Luận văn KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM và TÍNH CHẤT

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ Đinh Văn Phúc KHƠNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT Bộ mơn: Giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: PGS.TS Lê Văn Hạp Huế, Khóa học 2009 - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành khơng kết cố gắng, nỗ lực thân mà trước hết nhờ giúp đỡ hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Văn Hạp, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Em xin thành cảm ơn q thầy hết lịng dạy dỗ, giúp đỡ em suốt năm qua Em xin gửi đến gia đình, người thân yêu người bạn em lời biết ơn chân thành sâu lắng, người sát cánh bên em, động viên tạo điều kiện cho em học tập suốt q trình hồn thành khóa luận Huế, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Văn Phúc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập thương quan hệ tương đương 1.2 Không gian mêtric 1.3 Không gian độ đo 1.4 Hàm đo 10 1.5 Tích phân Lebesgue 11 1.6 Tích phân coi hàm tập 12 1.7 Không gian Lp , ≤ p < +∞ 13 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT 15 2.1 Đạo hàm Radon-Nikodym 15 2.2 Không gian mêtric Nikodym 25 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI MỞ ĐẦU Không gian mêtric lý thuyết độ đo tích phân phần quan trọng lý thuyết hàm số biến số thực, chúng với giải tích hàm làm tảng cho kiến thức tốn học sinh viên Trong chương trình học đại học, học phần không gian mêtric-không gian Tôpô học học kì hai năm thứ hai, học phần lí thuyết độ đo tích phân học học kì năm thứ ba Đây học phần khơng thể thiếu sinh viên ngành tốn bậc đại học, học phần giúp chúng em làm quen nắm khái niệm, tính chất khơng gian mêtric, khơng gian độ đo lí thuyết tích phân Đặc biệt khơng gian mêtric có tính chất thú vị, gần gũi với hình học Khóa luận sâu nghiên cứu trường hợp đặc biệt khơng mêtric, khơng gian mêtric Nikodym Không gian mêtric Nikodym xây dựng dựa khơng gian độ đo hữu hạn có số tính chất thú vị, có mối liên hệ chặt chẽ với không gian độ đo Nội dung khóa luận đề cập đến khái niệm khơng gian mêtric Nikodym, tính chất khơng gian đồng thời mối liên hệ với khơng gian Lp , ≤ p < ∞ Nội dung nghiên cứu em dựa sách [7], khái niệm, kết nghiên cứu trình bày lại cách rõ ràng đầy đủ Tuy kết tìm thấy, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với tinh thần tìm tịi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho thân nhiều thú vị cho độc giả Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Chương II: Khơng gian mêtric Nikodym tính chất Tuy có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian lực thân nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, mong quan tâm góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Huế, ngày tháng 05 năm 2013 Tác giả LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập thương quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.1 Cho R quan hệ hai ngơi A Khi đó: i R gọi phản xạ ∀x∈A, xRx ii R gọi đối xứng ∀x, y∈A, xRy ⇒ yRx iii R gọi bắc cầu ∀x, y, z∈A, xRy yRz ⇒ xRz Định nghĩa 1.1.2 Một quan hệ hai R A gọi quan hệ tương đương R thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng bắc cầu Quan hệ tương đương ký hiệu ∼ Định nghĩa 1.1.3 Cho ∼ quan hệ tương đương X x ∈X Khi đó: i Tập hợp x ¯={ y∈X | y∼x} gọi lớp tương đương x theo quan LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hệ ∼ ii Tập hợp X/∼ = { x ¯ | x∈X} gọi tập hợp thương X