“Nếu hôm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ” Liên hệ 090 328 8866 | Fb Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt CHUYÊN ĐỀ 2 LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT BÀI 13 TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU T[.]
THAM GIA NHÓM FACEBOOK OU P CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT VN GR BÀI 13 TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA (CAUCHY – SCHWARZ) Bất đẳng thức Bunhia Với a, b, x, y số thực Khi ta có: ( ax + by ) ( a + b2 )( x + y ) hay ax + by Dấu " = " xảy (a + b2 )( x + y2 ) a b = x y Bất đẳng thức AM - GM Với n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: a1 + a2 + a3 + + an n a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = = an ➢ Hệ quả: Ta có số bất đẳng thức quen thuộc hệ bất đẳng thức AM-GM sau: ( a + b) 2ab Dấu “=” xảy a = b • a + b2 2ab a + b2 • a + b + c ab + bc + ca a + b + c 2 2 (a + b + c) ab + bc + ca Dấu “=” xảy a = b = c a b + ( ab ) Dấu “=” xảy a = b b a hay a + ( a ) Dấu “=” xảy a = a Ví dụ Cho m = log a ( ) ab , với a , b P = log 2a b + 16 log b a Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ P • 2 Ví dụ Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x2 + y +1 ( x − y ) = Tính P = đạt giá trị lớn A P = B P = C P = − 13 D m = x biểu thức S = x + y − y D P = “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Vngroupschool.com RO G C m = N B m = V A m = U giá trị m 17 44 Ví dụ Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b log a2 +b2 ( a + b ) Giá trị lớn biểu thức P = 2a + 4b − VN GR OU A 10 2 C 10 B 10 10 D SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÉT HÀM ĐẶC TRƯNG PHƯƠNG PHÁP Bước Đưa biểu thức (giả thiết) phương trình bất phương trình chứa mũ logarit dạng f ( u ) = f ( v ) f ( u ) f ( v ) , u , v D , u = u ( x ) ; v = v ( x ) Bước Xét hàm số f ( t ) miền xác định D • Tính f ' ( t ) xét dấu f ' ( t ) • Từ bảng xét dấy, kết luận f hàm đơn điệu D Bước Kết luận • – Phương trình cho có nghiệm u = v – Bất phương trình cho có nghiệm khi: + Nếu f hàm đồng biến D thì: u v + Nếu f hàm nghịch biến D thì: v u • u v Dựa vào phương trình u = v bất phương trình vừa tìm để tìm GTNN, GTLN v u biểu thức P , với P biểu thức đề u cầu tìm GTLN GTNN • Kết luận GTLN, GTNN tìm ✓ Chú ý GTLN GTNN hàm số đơn điệu đoạn a; b • Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến với x a; b y = f ( a ) ; max y = f ( b ) • Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến với x a; b y = f ( b ) ; max y = f ( a ) a ;b a ;b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + 2b A 10 − B 10 − C 10 − D 10 − “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Vngroupschool.com G − ab = 2ab + a + b − a+b N Ví dụ (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log RO U P a ;b a ;b V P THAM GIA NHĨM FACEBOOK THAM GIA NHĨM FACEBOOK OU P Ví dụ Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy y − Tìm giá trị nhỏ biểu thức VN GR S= x + 2y 6y + ln x y A 24 + ln B 12 + ln C + ln D + ln Ví dụ [ĐỀ THPTQG 2020 – 103] Xét số thực không âm x y thỏa mãn x + y.4 x + y −1 Giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x + y A 33 B C 21 D Ví dụ [ĐỀ MH 2020 – L1] Có cặp số nguyên ( x; y ) 41 thỏa mãn x 2000 log ( x + 3) + x = y + y ? A 2019 B C 2020 D BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM PT MŨ VÀ LOGARIT Ví dụ Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b A 25 Câu Cho m = log a B 33 ( C 30 D 17 ) ab , với a , b P = log 2a b + 16 log b a Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ giá trị m A m = Câu B m = C m = D m = Cho x, y số thực dương thỏa mãn log ( x + y ) + log ( x − y ) Tìm giá trị nhỏ Pmin U 10 RO D Pmin = G C Pmin = N B Pmin = −4 V A Pmin = P biểu thức P = x − y Câu Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y + log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A 1+ 10 B 2+ C 3+ 30 D 1+ “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Vngroupschool.com THAM GIA NHÓM FACEBOOK OU P Câu Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu VN GR thức P = x + y A Câu B C D Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A Câu B D C 16 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A Câu B 2 Cho số thực a, b thỏa mãn a 1, b Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P= 27 ( 2log ab a + log ab b ) + 4log a ab A Pmin = 36 Câu D C B Pmin = 24 C Pmin = 48 Cho hai số thực a b Biết biểu thức T = D Pmin = 32 a + log a đạt giá trị lớn M log ab a b có số thực m cho b = a m Tính P = M + m A M − m = Câu 23 B M − m = 81 16 C M − m = 19 D M − m = 51 16 [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD&ĐT] Xét số thực a, b thỏa mãn điều kiện a b a Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = log 2a ( a ) + 3logb b b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Câu 10 Cho x, y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = x + y A Pmin = B Pmin = 2 + C Pmin = + D Pmin = 17 + D S = 32 U C S = RO B S = G 16 V N A S = P b Câu 11 Cho hai số thực a, b thỏa mãn a b biểu thức P = log a a − 4log a a + đạt giá trị 4 b nhỏ Tính S = a + b Câu 12 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét số thực dương a , b thỏa mãn log − ab = 2ab + a + b − a+b Tìm giá trị nhỏ Pmin P = a + 2b A Pmin = 10 − B Pmin = 10 − C Pmin = 10 − D Pmin = “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Vngroupschool.com 10 − THAM GIA NHÓM FACEBOOK log 3a + 2b +1 ( 9a + b + 1) + log ab +1 ( 3a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b D 2 Câu 14 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy y − Giá trị nhỏ biểu thức A P= B ( 2x + y ) x + ln C x + 2y a + ln b Tích ab y A 45 B 115 C 108 D 81 Câu 15 [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện − xy log3 = 3xy + x + y − Tìm giá trị nhỏ Pmin P = x + y x + 2y A Pmin = 11 − 19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 1 Câu 16 Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn 3xy −1 − 3 biểu thức P = x + y A − B 10 + 10 18 11 − 29 11 − D Pmin = 21 x+2 y = − xy − x − y Tìm giá trị nhỏ C 15 − 20 D −4 Câu 17 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y log x2 + y ( x + y ) Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Tính M + m A Pmin = C Pmin = B Pmin = D Pmin = 10 Câu 18 [ĐỀ THPTQG 2020 – 103] Xét số thực không âm x y thỏa mãn x + y.4 x + y −1 Giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x + y A 33 B C 21 Câu 19 [ĐỀ MH 2020 – L1] Có cặp số nguyên D ( x; y ) 41 thỏa mãn x 2000 log ( x + 3) + x = y + y ? C 2020 phương trình x1 , x2 bx −1 x = b x có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 ( x1 + x2 )( x3 + x4 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 3a + 2b A 12 B 46 C 44 D 22 “Nếu hôm chưa học được gì thì đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Vngroupschool.com thỏa mãn P +1 U = ( 9a ) RO Câu 20 Cho số nguyên dương a, b lớn Biết phương trình a x D G B N A 2019 V VN GR OU P Câu 13 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a , b thỏa mãn ... nhỏ Pmin biểu thức P = log 2a ( a ) + 3logb b b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Câu 10 Cho x, y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ Pmin... Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P= 27 ( 2log ab a + log ab b ) + 4log a ab A Pmin = 36 Câu D C B Pmin = 24 C Pmin = 48 Cho hai số thực a b Biết biểu thức T = D Pmin = 32 a + log a... thực dương thỏa mãn log ( x + y ) + log ( x − y ) Tìm giá trị nhỏ Pmin U 10 RO D Pmin = G C Pmin = N B Pmin = −4 V A Pmin = P biểu thức P = x − y Câu Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn