Một số tính chất của tập hữu hạn điểm 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- ĐỒN NGỌC THI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỮU HẠN ĐIỂM Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2022 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú Phản biện 1: TS.Trần Quang Hóa Phản biện 2: TS.Phan Thế Hải Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐA TẠP ĐẠI SỐ 1.1.1 Vành đa thức biến 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến 1.1.3 Iđêan 1.1.4 Đa tạp afin 10 1.1.5 Đa tạp xạ ảnh 11 1.2 TOPO ZARISKI TRÊN KHÔNG GIAN AFIN 1.3 VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP AFIN 12 13 ă 1.4 C S GROBNER VÀ CÁC THUẬT TOÁN 13 1.4.1 Thứ tự đơn thức 13 1.4.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu 14 1.4.3 C s Grobner ă 15 1.4.4 Tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger 15 CHƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỢP HỮU HẠN ĐIỂM18 2.1 IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 18 2.1.1 Iđêan 18 2.1.2 Vành tọa độ 19 2.2 CÁC THUẬT TOÁN TRÊN VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 21 2.3 MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 25 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Từ thập niên cuối k 20, c s Grăobner t nn tng cho s phát triển đại số tính tốn, mang đến ngày phong phú công cụ phương pháp để nghiên cứu hình học đại số Các tốn quan trọng tính tốn tập sinh cho iđêan hay tính tốn vành tọa độ đa tạp trở nên tường minh phát triển thành thuật toán Các tập điểm đa tạp đặc biệt nhận quan tâm đặc biệt theo hướng sử dụng đại số tính tốn Với mong muốn tìm hiểu thêm thuật tốn, tính chất đặc biệt liên quan đến tập hữu hạn điểm với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú nên chọn đề tài: "Một số tính chất tập hữu hạn điểm” để tìm hiểu, nghiên cứu thực luận văn Mục đích nghiên cứu Đề tài quan tâm đến việc sử dụng số cơng cụ đại số tính tốn từ lý thuyết c s Grăobner v cỏc thut toỏn khỏc nghiờn cứu tính chất liên quan đến iđêan vành tọa độ tập điểm không gian afin Chúng tơi trình bày cách có hệ thống tính chất iđêan vành tọa độ tập điểm theo quan điểm đại số tính tốn, đưa ví dụ chứng minh tính chất khác, viết thực thuật tốn tính tốn đối tượng liên quan đến tập điểm Đối tượng nghiên cứu Topo Zariski, không gian afin, c s Grăobner, mt s thut toỏn (thut toỏn Buchberger - Moller, ă thut toỏn x nh Buchberger - Moller) ă Phm vi nghiờn cu Tỡm hiu cỏc thut toỏn trờn c s Grăobner, vnh ta ca tập điểm, để giải số toán vành đa thức Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo liên quan, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Tham khảo số báo đăng tạp chí khoa học Nội dung đề tài Nội dung đề tài chia thành chương: Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Đa tạp đại số 1.2 Topo Zariski không gian afin 1.3 Vành tọa độ đa tạp afin 1.4 Cơ sở Grobner thuật toán Chương 2: Các