Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mu c Lu c Mo’ d ¯`ˆ au ˜ m) òi (lo Chu.o.ng Phu.o.ng pha ´ p su’ du.ng tı ńh chˆ at `m lˆ ˜ y bâ´t d¯˘a’ng th´ ˜ m) òi (lo u.c sinh bo’.i ha`m lˆ 1.1 Th´ u tu s˘a´p d¯u.o c cu’a da 1.2 Bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c Karamata 11 ˜ m 19 òi va` ha`m lo 1.3 Gió.i thiê.u mô.t sô´ ha`m lˆ òi 19 1.3.1 Mô.t sô´ ha`m lˆ ˜ m 19 1.3.1 Mô.t sô´ ha`m lo 1.4 Baì tâ.p 20 ´ p lu a cho.n tham sˆ o´ 24 Chu.o.ng Phu.o.ng pha 2.1 Ca ´ c da.ng toa ´ n ch´ u a tham sô´ d¯ô.c lâ.p 25 2.1.1 Tham sô´ chı’ thuô.c mô.t vê´ cu’a bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c 25 2.1.2 Tham sô´ co ´ hai vê´ cu’a bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c 30 ´ c 36 2.2 Ca ´ c da.ng toa ´ n ch´ u.a tham phu thuô.c vaò tham sô´ kha 2.3 Baì tâ.p .42 Chu.o.ng Phu.o.ng pha ´ p su’ du.ng tı ńh chˆ a´t cu’a `m d ¯o.n d ¯iˆ e.u 45 3.1 Ha`m d¯o.n d¯iê.u 45 ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh 49 3.2 Tıńh d¯o.n d¯iê.u cu’a ha`m ca 3.2.1 Ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh 50 3.2.2 Ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh suy rô.ng 50 ´ c d¯a th´ u.c d¯ôí x´ u.ng so câ´p 55 3.3 Tıńh d¯o.n d¯iê.u cu’a ha`m ca ´ p hı`nh ho.c 62 Chu.o.ng Phu.o.ng pha 4.1 Hı`nh ho.c ho ´ a ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh .62 ´ p kha ´ c 65 4.2 Mô.t sô´ phu.o.ng pha 4.1 Baì tâ.p .72 Kˆ e´t luˆ a.n cu’a luˆ a.n v˘ an .73 Ta ì liˆ e.u tham kha’o 74 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com àu Mo’ d ¯ˆ - T) la` mô.t nh˜ Bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c (BD u.ng nô.i dung quan tro.ng chu.o.ng ˜ ng v` u.u ma` cu u.a la` mô.t trı`nh toa ´ n phô’ thông, no ´ v` u.a la` d¯ôí tu.o ng d¯ê’ nghiên c´ èu lıñh vu c kha u.ng u ´.ng du.ng nhiˆ ´ c cu’a toa ´ n ho.c công cu d¯˘ać lu c, vó.i nh˜ è ch´ ´ n vˆ u ng minh Trong ca ´ c d¯`ê thi cho.n ho.c sinh gio’i toa ´ n o’ ca ´ c câ´p, nh˜ u ng baì toa - T thu.ò.ng xuâ´t hiê.n nhu mô.t da.ng toa ´ n kha ´ quen thuô.c, nhu.ng d¯ê’ tı`m lò.i BD gia’i không pha’i la` mô.t viê.c dˆ˜e da`ng - T cu - T d¯ã d¯u.o c kha ˜ ng èu taì liê.u d¯ˆ è câ.p va` ca è BD ´ nhiˆ ´ c baì tâ.p vˆ Ly ´ thuyê´t BD - T la` phˆ àn nô.i ´ p ch´ u.ng minh BD kha ´ phong phu ´ , d¯a da.ng, d¯o ´ ca ´ c phu.o.ng pha èu taì liê.u dung quan tro.ng thu ò ng g˘a.p nhiˆ - T ho˘a.c sa -T ´ p ch´ u ng minh BD ´ ng ta.o nh˜ u.ng BD Mô.t nh˜ u ng phu o ng pha - T mó.i la` viê.c la`m ch˘a.t BD - T A < B (tu.o.ng tu vó.i BD - T A > B, A ≤ àn ch´ Gia’ su’ ta co ´ (ho˘a.c cˆ u.ng minh) BD -T u c C cho A < C < B, thı` ta no ´ i r˘a` ng BD B, A ≥ B) Nêú tı`m d¯u o c biê’u th´ -T - T th´ th´ u nhâ´t d¯ã d¯u.o c la`m ch˘a.t (nghiêm ng˘a.t) bo’.i BD u hai va` hiê’n nhiên, BD - T th´ - T th´ u BD u hai Viê.c ch´ u.ng minh d¯u.o c BD u hai cho th´ u nhâ´t d¯u.o c suy t` - T th´ - T mó.i u nhâ´t va` d¯`ông thò.i sa ´ ng ta.o nh˜ u.ng BD ta mô.t ca ´ ch ch´ u.ng minh BD - T la` râ´t co ´ p d¯ê’ la`m ch˘a.t BD ´ ý nghıã Do d¯ó, viê.c tı`m ca ´ c phu.o.ng pha - ó cu ˜ ng la` nô.i dung ma` luâ.n v˘an na`y d¯ˆ è câ.p D òm ca àn mu.c lu.c, Mo’ d¯`âu, chu.o.ng nô.i dung, Kê´t Luâ.n v˘an da`y 74 trang, gˆ ´ c phˆ luâ.n va` Taì liê.u tham kha’o ˜ m) òi (lo Chu.o.ng 1: Phu.o.ng pha ´ p su’ du.ng tıńh chˆ a´t cu’a `m lˆ - T ma` mô.t sô´ - ây la` phu.o.ng pha ´ p co ba’n va` quan tro.ng nhâ´t d¯ê’ la`m ch˘a.t BD D ˜ ng d¯ã d¯`ê câ.p, d¯˘a.c biê.t la` taì liê.u [1] Phˆ àn d¯o taì liê.u hiê.n ha`nh cu ´ ng go ´ p cu’a luâ.n ´ p na`y b˘a` ng nh˜ u.ng vı´ du v˘an, chu’ yêú la` viê.c cu thê’ ho ´ a ly ´ thuyê´t cu’a phu o ng pha - T kha è BD va` baì tâ.p cu thê’, co ´ thê’ ta ´ ch riêng tha`nh nh˜ u.ng baì tâ.p vˆ ´ phong phu ´ - T d¯ã d¯u o c ta.o t` - T quen thuô.c, la` tru ò ng ho p riêng cu’a ca èu BD ´ c BD u Kha ´ nhiˆ ˜ ng d¯ã d¯u.a d¯u.o c kha àn cuôí chu.o.ng, luâ.n v˘an cu nh˜ u.ng minh ho.a na`y Trong phˆ ´ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - T kha ˜ m) d¯ê’ ba.n d¯o.c co èu ha`m lˆ òi (lo èu BD ´ c nhiˆ ´ thê’ áp du.ng sa ´ ng ta.o nhiˆ Chu o ng 2: Phu o ng pha ´ p lu a cho.n tham