Một số tính chất của tập hữu hạn điểm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- ĐỒN NGỌC THI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỮU HẠN ĐIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỒN NGỌC THI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỮU HẠN ĐIỂM Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú Đà Nẵng - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Đà Nẵng, tháng năm 2022 Tác giả Đoàn Ngọc Thi LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn.Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Đại số Lý thuyết số K38-K39 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Do điều kiện thời gian kinh nghiệm cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy để tơi bổ sung hồn thiện luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đồn Ngọc Thi TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Một số tính chất tập hữu hạn điểm Ngành: Đại số lí thuyết số Họ tên học viên: Đồn Ngọc Thi Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đà Nẵng Tóm tắt: Mục đích luận văn nhằm tỡm hiu v c s Grobner, ă cỏc tớnh toỏn vành tọa độ tập điểm Ngoài luận văn cịn có số kết cụ thể sau: Tổng hợp trích dẫn cách có hệ thống số định nghĩa, định lí, mệnh đề, liên quan n c s Grobner, ă vnh ta ca tập điểm với số thuật toán điểm Đưa số ví dụ minh họa c s Grobner, ă thut toỏn Buchberger - Moller ă T khúa: C s Grobner, ă vnh ta , thut toỏn Buchberger - Moller ă INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Some properties of finite set of points Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Doan Ngoc Thi Supervisors: Assoc Prof Nguyen Chanh Tu Training institution: Da Nang University of Education - Da Nang University Abstract: The aim of this thesis is to learn about the Grobner ă basis and some computations based on the coordinate ring of the set of points Additionally, the thesis also has some specific results as follows: Systematically synthesize and cite a number of definitions, theorems, and propositions as regards Grobners ă basis, the coordinate ring of points as well as some algorithms of points Give numerous illustrative examples of the Grobner ă basis, and the Buchberger Moller ă algorithm Key words: Grobner ă bases, coordinate ring, Buchberger - Moller ¨ algorithm DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu < f1 , , fn > kn V ( f1 , , fs ) IV LT ( f ) LC( f ) LM( f ) LT (I) < LT (I) > G f S( f , g) k[V ] Min(R) mult(R) Mat0,s : Iđêan sinh đa thức f1 , , fn : Không gian afin n-chiều k : Đa tạp afin xác định f1 , fs : Iđêan tập điểm V : Hạng tử dẫn đầu đa thức f : Hệ số dẫn đầu đa thức f : Đơn thức dẫn đầu đa thức f : Tập hạng tử dẫn đầu đa thức f ∈ I : Iđêan sinh phần tử LT (I) : Phần dư phép chia f cho G : S−đa thức f g : Vành tọa độ đa tạp V : Tập tất nguyên tố tối tiểu R : Số bội R : Ma trận có s cột hàng ban đầu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐA TẠP ĐẠI SỐ 1.1.1 Vành đa thức biến 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến 10 1.1.3 Iđêan 11 1.1.4 Đa tạp afin 13 1.1.5 Đa tạp xạ ảnh 15 1.2 TOPO ZARISKI TRÊN KHÔNG GIAN AFIN 1.3 VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP AFIN 16 18 ă 1.4 C S GROBNER V CC THUT TON 18 1.4.1 Thứ tự đơn thức 18 1.4.