tính chất tập hữu hạn điểm 2.1 Iđêan vành tọa độ tập điểm 2.2 Các thuật toán vành tọa độ tập điểm 2.3 Một số tính tốn iđêan vành tọa độ tập điểm Tổng quan tài liệu nghiên cứu Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ tính chất tập hữu hạn điểm Góp phần làm rõ thuật tốn vành tọa độ tập điểm số tính tốn iđêan vành tọa độ tập điểm CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐA TẠP ĐẠI SỐ 1.1.1 Vành đa thức biến a Xây dựng vành đa thức biến Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu Gọi P tập hợp dãy phần tử A P = {(a0 , a1 , , an , )/ai ∈ A, ∀i ∈ N, = tất số trừ số hữu hạn} Trên P ta xác định hai quy tắc cộng sau: Quy tắc cộng: (a0 , a1 , , an , ) + (b0 , b1 , , bn , ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) Quy tắc nhân: (a0 , a1 , , an , )(b0 , b1 , , bn , ) = (c0 , c1 , , cn , ) c = a0 b0 c1 = a0 b1 + a1 b0 ck = a0 bk + a1 bk−1 + + ak−1 b1 + ak b0 = ∑ b j , với k = 0; 1; 2; i+ j=k Khi (P, +, ) lập thành vành giao hốn có đơn vị gọi vành đa thức Thật vậy, hai quy tắc cộng nhân cho ta hai phép toán P (P, +) nhóm giao hốn vì: + Phép cộng có tính chất giao hốn kết hợp + Phần tử không dãy (0; 0; ; 0) + Phần tử đối dãy (a0 , a1 , , an , ) dãy (−a0 , −a1 , , an , ) (P, ) nửa nhóm giao hốn vì: + Do A giao hốn nên: ∑ b j = ∑ bi a j Vì phép nhân có tính i+ j=k i+ j=k giao hốn + Phép nhân A có tính chất kết hợp phân phối phép cộng nên ∀m = 0, 1, 2, Ta có: ∑ ah h+k=m = = ∑ bi c j i+ j=k ∑ ah bi c j ah (bi c j ) = ∑ ∑ ah (bi c j ) ∑ h+i+ j=k h+i+ j=k j+l=m h+i=l Vì phép nhân P có tính chất kết hợp Trong A, ta có: ∑ (b j + c j ) = ∑ b j + ∑ b j , ∀k = 0, 1, i+ j=k i+ j=k i+ j=k Vì phép nhân có tính chất phân phối phép cộng P Dãy (1, 0, , 0, ) phần tử đơn vị P Do P vành giao hốn có đơn vị Xét dãy: x = (0, 1, , 0, ) Theo quy tắc nhân ta có: x2 = (0, 0, 1, 0, , 0, ) x3 = (0, 0, 0, 1, , 0, ) xn = (0, 0, , 0, 1, 0, ) n Ta quy ước viết: x0 = (1, 0, , 0, ) Xét ánh xạ: f : A −→ P a −→ (a, 0, , 0, ) f (a + b) = (a + b, 0, , 0, ) = (a, 0, , 0, ) + (b, 0, , 0, ) = f (a) + f (b) f (ab) = (ab, 0, , 0, ) = (a, 0, , 0, )(b, 0, , 0, ) = f (a) f (b) f (a) = f (b) ⇔ (a, 0, , 0, ) = (b, 0, , 0, ) ⇔ a = b Vậy f đơn cấu bảo tồn hai phép tốn Vì f đơn cấu nên ta đồng phần tử a ∈ A với f (a) ∈ P tức là: a = f (a) = (a, 0, , 0, ) ∈ P Do A vành vành P Các phần tử P dãy (a0 , a1 , , an , ) = tất trừ số hữu hạn nên ta giả sử n số lớn để an = 0, phần tử P viết: (a0 , a1 , , an , 0, ) = (a0 , 0, 0, ) + (0, a1 , 0, ) + (0, 0, , 0, an , 0, ) = (a0 , 0, )(1, 0, ) + (a1 , 0, )(0, 1, 0, ) + + (an , 0, )(0, , 0, 1, 0, ) n = a0 + a1 x + + an xn = a0 x0 + a1 x1 + an xn Người ta thường kí hiệu phần tử P dạng: an xn + an−1 xn−1 + + a1 x1 + a0 x0 , ∈ A, i = 0, n f (x), g(x), Định nghĩa 1.1.1 Vành P gọi vành đa thức biến x lấy hệ tử A, hay vành đa thức biến x A Kí hiệu A[x] Các phần tử vành gọi đa thức biến x lấy hệ tử A Trong đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x1 + a0 x0 + , i = 0, n gọi hệ tử thứ i đa thức + xi , i = 0, n gọi hạng tử thứ i đa thức + a0 x0 = a0 gọi hạng tử tự + an xn với an = gọi hạng tử cao b Bậc đa thức Định nghĩa 1.1.2 Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x1 + a0 x0 với an = 0, n ≥ Khi bậc đa thức n, kí hiệu deg f (x) hệ tử an gọi hệ tử cao f (x) a0 gọi hệ tử tự f (x) c Phép chia đa thức Định lý 1.1.1 Cho hai đa thức f (x), g(x) ∈ A[x] với g(x) = ln ln tồn hai đa thức q(x) r(x) thuộc A[x] cho: f (x) = g(x)q(x) + r(x) với r(x) = r(x) = deg r(x) < deg g(x) Ta gọi q(x) r(x) thương dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Kí hiệu f (x) g(x) hay g(x)| f (x) d Hàm đa thức Định nghĩa 1.1.3 Cho đa thức f (x) = an xn + an−a xn−a + + a1 x1 + a0 x0 ∈ A[x] với an = 0, n ∈ N Xét ánh xạ: ϕ f : A −→ A b −→ ϕ f (b) = an bn + + a1 b1 + a0 , ∈ A, i = 1, n, n ∈ N Khi ϕ f gọi hàm đa thức xác định đa thức f 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến a Xây dựng vành đa thức nhiều biến Vành đa thức nhiều biến lấy hệ tử A xây dựng phương pháp quy nạp sau: Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A vành giao hốn có đơn vị Đặt: A1 = A[x1 ] A2 = A1 [x2 ] A3 = A2 [x3 ] 17 G S := S(p, q) IF S = THEN G := G ∪ {S} UNTIL G = G 18 CHƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỢP HỮU HẠN ĐIỂM 2.1 IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 2.1.1 Iđêan Định nghĩa 2.1.1 ([7], Definition 6.3.1, Chapter 6) Cho k trường A = k[x1 , , xn ] a) Một phần tử a = (a1 , , an ) ∈ kn gọi k - điểm hữu tỉ Với a1 , , an ∈ k gọi tọa độ a b) Một tập hữu hạn V = {a1 , , as } k điểm hữu tỉ phân biệt a1 , , as ∈ kn gọi tập điểm afin c) Iđêan triệt tiêu I(V ) ⊆ A tập điểm afin V ⊆ kn gọi iđêan điểm d) k - đại số A/I(V ) gọi vành tọa độ afin V Mệnh đề 2.1.1 ([7], Proposition 6.3.3, Chapter 6)(Tính chất Iđêan tập điểm) Cho V = {a1 , , as } tập điểm afin a) Ta có I(V ) = I(a1 ) ∩ ∩ I(as ) b) Xét ánh xạ: ϕ : A/I(V ) −→ k f + I(V ) −→ ϕ( f + I(V )) = ( f (a1 ), , f (as )) đẳng cấu k - đại số Đặc biệt dim(I(V )) = Định nghĩa 2.1.2 ([3], Definition 2, §4, Chapter 1) Cho f1 , , fn đa thức k [x1 , , xn ] Ta đặt: s f1 , , fn = ∑ hi fi : h1 , , hs ∈ k [x1 , , xn ] i=1 Khi f1 , , fn iđêan 19 Định nghĩa 2.1.3 ([3], Definition 1, §4, Chapter 2) Cho A[x] vành đa thức vành giao hoán A Một iđêan đơn thức A iđêan A sinh đơn thức Bổ đề 2.1.2 ([3], Lemma 2, §4, Chapter 2) Cho B ⊂ Zn≥0 iđêan đơn thức I = xα : α ∈ B , đơn thức xβ ∈ I xβ chia hết cho xα với α∈B Bổ đề 2.1.3 ([3], Lemma 3, §4, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức đa thức f ∈ k [x1 , , xn ] Các điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ I (ii) Mọi hạng tử f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính k đơn thức I Hệ 2.1.4 ([3], Corollary 4, §4, Chapter 2) Hai iđêan đơn thức gọi tập đơn thức chúng Định lý 2.1.5 ([3], Theorem 5, §4, Chapter 