sˆ o´ ´ p na`y bo’.i mô.t vı´ du sau d¯ây: Gia’ su’ Co ´ thê’ minh ho.a ý tu o’ ng cu’a phu o ng pha u.c a, b, c la` sô´ không âm co ´ tô’ng b˘a` ng Dˆ˜e da`ng ch´ u.ng minh d¯u.o c bâ´t d¯˘a’ng th´ √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca - T sau d¯ây luôn d¯u Nhu vâ.y, vó.i k ≥ thı` BD ´ ng ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca - T trên vâñ d¯u Mô.t câu ho’i tu nhiên d¯u.o c d¯˘a.t ra, vó.i k < thı` naò BD ´ ng? - T trên vâñ d¯úng cho ta mô.t Viê.c tı`m d¯u.o c sô´ k (k < ) nho’ nhâ´t cho BD - T ´ p d¯ê’ la`m ch˘a.t BD phu.o.ng pha - ó cu ˜ ng la` nô.i dung ma` luâ.n v˘an d¯ˆ è câ.p chu.o.ng na`y, d¯ó tham sô´ D k d¯u.o c xe ´ t o’ hai da.ng, la` tham sô´ d¯ô.c lâ.p ho˘a.c co`n phu thuô.c vaò mô.t tham sô´ kha ´ c ´ p su’ du.ng tıńh chˆ a´t cu’a `m d¯o.n d¯iê.u Chu.o.ng 3: Phu.o.ng pha ˜ ng d¯a ˜ d¯u.o c mô.t sô´ taì liê.u d¯ˆ è câ.p, d¯˘a.c biê.t la` taì liê.u [1] ´ p na`y cu Phu.o.ng pha àn d¯o ´ a mô.t sô´ Phˆ ´ ng go ´ p cu’a luâ.n v˘an o’ chu.o.ng na`y chu’ yêú la` viê.c hê thôńg ho phu o ng pha ´ p s˘a´p th´ u tu ca ´ c d¯a.i lu o ng trung bı`nh va` cu thê’ ho ´ a ly ´ thuyê´t cu’a - T mó.i d¯u.o c luâ.n èu BD ´ p b˘a` ng nh˜ u.ng vı´ du va` baì tâ.p cu thê’ Kha ´ nhiˆ phu.o.ng pha - T b˘à ng ca ´ p na`y v˘an sa ´ ng ta ´ c, thông qua viê.c la`m ch˘a.t BD ´ ch su’ du.ng phu.o.ng pha Chu.o.ng 4: Phu.o.ng pha ´ p hı`nh ho.c - T d¯a.i sô´ ´ p la`m ch˘a.t BD Nô.i dung chu o ng na`y d¯`ê câ.p d¯êń mô.t sô´ phu.o.ng pha u hı`nh ho.c, vó.i nh˜ u.ng vı´ du minh ho.a kha ´ thông qua nh˜ u.ng u.ó.c lu.o ng tru c quan t` cu thê’ ˜ Tri.nh Luâ.n v˘an d¯u.o c hoa`n tha`nh du.ó.i su hu.ó.ng dâñ khoa ho.c cu’a Tiêń sy - ào Chiêń - Ngu ò i Thˆ ày râ´t nghiêm kh˘ać va` tâ.n tâm công viê.c, ngu ò.i Thˆ ày D èu ý tu.o’.ng hay va` không chı’ giu ´ p d¯õ., cung câ´p taì liê.u, go i mo’ cho ta ´ c gia’ nhiˆ ˜ ng nhu nh˜ èn d¯a.t nhiˆ èu kiêń th´ ´ u, cu u.ng kinh nghiê.m nghiên c´ u.u khoa truyˆ u.c quı´ ba ho.c ma` co`n chı’ ba’o cho ta ´ c gia’ ta ´ c phong la`m viê.c, thông ca’m, khuyêń khıćh u.ng kho ´ kh˘an chuyên môn va` cuô.c sôńg Chıńh d¯ô.ng viên ta ´ c gia’ vu.o t qua nh˜ vı` vâ.y ma` ta ´ c gia’ luôn to’ lo`ng biê´t o.n chân tha`nh va` su kıńh phu.c sâu s˘ać d¯ôí vó.i - aò Chiêń ˜ Tri.nh D ày gia thˆ ´ o hu.ó.ng dâñ - Tiêń sy ˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biê´t o.n chân tha`nh d¯êń Ban Gia ´ m Hiê.u Nhân d¯ây, ta ´ c gia’ cu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - a.i ho.c, khoa Toa - a.i ho.c Quy Nho.n, Pho`ng d¯aò ta.o D - a.i ho.c va` sau D ´ n, quı´ tru.ò.ng D ày cô gia èu kiê.n thuâ.n lo i thò i gian ta Thˆ ´ o tru c tiê´p gia’ng da.y d¯ã ta.o mo.i d¯iˆ ć gia’ tham gia kho ´ a ho.c - `ông thò.i ta ˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biê´t o.n d¯êń UBND Tı’ nh Gia Lai, So’ ´ c gia’ cu D Gia ´ o du.c va` d¯aò ta.o Tı’ nh Gia Lai, Ban Gia ´ m Hiê.u tru.ò.ng THPT Ia Grai, d¯ã d¯ô.ng èu thò.i gian nghiên c´ èu kiê.n thuâ.n lo i d¯ê’ ta ´ c gia’ co ´ nhiˆ u.u va` viên va` ta.o mo.i d¯iˆ è taì hoa`n tha`nh d¯ˆ Trong qua ´ trı`nh hoa`n tha`nh luâ.n v˘an na`y, ta ´ c gia’ co`n nhâ.n d¯u.o c su quan tâm òng nghiê.p, ca d¯ô.ng viên cu’a me , vo , ca ´ c anh chi em gia d¯ı`nh, ca ´ c ba.n d¯ˆ ´ c anh - a.i ho.c Qui Nho.n Ta ´ a VII, VIII, IX cu’a tru.ò.ng D ´ c gia’ chi em ló.p cao ho.c kho xin chân tha`nh ca’m o n tâ´t ca’ su quan tâm va` d¯ô.ng viên d¯o ´ - ê’ hoa`n tha`nh luâ.n v˘an, ta D ´ c gia’ d¯ã râ´t cô´ g˘ańg tâ.p trung nghiên c´ u.u, song ˜ ng nhu vˆ è n˘ang lu c nên ch˘ać ch˘ań luâ.n v˘an èu ha.n chê´ vˆ è thò.i gian, cu ´t ı nhiˆ èu vâń d¯ˆ è chu.a d¯`ê câ.p d¯êń va` kho ´ tra ´ nh kho’i nh˜ u.ng thiêú so ´ t nhâ´t d¯.inh co`n nhiˆ ày cô va` nh˜ u ng go ´ p ý cu’a ba.n Ta ´ c gia’ râ´t mong nhâ.n d¯u o c su chı’ ba’o cu’a quı´ thˆ è luâ.n v˘an na`y d¯o.c vˆ Quy Nho.n, tha ´ ng 02 n˘ am 2008 Ta ´ c gia’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chu.o.ng ap su˙’ du.ng t´ınh chˆ Phu.o.ng ph´ a´t òi (l˜ h` am lˆ om) 1.1 ˜ y bˆ ´p d a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c a ¯u.o c cu’a da Th´ u tu s˘ ˜ m) òi (lo `m lˆ sinh bo’.i àm d¯i.nh mô.t Tru.