làm toán học trở nên kỳ diệu. để hiểu rõ ta cũng nhau đi ngược tìm hiểu về lịch sử nhân loại, cũng như lịch sử toán học.cùng tìm hiểu về quá trình con người hình thành, từng bước tìm hiểu và vận dụng toán học để thấy được tính thực tiễn, hữu hiệu của toán học
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN Nguyễn Thanh Tùng BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN (Lưu hành nội bộ) Năm 2021 Nguyễn Thanh Tùng BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN (Tài liệu dùng cho hệ đại học) Năm 2021 MỤC LỤC DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT iv DANH SÁCH HÌNH VẼ .v LỜI NÓI ĐẦU vii CHƯƠNG GIAI ĐOẠN PHÁT SINH CỦA TOÁN HỌC 1.1 Toán học thời tiền sử 1.1.1 Toán học xuất từ nào? .1 1.1.2 Sự hình thành số đếm 1.1.3 Hệ thống đếm 1.1.4 Phép tính số tự nhiên 1.2 Nền văn minh Babylon 1.2.1 Sơ lược bối cảnh lịch sử văn minh Babylon .4 1.2.2 Hệ đếm Babylon 1.2.3 Số học Babylon 1.2.4 Đại số Babylon 1.2.5 Hình học Babylon 1.2.6 Những thông tin từ bảng Plimpton 322 1.3 Nền văn minh Ai Cập 1.3.1 Nguồn gốc .9 1.3.2 Hệ thống đếm Ai Cập 11 1.3.3 Số học Ai Cập 12 1.3.4 Đại số Ai Cập 14 1.3.5 Hình học lượng giác Ai Cập 15 BÀI TẬP CHƯƠNG 16 CHƯƠNG GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP 17 2.1 Toán học Hy Lạp 17 2.1.1 Bối cảnh lịch sử 17 2.1.2 Nhà Toán học nhân loại: Thales .18 2.1.3 Người cha Toán học Hy Lạp: Pythagoras .19 2.1.4 Từ Pythagoras đến Plato 23 2.1.5 Từ Plato đến Euclid .24 2.1.6 Archimedes bậc thầy trường đại học cổ đại Alexandria .31 i 2.1.7 Sự suy tàn toán học Hy Lạp 42 2.2 Toán học Trung Quốc 43 2.2.1 Hệ đếm người Trung Hoa xưa 43 2.2.2 Chou-Pei hay Số học cổ điển 45 2.2.3 Thuật toán Trung Quốc chia làm ngành 45 2.2.4 Liou Houi, Tsu Ch'ung - Chih, Chou Chi-kié 46 2.3 Toán học Ấn Độ 47 2.3.1 Sơ lược bối cảnh lịch sử Ấn Độ 48 2.4 Toán học Ả Rập 50 2.4.1 Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi 52 2.4.2 Người có cơng dịch sách Hy Lạp tiếng Ả Rập: Tabit Ben Qurra 53 2.4.3 Các nhà bác học Ả Rập khác 54 2.5 Toán học “Đêm dài trung cổ” Châu Âu (từ kỷ đến kỷ 15) 55 2.5.1 Vài nét lịch sử Châu Âu Đêm dài trung cổ 55 2.5.2 Tây Âu tiếp thu văn hóa Ả Rập 56 2.5.3 Các trường đại học châu Âu đời 59 2.6 Toán học thời kỳ Phục hưng Châu Âu 60 2.6.1 Nicolas de Cuse (1401-1464) 62 2.6.2 Johann Müller (1436-1476) 62 2.6.3 Nicolas Chuquet 62 2.6.4 Luca Pacioli (1445-1514) 63 2.6.5 Léonard de Vinci (1452-1519) 63 2.6.6 Hành lang cho khoa học Ả Rập tiến vào châu Âu 64 2.6.7 Girolamo Cardano (1501-1576) 64 2.6.8 Copernic với ý tưởng táo bạo 68 2.6.9 Sơ lược tình hình nghiên cứu Hình học thời kỳ Phục hưng châu Âu 70 2.7 Nền toán học Châu Âu đầu kỷ 17 71 2.7.1 Francisco Maurolico (1494-1575) 71 2.7.2 Francois Viète (1540-1603) 71 2.7.3 Simon Stevin (1548 - 1620) 74 2.7.4 John Napier (1550-1617) 74 2.7.5 Johannes Kepler (1571-1630) 75 2.7.6 Galileo Galilei (1564-1642) 77 ii 2.7.7 Bonaventura Cavalieri (1598-1647) 78 BÀI TẬP CHƯƠNG 80 CHƯƠNG GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 82 3.1 Thời kỳ rực rỡ toán học: nhà toán học mở đầu cho xu hướng toán học 82 3.1.1 René Descartes (1596 - 1650) .82 3.1.2 Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) Viện Hàn Lâm khoa học 83 3.2 Những nhà toán học hàng đầu cuối kỷ 17 86 3.2.1 Isaac Newton (1643 – 1727) .86 3.2.2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 87 3.2.3 Dòng họ Bernoulli .88 3.3 Thế kỷ 18 với nhà toán học tài vận dụng lý thuyết vào thực tiễn .89 3.3.1 Ba nhà Toán học lớn: Euler, Lagrange Laplace 89 3.3.2 Những nhà toán học lớn khác kỷ 18 .92 BÀI TẬP CHƯƠNG 97 CHƯƠNG GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 98 4.1 Ba kiện quan trọng kỷ 19 .98 4.2 Thế kỷ 19 thời kỳ cận đại 100 4.2.1 Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) 100 4.2.2 Augustin Cauchy (1789 – 1857) .101 4.2.3 Niels Henrik Abel (1802 – 1829) 102 4.2.4 Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793 – 1856) .104 4.3 Thế