2) (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I viết dạng I = xα(1) , , xα(s) , xα(1) , , xα(s) ∈ A Đặc biệt, iđêan I có hệ sinh hữu hạn 2.1.2 Vành tọa độ Định nghĩa 2.1.4 ([6], Definition 1.7.1, Chapter 1) Cho (P, +) nửa nhóm Vành R gọi vành P−phân bậc tồn họ nhóm cộng {Rγ }γ∈P cho: i) R = ⊕γ∈P Rγ , ii) Rγ Rγ ⊆ Rγ+γ với γ, γ ∈ P Cho k trường, cho P = k[x1 , , xn ] P = k[x0 , , xn ] vành đa thức phân bậc k Định nghĩa 2.1.5 ([7], Definition 6.3.14, Chapter 6) Với n ≥ 0, ta xác định quan hệ tương đương ∼ kn+1 \{0} hay (a0 , , an ) ∼ (a0 , , an ) tồn phần tử λ ∈ k cho (a0 , , an ) = (λa0 , , λan ) a) Lớp tương đương p (c0 , , cn ) ∈ kn+1 \{0} gọi điểm (xạ ảnh) Pkn Ta đặt p = (c0 : c1 : : cn ) 20 b) Tập hữu hạn điểm phân biệt V = {p1 , , ps } ⊆ Pkn gọi tập điểm xạ ảnh c) Cho tập điểm xạ ảnh V = {p1 , , ps } ⊆ Pkn , iđêan I + (V ) = { f ∈ P| f nhất, f (p1 ) = = f (ps ) = 0} ⊆ P gọi iđêan triệt tiêu V phân bậc k- đại số P/I + (V ) gọi vành tọa độ V Lưu ý iđêan tập điểm xạ ảnh xác định tốt, p = (c0 : : cn ) = (λc0 : : λcn ) hai tọa độ đại diện cho điểm xạ ảnh, ta có f (c0 , , cn ) = nên f (λc0 , , λcn ) = λd f (c0 , , cn ) = với f ∈ Pd Hệ 2.1.6 ([7], Corollary 6.3.19, Chapter 6) Cho p = (c0 : : cn ) ∈ Pkn điểm xạ ảnh Thì iđêan triệt tiêu đồng I + ({p}) = (ci x j − c j xi |0 ≤ i < j ≤ n) Bổ đề 2.1.7 ([7], Lemma 6.3.20, Chapter 6) Giả sử trường k có vơ hạn phần tử Cho hữu hạn điểm p1 , , ps ∈ kn+1 , tồn dạng tuyến tính l ∈ P1 cho l(pi ) = với i = 1, , s Định nghĩa 2.1.6 ([3], Definition 5.6.13, Chapter 5) Cho R vành Một iđêan p gọi ngun tố tối tiểu R khơng có iđêan nguyên tố q cho q ⊂ p Ta kí hiệu tập tất iđêan nguyên tố tối tiểu R Min(R) Định nghĩa 2.1.7 ([3], Definition 4.1.3, Chapter 4) Một k-đại số R gọi gọi phân bậc tiêu chuẩn k-đại số N phân bậc, thỏa mãn R0 = k dimk (R1 ) < ∞, R sinh phần tử R1 Mệnh đề 2.1.8 ([7], Proposition 6.3.21, Chapter 6)(Vành tọa độ tập điểm xạ ảnh) Cho R = P/I + (V ) vành tọa độ đồng tập điểm xạ ảnh V = {p1 , , ps } ⊆ Pkn với i = 1, , s, đặt p1 ảnh I + ({pi }) R a) Vành R k đại số phân bậc tiêu chuẩn 1-chiều b) Ta có p1 ∩ ∩ ps = (0) Min(R) = {p1 , , ps } 21 c) Cho ánh xạ R-tuyến tính tắc: φ : R −→ R/p1 × × R/ps r −→ (r + p1 , , r + ps ) đơn ánh d) Với i = 1, , s tồn đẳng cấu k-đại số R/pi ∼ = k[x0 ] e) Cho l ∈ P1 Ta có V ∩ Z + (l) = 0/ l ước khác với R f) Ta có số bội R s kí hiệu mult(R) = s 2.2 CÁC THUẬT TỐN TRÊN VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM Ta nhắc lại thuật toán chia k [x1 , , xn ]: Cho quan hệ thứ tự k [x1 , , xn ] G (g1 , , gt ) ⊂ k [x1 , , xn ] Khi đó: ∀ f ∈ k [x1 , , xn ] : f = h1 g1 + h2 g2 + + ht gt + f G (2.1) G f tổ hợp tuyến tính đơn thức xα ∈ / LT (I) Hơn nữa, G G sở Groebner nên f ∈ I f = phần dư xác định với f Điều có nghĩa: G f = gG ⇔ f − g ∈ I (2.2) Vì đa thức đóng với phép cộng phép nhân nên f , g ∈ k [x1 , , xn ] ta có: G G f + gG = f + g G G G G G f gG = f