quan hệ tương đương ∼ 1.2 Không gian mêtric Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập khác trống Ta gọi hàm số d: X×X → R mêtric (hay khoảng cách) X hàm số thỏa mãn ba tiên đề sau đây: d(x, y ) 0, ∀x, y∈X ; d(x, y ) = x = y , d(x, y ) = d(y, x) ( tính đối xứng ), d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), ∀x, y, z∈X ( bất đẳng thức tam giác ) Khi tập X với mêtric d cho gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X , d) Định nghĩa 1.2.2 Không gian mêtric X gọi tách có tập hữu hạn hay đếm A ⊂ X trù mật khắp nơi Mệnh đề 1.2.3 ([7] MĐ 26, tr 204) Không gian không gian mêtric tách tách Định nghĩa 1.2.4 Tập A ⊂ X gọi compact với dãy (xn )n ⊂ A tồn dãy (xnk )k ⊂ (xn )n hội tụ điểm x0 ∈ A Nếu X tập compact ta nói X không gian compact Định nghĩa 1.2.5 Định nghĩa không gian mêtric đầy đủ Dãy (xn )n không gian mêtric X gọi dãy hay dãy Cauchy lim d(xm , xn ) = Nói cách khác (xn )n dãy m,n→0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khi: (∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 ) : d(xm , xn ) < ε Không gian mêtric X gọi không gian mêtric đầy đủ dãy hội tụ X Định nghĩa 1.2.6 Cho M tập không gian mêtric X Ta gọi M tập khơng đâu trù mật khơng trù mật hình cầu Nói cách tương đương: ◦ ( M ⊂X tập không đâu trù mật ) ⇔ ( M = ∅) Định nghĩa 1.2.7 Giả sử A tập không gian mêtric X Ta gọi A tập thuộc phạm trù I X tồn dãy tập không ∞ đâu trù mật A1 , A2 , cho A= ∪ An n=1 Tập A⊂X gọi thuộc phạm trù II khơng phải tập thuộc phạm trù I Định lí 1.2.8 (Định lí Baire-Category)([1] ĐL 4.3.4, tr 58) Giả sử X không gian mêtric đầy đủ Khi X tập thuộc phạm trù II Hệ 1.2.9 Giả sử X không gian mêtric đầy đủ (An )n ∞ dãy tập X cho X = ∪ An Khi tồn n0 ∈ N cho ◦ n=1 An0 = ∅ Định lí 1.2.10 ([7] ĐL 7, tr 213) Cho X không gian mêtric đầy đủ (fn )n dãy hàm thực liên tục X hội tụ điểm X tới hàm f nhận giá trị thực có tập D trù mật X cho (fn )n liên tục đồng bậc f liên tục điểm D LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.3 Không gian độ đo Định nghĩa 1.3.1 Một đại số lớp tập X chứa X , ∅ kín phép toán hữu hạn tập hợp ( phép hợp phép giao số hữu hạn tập, phép trừ phép trừ đối xứng hai tập) Định lí 1.3.2 Một lớp C đại số C không rỗng thỏa mãn hai điều kiện: a A∈C , B∈C ⇒ A∪B ∈ C , b A∈C , Ac = X\A∈ C Định nghĩa 1.3.3 Một σ -đại số lớp tập tập X chứa X , ∅ kín phép tốn hữu hạn hay đếm tập.Dĩ nhiên σ -đại số đại số Định lí 1.3.4 Một lớp F σ -đại số F không rỗng thõa mãn điều kiện: ∞ a An ∈ F (n = 1, 2, 3, ) ⇒ ∪ An ∈ F, n=1 b A ∈ F ⇒Ac = X\A ∈ F Định nghĩa 1.3.5 (Hàm tập hợp) Cho X tập tùy ý, M lớp tập X Một hàm µ xác định M gọi hàm tập Hàm cộng tính nếu: A, B∈ M, A∩B =∅, A∪B∈ M ⇒ µ(A∪B )=µ(A)+µ(B ) Bằng qui nạp chứng minh µ cộng tính hữu hạn cộng tính tức với Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, n, Ai ∩Aj = ∅, ∪ni=1 Ai ∈ M µ(∪ni=1 Ai )= n i=1 µAi Hàm tập µ gọi σ -cộng tính Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, , Ai ∩Aj = ∅, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ∞ ∞ ∞ i=1 i=1 i=1 i=j ∪ Ai ∈ M µ( ∪ Ai )= µAi Định nghĩa 1.3.6 Một hàm tập µ gọi độ đo xác định đại số C thỏa mãn điều kiện sau: (i) µ(A) với A∈ C, (ii) µ(∅) = 0, (iii) µ σ -cộng tính Một độ đo µ gọi hữu hạn µ(X ) 0, có δ > cho µ(E) < δ , ν(E) < ε, có nghĩa ν hữu hạn, ν tuyệt đối liên tục µ hàm tập ν liên tục với không gian LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 mêtric liên kết Nikodym ∅ Tuy nhiên suy luận từ Bổ đề 2.2.2 độ đo hữu