kỷ phát minh vĩ đại: kỷ 20 106 BÀI TẬP CHƯƠNG 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 108 iii DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT , , , Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực số phức TCN Trước Công nguyên SCN Sau Công nguyên iv DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1 Ảnh minh hoạ vương quốc Babylon cổ đại Hình 1.2 Bảng nhân với người Babylon Hình 1.3 Bảng Plimpton 322 Hình 1.4 Các kim tự tháp Ai Cập 10 Hình 1.5 Mẫu giấy papyrus 10 Hình 1.6 Vua Seti đệ 15 Hình 2.1 Cơng trình Hy Lạp cổ đại 17 Hình 2.2 Nhà tốn học nhân loại Thales 18 Hình 2.3 Nhà tốn học Hy Lạp Pytagores 19 Hình 2.4 Định lý Pytagoras 23 Hình 2.5 Nhà tốn học Hy Lạp Plato 24 Hình 2.6 Nhà toán học Hy Lạp Aristotle 26 Hình 2.7 Nhà tốn học Hy Lạp Euclid 27 Hình 2.8 Nhà tốn học Hy Lạp Archimedes 32 Hình 2.9 Sàn số nguyên tố Eratosthenes 34 Hình 2.10 Cơng thức diện tích tam giác Héron 39 Hình 2.11 Nhà tốn học Hy Lạp Diophantus 39 Hình 2.12 Quân La Mã xâm chiếm Hy Lạp 43 Hình 2.13 Định lý Pythagoras Chou-Pei 45 Hình 2.14 Cách tính giá trị số pi đa giác nội tiếp 47 Hình 2.15 Sơ đồ trình hình thành hệ thống đếm số dân tộc 49 Hình 2.16 Xã hội Ả Rập năm đầu Cơng ngun 51 Hình 2.17 Nhà toán học Fibonacci 57 Hình 2.18 Dãy Fibonacci ứng dụng 58 Hình 2.19 Một in tác phẩm Elements Euclid 61 Hình 2.20 Bức hoạ Mona lisa Vinci 64 Hình 2.21 Nhà tốn học Cardano 65 Hình 2.22 Nhà tốn học Copernic 69 Hình 2.23 Nhà toán học Viète 72 Hình 2.24 Nhà tốn học Képler 76 Hình 2.25 Nhà tốn học thiên văn học Galilei 77 Hình 2.26 Nhà toán học Cavalieri 79 Hình 3.1 Nhà tốn học Pháp Descartes 83 Hình 3.2 Nhà toán học Fermat 84 Hình 3.3 Đường cycloid 85 Hình 3.4 Nhà tốn học Pascal 85 Hình 3.5 Máy tính học Pascal, năm 1642 86 Hình 3.6 Nhà bác học Newton 87 Hình 3.7 Câu chuyện táo rơi Định lý vạn vật hấp dẫn 87 Hình 3.8 Nhà tốn học Leibniz 88 v Hình 3.9 Bìa tác phẩm Jacob Bernoulli 89 Hình 3.10 Nhà toán học Euler 90 Hình 3.11 Nhà tốn học Lagrange 91 Hình 3.12 Nhà tốn học Taylor 94 Hình 4.1 Nhà tốn học Gauss chữ ký ông 101 Hình 4.2 Nhà tốn học Cauchy 102 Hình 4.3 Nhà tốn học Abel 103 Hình 4.4 Nhà toán học Jacobi 103 Hình 4.5 Nhà tốn học Lobachevsky chữ ký ông 104 Hình 4.6 Nhà tốn học Bolyai trang viết tay ơng 105 vi LỜI NĨI ĐẦU Đâu giới khoa học, người ta thường phải cảm thán lên câu hỏi “Phải Thượng đế nhà tốn học?” Nhiều người có lẽ nghi ngờ cho câu hỏi ngốc nghếch, không liên quan Nhưng thật ra, nghiên cứu lĩnh vực tự nhiên, từ sinh học, vật lý… người ta nhận thứ áp dụng “định lý” tốn học, xác tn thủ nghiêm ngặt đến khơng ngờ Câu hỏi hoa mỹ cố gắng triết học để định nghĩa Thượng đế cho người nghe cách thông minh nhằm hăm dọa người sợ tốn Thực tế, có bí ẩn mà nhiều óc độc đáo phải vật lộn nhiều kỷ - diện nơi khả dường vô hạn toán học Đây đặc điểm mà người ta thường gán cho thánh thần Nhà vật lý người Anh James Jeans nói: “Vũ trụ thiết kế nhà toán học túy” Toán học dường hiệu việc miêu tả giải thích khơng vũ trụ nói chung, mà hoạt động hỗn độn người Bất kể nhà vật lý cố gắng tìm lý thuyết vũ trụ hay chuyên viên phân tích thị trường chứng khoán đau đầu dự đoán biến động tới hay nhà sinh học thần kinh xây dựng mơ hình chức não, hay nhà tình báo quân đội tìm cách tối ưu hóa việc phân bổ tài lực, họ phải sử dụng tốn học Hơn nữa, chí họ có áp dụng hình thức luận phát triển nhánh khác toán học họ phải dựa vào thứ tốn học tổng thể qn Cái đem lại cho toán học quyền lớn lao tới mức khó tin thế? Thậm chí Einstein tự hỏi: “Làm mà toán học, sản phẩm tư người, hoàn toàn độc lập với kinh nghiệm [nhấn mạnh tác giả], lại tương thích cách tuyệt vời với đối tượng thực vật lý đến vậy?” Cái cảm giác hoang mang hoàn toàn Một số nhà triết học cổ Hy Lạp, mà đặc biệt Pythagoras Plato, kinh sợ trước khả rõ ràng toán học việc định hình dẫn dắt vũ trụ, dường lại nằm khả làm thay đổi, dẫn dắt ảnh hưởng người Nhà vật lý giải Nobel Eugene Wigner (1902) phải lên rằng: “Phép lạ thích hợp