g f gG phần dư Nhắc lại: Cho f ∈ k [x1 , , xn ] [ f ] = f + I = { f + h : h ∈ I} Và tính chất quan trọng [ f ] = [g] ⇔ f − g ∈ I k [x1 , , xn ] /I = {[ f ] : ∀ f ∈ k [x1 , , xn ]} Từ 2.1 ta có: G f = f − (h1 g1 + + ht gt ) mà (h1 g1 + + ht gt ) ∈ I G Suy ra: f ∈ [ f ] Từ 2.2 2.3 cho tương ứng 1:1 (2.3) 22 Phần dư ↔ lớp G f ↔ [ f ] Khi đó, với tương ứng ta có: G f + gG ↔ [ f ] + [g] G G f gG ↔ [ f ] [g] Vì cộng nhân phân tử k [x1 , , xn ] /I cho số (lớp [c] với c ∈ k) k [x1 , , xn ] /I có cấu trúc khơng gian vectơ trường k Khi đó, vành thương k- đại số Đại số k [x1 , , xn ] /I kí hiệu A Phần dư nêu tổ hợp tuyến tính đơn thức xα ∈ / LT (I) Xem Mệnh đề 2.1.3, ta thấy tất đơn thức độc lập tuyến tính A nên xem sở A Nói cách khác, đơn thức B = {xα : xα ∈ LT (I) } tạo thành sở A, phần tử B gọi đơn thức sở Vì vành tọa độ có cấu trúc khơng gian vectơ chiều vành tọa độ kí hiệu dim k [V ] Do để tính số chiều vành tọa độ ta áp dụng dim k [x1 , , xn ] /I = dim k [x1 , , xn ] /LT (I) Mệnh đề 2.2.1 ([3], Proposition 1, §3, Chapter 5) Cho thứ tự đơn thức k [x1 , , xn ] I ⊂ k [x1 , , xn ] Khi đó: (i) Với đa thức f ∈ k [x1 , , xn ], tồn r cho f ≡ r mod I, r tổ hợp tuyến tính đơn thức nằm phần bù LT (I) (ii) Nếu ∑ cα xα ≡ mod I cα = 0, ∀α, xα ∈ / LT (I) α Định lý 2.2.2 ([3], Theorem 6, §3, Chapter 5) Cố định thứ tự đơn thức C [x1 , , xn ] Cho V = V (I) đa tạp Cn Khi mệnh đề sau tương đương: (i) V tập hữu hạn (ii) Với i, ≤ i ≤ n tồn mi ≥ cho ximi ∈ LT (I) (iii) Giả sử G l c s Grobner ă Khi ú, vi mi i, ≤ i ≤ n tồn mi ≥ cho ximi = LM (gi ), với g ∈ G (iv) C - khơng gian vectơ S = Span (xα /xα ∈ / LT (I) ) có chiều hữu hạn 23 (v) C - không gian vectơ C [x1 , , xn ] /I có chiều hữu hạn Định lý 2.2.3 ([4], §2, Chapter 2) (Định lý hữu hạn) Cho k ⊂ C trường I ⊂ k [x1 , , xn ] iđêan Khi mệnh đề sau tương đương: (i) Đại số A = k [x1 , , xn ] /I hữu hạn chiều (ii) Đa tạp V (I) ⊂ Cn tập hữu hạn (iii) Nếu G c s Grobner ă ca I thỡ vi mi i, ≤ i ≤ n tồn mi ≥ cho i xm i = LT (g) với g ∈ G Iđêan thỏa mãn ba điều kiện iđêan chiều khơng Hệ 2.2.4 ([3], §3, Chapter 5) Cho I ⊂ C [x1 , , xn ] iđêan chiều không với i, ximi ∈ LI (I) , mi lũy thừa nhỏ Khi số điểm nhiều V (I) m1 m2 mn Mệnh đề 2.2.5 ([3], §3, Chapter 5) Giả sử I ⊂ C [x1 , , xn ]là iđêan cho tập V (I) tập hữu hạn Khi đó: (i) Số điểm nhiều V dim C [x1 , , xn ] /I (ii) I iđêan số điểm V dim C [x1 , , xn ] /I Từ ví dụ ?? dim C [x, y] /I = dim C [x, y] / LT (I) = số điểm V (I) Vì áp dụng mệnh đề I = x2 + y − 1, xy − 2y2 + 2y iđêan Định lý 2.2.6 ([7], Theorem 6.3.10, Chapter 6) Thut toỏn Buchberger-Moller ă Cho l hạng tử T n , đặt V = a1 , , as tập điểm afin kn với = (ai1 , , ain ) cho qua tọa độ chúng ci j ∈ k Ta xét trình tự sau: / O = 0, / S = 0, / L = {1} đặt M = (mi j ) ∈ Mat0,s (k) ma 1) Cho G = 0, trận có s cột hàng ban đầu / trả cặp (G , O ) dừng lại Ngược lại ta chọn hạng tử t = 2) Nếu L = 0, minσ (L) xóa khỏi L 