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu 19 1.4.3 C s Grobner ă 21 1.4.4 Tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger 22 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP HỢP HỮU HẠN ĐIỂM 27 2.1 IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 27 2.1.1 Iđêan 27 2.1.2 Vành tọa độ 28 2.2 CÁC THUẬT TOÁN TRÊN VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 31 2.3 MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA TẬP ĐIỂM 41 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Từ thập niên cuối kỷ 20, c s Grăobner t nn tng cho s phỏt trin đại số tính tốn, mang đến ngày phong phú công cụ phương pháp để nghiên cứu hình học đại số Các tốn quan trọng tính tốn tập sinh cho iđêan hay tính tốn vành tọa độ đa tạp trở nên tường minh phát triển thành thuật toán Các tập điểm đa tạp đặc biệt nhận quan tâm đặc biệt theo hướng sử dụng đại số tính tốn Với mong muốn tìm hiểu thêm thuật tốn, số tính chất đặc biệt liên quan đến tập hữu hạn điểm với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú nên chọn đề tài: "Một số tính chất tập hữu hạn điểm” để tìm hiểu, nghiên cứu thực luận văn Mục đích nghiên cứu Đề tài quan tâm đến việc sử dụng số công cụ đại số tính tốn từ lý thuyết s Grăobner v cỏc thut toỏn khỏc nghiờn cu tính chất liên quan đến iđêan vành tọa độ tập điểm không gian afin Chúng trình bày cách có hệ thống tính chất iđêan vành tọa độ tập điểm theo quan điểm đại số tính tốn, đưa ví dụ chứng minh tính chất khác, viết thực thuật tốn tính toán đối tượng liên quan đến tập điểm Đối tượng nghiên cứu Topo Zariski, không gian afin, c s Grăobner, mt s thut toỏn (thut toỏn Buchberger - Moller, ă thut toỏn x nh Buchberger - Moller) ¨ Phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu thuật toỏn trờn c s Grăobner, vnh ta ca cỏc tập điểm, để giải số toán vành đa thức 43 độc lập modulo I tập độc lập modulo LT (I) tức LT (I)∩ k [x] = Do ta có thuật tốn kiểm tra tập có độc lập modulo I hay khơng sau: Thuật toán kiểm tra độc lập modulo Cho I ⊂ R iđêan y = {y1 , , yr } ⊂ {x1 , , xn } Tỡm c s Grobner ă G = {g1 , , gs } I thứ tự từ điển cho biến bị khử lớn biến cịn lại Tìm LT (I) = (LT (g1 ) , , LT (gs )) Nếu j = 1, , s, tìm bậc tổng thể LT (g j ) biến bị khử, LT (g j ) ∈ k [y1 , , yr ], khác ngược lại Nếu LT (g j ) ∈ / k [y1 , , yr ] với j = 1, , s kết luận y tập độc lập modulo I Ví dụ 2.3.5 ([2], Ví dụ 2.1.7, Chapter 2) Tính chiều iđêan I = xy − zt, x2 y − z3 vành k [x, y, z,t] C s Grobner ă ca I i vi th tự từ điển t > y > x > z là: −zt + xy, x2 y − z3 LT (I) = x2 y, zt Ta có degt,y x2 y = 1, degt,y (zt) = Vậy {x, z} tập độc lập modulo I Hơn cịn tập độc lập modulo I có số biến lớn theo thuật tốn ta dễ dàng tính được: LT (I) ∩ k [x, y, z] = x2 y = 0, LT (I) ∩ k [x, z,t] = (zt) = 0, LT (I) ∩ k [y, z,t] = (zt) = Vậy dim (R/I) = Định lý 2.3.4 ([2], Định lí 2.1.8, Chapter 2) Hàm Hilbert-Samuel hR/I thỏa mãn bất đẳng thức sau với s ∈ N : s+d s+n ≤ hR/I (s) ≤ , d n d = dim I Định nghĩa 2.3.2 Định nghĩa 2.3.6 Với số nguyên r ∈ N đơn thức m, đặt topr (m) = {i ∈ {1, , n|} degxi (m) ≥ r} 44 degxi (m) lũy thừa biến xi m Bổ đề 2.3.5 ([2], Định lí 2.1.9, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức chiều d với tập sinh đơn thức hữu hạn G Đặt B = max degxi (g) |g ∈ G, ≤ i ≤ n Khi với đơn thức m, ta có (i) Nếu i ∈ topB (m) α ∈ N, m ∈ M/I mxiα ∈ M/I (ii) Nếu b ∈ N với b > Bn , max {#topB (m) |m ∈ M≤b /I } = d Mệnh đề 2.3.6 ([2], Mệnh đề 2.1.10, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức chiều d vành R = k [x] Giữ nguyên kí hiệu Bổ đề 2.3.5 Khi tồn đa thức pR/I ∈ Q [x] bậc d cho pR/I (s) = hR/I (s), với s ≥ Bn Hơn viết pR/I dạng d pR/I (s) = ∑ ei i=0 s+d −i d −i , e0 , , ed ∈ Z e0 > Bây phát biểu chứng minh kết mục Định lý 2.3.7 ([2], Định lí 2.1.12, Chapter 2) Cho I iđêan chiều d vành đa thức R = k [x] Khi tồn đa thức pR/I ∈ Q [x] bậc d cho pR/I (s) = hR/I (s), với s Hơn nữa, viết pR/I dạng d pR/I (s) = ∑ ei i=0 s+d −i d −i , e0 , , ed ∈ Z e0 > Đa thức gọi đa thức Hilbert-Samuel (afin) R/I Hệ 2.3.8 ([2], Hệ 2.1.13, Chapter 2) Cho I iđêan vành đa thức R/k [x] Cố định thứ tự từ phân bậc R Khi 45 (i) Với s ∈ Z, hR/I (s) = hR/LT (I) (s) (ii) pR/I (s) = pR/LT (I) (s) (iii) dim R/I = dim R/LT (I) (iv) Nếu y = {y1 , , yr } ⊂ {x1 , , xn } độc lập modulo LT (I), độc lập modulo I Dựa vào kết ta xây dựng thuật tốn tìm hàm Hilbert-Samuel, đa thức Hilbert-Samuel chiều iđêan Thuật tốn Thuật tốn tìm hàm Hilbert-Samuel iđêan đơn thức Tìm hR/I (s) = h Input: : s > m1 , , mr : đơn thức k [x] Output: h, d u := 0, A := {1}, h := 0, d := B := max {deg xi (m j ) |1 ≤ j ≤ r } W HILE u < s DO A := {x1 , , xn } A B := A FOR m ∈ A DO i := WHILE i ≤ r DO IF mi |m THEN B := B\{m} i := r + ELSE i := i + IF d < topB (m)T HEN d := topB (m) h := h + #B A := B, u := u + Tính đắn thuật toán suy từ chứng minh Mệnh Đề 2.3.6 Hơn cho s ≥ Bn giá trị d tính dim I Tất nhiên nên áp dụng thuật toán s bé Định nghĩa 2.3.7 ([2], Định nghĩa 2.1.15, Chapter 2) Cho I iđêan đơn thức 46 vành R = k [x] Hàm Hilbert(afin) R/I hàm xác định sau: HR/I (s) = dimk (k [x] /I)s ∀s ∈ N Chuỗi Hilbert R/I xác định ∞ HSR/I (t) = ∑ (dimk (k [x] /I)s ) s=0 Ví dụ 2.3.8 ([2], Ví dụ 2.1.16, Chapter 2) Cho R = k [x, y]và cho I = Đặt n Ri = span{x1α1 x2α2 xnαn |αi ∈ N với ≤ i ≤ n ∑ α j = i j=1 Cụ thể R0 = span x0 y0 = span {1} = k, R1 = span {x, y} , R2 = span x2 , xy, y2 , R3 = span x3 , x2 y, xy2 , y3 , Ta có Ii = Vậy ta có đa thức Hilbert n n HR/I (n) = dimk (n) = C2+n−1 = Cn+1 = n + Sau ta đưa thuật toán xác định Hàm Hilbert iđêan đơn thức Thuật toán Cho I = (m1 , , mr ) iđêan sinh đơn thức m1 , , mr ∈ M ⊂ R s ∈ N cho trước Tìm hàm Hilbert iđêan I Liệt kê tất đơn thức bậc s Xóa đơn thức bội mi Số đơn thức lại HR/I (s) Từ Định lý Macaulay Hệ 2.3.12 (ii) ta suy để tìm hàm Hilbert (đa thức Hilbert) R/I ta tìm hàm Hilbert (đa thức Hilbert) R/LT (I) Để đơn giản đa mơ tả qua thuật tốn sau: Thuật tốn Tìm hàm Hilbert-Samuel R/I với I iđêan nhất.