ngơn ngữ tốn học phát biểu định luật vật lý quà tuyệt vời mà không hiểu không xứng đáng Chúng ta cần phải biết ơn điều hy vọng đắn với nghiên cứu tương lai tiếp tục mở rộng tất ngành khoa học, bất chấp hậu nào, niềm thích thú chúng ta, chí có lẽ khiến ta bối rối nữa” Vậy điều làm tốn học trở nên kỳ diệu Để hiểu rõ hơn, ta ngược lịch sử nhân loại, lịch sử toán học Cùng tìm hiểu vii trình người hình thành, bước tìm hiểu vận dụng tốn học để thấy tính thực tiễn, hữu hiệu tốn học Kiên Giang, tháng 08 năm 2021 Tác giả viii Tầm quan trọng định lý Taylor không công nhận năm 1772 Lagrange tuyên bố ngun tắc tính tốn vi phân Thuật ngữ “chuỗi Taylor” dường Lhuilier sử dụng lần vào năm 1786 Hình 3.12 Nhà tốn học Taylor b Moreau Maupertuis (1698 – 1759) Pierre-Louis Moreau de Maupertuis nhà toán học, sinh học thiên văn học người Pháp, sinh ngày 28 tháng 09 năm 1698 Saint-Malo, Pháp ngày 27 tháng năm 1759 Basel, Thuỵ Sĩ Ơng có cơng lớn việc đại chúng hoá học Newton Maupertuis thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Paris năm 1731 người Pháp đề xuất lý thuyết hấp dẫn Newton Năm 1736, ông dẫn đầu thám hiểm đến Lapland để đo chiều dài kinh tuyến Phép đo ông xác minh quan điểm Newton Trái Đất hình cầu oblate (một cầu dẹt cực) Thành công thám hiểm mang lại cho ông ưu Frederick Đại đế, người gọi ơng đến Berlin Ơng trở thành thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Berlin năm 1741 giữ chức chủ tịch từ năm 1745 đến năm 1753 Năm 1744, Maupertuis đưa nguyên tắc hành động nhất, sau xuất Essai de cosmologie năm 1750 (tạm dịch “Tiểu luận Vũ trụ học”), nói cách đơn giản “in all the changes that take place in the universe, the sum of the products of each body multiplied by the distance it moves and by the speed with which it moves is the least [that is] possible.” Nhà toán học người Đức Samuel Koenig cáo buộc Maupertuis đạo văn cơng trình Gottfried Wilhelm Leibniz theo ngun tắc Trong tranh cãi sau đó, Leonhard Euler ủng hộ Maupertuis, Voltaire lại châm biếm Maupertuis rời Berlin vào năm 1753 Système de la nature (1751) Maupertuis gồm suy đoán lý thuyết chất di truyền học hai cha mẹ dựa nghiên cứu cẩn thận ông 94 xuất polydactyly (có thể gọi ngón tay phụ), nhiều hệ gia đình Berlin Ơng chứng minh polydactyly truyền cha mẹ, ơng giải thích trước đặc điểm kết đột biến “các hạt di truyền” mà chúng sở hữu Ơng tính tốn xác suất tốn học xuất tương lai đặc điểm thành viên gia đình Trong nghiên cứu này, Maupertuis tạo hồ sơ xác mặt khoa học việc truyền đặc điểm di truyền chiếm ưu người Maupertuis số nhà toán học, nhà khoa học thời giờ, cho thấy rõ ứng dụng toán học vào ngỏ ngách vấn đề tự nhiên xã hội, từ đo đạc vật lý, học đến di truyền học c Adrien Marie Legendre (1752 – 1833) Adrien-Marie Legendre khơng thích biết có chứa thông tin chi tiết sống ông Do đó, có thơng tin ơng Chúng ta biết nơi sinh ơng Paris, có số chứng ông sinh Toulouse gia đình chuyển đến Paris ơng cịn nhỏ Ơng sống gia đình giả học ngơi trường hàng đầu tốn lý Collège Mazarin Paris Năm 1770, tuổi 18, Legendre bảo vệ luận án toán học vật lý Collège Mazarin, ơng liệt kê nội dung mà ông nhắm đến chứng minh Ơng khơng cần việc làm để hỗ trợ thân, Legendre sống Paris tập trung vào nghiên cứu Legendre sau nghiên cứu hấp dẫn ellipsoids đưa chứng minh cho kết Maclaurin, ơng giới thiệu mà ngày gọi hàm Legendre sử dụng chúng để xác định, sử dụng chuỗi luỹ thừa, hấp dẫn ellipsoid điểm external Legendre gửi kết cho Viện Hàn Lâm Khoa học Paris vào tháng năm 1783 kết Laplace đánh giá cao Năm 1794, Legendre xuất “Eléments de géométrie” trở thành sách hình học kinh điển suốt 100 năm sau đó, thay cho Eléments Euclid Trong đó, ơng đưa chứng minh đơn giản số vô tỉ, chứng minh 2 số vô tỉ Bên cạnh đó, ơng đưa đốn khơng nghiệm của phương trình đại số với số mũ hữu hạn hệ số nằm tập số hữu tỉ Năm 1795, Viện Hàn lâm Khoa học mở cửa trở lại với tư cách Viện Khoa học Nghệ thuật quốc gia từ năm 1806, đặt Louvre