3) Tính giá trị vectơ (t(a1 ), ,t(as )) ∈ ks làm giảm hàng M để có (v1 , , vs ) = (t(a1 ), ,t(as )) − ∑i pi (mi1 , , mis ) với pi ∈ k 4) Nếu (v1 , , vs ) = (0, , 0) nối thêm đa thức t − ∑i pi si với G si phần tử thứ i S Bỏ khỏi L phận t Tiếp tục với bước 2) 24 5) Ngược lại (v1 , , vs ) = (0, , 0) nối (v1 , , vs ) hàng M t − ∑i pi si phần tử S Thêm t vào O thêm vào L phần tử {x1t, , xnt} mà không bội số phần tử M LTσ (G ) Tiếp tục với bước 2) Thuật toán cho ta cặp (G , O ) cho G l c s Grobner ă ca I(V ) O = T n \LTσ {I(V )} Hệ 2.2.7 ([7], Corollary 6.3.11, Chapter 6) Trong thuật toán BuchbergerMoller ¨ ta thay bước hướng dẫn sau: 2) Nếu L = 0/ giảm hàng M thành ma trận đường chéo phép toán tương tự phần tử S (xét cột véctơ) Tiếp theo thay S M −1 S , / chọn hạng tử t = minσ (L) xóa trả ba (G , O , S ) dừng lại Nếu L = 0, khỏi L Kết dãy hướng dẫn xác định thuật tốn Nó đưa ba (G , O , S ) với G σ- sở Grobner ¨ I (V ), O = T n \LTσ {I(V )} S chứa pi phân biệt từ V \pi với i = 1, , s Định lý 2.2.8 ([7], Theorem 6.3.24, Chapter 6) Thuật toán xạ nh BuchbergerMoller ă Cho V = p1 , , ps ⊆ Pkn tập điểm xạ ảnh, với điểm pi cho tọa độ cố định pi = (ci0 : : cin ) cho σ hạng tử T n+1 Ta xét trình tự sau: / S = 0, / S = 0, / L = {1}, d = đặt M = (mi j ) ∈ Mat0,s (k) 1) Cho G = 0, ma trận k có s cột hàng ban đầu 2) Tính chuỗi Hilbert S = P/(LTσ (g)|g ∈ G) kiểm tra HFS (i) = s với i ≥ d Nếu trả G dừng lại Ngược lại tăng d lên thêm 1, cho / cho M = (mi j ) ma trận k với s cột hàng, cho L tập S = 0, tất hạng tử Tdn+1 mà không bội phần tử LTσ (g) với g ∈ G / tiếp tục bước 2) Ngược lại, chọn t = minσ (L) xóa khỏi L 3) Nếu L = 0, 4) Với i = 1, , s, tính (t(pi ) = t(ci0 , , cin ) Làm giảm véctơ t(p1 ), ,t(ps ) hàng M để có (v1 , , vs ) = (t(p1 ), ,t(ps )) − ∑i (mi1 , , mis ) 25 với ∈ k 5) Nếu (v1 , , vs ) = (0, , 0) nối thêm đa thức t − ∑i si với G si phần tử thứ i S Tiếp tục với bước 3) 6) Ngược lại (v1 , , vs ) = (0, , 0) thêm (v1 , , vs ) hàng M t − ∑i si ) phần tử S Tiếp tục với bước 3) Thuật toán cho ta c s -Grobner ă ca I+ (V ) 2.3 MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM Định lý 2.3.1 ([2], Định lí 2.1.1, Chapter 2) (Định lí Macaulay) Cho K trường, R = K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến I iđêan vành R Với thứ tự từ ≤, tập B tất đơn thức nằm LT≤ (I) lập thành sở không gian véctơ R/I trường K Định lý 2.3.2 ([2], Định lí 2.1.2, Chapter 2) Cho iđêan I ⊂ R ≤ thứ tự từ R Khi (i) Nếu ≤ thứ tự từ phân bậc s ∈ N, ta có dimK (R≤s /I≤s ) = dimK R≤s /[LT≤ (I)]≤s (ii) Nếu hai không gian véctơ R/I R/LT (I) hữu hạn chiều, khơng gian hữu hạn chiều dimK R/I = dimK R/LT (I) Định nghĩa 2.3.1 ([2], Định nghĩa 2.1.3, Chapter 2) Cho I iđêan vành R = k [x] Hàm Hilbert-Samuel (afin) R/I hàm xác định sau: hR/I (s) = dimK k[x]≤s /I≤s ∀s ∈ N, k[x]≤s tập đa thức có bậc nhỏ s I≤s = I ∩ k[x]≤s Đây hàm quan trọng Đại số giao hốn Nó định nghĩa cho