ó.c hê´t, vó.i hai sô´ thu c a ≥ b, ta su’ du.ng kı´ hiê.u I(a; b) d¯ê’ ngˆ bôń tâ.p ho p (a; b), [a; b), (a; b] va` [a; b] ˜ d¯u.o c ch´ u.ng minh: Trong [1], hai kê´t qua’ sau d¯ây d¯a - i.nh ly òi) trên `m lˆ o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ (ha D ´ 1.1.1 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ àn {uk } o i x1 < x2 Khi d¯ó, v´ o i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 = u0 < u1 < u2 < < un < ˜ y sˆ àn {vk } va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 (1.1) x1 + x2 ; x2 : x1 + x2 < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 (1.2) uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, , n (1.3) f (u0 ) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ ≥ f (un ) + f (vn ) (1.4) cho ta d¯`êu co ´ ˜ y gia’m ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, , n, la ` mˆ o.t da No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - i.nh ly ˜ m) trên `m lo o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) (ha D ´ 1.1.2 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ àn {uk } o.i x1 < x2 Khi d¯ó, v´ o.i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < < un < x1 + x2 ˜ y sˆ àn {vk } ; x2 : va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 cho uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, , n, ta d¯`êu co ´ f (u0 ) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) f (un ) + f (vn ) (1.5) ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, , n, la ˜ y t˘ No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da ` mˆ o.t da ang - i.nh lı´ 1.1.2, - i.nh lı´ 1.1.1 ho˘a.c D u.ng kê´t qua’ t` u D Nhâ.n xe ´t r˘a` ng, d¯ê’ co ´ d¯u.o c nh˜ ˜ y {uk } va` {vk } thoa’ èu quan tro.ng tru ó c hê´t la` pha’i xây du ng trên I(a; b) hai da d¯iˆ ˜ n nh˜ èu kiê.n cu’a d¯i.nh lı´ Sau d¯o ma u.ng d¯iˆ ´ la` viê.c tı`m nh˜ u.ng ha`m sô´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ ho˘a.c f (x) trên I(a; b) d¯ê’ áp du.ng ˜ y sô´ va` ha`m u.ng da Du.ó.i d¯ây la` mô.t vaì minh ho.a cho hai d¯i.nh lı´ trên, vó.i nh˜ ´ thê’ tı`m nh˜ u.ng kê´t qua’ kha ´ c, phong phu ´ ho.n sô´ d¯o.n gia’n nhâ´t Ba.n d¯o.c co àn lu.o t ´ c d¯iê’m uj va` vj lˆ Vó.i hai sô´ thu c cho tru.ó.c x1 < x2 , hı`nh a’nh cu’a ca x + x2 èu” vˆ è trung d¯iê’m cu’a d¯oa.n [x1x2 ] la` trên tru.c sô´ giu ´ p ta xây du ng ”tiêń d¯ˆ - inh lı´ 1.1.1 va` D - inh lı´ ˜ n nh˜ ˜ y {uk } va` {vk } thoa’ ma èu kiê.n cu’a D u.ng d¯iˆ d¯u.o c hai da 1.1.2 nhu sau: Vı ´ du 1.1 u0 = x1 , u1 = x1 + (n + 2)x1 + nx2 x2 − x1 x2 − x1 , , u n = x1 + n = ; 2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) v0 = x2, v1 = x2 − nx1 + (n + 2)x2 x2 − x1 x2 − x1 , , = x − n = 2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) Bây giò., xe ´t ha`m sô´ f (x) = x2; x ∈ R Ta co ´ f (x) = > 0; ∀x ∈ R - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯ó, theo D ´ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.1 (2n + 1)x1 + x2 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 ≥ 2(n + 1) x21 + x22 ≥ x1 + (2n + 1)x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2 ≥ + 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 + ≥ ; ∀x1, x2 ∈ R 2(n + 1) 2 + ··· Tiê´p tu.c, nêú xe ´t ha`m sô´ f (x) = Ta co ´ f (x) = ; x > x > 0; ∀x > x3 - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯ó, theo D ´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.2 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) + ≥ + ≥ + ≥ ··· x1 x2 (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2 ≥ 2(n + 1) 2(n + 1) + ≥ ; ∀x1, x2 > 0, n ≥ (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 Bây giò., xe ´t ha`m sô´ f (x) = Ta co ´ f (x) = − √ x; x > √ > 0; ∀x > 4x x - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯ó, theo D ´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.3 √ √ x1 + x2 ··· (2n + 1)x1 + x2 + 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 + 2(n + 1) x1 + (2n + 1)3x2 2(n + 1) nx1 + (n + 2)x2 ≤ 2(n + 1) 2nx1 + 2x2 + 2(n + 1) 2x1 + 2nx2 2(n + 1) x1 + x2 ; ∀x1, x2 > n ≥ Tiê´p tu.c, nêú xe ´t ha`m sô´ f (x) = sinx ; x ∈ (0; π) + sinx Ta co ´ sinx + + cos2 x < 0; ∀x ∈ (0; π) (1 + sinx)3 - i.nh lı´ 1.1.1, ta co Do d¯ó, theo D ´ f (x) = − LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 1.4 x1 + (2n + 1)x2 (2n + 1)x1 + x2 sin sinx2 sinx1 2(n + 1) 2(n + 1) + + ≤ (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 + sinx1 + sinx2 + sin + sin 2(n + 1) 2(n + 1) nx1 + (n + 2)x2 (n + 2)x1 + nx2 sin sin 2(n + 1) 2(n + 1) + (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 + sin + sin 2(n + 1) 2(n + 1) x1 + x2 sin ≤2 x1 + x2 ; ∀x1, x2 ∈ (0; π), n ≥ 1 + sin sin ··· - i.nh lı´ 1.1.1 va` D - i.nh lı´ 1.1.2 Co Bây giò., tro’ la.i vó.i D ´ thê’ ch´ u.ng minh d¯u.o c r˘a` ng kê´t qua’ (1.4) va` (1.5) vâñ d¯u ´ ng nêú thay (1.3) bo’.i mô.t gia’ thiê´t ma.nh ho.n Ta co ´ ca ´ c kê´t qua’ sau d¯ây: - i.nh ly òi) trên `m lˆ o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) ≥ (ha D ´ 1.1.3 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ àn {uk } o i x1 < x2 Khi d¯ó, v´ o i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 = u0 < u1 < u2 < < un < ˜ y sˆ àn {vk } va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 x1 + x2 ; x2 : x1 + x2 < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 cho x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + , (1.6) ta d¯`êu co ´ f (u0) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ · · · ≥ f (un ) + f (vn ) ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la ˜ y gia’m No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da ` mˆ o.t da u ca ´ c gia’ thiê´t, ta co ´ Ch´ u.ng minh Vó.i mô˜i j ∈ {0, 1, · · · , n}, t` uj < uj+1 < uj+1 + vj+1 u0 + v0 x1 + x2 = < vj+1 < vj 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bây giò., vó.i mô˜i j ∈ {0, 1, , n}, d¯˘a.t  u j+1 − uj = j+1 vj − vj+1 = δj+1 Thê´ thı` 0< j+1 δj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, , n} - i.nh lı´ Lagrange, ta co Bây giò., vó.i mô˜i j ∈ {0, 1, , n}, theo D ´ f (uj+1 ) − f (uj ) = f (cj+1 )(uj+1 − uj ) = f (cj+1 ) j+1 , vó i cj+1 ∈ (uj ; uj+1); f (vj ) − f (vj+1 ) = f (dj+1 )(vj − vj+1 ) = f (dj+1 )δj+1 , vó.i dj+1 ∈ (vj+1 ; vj ) ´ u.a, vı` cj+1 < dj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, , n} va` f (x) ≥ 0, nên ta co Ho.n n˜ f (cj+1 ) f (dj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, , n} Do d¯ó, ta co ´ f (uj+1 ) − f (uj ) f (vj ) − f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, , n}, hay f (uj ) + f (vj ) ≥ f (uj+1 ) + f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, , n} èu pha’i ch´ Ta co ´ d¯iˆ u.ng minh Tu.o.ng tu , ta co ´ - i.nh ly ˜ m) trên `m lo o.c `m sˆ o´ y = f (x) co ´ f (x) (ha D ´ 1.1.4 Gia’ su’ cho tru.´ ˜ y sˆ àn {uk } o.i x1 < x2 Khi d¯ó, v´ o.i mo.i da o´ t˘ ang dˆ I(a; b) va ` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´ x1 + x2 x1 ; : x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < · · · < un < x1 + x2 ˜ y sˆ àn {vk } ; x2 : va ` da o´ gia’m dˆ x1 + x2 < < vn−1 < · · · < v1 < v0 = x2 cho x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + , ta d¯`êu co ´ f (u0) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) ··· f (un ) + f (vn ) ˜ y t˘ ˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la ` mˆ o.t da ang No ´ i ca ´ ch kha ´ c: Da LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 60 √ abc + abd + acd + bcd √ ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ (a bc + ab2c + abc2 + a2bd + ab2 d+ 4S +abd2 + a2 cd + ac2d + acd2 + b2 cd + bc2 d + bcd2 ) + √ 6 ˜ y ch´ Ta u ng minh √ (a bc + ab2c + abc2 + a2 bd + ab2d + abd2 + a2cd+ 4S √ ⇔ +ac2d + acd2 + b2 cd + bc2 d + bcd2 ) + √ ≤ √ 6 6 (a bc + ab2c + abc2 + a2bd + ab2d + abd2 + a2cd + ac2 d + acd2 + 4S +b2 cd + bc2 d + bcd2 ) ≤ √ ⇔ a2bc+ ab2c+ abc2 + a2 bd+ ab2d + abd2 + a2 cd+ ac2 d + acd2 + b2 cd + bc2 d + bcd2 ≤ S 2 2 2 2 ⇔ 3(a bc+ab c+abc +a bd+ab d+abd +a cd+ac d+acd + b2 cd + bc2 d + bcd2 ) ≤ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 Thâ.t vâ.y, d¯˘a.t X = ab + cd; Y = ac + bd; Z = ad + bc, thı` (ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 = (X + Y + Z)2 ≥ 3(XY + Y Z + ZX) hay ⇔ 3(a2bc+ab2c+abc2 +a2bd+ab2d+abd2 +a2cd+ac2d+acd2+ b2 cd + bc2 d + bcd2 ) ≤ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 Khi d¯ó, bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c (*) d¯u.o c ch´ u.ng minh u.ng minh Bây giò ta ch´ a+b+c+d ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ ⇔ ab + ac + ad + bc + bd + cd (a + b + c + d)2 ≤ 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 61 ⇔ 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≤ 3(a + b + c + d)2 ⇔ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≤ 3(a2 + b2 + c2 + d2 ) ⇔ (a − b)2 + (a − c)2 + (a − d)2 + (b − c)2 + (d − b)2 + (c − d)2 ≥ èu na`y hiê’n nhiên d¯u d¯iˆ ´ ng Ta ch´ u.ng minh vê´ co`n la.i √ abcd ≤ abc + abd + acd + bcd Thâ.t vâ.y, theo bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c gi˜ u.a trung bı`nh cô.ng va` trung bı`nh nhân, ta co ´ 1 1 + + + ≥4 a b c d abcd 1 1 + + + a b c d ≥ (abcd) (abcd)3 ⇒ abc + abd + acd + bcd ≥ (abcd)3 ⇒ √ abc + abd + acd + bcd ≥ abcd ⇒ ˜ y bâ´t d¯˘a’ng th´ u.ng vó.i n = 4) d¯u.o c ch´ u.ng minh Vâ.y da u.c (´ (abcd) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 62 Chu.o.ng ap h`ınh ho.c Phu.o.ng ph´ èu bâ´t d¯˘a’ng th´ Kha ´ nhiˆ u.c d¯a.i sô´ d¯u.o c la`m ch˘a.t nhò vaò nh˜ u.ng nhâ.n xe ´t tru c quan t` u hı`nh ho.c Du.ó.i d¯ây la` mô.t sô´ vı´ du minh ho.a 4.1 H`ınh ho.c h´ oa c´ ac d ¯a.i lu.o ng trung b`ınh Trong m˘a.t ph˘a’ng to.a d¯ô Oxy cho ba d¯iê’m A(a; b), B(c; d), X(x; y) Go.i M(p; q) la` d¯iê’m thuô.c d¯oa.n AB (M kha ´ c B) Khi d¯o ´ d¯iê’m M chia d¯oa.n th˘a’ng AB theo tı’ sô´ m ≤ va` ta co ´ b − md a − mc , q= 1−m 1−m àn lu.o t ca Bây giò., trên d¯oa.n MX lâý lˆ ´ c d¯iê’m X1 (x1 ; y1), X2 (x2; y2 ), · · · , Xn (xn ; yn ) cho MX ≥ MX1 ≥ MX2 ≥ · · · ≥ MXn ≥ p= ˜ chia d¯oa.n MX Khi d¯o ´ , nêú X1 kha ´ c X, thı` vó.i mô˜i i = 1, 2, · · · , n, d¯iê’m Xi se theo tı’ sô´ ki ≤ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 63 ˜ ra`ng Ro k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ kn ≤ va` vó.i mô˜i i = 1, 2, · · · , n, ta co ´ xi = p − ki x q − ki y , yi = − ki − ki Do d¯ó XA + XB = Xi A + Xi B = (x − a)2 + (y − b)2 + (xi − a)2 + (yi − b)2 + MA + MB = AB = (x − c)2 + (y − d)2 =: f0 (xi − c)2 + (yi − d)2 =: fi (i = 1, n) (a − c)2 + (b − d)2 =: f ∗ Theo tıńh châ´t hı`nh ho.c ph˘a’ng, ta thu d¯u.o c bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c sau d¯ây f0 ≥ f1 ≥ · · · ≥ fn ≥ f ∗ ˜ y sˆ o.i mˆ oí sˆ o´ m ≤ va ` da o´ Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 4.1 Cho ca ´ c sˆ o´ thu c a, b, c, d, x, y V´ ñ k1 , k2 , · · · , kn tho’a ma k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ kn ≤ 0, d¯˘ a.t b − md a − mc , q= , 1−m 1−m p − ki x q − ki y , yi = , xi = − ki − ki p= f0 = (x − a)2 + (y − b)2 + (x − c)2 + (y − d)2 fi = (x − a)2 + (y − b)2 + (x − c)2 + (y − d)2 f∗ = (a − c)2 + (b − d)2 Thê´ thı`, ta co ´ f0 ≥ f1 ≥ · · · ≥ fn ≥ f ∗ Nhˆ a.n xe ´ t 4.1 Cho nu’.a d¯u.ò.ng tro`n tâm O, d¯u.ò.ng kıńh BC, ba ´ n kıńh OD vuông go ´ c vó.i BC ˜ tiê´p tuyêń AE vó.i nu’.a d¯u.ò.ng Trên tia CB lâý d¯iê’m A cho B n˘à m gi˜ u.a A,C Ve ˜) tro`n Ha EF vuông go ´ c vó.i BC (hı`nh ve LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 64 - ˘a.t AB = a1, AC = a2 Ta co D ´ • AD = √ AO2 + OD2 = = AB + AC = (AO − OD)2 + (AO + OD)2 = a21 + a22 (AO − OB)2 + (AO + OC)2 Vâ.y AD la` trung bı`nh bı`nh phu.o.ng cu’a a1, a2 • AO = a1 + a2 AB + AC = 2 Vâ.y AO la` trung bı`nh cô.ng cu’a a1, a2 √ √ • AE = AB.AC = a1 a2 Vâ.y AE la` trung bı`nh nhân cu’a a1 va` a2 • AF = AE a1.a2 = a +a = 1 AO + a1 a2 èu hoà cu’a a1 va` a2 Vâ.y AF la` trung bı`nh d¯iˆ Ta co ´ AD > AO > AE > AF Do d¯ó ta co ´ bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c sau Bˆ a´t d ¯˘ a’ ng th´ u.c 4.2 Cho a1 > 0, a2 > 0, a1 = a2 Thê´ thı` a1 + a2 √ a21 + a22 > > a1a2 > 1 2 + a1 a2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 65 4.2 o´ phu.o.ng pha Mˆ o.t sˆ ´ p kha ć èu baì tâ.p, ch´ Trong qua ´ trı`nh da.y va` ho.c toa ´ n, chu ´ ng ta d¯ã gia’i nhiˆ u.ng minh - T, nhu.ng thông thu.