Legendre có vị trí Viện mảng toán học Năm 1803, Napoleon tổ chức lại Viện phận hình học tạo ra, Legendre chuyển Legendre xuất sách việc xác định quỹ đạo chổi vào năm 1806 Trong đó, ơng viết: “tơi nghĩ tốt để làm vấn đề chổi liệu tức thời quan sát sử dụng tất phương tiện 95 để đơn giản hóa nhiều tốt cơng thức phương trình để xác định yếu tố quỹ đạo” Phương pháp ông liên quan đến ba quan sát thực khoảng thời gian ông cho chổi theo đường parabolic để ơng kết thúc với nhiều phương trình chứa ẩn số Ơng áp dụng phương pháp vào liệu biết đến hai chổi Trong phụ lục, Legendre đưa phương pháp bình phương nhỏ để giải cho trường hợp đường cong với liệu có sẵn Tuy nhiên, Gauss xuất phiên phương pháp bình phương nhỏ vào năm 1809 thừa nhận xuất sách Legendre, Gauss tuyên bố biết trước Điều làm tổn thương nhiều Legendre, người chiến đấu nhiều năm để công nhận phương pháp ông người đưa Tác phẩm Legendre hàm elip Exercices du Calcul Intégral xuất ba tập vào năm 1811, 1817 1819 Trong tập Legendre giới thiệu tính chất tích phân eliptic hàm beta gamma Nhiều kết hàm beta gamma xuất tập thứ hai với ứng dụng kết ông cho học, quay Trái đất, hấp dẫn elipsoid (hình bầu dục) vấn đề khác Tập thứ ba phần lớn dành cho bảng tích phân eliptic Một lần ba tập năm 1825, 1826 1830 Ông cho xuất lại ba tác phẩm bao gồm tài liệu tương tự gốc nội dung tổ chức lại hoàn toàn Tuy nhiên, dành 40 năm làm việc cho hàm eliptic, Legendre khơng có nhìn sâu sắc Jacobi Abel Hơn nữa, công việc độc lập hai nhà toán học khiến tác phẩm ba tập Legendre trở nên lỗi thời xuất Một điểm đáng ý Lagendre quan tâm giành 30 năm để tìm cách chứng minh tiên đề thứ Euclid thất bại Bởi ơng ln dựa vào quan điểm “hiển nhiên” Euclid 96 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 3.1 Thuật lại câu chuyện đời định lý lớn Fermat nhà tốn học Pháp Pierre De Fermat Q trình tìm chứng minh cho định lý có tác động đến Toán học Bài tập 3.2 Nhà toán học René Descartes (1596 – 1650) có cơng việc hệ thống hố Hình học giải tích Hãy trình bày sơ lược ý tưởng Hình học giải tích cho biết ý nghĩa việc gì? Bài tập 3.3 Trình bày tóm tắt đóng góp nhà tốn học Gottfried Wilhelm Leibniz cho tốn học (khơng q 100 từ) Bằng ý tưởng Leibniz, tính tổng sau S 1 1 n(n 1) Bài tập 3.4 Trình bày tóm tắt đóng góp nhà toán học Isaac Newton 25/12/1642 – 31/03/1727 cho khoa học (khơng q 100 từ) Qua đó, áp dụng cơng thức 12 khai triển nhị thức Newton: Tìm hệ số x khai triển x x Bài tập 3.5 Trình bày tóm tắt đóng góp nhà tốn học Joseph Louis Lagrange 1736 – 1813 cho khoa học (không q 100 từ) Cho ví dụ trình bày chi tiết lời giải có áp dụng định lý Lagrange 97 CHƯƠNG GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 4.1 Ba kiện quan trọng kỷ 19 Ba kiện bật kỷ 19 là: kiện lĩnh vực hình học, lĩnh vực đại số học lĩnh vực giải tích Sự kiện hình học kiện xảy kiện trên, kiện khám phá mơn hình học phi mâu thuẫn tự quán khác với hình học Euclid: hình học phi Euclid vào năm 1892 Ba nhà tốn học Nicolai Ivannovitch Lobachevsky (1793 – 1856), Janós Bolyai (1802 – 1860) Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) thay tiên đề V Euclid “Từ điểm ngồi đường thẳng ta xây dựng đường thẳng song song với đường thẳng ấy” tiên đề “Từ điểm đường thẳng ta dựng hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy”, tiên đề hình học đời Ý nghĩa đời hình học phi Euclid đặt dấu chấm hết cho toán cổ xưa tiên đề song song liệu tiên đề V Euclid có độc lập hay khơng, chứng minh độc lập với tiên đề lại hệ tiên đề Euclid Một ý nghĩa quan trọng (có tính cách mạng) hình học giải phóng khỏi quan điểm cổ truyền tồn hàng kỷ trước đó: có thứ hình học tồn hình Học Euclid Như vậy, từ có đường thênh thang rộng mở cho hình học sáng tạo nhiều hệ thống hình học khác Vì có khả sáng tạo nhiều hình học “nhân tạo” nên hình học khơng cịn thiết phải gắn bó với khơng gian vật lý giới thực Đối với nhà tốn học, họ khơng cịn lo lắng xem tiên đề đưa có phù hợp với khơng gian vật lý hay