vành địa phương, phát biểu cho vành đa thức Từ định nghĩa suy hR/I (s) = dimK k[x]≤s − dimk (I≤s ) Định nghĩa 2.3.2 ([2], Định nghĩa 2.1.14, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức vành R Khi R/I vành phân bậc chuẩn Kí hiệu Rs [R/I]s thành phần phân bậc chúng (tập đa thức bậc s tập phần tử 26 f + I với f đa thức bậc s) Hàm HR/I (s) = dimK [R/I]s gọi hàm Hilbert R/I Ta mở rộng hàm cách gán cho giá trị s < Vì HR/I (s) = hR/I (s) − hR/I (s − 1) nên tồn đa thức PR/I (s) bậc d − cho: HR/I (s) = PR/I (s)∀s ≥ Đa thức PR/I (s) gọi đa thức Hilbert R/I Bổ đề 2.3.3 ([2], Bổ đề 2.1.4, Chapter 2) Với s ∈ N ta có: hk[x] (s) = # (M≤s ) = s+n n Để đánh giá hàm Hilbert ta giới thiệu khái niệm sau Như thường lệ, kí hiệu k [x] = k [x1 , , xn ] Đối với iđêan I k [x] tập y = {y1 , , yr } tập biến {x1 , , xn }, kí hiệu Iy = I ∩ k [y] iđêan khử I biến không thuộc y Định nghĩa 2.3.3 ([2], Định lí 2.1.5, Chapter 2) Cho I iđêan thực vành k [x] = k [x1 , , xn ] {y1 , , yr } tập tập {x1 , , xn } Ta gọi tập {y1 , , yr } tập độc lập modulo I Iy = Tập {y1 , , yr } gọi tập độc lập cực đại modulo I độc lập modulo I không thực chứa tập khác độc lập modulo I Chiều k [x] /I số dim k [x] /I = max{#y |y ⊂ {x1 , , xn } độc lập modulo I Ta gọi dim k [x] /I chiều iđêan I cịn kí hiệu dim I Iđêan I gọi iđêan chiều d dim I = d Định lý 2.3.4 ([2], Định lí 2.1.8, Chapter 2) Hàm Hilbert-Samuel hR/I thỏa mãn bất đẳng thức sau với s ∈ N : s+d s+n ≤ h (s) ≤ , R/I d n d = dim I Định nghĩa 2.3.2 Định nghĩa 2.3.4 Với số nguyên r ∈ N đơn thức m, đặt topr (m) = {i ∈ {1, , n| degxi (m) ≥ r}} 27 degxi (m) lũy thừa biến xi m Bổ đề 2.3.5 ([2], Định lí 2.1.9, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức chiều d với tập sinh đơn thức hữu hạn G Đặt B = max degxi (g) |g ∈ G, ≤ i ≤ n Khi với đơn thức m, ta có (i) Nếu i ∈ topB (m) α ∈ N, m ∈ M/I mxiα ∈ M/I (ii) Nếu b ∈ N với b > Bn , max {#topB (m) |m ∈ M≤b /I } = d Mệnh đề 2.3.6 ([2], Mệnh đề 2.1.10, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức chiều d vành R = k [x] Giữ nguyên kí hiệu Bổ đề 2.3.5 Khi tồn đa thức pR/I ∈ Q [x] bậc d cho pR/I (s) = hR/I (s), với s ≥ Bn Hơn viết pR/I dạng d pR/I (s) = ∑ ei i=0 s+d −i d −i , e0 , , ed ∈ Z e0 > Bây phát biểu chứng minh kết mục Định lý 2.3.7 ([2], Định lí 2.1.12, Chapter 2) Cho I iđêan chiều d vành đa thức R = k [x] Khi tồn đa thức pR/I ∈ Q [x] bậc d cho pR/I (s) = hR/I (s), với s Hơn nữa, viết pR/I dạng d pR/I (s) = ∑ ei i=0 s+d −i d −i , e0 , , ed ∈ Z e0 > Đa thức gọi đa thức Hilbert-Samuel (afin) R/I Hệ 2.3.8 ([2], Hệ 2.1.13, Chapter 2) Cho I iđêan vành đa thức R/k [x] Cố định thứ tự từ phân bậc R Khi 28 (i) Với s ∈ Z, hR/I (s) = hR/LT (I) (s) (ii) pR/I (s) = pR/LT (I) (s) (iii) dim R/I = dim R/LT (I) (iv) Nếu y = {y1 , , yr } ⊂ {x1 , , xn } độc lập modulo LT (I), độc lập modulo I Dựa vào kết ta xây dựng thuật tốn tìm hàm Hilbert-Samuel, đa thức Hilbert-Samuel chiều