([2], Định lí 2.1.17, Chapter 2) Chọn thứ tự từ ≤ Tìm sở Groebner I, từ tìm LT (I) Tìm hàm Hilbert R/LT (I), suy hàm Hilbert R/I 47 Như vậy, cho I iđêan vành R = k [x1 , ,  xn ] m0 thuộc N Hàm ,s =     n ,s =    Hilbert-Samuel R/I có dạng: HR/I (s) =        PR/I (s) ,s ≥ m0 Ví dụ 2.3.9 ([2], Ví dụ 2.1.20, Chapter 2) Tìm hàm Hilbert-Samuel đa thức Hilbert-Samuel iđêan I = xy − zt, x2 y − z3 Như xét Ví dụ 2.3.5, I có sở Groebner thứ tự ≤lex : (t > x > y > z) là: −zt + xy, x2 y − z3 LT (I) = x2 y, zt Tính HR/I (2) Liệt kê tất đơn thức bậc theo thứ tự ≤lex : (t > x > y > z)   x , xy, xz, xt A (2) = y2 , yz, yt  z , zt,t Xóa đơn thức bội x2 y zt đơn thức cịn lại là: x2 , xy, xz, xt, y2 , yz, yt, z2 ,t Vậy HR/I (2) = 9.Tương tự HR/I (3) = 15 Tính HR/I (s) : Đa thức bậc s tổng quát có dạng: xa yb zct d , a + b + c + d = s HR/I (s) = s + + s + s − + s + s − + s − = 6s − 3, (s ≥ 3) Suy hàm Hilbert-Samuel R/I có dạng:   1,s=0    1 , s = 4,s=1 HR/I (s) = = 4,s=1 9,s=2    6s − , s ≥  6s − , s ≥ 48 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu số tính chất tập hữu hạn điểm, hướng dẫn khoa học nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt mục đích nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: 1) Trình bày tổng quan khái niệm số tính chất iđêan vành tọa độ tập điểm 2) Trình bày kết liên quan đến thuật toán vành tọa độ tập điểm, thể số định lý quan trọng Định lý hữu hạn, Thuật toán Buchberger - Moller, ă Thut toỏn x nh Buchberger - Moller, ă cú cỏc vớ d minh c thể 3) Trình bày khái niệm số tính toán iđêan vành tọa độ tập điểm thể qua ví dụ minh họa cụ thể Các kết đạt luận văn khiêm tốn góp phần hữu ích cho thân có điều kiện tiếp tục sâu nghiên cứu số tính chất tập hữu hạn điểm sau Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế Rất mong góp ý xây dựng q thầy để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ [2] Chouakha Houa tou xay (2012), Đa thức Hilbert iđêan đơn thức, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tiếng Anh [3] David Cox, John Little , Donal O’Shea (2007), Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag [4] David Cox, John Little, Donal O’Shea (2000), Using algebraic Geometry(Sencond edition), Springer-Verlag [5] Klaus Hulek, Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society (2000) [6] Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano (2000), Comptational Commutative Algebra , Springer-Verlag [7] Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano (2005), Comptational Commutative Algebra 2-Springer, Springer-Verlag ... Grobner thuật toán Chương 2: Một số tính chất tập hữu hạn điểm 2.1 Iđêan vành tọa độ tập điểm 2.2 Các thuật toán vành tọa độ tập điểm 2.3 Một số tính tốn iđêan vành tọa độ tập điểm Tổng quan tài liệu... tìm hiểu thêm thuật tốn, số tính chất đặc biệt liên quan đến tập hữu hạn điểm với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú nên tơi chọn đề tài: "Một số tính chất tập hữu hạn điểm? ?? để tìm hiểu, nghiên... 27, Chapter 2) Những tập đại số thỏa mãn tính chất sau: - Nếu X,Y hai tập đại số X ∪Y tập đại số - Nếu {Xα }α∈∧ họ tập đại số ∩α∈∧ Xα tập đại số 17 - Tập 0/ An tập đại số Chứng minh: Giả sử