không sai mà từ lúc họ có quyền tự đưa tiên đề miễn tiên đề quán với Sự kiện thứ hai ba kiện nêu trên, xảy đại số học sáng tạo đại số khơng giao hốn vào năm 1843 Ở năm đầu kỷ 19, đại số học xem mở rộng số học Nghĩa thay làm việc với số riêng biệt ta làm số học đại số học ta dùng chữ làm ký hiệu biểu thị cho số Đầu kỷ 19, nhà toán học Anh George Peacock (1791-1858), Augustus De Morgan (1806-1871), … người ý tồn cấu trúc đại số học, chẳng hạn luật giao hoán kết hợp phép cộng phép nhân, luật phân phối phép nhân phép cộng Đầu kỷ 19, người ta khơng thể tin lại tồn thứ đại số quán, có cấu trúc khác với cấu trúc đại số thông thường số học Đến năm 1843, nhà toán học Ireland William Rowan Hamilton (1805-1865), qua nghiên cứu vật lý, phát đại số quaternion luật giao hốn phép nhân khơng cịn Một năm sau, nhà toán học Đức Hermann Grassmann (1809-1877) cho xuất Ausdehnungslehre tiếng phát triển 98 tồn lớp đại số có cấu trúc khác với cấu trúc số học Năm 1857, nhà toán học Anh Arthur Caylay (1821-1895) nghĩ đại số ma trận loại đại số không giao hốn Như vậy, người ta xây dựng nhiều đại số với cấu trúc khác Đây xu hướng đại số trừu tượng đại Bằng cách thay tiên đề khác đại số thông thường tiên đề quán với tiên đề cịn lại ta có nhiều hệ thống đại số khác cần nghiên cứu Chẳng hạn, ta có hệ thống nhóm, vành, dàn, vành Boole, đại số Boole, trường, khơng gian vector, đại số Lie, đại số Jordan (hai đại số sau khơng có tính kết hợp) Như vậy, cơng trình hệ thống đại số khác phản ánh ý thức khái quát hóa trừu tượng hóa cao độ Đây đặc điểm toán học đại Đại số trừu tượng trở thành từ vựng nhiều thứ toán học ngày Sự kiện thứ ba ba kiện toán học sâu sắc kỷ 19 xảy lĩnh vực giải tích tốn học việc số học hóa giải tích Ngay từ kỷ 18, nhà toán học bắt đầu báo động khủng hoảng sở giải tích Năm 1754, D’Alembert thấy cần đạt tới lý thuyết giới hạn; Vào năm 1797, Lagrange nổ lực làm cho giải tích chặt chẽ Năm 1821, nhà toán học Pháp Augustin Luois Cauchy đạt bước tiến khổng lồ thực thành công gợi ý D’Alembert cách phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận sau định nghĩa hội tụ, tính liên tục, tính khả vi tích phân xác định lý thuyết giới hạn Các định nghĩa thấy sách giáo khoa Tuy nhiên, nổ lực Cauchy xây dựng lý thuyết giới hạn sở “trực giác” đơn giản hệ thống số thực Năm 1874, Karl Weierstrass đưa ví dụ hàm liên tục mà khơng có đạo hàm, nói cách khác đường mà khơng có tiếp tuyến điểm Georg Bernhard Riemann đưa hàm liên tục số vô tỉ gián đoạn số hữu tỉ Từ đó, người ta thấy lý thuyết giới hạn, tính liên tục tính khả vi lại phụ thuộc vào tính chất khó hiểu hệ thống số thực Do đó, Weierstrass ủng hộ chương trình thân hệ thống số thực phải làm cho chặt chẽ sau tất quan niệm giải tích rút từ hệ thống số Chương trình tiếng gọi chương trình số học hóa giải tích, Weierstrass học trị ơng hồn thành tốt đẹp Ngày nay, thứ giải tích rút hợp lý từ tập hợp tiên đề đặc trưng cho hệ thống số thực Các nhà tốn học cịn xa so với việc xác lập hệ thống số thực làm sở cho giải tích Hình học Euclid thơng qua cách biểu thị giải tích thực hệ thống số thực nhà toán học phát đại phận ngành hình học quán hình học Euclid quán Ngoài ra, hệ thống số thực hay phận dùng để biểu thị nhiều ngành đại số nên tính quán nhiều ngành đại số thực nhờ vào hệ thống số thực Thực ra, ngày nói (về bản): tốn học hữu quán hệ thống số 99 thực quán Đó tầm quan trọng to lớn hệ thống số thực việc xây dựng sở cho toán học Một vấn đề tự nhiên đặt xây dựng sở cho ngành toán học tập hợp thực tập số thực hay không? Vào cuối kỷ 19, Richard Dedelind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918) Giuseppi Peano (1858-1932) thiết lập sở hệ thống số tự nhiên đơn giản nhiều so với sở hệ thống số thực Các nhà toán học cho thấy hệ thống số thực phận lớn tốn học rút từ tập hợp tiên đề hệ thống số tự nhiên Nhưng đến kỷ 20, số tự nhiên lại định nghĩa theo quan điểm lý thuyết tập hợp đại phận toán học lại thực sở lý thuyết tập