hon y’
b) Qua ba điểm phân biệt khơng thắng hàng cĩ một và chỉ một mặt phẳng c) Ba đường thắng phân biệt trong khơng gian, khơng đồng phẳng và cắt nhau từng đơi thì đồng quy
3 Phủ định các hằng mệnh để sau và xét giá trị chân lí của nĩ:
a) Với mọi số thực x, y thì hoặc x = y, hoặc x > y, hoặc x < ÿy
Trang 394 Những câu sau cĩ phải là hàm mệnh đề khơng? Hàm mệnh đẻ nào là hằng
mệnh dé? (
A(x) = “Tam thite x?- 4abx + (a° — b’)? ludn duong”
BŒ, m) = “Phương trình x? ~ mx+1=0 cĩ nghiệm trong khoảng (0, 1)” C(x) = “Hình chĩp cĩ một cạnh bằng 1, tất cả các cạnh cịn lại bằng x là hình
chĩp đêu” :
Dạ, b, c) = “Các đường thẳng a và b cùng vuơng gĩc với đường thắng c thì song song với nhau”
5 Chứng minh các hàm mệnh đề sau là hằng mệnh đẻ:
A(n) = “Tổng n số lẻ tự nhiên đầu tiên bằng (2n - 1)” (neIN?”
B(n) = “Hình chĩp n giác (n > 3) cĩ tất cả các cạnh bằng nhau là hình chĩp đều”
6 Xét xem suy luận trong lời giải sau cĩ hợp logic khơng? Hãy đưa ra lời giải đúng cho bài tốn
Bài tốn: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với mp(ABCD), ABCD
là hình thang vuơng ở A và D, AB = 2.AD = 2.DC = 2a, SA =h Trên cạnh DC lay diém M, DM = m
a) Xác định thiết diện (H) đi qua M, song song với SA và BC
b) Tính diện tích thiết điện (H)
c) Với giá trị nào của m thì điện tích thiết diện (H) lớn nhất? Tĩm tắt lời giải: Sau khi xác định thiết diện, ta thu được thiết điện là hình thang vuơng và tính (3a +mm)(a —m) 2 được diện tích thiết diện là: S= 3 a
Hai số dương (3a + mì) và (a — m) cĩ tổng khơng đổi nên tích của chúng lớn
nhất khi chúng bằng nhau Suy ra S lớn nhất khi (3a + m ) =(a — m) = m= -a
7 Chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề sau:
_P=“§ố v2 là số vơ tỉ”
Q = “Hai mặt phẳng chứa hai đường thắng song song mà cắt nhau thì giao tuyên của chúng song song với hai đường thắng đĩ”
R = “Trong mọi tam giác, cosA + cosB + cosC > l và khơng thể thay số 1 bởi
số lớn hơn” |
Trang 408 Cho các định ií sau trong Hình học khơng gian:
— Định lí 1: Một đường thắng thuộc một trong hai mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng kia |
— Định lí 2: Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, a song song với mặt phẳng
(P), đường thẳng b là giao tuyến của (P) và (Q) thì b song song với a
— Định lí 3: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyên đĩ song song hoặc đồng quy
a) Chứng minh bằng phản chứng các định lí trên
b) Viết các định lí trên đưới đạng kí hiệu mệnh đề
9 Viết dưới dạng kí hiệu các mệnh đề sau và phát biểu các mệnh dé tương đương:
P = “Khơng phải mọi tam giác cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng hai lần bán kính đường trịn nội tiêp”
Q = “Khơng cĩ một hình chĩp nào nội tiếp trong một hình cầu mà đáy lại
khơng là đa giác nội tiếp đường trịn” a
R = “Moi ham sé kha vi trên một khoảng đều liên tục trên khoảng đĩ”
10 Phát biểu các định nghĩa phủ định của các định nghĩa sau theo ngơn ngữ “eg, 8” (“epxilon, delta”) và tìm các ví dụ minh hoạ:
a) lim f(x) =L; b) lim f(x) =L; c) lim f(x) =
11 Viết dưới dạng kí hiệu logic: — Định nghĩa hàm số đơn điệu tăng
— Phương trình f(x) = g(x) cĩ nghiệm, vơ nghiệm
12 Cho mệnh đề “Tứ diện MNPQ cĩ hai cặp cạnh đối bằng nhau từng đơi thì
đường vuơng gĩc chung của cặp cạnh đơi thứ ba là đoạn nối trung điểm của chúng” a) Viết mệnh đề trên đưới dạng kí hiệu logic mệnh đề
b) Viết các mệnh đề đảo của mệnh đề trên