ò.ng chı’ d` èu BD u.ng la.i o’ nh˜ ı nhiˆ u.ng baì tâ.p rò.i ra.c d¯ó, ´t ´ ng vó i nhau, d¯˘a.c biê.t la` môí liên hê tr˘an tro’ , suy ngâ˜m tı`m môí liên hê gi˜ u a chu ´ c baì toa ´ n d¯a.i sô´ vó i ca ´ c baì toa ´ n hı`nh ho.c, t` u d¯ó co ´ thê’ khai tha ´ c va` sa ´ ng gi˜ u a ca èu baì toa ày thu ta.o nhiˆ ´ n mó.i d¯ˆ ´ vi Sau d¯ây la` nh˜ u.ng vı´ du minh ho.a π -ˆ oí v´ o.i bˆ , ta luˆ on co ´ a´t kı` x ∈ 0; Ba ì toa ´ n 4.1 (Ba ì toa ´ n d¯a.i sˆ o´) D x 2x x < tan < < sinx < x 2 π Ch´ u.ng minh Du.ó.i d¯ây chı’ ch´ u.ng minh hai bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c sinx > x 2x 2x , va` tan < π 2 π - ˘a.t f (x) = sinx la` ha`m sô´ xa a) D ´ c d¯.inh va` liên tu.c 0; Ta co ´ x f (x) = xcosx − sinx x2 π - ˘a.t g(x) = xcosx − sinx 0; , d¯o D ´ g (x) = −xsinx ≤ ⇒ g(x) nghi.ch π π biêń d¯oa.n 0; nên g(x) < g(0) = vó.i x ∈ 0; 2 π 2x π vó i Do d¯ó f (x) < vó i mo.i x ∈ 0; , suy f (x) > f ( = hay sinx > 2 π π π x ∈ 0; x π ´ c d¯i.nh va` liên tu.c trên 0; b) D˘a.t h(x) = tan xa x 2 Ta co ´ x − sinx π h (x) = > 0, ∀x ∈ 0; x 2x2cos2 nên ha`m sô´ h(x) d¯`ông biêń, d¯o ´ x 2x π π vó i x ∈ 0; h(x) < h( = hay tan < π π Bây gió xe ´ t tam gia ´ c ABC vó.i ca ´ c kı´ hiê.u quen biê´t, BC = a, CA = b, AB = c ´ c go ´ c tam gia ´ c tıńh b˘a` ng radian; r, R, p, S th´ u tu la` Go.i A, B, C la` d¯ô ló.n ca ´ n kıńh d¯u.ò.ng tro`n ngoa.i tiê´p, nu’.a chu vi va` diê.n ba ´ n kıńh d¯u.ò.ng tro`n nô.i tiê´p, ba ´.ng la` d¯ô daì d¯u.ò.ng phân gia ´ c, d¯u.ò.ng cao, tich tam gia ´ c; la , , ma, tu.o.ng u ´ n kıńh d¯u.ò.ng tro`n ba`n tiê´p u ´.ng vó.i d¯ı’ nh A d¯u.ò.ng trung tuyêń va` ba LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 66 Ba ì toa ´ n 4.2 Trong tam gia ´ c nho.n ABC, ta luˆ on co ´ p A B C pπ < Acos2 + Bcos2 + Ccos2 < 4R 2 R T` u d¯i.nh ly ´ ha`m sô´ sin quen thuô.c tam gia ´ c ta co ´ sinA + sinB + sinC = Acos2 p R A A A A < 2tan cos2 = sinA < Acos2 2 π Ba ì toa ´ n 4.3 Trong tam gia ´ c ABC nho.n, ta luˆ on co ´ 2p < sinA + rb sinB + rc sinC < π 2p A B C u công th´ u.c = ptan , rb = ptan , rc = ptan , Baì toa ´ n na`y d¯u.o c xây du ng t` 2 A A A < sin < ta d¯u.o c kê´t ho p vó.i kê´t qua’ π 2 √ A A A 2p < sinA = 2psin < 2p π 2 Do d¯ó √ 2p (A + B + C) < π sinA + rb sinB + rc sinC < A+B+C 2p Ba ì toa ´ n 4.4 Trong tam gia ´ c nho.n ABC, ta luˆ on co ´ < 1 1 1 + +hb + +hc + < 2π b c c a a b Baì toa ´ n d¯u.o c xuâ´t pha ´ t t` u kê´t qua’ sinB = hc hb hc hb = , sinA = = , sinC = = c a c b b a va` kê´t qua’ cu’a baì toa ´ n d¯a.i sô´, ta co ´ < sinA + sinB + sinC < π Do d¯o ´ baì toa ń d¯u o c ch´ u ng minh Ba ì toa ´ n 4.5 Trong tam gia ´ c ABC nho.n, ta luˆ on co ´ ab bc ca 12R < + + < 3πR π lc la lb LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 67 u công th´ u.c la = Baì toa ´ n na`y d¯u.o c xây du ng t` A va` kê´t qua’ baì toa ´ n trên b+c 2bccos 2(C + B) R bc R(B + C) 2R(sinB + sinC) b+c π π> = > = A π A π A π−A la − − 2cos 2sin 2 2 πR(B + C) bc 4R B + C > > B+C la π B+C bc 4R ⇒ πR > > la π ˜ ng co Hoa`n toa`n tu.o.ng tu ta cu ´ ⇒ πR > ab ca 4R 4R , πR > > > lc π lb π èu cˆ àn ch´ T` u d¯ó ta suy d¯u.o c d¯iˆ u.ng minh Ba ì toa ´ n 4.6 Trong tam gia ´ c nho.n ABC, ta co ´ π(2R − r) < aA + bB + cC < 4(2R − r) T` u ca ´ c kê´t qua’ A B C = ptan , rb = ptan , rc = ptan 2 B C A = (p − b)tan = (p − c)tan 2 A B C Dâñ d¯êń = r + atan , rb = r + btan , rc = r + ctan 2 Suy ra + rb + rc = 4R + r áp du.ng kê´t qua’ baì toa ´ n d¯a.i sô´ ta d¯u.o c r = (p − a)tan 4R + r = 3r + atan va` B C A + btan + ctan < 3r + (aA + bB + cC) 2 π B C A + btan + ctan > 3r + (aA + bB + cC) 2 2 èu cˆ àn ch´ ´ d¯iˆ u ng minh T` u d¯ó ta co 4R + r = 3r + atan Ba ì toa ´ n 4.7 T´ u diê.n ABCD co ć ´ d¯ˆ o da ì ca ´ c d¯u.` o.ng cao la ` hi (i = 1, 2, 3, 4) Ca a´t ca ´ c ca.nh d¯o ˆí tu.o.ng u ´.ng o’ ca m˘ a.t phˆ an gia ´ c cu’a ca ´ c nhi diê.n (cu’a t´ u diê.n) c˘ ć LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 68 ` khoa’ng ca ´ ch t` u Ei d¯êń hai m˘ a.t bên khˆ ong ch´ u.a Ei d¯iê’m Ei (i = 1, 6) Go.i xi la Ch´ u.ng minh 1 384 ≤6 ≤ x h2 i=1 i i=1 i i=1 hi Khi na ò xa’y ca ´ c dˆ aú d¯˘ a’ ng th´ u.c? àn lu.o t t` ´ c d¯u.ò.ng cao cu’a t´ Go.i h1 , h2 , h3 , h4 la` d¯ô daì ca u diê.n lˆ u L` o.i gia’i ´.ng vó.i d¯u.ò.ng cao hi (i = 1, 2, 3, 4) ca ´ c d¯ı’ nh A, B, C, D; Si la` diê.n tıćh cu’a m˘a.t u àn lu.o t thuô.c ca ´ c ca.nh Ab, AC, AD, BC, BD, CD Gia’ su’ E1 , E2, E3 , E4 , E5 , E6 lˆ ´ ca ´ c hê th´ u c sau va` V la` thê’ tıćh cu’a t´ u diê.n Ta co 3V = (S1 + S2 )x1 = (S1 + S3 )x2 = (S1 + S4 )x3 = (S2 + S3 )x4 = (4.1) = (S2 + S4 )x5 = (S3 + S4 )x6 = Si hi (i = 1, 2, 3, 4) T` u d¯ó ta d¯u.o c 1 1 1 = + ; = + x1 h1 h2 x4 h2 h3 1 1 1 = + ; = + x2 h1 h3 x5 h2 h4 1 1 1 = + ; = + x3 h1 h4 x6 h3 h4 áp du.ng bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c Côsi, ta co ´ nêú a > 0, b > 0, thı` (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) T` u d¯ó theo trên suy 1 ≤2 2+ ; x1 h1 h1 1 ≤2 + 2 x4 h1 h3 1 ≤2 2+ ; x2 h1 h3 1 ≤2 + 2 x5 h2 h4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 69 1 1 1 ≤2 2+ ; ≤2 + 2 x3 h1 h4 x6 h3 h4 u.c trên, ta d¯u.o c Cô.ng t` u.ng vê´ bâ´t d¯˘a’ng th´ ≤6 x2i i=1 i=1 h2i àn d¯ˆ èu Dâú b˘a` ng xa’y va` chı’ h1 = h2 = h3 = h4 ⇔ ABCD la` t´ u diê.n gˆ M˘a.t kha ´ c theo bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c a2 + b2 ≥ (a + b)2 ta co ´ 1 + = x1 x6 1 + h1 h2 Ho.n n˜ u.a ta co ´ i=1 + 1 + h3 h4 ≥ i=1 hi 16 ≥ hi hi i=1 Suy 1 + ≥ x1 x6 128 hi i=1 Ly ´ luâ.n hoa`n toa`n tu.o.ng tu ta co ´ 1 + ≥ x2 x5 128 hi i=1 1 + ≥ x3 x4 128 hi i=1 Cô.ng t` u.ng vê´ ca ´ c bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c trên ta co ´ i=1 ≥ x2i 384 hi i=1 àn d¯ˆ èu Dâú d¯˘a’ng th´ u.c xa’y h1 = h2 = h3 = h4 ⇔ ABCD la` t´ u diê.n gˆ Ba ì toa ´ n 4.8 Cho tam gia ´ c ABC co ´ tro.ng tˆ am G va ` nˆ o.i tiê´p d¯u.` o.ng o.ng trung tuyêń ke’ t` u A, B, C ke ó da ì c˘ a´t d¯u.` o.ng tro `n ngoa.i ba ´ n kıńh R Ca ´ c d¯u.` ` ´ ng Ch´ u ng minh r˘ a ng tiê´p ta.i ca ´ c d¯iê’m A’, B’, C’ tu o ng u √ 1 1 1 ≤ + + + + ≤ R GA GB GC AB AC BC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 70 L` o.i gia’i Mo.i M la` trung d¯iê’m cu’a BC Khi d¯ó AMB ∼ MA C suy MA.MA = MB.MC (4.2) Ky ´ hiê.u a, b, c la` d¯ô daì ba ca.nh cu’a ABC d¯ôí diê.n vó.i ca ´ c d¯ı’ nh A, B, C; co`n ´ ng Nhu vâ.y t` u 4.2 ta co ´ ma , mb, mc la` d¯ô daì ba d¯u ò ng trung tuyêń tu o ng u ma.MA = a2 a2 ⇒ MA = 4ma 1 Ta co ´ GM = AM = ma , vâ.y 3 a2 GA = GM + MA = ma + 4ma Theo bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c gi˜ u.a trung bı`nh cô.ng va` trung bı`nh nhân, ta co ´ a2 GA = ma + ≥2 4ma suy a2 a2 ma = 4ma 4ma √ √ 3 = ≤ GA a BC √ a2 a ⇔ ma = Dâú b˘a` ng xa’y va` chı’ ma = 4ma ´ Ly ´ luâ.n tu.o.ng tu , ta co √ ≤ GB AC √ b Dâú d¯˘a’ng th´ u c xa’y va` chı’ mb = √ ≤ GC AB (4.3) (4.4) (4.5) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 71 √ c Dâú d¯˘a’ng th´ u c xa’y va` chı’ mc = Cô.ng t` u.ng vê´ (4.3), (4.4), (4.5), ta d¯u.o c √ 1 1 1 + + + + ≤ GA GB GB AB AC BC òng thò.i dâú d¯˘a’ng th´ u.c (4.3), (4.4), Dâú d¯˘a’ng th´ u.c xa’y va` chı’ d¯ˆ (4.5) xa’y ra, √ √ √ a b c , mb = , mc = ⇔ ma = 2 2 2 3a 3b 3c , m2b = , m2c = ⇔ m2a = 4     2 2 2     b + c = 2a 2b + 2c − a = 3a ⇔ 2a2 + 2c2 − b2 = 3b2    2a2 + 2b2 − c2 = 3c2 ⇔ a2 + c2 = 2b2    a2 + b2 = 2c2 ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c Hay tam gia ´ c ABC d¯`êu Vâ.y bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c bên pha’i d¯u.o c ch´ u.ng minh, bây giò ta xe ´t bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c bên tra ´ i cu’a baì toa ´ n Ta co ´ ma 8m2a GA = = = a2 GA 4m2a + 3a2 ma + 4ma 2(2b + 2c2 − a2 ) 2b2 + 2c2 − a2 = = 2b + 2c2 − a2 + 3a2 a2 + b2 + c2 Tu.o.ng tu , ta co ´ 2a2 + 2c2 − b2 GB = GB a + b2 + c2 2a2 + 2b2 − c2 GC = GC a + b2 + c2 GA GB GC ⇒ + + =3 GA GB GC M˘a.t kha ´ c, ta co ´ BB CC GA GB GC AA + + =1+ +1+ +1+ =6 GA GB GC GA GB GC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 72 Do AA ≤ 2R, BB ≤ 2R, CC ≤ 2R Suy 6= ⇒ BB CC 1 AA + + ≤ 2R + + GA GB GC GA GB GC 1 + + ≥ GA GB GC R Dâú d¯˘a’ng th´ u.c xa’y va` chı’ AA = BB = CC = 2R ⇔ ABC la` èu Vâ.y baì toa tam gia ´ c d¯ˆ ´ n d¯u.o c ch´ u.ng minh 4.3 Ba ì tˆ a.p ` Ba ì tˆ a.p 4.1 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: 2πp − 8(R + r) < aA + bB + cC < 2πp − 2π(R + r) ` a ng: Ba ì tˆ a.p 4.2 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ πS < (p − a)(p − b) + (p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) < 2S ` Ba ì tˆ a.p 4.3 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: abc < a2 (p − a) + b2(p − b) + c2 (p − c) < π abc ` Ba ì tˆ a.p 4.4 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: m2a + m2b + m2c 2 (A + B + C ) < < A2 + B + C π2 3R2 ` Ba ì tˆ a.p 4.5 Cho tam gia ´ c nho.n ABC Ch´ u.ng minh r˘ a ng: < la 1 1 1 + +lb + +lc + < 2π b c c a a b LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 73 Kˆ e´t luˆ a.n cu’a luˆ a.n v˘ an - T Nh˜ è câ.p d¯êń mô.t sô´ phu.o.ng pha Luâ.n v˘an d¯ˆ ´ p la`m ch˘a.t BD u.ng kê´t qua’ chıńh cu’a luâ.n v˘an thu d¯u.o c la`: - ã cu thê’ ho òi ´ p su’ du.ng tıńh châ´t cu’a ha`m lˆ D ´ a ly ´ thuyê´t cu’a phu.o.ng pha ˜ m) b˘à ng nh˜ ´ thê’ ta ´ ch riêng tha`nh nh˜ u ng baì tâ.p (lo u ng vı´ du va` baì tâ.p cu thê’, co - T quen thuô.c, la` tru.ò.ng ho p riêng cu’a ca - T kha è BD èu BD ć vˆ ´ phong phu ´ Kha ´ nhiˆ - T d¯ã d¯u o c ta.o t` àn cuôí chu o ng, luâ.n v˘an u nh˜ u ng minh ho.a na`y Trong phˆ BD ˜ m) d¯ê’ ba.n d¯o.c co ˜ ng d¯ã d¯u a d¯u o c kha èu ha`m lˆ òi (lo ´ nhiˆ ´ thê’ áp du.ng sa ´ ng ta.o cu - T kha èu BD nhiˆ ´ c va` ca ´ c baì tâ.p ta ´ c gia’ luâ.n v˘an sa ´ ng ta ´ c ´ c ca ´ ch lu a cho.n tham sô´ k d¯ê’ la`m ch˘a.t Bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c, Luâ.n v˘an d¯ã d¯u a ca d¯ó tham sô´ k d¯u.o c trı`nh ba`y o’ hai da.ng: Da.ng 1: Tham sô´ k d¯oˆ c lâ.p không phu thuô.c vaò tham sô´ kha ´ c va` chı’ xuâ´t u c hiê.n o’ mô.t vê´ cu’a Bâ´t d¯˘a’ng th´ Da.ng 2: Tham sô´ k co`n phu thuô.c vaò tham sô´ kha ´ c ´ p s˘a´p th´ u tu ca ´ c d¯a.i lu.o ng trung Luâ.n v˘an hê thôńg ho ´ a mô.t sô´ phu.o.ng pha ´ p b˘à ng nh˜ u.ng vı´ du va` baì tâ.p cu bı`nh va` cu thê’ ho ´ a ly ´ thuyê´t cu’a phu.o.ng pha -T - T mó.i d¯u.o c luâ.n v˘an sa èu BD ´ ng ta ´ c, thông qua viê.c la`m ch˘a.t BD thê’ Kha ´ nhiˆ ´ p na`y b˘a` ng ca ´ ch su’ du.ng phu.o.ng pha è câ.p d¯êń mô.t sô´ phu.o.ng pha ´ p la`m ch˘a.t Luâ.n v˘an cuôí cu`ng cu’a luâ.n v˘an d¯ˆ - T d¯a.i sô´ thông qua nh˜ u hı`nh ho.c, vó i nh˜ u.ng vı´ du BD u ng u ó c lu o ng tru c quan t` minh ho.a kha ´ cu thê’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 74 ˙’ O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI [1] Nguyˆ˜en V˘an Mâ.u (2006), Bˆ a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c- d¯.inh ly ´ va ` áp du.ng, NXB Gia ´ o du.c - aò Chiêń (2005), Hô.i nghi khoa ho.c ”Ca è cho.n lo.c hê [2] Tri.nh D ´ c chuyên d¯ˆ ´ p la `m ch˘ a.t bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c, Ha` Nô.i THPT chuyên”, Mˆ o.t sˆ o´ phu.o.ng pha u.c [3] Pha.m Kim Hu`ng (2006), Sa ´ ng ta.o bˆ a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c, NXB Tri th´ - ˘ać (1995), Luâ.n v˘an Tha.c sy ˜ Toa [4] Tru.o.ng Ngo.c D ´ n Ly ´ , Bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c Karamata - a.i ho.c tô’ng ho p Ha` Nô.i va ù ´.ng du.ng, Tru.ò.ng D è cho.n lo.c [5] Quach V˘an Giang (2005), Hô.i nghi khoa ho.c ” Ca ´ c chuyên d¯ˆ ` a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c b˘ a ng phu.o.ng pha ´ p tham hê THPT chuyên”, tr 62, Ch´ u.ng minh bˆ sˆ o´ ho ´ a, Ha` Nô.i [6] Pha.m V˘an Thuâ.n (2005), Hô.i nghi khoa ho.c ”Ca ´ c chuyên d¯`ê cho.n lo.c hê ong bˆ a.c, Ha` Nô.i THPT chuyên”, tr 148, Bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u c d¯`ˆ ` mˆ o.t sˆ o´ vˆ ań d¯`ê liên [7] Nguyˆ˜en V˘an Mâ.u (chu’ biên) (2004), Bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c va - HKHTN Ha` Nô.i quan, NXB Tru ò ng D - ˘a.ng Huy Ruâ.n, D - ˘a.ng Hu`ng Th˘ańg - Trˆ ˜ ng-Buì àn Nam Du [8] Nguyˆ˜en V˘an Mâ.u-D òi du.˜ o.ng ho.c sinh gio’i, Công Huâń (2004),Mˆ o.t sˆ o´ chuyên d¯`ê toa ´ n cho.n lo.c bˆ - HKHTN Ha` Nô.i NXB Tru.ò.ng D è [9] Nguyˆ˜en V˘an Mâ.u - Pha.m Thi Ba.ch Ngo.c (2004),Mˆ o.t sˆ o´ ba ì toa ´ n cho.n lo.c vˆ ´ c, NXB Gia ´ o du.c lu o ng gia è Bˆ a´p vˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c, NXB Gia ó [10] Phan Huy Kha’i (2001),10.000 Ba ì toa ´ n so cˆ du.c LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com