hợp Nhưng thân lý thuyết tập hợp lúc ban đầu có mâu thuẫn Các nhà logic có Bertrand Russell North Whitehead tìm cách xây dựng lý thuyết tập hợp từ sở phép tính logic tốn Một đặc điểm quan trọng khác từ sau Georg Cantor xây dựng thành công lý thuyết tập hợp ngành toán học bị ảnh hưởng lý thuyết Các khái niệm không gian hình học khơng gian, chẳng hạn, hồn tồn cách mạng hóa lý thuyết tập hợp, khái niệm giải tích trình bày theo ngôn ngữ tư tưởng lý thuyết tập hợp Từ xuất hội cho phát triển toán học Người ta tái xác nhận thủ tục tiên đề toán học nhiều không gian trừu trượng đời, lý thuyết tổng quát thứ nguyên độ đo tạo xuất ngành toán học Topo học Nói tóm lại ảnh hưởng lý thuyết tập hợp môn toán học cổ điển thống đáng kể lại với nhiều mơn tốn tạo với nhịp độ bùng nổ 4.2 Thế kỷ 19 thời kỳ cận đại Từ kỷ 19 trở đi, toán học giới phát triển mạnh mẽ toàn diện Ở thời kỳ xuất nhiều nhà tốn học đóng góp nhiều mặt lý thuyết mà cịn thúc đẩy cho kỹ thuật tiến bước dài Nổi bật hai nhà toán học Gauss Cauchy 4.2.1 Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) Ông người Đức, người thợ nghèo, từ năm lên tuổi bộc lộ thiên tài toán học đặc biệt, nên quận công vùng Brunswick nuôi ăn học Càng lớn lên ơng thể khiếu tốn học dị thường Ông đỗ tiến sĩ năm 22 tuổi đưa chứng minh lỗi lạc Lý thuyết phương trình Ơng khơng thích làm giáo sư đại học mà nhận chức giám đốc Đài thiên văn Gottingen năm 1807 Ơng có cách giải độc n đáo phương trình x 1 2n số ngun tố Từ ơng đưa ý kiến khẳng định dựng đa giác 2n cạnh nội tiếp hình trịn 2n số nguyên tố; với n đa giác có 17 cạnh mà ngày giới tốn học khơng ngớt lời ca ngợi Về Giải tích tốn học ơng đóng góp nhiều 100 vào Phép tính biến thiên Ông nhận nhiều giải thưởng lớn Viện Hàn Lâm Ơng nhà tốn học say mê tính tốn cụ thể Ơng cơng bố nhiều cơng trình tính tốn “Luật xác suất sai số”, “Sai số ngẫu nhiên”, “Sai số trung bình tuyệt đối”, “Sai số trung bình tồn phương” … cơng trình ngày ta dùng Đo lường xác Ngồi ơng cịn đóng góp nhiều cơng trình nghiên cứu Hiện tượng mao dẫn, Quy luật đường ánh sáng qua hệ thấu kính dày Tồn tác phẩm ơng xuất thành tập kéo dài từ năm 1863 đến năm 1871; sau có bổ sung thêm cơng trình mà sinh thời ơng chưa kịp cơng bố Hình 4.1 Nhà tốn học Gauss chữ ký ơng 4.2.2 Augustin Cauchy (1789 – 1857) Ông xuất thân từ gia đình giả vùng Normandie (Pháp) Ơng vốn giỏi văn chương năm 16 tuổi ông thi vào đại học Bách khoa Paris Ông đỗ đầu lúc trường say mê tốn học có tài đặc biệt nên ơng bổ nhiệm làm giáo sư mơn Tốn-Cơ trường đại học Bách khoa Paris Ơng nhà tốn học Pháp có nhiều đóng góp cho tốn học giới, ngành ơng có cơng lớn, đặc biệt Giải tích tốn học Cơng trình ơng nhiều muốn xuất tồn phải dùng đến 27 tập lớn! Ơng cịn đặt móng cho Lý thuyết đàn hồi vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu Ông cịn giải thưởng Truyền sóng mặt chất lỏng Ơng cịn phát minh Cách tính chuyển động hành tinh Ông người chứng minh cách cụ thể sức mạnh khơng có giới hạn tốn học để nghiên cứu thiên nhiên, ví dụ Sự truyền ánh sáng, khúc xạ, phản xạ 101 Hình 4.2 Nhà tốn học Cauchy Học sinh trung học phổ thông biết đến tên ông với bất đẳng thức đơn giản mang tên ông Bất đẳng thức phát biểu đơn giản cho số thực không âm sau a, b : a b ab Đây bất đẳng thức bản, sử dụng nhiều việc chứng minh bất đẳng thức đại số mà ta dễ dàng chứng minh 4.2.3 Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Trong lịch sử toán học giới có nhà tốn học mà đời tài ba đầy gian truân Abel Ông người Na Uy, cha mục sư Tin lành sớm, để lại nhiều cịn bé phải ni Abel đến năm 16 tuổi bắt đầu học toán tỏ đặc biệt có khiếu nên ơng học qua đại học dễ dàng nhờ học Nhà nước thầy học Abel xin hộ Năm 1820, ơng bắt đầu chứng minh phương trình bậc khơng giải thức, nhờ năm 1825 ơng học bổng qua Berlin nhân làm quen với Crelle gợi ý Crelle thành lập Tạp chí Tốn học để làm nơi giao lưu với nhà toán học giới thời Abel cộng tác viên xuất sắc tờ báo Giáo trình “Giải tích tốn