iđêan Thuật tốn Thuật tốn tìm hàm Hilbert-Samuel iđêan đơn thức Tìm hR/I (s) = h Input: : s > m1 , , mr : đơn thức k [x] Output: h, d u := 0, A := {1}, h := 0, d := B := max {deg xi (m j ) |1 ≤ j ≤ r } W HILE u < s DO A := {x1 , , xn } A B := A FOR m ∈ A DO i := WHILE i ≤ r DO IF mi |m THEN B := B\{m} i := r + ELSE i := i + IF d < topB (m)T HEN d := topB (m) h := h + #B A := B, u := u + Định nghĩa 2.3.5 ([2], Định nghĩa 2.1.15, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức vành R = k [x] Hàm Hilbert(afin) R/I hàm xác định sau: HR/I (s) = dimK (k [x] /I)s ∀s ∈ N 29 Chuỗi Hilbert R/I xác định ∞ HSR/I (t) = ∑ (dimk (k [x] /I)s ) s=0 30 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu số tính chất tập hữu hạn điểm, hướng dẫn khoa học nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt mục đích nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: 1) Trình bày tổng quan khái niệm số tính chất iđêan vành tọa độ tập điểm 2) Trình bày kết liên quan đến thuật toán vành tọa độ tập điểm, thể số định lý quan trọng Định lý hữu hạn, Thut toỏn Buchberger - Moller, ă Thut toỏn x nh Buchberger - Moller, ă cú cỏc vớ d minh họa cụ thể 3) Trình bày khái niệm số tính tốn iđêan vành tọa độ tập điểm thể qua ví dụ minh họa cụ thể Các kết đạt luận văn khiêm tốn góp phần hữu ích cho thân có điều kiện tiếp tục sâu nghiên cứu số tính chất tập hữu hạn điểm sau Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực cịn nhiều hạn chế Rất mong góp ý xây dựng quý thầy cô để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ [2] Chouakha Houa tou xay (2012), Đa thức Hilbert iđêan đơn thức, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tiếng Anh [3] David Cox, John Little (2007), Donal O’Shea , Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag [4] David Cox, John Little, Donal O’Shea (2000), Using algebraic Geometry(Sencond edition), Springer-Verlag [5] Klaus Hulek, Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society (2000) [6] Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano (2000), Comptational Commutative Algebra , Springer-Verlag [7] Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano (2005), Comptational Commutative Algebra 2-Springer, Springer-Verlag ... tổng quan đầy đủ tính chất tập hữu hạn điểm Góp phần làm rõ thuật tốn vành tọa độ tập điểm số tính toán iđêan vành tọa độ tập điểm 4 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. 1 ĐA TẠP ĐẠI SỐ 1. 1 .1 Vành đa thức... c1 x1a 11 xna1n + + cm x1am1 xnamn ∈ A[x1 , , xn ] ci = 0, i = 1, m (ai1 , , ain ) = (a j1 , , a jn ) i = j Xét ánh xạ: ϕ f : An −→ A b = (b1 , , bn ) −→ ϕ f (b) = c1 ba 111 ban1n + + cm ba1m1... (p = q) DO 17 G S := S(p, q) IF S = THEN G := G ∪ {S} UNTIL G = G 18 CHƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỢP HỮU HẠN ĐIỂM 2 .1 IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 2 .1. 1 Iđêan Định nghĩa 2 .1. 1 ([7], Definition