học” Cauchy làm ơng say mê Ơng qua Paris nơi mà ơng cho “Trung tâm tốn học giới” thời cơng bố cơng trình “Về tính chất tổng quát số lớn số siêu việt” ý tới Thất vọng, ơng quay quê hương, sống nghèo khổ 102 Hình 4.3 Nhà tốn học Abel Tuy ơng phát minh nhiều cơng trình Giải tích Các nhà tốn học giới thời Legendre (Pháp), Jacobi (Đức) thấy ơng thiên tài tốn học nên thỉnh cầu vua Thụy Điển giúp Kết không mong muốn Abel sống nghèo khổ, bệnh tật, mắc bệnh đau ngực Jacobi, trẻ Abel tuổi phục Abel nên tìm cách xin chỗ làm xứng đáng cho Abel Nhưng sức khoẻ Abel tàn tạ dần, cuối Abel năm 27 tuổi Sau ông mất, Viện Hàn Lâm khoa học Pháp tặng ông giải thưởng lớn người nhận mẹ ông, bạn thân ơng lúc ơng cịn sống, nhà Tốn học người Đức Jacobi Bốn năm sau, vua Thụy Điển cho xuất tồn cơng trình Abel Hình 4.4 Nhà tốn học Jacobi Tuy ơng cịn trẻ, chưa đầy 27 tuổi, nhà Tốn học đời sau xếp ơng vào loại bậc thầy Cauchy Gauss “những người làm cho toán học trở thành thứ triết học sáng với logic chặt chẽ, suy diễn xác khơng thể chê vào đâu được” (trích diễn văn nhà toán học Pháp Emile Picard đọc kỷ niệm 100 năm ngày Abel) 103 4.2.4 Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793 – 1856) Ông người Nga, cơng chức nhỏ Ơng mồ cơi cha sớm Lúc nhỏ, ông học giỏi nên vào đại học Kazan lúc 14 tuổi Năm 23 tuổi ông phong làm giáo sư toán học trường đại học Kazan, năm 27 tuổi ông mời làm Viện sĩ Viện Hàn Lâm khoa học Kazan Ông thường làm việc khơng nề hà cơng việc từ viện trưởng Đại học nhân viên thư viện hay phịng thí nghiệm Ơng Gauss mời làm Viện sĩ nước Viện Hàn Lâm khoa học Gottingen Mặc dù ông giới bác học nước ngồi tơn trọng lại bị quyền địa phương ghét bỏ, ơng sớm bị cách chức Sức khoẻ ông bị giảm sút dần làm việc sức Cuối ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép “Pangéométrie” tiếng lịch sử hình học giới Từ năm 1815 ơng đeo đuổi phát minh hình học xây dựng sở phủ định tiên đề Euclid Các nhà tốn học đương thời chưa hiểu ơng ông đeo đuổi phát minh tới Cho đến năm 1840, Gauss công nhận thành công phát minh từ đó, Gauss nhà tốn học giới gọi hình học ơng Hình học ảo, ngày Hình học Lobachevsky thực chuyến du hành vũ trụ dài ngày, ngày tương lai, việc tính tốn phải dựa sở khơng gian Lobachevsky Hình 4.5 Nhà tốn học Lobachevsky chữ ký ơng Có thể nói nơm na hình học Lobachevsky dùng khơng gian rộng lớn (vũ trụ) cịn hình học Euclid dùng khơng gian hẹp Tuy hình học Lobachevsky hình học Euclid khơng đối đầu mà bổ sung cho Toàn suy nghĩ sáng tạo ông đúc kết tác phẩm sau - Cơ sở Hình học (1830) 104 - Hình học ảo (1837) – Cơ sở Hình học (1838) – Khảo cứu lý thuyết đường song song (1840) - Pangéométrie (1855) Khi nói hình học Lobachevsky hay hình học phi Euclid, khơng thể khơng nhắc đến Janos Bolyai (1802 – 1860) Ông người Hungari Cha ông Giáo sư Toán học Lên tuổi, ông chưa biết làm tính cộng năm 13 tuổi giỏi tiếng tính tích phân học Mặc dù khơng biết tí cơng trình Lobachevsky Bolyai có suy nghĩ phát theo hướng hình học phi Euclid Đời sau, nhắc đến Lobachevsky nhắc đến ông, ông chưa đạt đến thành công Lobachevsky Toán học phát triển mạnh kỷ 19, đặc biệt cuối kỷ Nhờ mà khoa học kỹ thuật phát triển theo, toàn diện khắp nơi Sau xin nêu thêm tên số nhà Tốn học tên tuổi Hình 4.6 Nhà tốn học Bolyai trang viết tay ơng 105 4.3 Thế kỷ phát minh vĩ đại: kỷ 20 Thế kỷ 20 kỷ phát minh vĩ đại, khơng riêng lĩnh vực toán học Con người với hiểu biết khoa học tạo nhiều cơng cụ phục vụ cho nhu cầu đời sống Ngược lại, làm xuất thêm lĩnh vực khoa học khác Nói riêng tốn học, có nhiều ngành toán học đời Cùng với phát triển cơng nghệ thơng tin, điển hình phát triển hệ thống mạng internet, hệ thống giao thông, thúc đẩy lĩnh vực toán học đời phát triển mạnh mẽ, chẳng hạn lĩnh vực tối ưu, mở rộng từ ánh xạ đơn trị sang đa trị, tốn hàm khơng trơn đưa đến khái niệm đạo hàm suy rộng vi phân Những vấn đề giao thông, phân phối hàng hóa làm tốn tối ưu điều khiển bất đẳng thức biến phân đời, đưa giới đến với tiến chưa có lịch sử Khơng cịn có nhà tốn học hiểu tồn kiến thức tốn mà ngày người biết Vì kiến thức nhiều sâu vào nhánh chuyên biệt Nhưng dù với lí tốn học khơng tách rời với giới thực tại, có thời điểm tốn học trước Thế kỷ 20 khơng dài, so với lịch sử phát triển nhân loại, phát triển giai đoạn lại gấp nhiều lần kỷ trước gộp lại, mà phát triển khoa học nói riêng tốn học đóng vai trị chủ đạo 106 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 4.1 Nêu tóm tắt nội dung 03 kiện quan trọng toán học kỷ 19 Sự kiện Hình học có ý nghĩa làm thay đổi tư nhà Tốn học giờ? Sự kiện Giải tích có ý nghĩa với Tốn học đại? Bài tập 4.2 Trình bày nội dung bất đẳng thức Cauchy Áp dụng: chứng minh bất đẳng thức (a b)(ab 1) 4ab, a, b số thực khơng âm Bài tập 4.3 Hãy trình bày tóm tắt tiểu sử nhà tốn học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan, khó khăn mà ơng gặp phải việc học nghiên cứu Toán, thành tựu mà ơng đạt Bài tập 4.4 Trình bày tóm tắt tiểu sử nhà toán học Niels Henrik Abel Évariste Galois (khơng q 150 từ) Qua đó, tóm tắt kết hai ông Đại số, kết có ảnh hưởng đến Tốn học? Bài tập 4.5 Trình bày tóm tắt đóng góp nhà tốn học Johann Carl Friedrich Gauss cho khoa học (không 100 từ) Với ý tưởng Gauss trình bày cách tính tổng sau (2n 1) 2021 Qua đó, cho ví dụ mở rộng từ cách làm Bài tập 4.6 Từ tiên đề Euclide đến ý tưởng Janos Bolyal, Gauss Lobasepski, trình bày đời Hình học phi Euclide Hình học có ý nghĩa gì? Bài tập 4.6 Trình bày tóm tắt đóng góp nhà tốn học David Hilbert giới thiệu sơ lược ý tưởng không gian Hilbert Áp dụng Bất đẳng thức Schwarz: a b a b Tìm giá trị lớn biểu thức P u.OM , u 2; 3 M điểm nằm đường tròn tâm O bán kính r Bài tập 4.7 Trình bày ngắn gọn tiểu sử nhà Toán học Stefan Banach sơ lược ý tưởng không gian Banach Việc nghiên cứu tốn tử tuyến tính có ý nghĩa gì? Bài tập 4.8 Trình bày ngắn gọn tiểu sử Giáo sư Ngô Bảo Châu (không 100 từ) giới thiệu sơ lược, ý nghĩa Bổ đề Langlands Bài tập 4.9 Trình bày ngắn gọn tiểu sử cơng trình giáo sư Hồng Tuỵ (khơng q 100 từ) Qua giới thiệu sơ lược tối ưu tồn cục đóng góp ơng lĩnh vực 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Cang (1999), Lịch sử Toán học, NXB Trẻ [2] Nguyễn Bá Đô Hồ Châu (2001), Các câu chuyện Toán học tập – Cái biết chưa biết, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Bá Đơ cộng (2001), Các câu chuyện Tốn học tập – Khẳng định phủ định, NXB Giáo dục [4] Michael Guillen (2009), phương trình làm thay đổi giới, NXB Trẻ (người dịch Phạm Văn Thiều, Trần Quốc Túy) [5] Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử Toán, NXB ĐH Cần Thơ [6] Mario Livio (2011), Chúa trời có phải nhà tốn học ? NXB Trẻ (người dịch Phạm Văn Thiều, Phạm Thu Hằng) [7] Simon Singh (2010), Định lý cuối Fermat, NXB Trẻ (người dịch Phạm Văn Thiều, Phạm Việt Hưng) Tài liệu Tiếng Anh [8] Barbin, É., et al., (2017) Let history into the mathematics classroom Springer [9] Boyer, C B., and Merzbach, U C (2011) A history of mathematics John Wiley & Sons [10] Jordan Ellenberg (2014), How not to be wrong – The power of mathematical thinking, Penguin [11] Remmert, V R., Schneider, M R., & Sørensen, H K (2016) Historiography of Mathematics in the 19th and 20th Centuries Springer International Publishing [12] Stillwell, J (2019) A concise history of mathematics for philosophers Cambridge University Press 108 ... CHƯƠNG GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP 17 2.1 Toán học Hy Lạp 17 2.1.1 Bối cảnh lịch sử 17 2.1.2 Nhà Toán học nhân loại: Thales .18 2.1.3 Người cha Toán học Hy Lạp:... thực tiễn, hữu hiệu toán học Kiên Giang, tháng 08 năm 2021 Tác giả viii CHƯƠNG GIAI ĐOẠN PHÁT SINH CỦA TOÁN HỌC 1.1 Toán học thời tiền sử 1.1.1 Toán học xuất từ nào? Người tiền sử xuất trái đất... sinh nhu cầu phép toán đơn giản, so sánh số lượng … tốn học cổ đại thực hình thành từ kỷ thứ TCN mà Hầu từ thời xa xưa, người ta thừa nhận lịch sử toán học xương sống lịch sử khoa học nhân loại