hạn ν M liên tục với không gian mêtric liên kết Nikodym tập E0 M, liên tục M Đó kết mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.3 Cho (X, M, µ) khơng gian độ đo hữu hạn ν độ đo hữu hạn M tuyệt đối liên tục µ, ν xác định tính chất hàm liên tục khơng gian mêtric Nikodym liên kết với (X, M, µ) Chứng minh ν tuyệt đối liên tục µ nên với ε > cho trước, ∃δ cho với tập E ∈ M nếu: µ(E) < δ ⇒ ν(E) < 4ε Bây áp dụng Bổ đề 2.2.2 ta lấy E0 = ∅ ta có với ε > δ > cho với tập đo E ρµ (E, ∅) < δ hay ε µ(E) < δ ⇒ |ν(E) − ν(∅)| = ν(E) < , từ ta suy ∀A, B ∈ M, ρµ (A, B) < δ , |ν(A) − ν(B)| < ε Vậy ta chứng minh ν liên tục không mêtric Nikodym liên kết với (X, M, µ) Định nghĩa 2.2.4 Cho (X, M) không gian đo Một dãy (νn )n độ đo M gọi hội tụ tập M tới hàm tập ν ν(E) = limn→∞ νn (E), ∀E ∈ M Định nghĩa 2.2.5 Cho (X, M, µ) không gian độ đo hữu hạn Một dãy (νn )n độ đo hữu hạn M, số tuyệt đối liên tục µ, gọi tuyệt đối liên tục µ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 cho trước ε > 0, tồn δ > cho để với tập đo E số tự nhiên n,nếu µ(E) < δ , νn (E) < ε Định nghĩa 2.2.6 Một dãy hàm {hn : S → R} không gian mêtric (S, ρ) gọi liên tục đồng bậc điểm u ∈ S cho trước với ε > 0, ∃δ > cho ∀ν ∈ S ∀n ∈ N ρ(u, v) < δ |hn (u) − hn (v)| < ε Dãy {hn : S → R} gọi liên tục đồng bậc S liên tục đồng bậc điểm thuộc S Định nghĩa 2.2.7 Cho µ độ đo không gian đo được, tập hợp hàm {fα } gọi khả tích với ε > 0, tồn δ > cho ∀α, ∀E ∈ M, µ(E) < δ ⇒ | fα dµ| < ε E Bây cho (νn )n dãy độ đo hữu hạn tuyệt đối liên tục với µ M với µ σ -hữu hạn theo Định lí Radon - Nikodym với số tự nhiên n có hàm fn khơng âm khả tích, đạo hàm Radon Nikodym νn µ là: fn dµ, ∀E ∈ M νn (E) = E Chúng ta có mệnh đề tương đương Mệnh đề 2.2.8 Cho (X, M, µ) khơng gian độ đo hữu hạn (νn )n dãy độ đo hữu hạn M, số tuyệt đối liên tục µ, điều tương đương với nhau: i Dãy độ đo (νn )n tuyệt đối liên tục độ đo µ ii Dãy hàm {νn : M → R} liên tục đồng bậc khơng gian mêtric Nikodym ρµ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34 n iii Dãy đạo hàm Radon - Nikodym { dν } khả tích X đối dµ với độ đo µ Chứng minh i ⇔ ii + i ⇒ ii Xét A ∈ M tùy ý, với ε > cho trước (νn )n dãy hàm tuyệt đối liên tục nên ∃δ > 0, ∀E ∈ M, ∀n ∈ N: ε µ(E) < δ ⇒ νn (E) < Bây áp dụng Bổ đề 2.2.2 với E0 = ∅ ta có ρµ (E, ∅) = µ(E) < δ ε ⇒ |νn (E) − νn (∅)| = νn (E) < , ∀n ∈ N Nên theo Bổ đề 2.2.2, ∀B ∈ M : ρµ (A, B) < δ ⇒ |νn (A) − νn (B)| < ε, ∀n ∈ N Vậy dãy (νn )n liên tục đồng bậc A A ∈ M tùy ý nên (νn )n liên tục đồng bậc không gian mêtric Nikodym (M , ρµ ) + ii ⇒ i Ta có ∅ ∈ M Do dãy (νn )n liên tục đồng bậc ∅ nên với ε > 0, ∃δ > 0, ∀B ∈ M, ∀n ∈ N: ρµ (∅, B) = µ(B) < δ ⇒ |νn (∅) − νn (B)| < ε hay νn (B) < ε Vậy theo định nghĩa dãy độ đo (νn )n tuyệt đối liên tục µ i ⇔ iii + i ⇒ iii n } = {fn }, với ε > cho trước dãy (νn )n tuyệt đối liên Ta có: { dν dµ tục nên ∃δ > cho ∀E ∈ M, µ(E) < δ ⇒ νn (E) < ε, ∀n ∈ N LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 hay νn (E) = fn dµ < ε E n Vậy theo định nghĩa dãy đạo hàm Radon - Nikodym { dν } khả tích dµ X độ đo µ + iii ⇒ i n Vì dãy { dν } = {fn } khả tích X µ nên với dµ ε > 0, ∃δ > 0: µ(E) < δ ⇒ | fn dµ| < ε, ∀n ∈ N E fn dµ = νn (E) nên νn (E) < ε, ∀n ∈ N Suy (νn )n tuyệt đối liên mà E tục độ đo µ Định lí 2.2.9 Cho (X, M, µ) khơng gian độ đo hữu hạn (νn )n dãy độ đo hữu hạn M tuyệt đối liên tục µ Nếu (νn )n hội tụ tập M tới ν , ν độ đo M, tuyệt đối liên tục µ Chứng minh Ta có: ν(E) = limn→∞ νn (E) ≥ 0, ∀E ∈ M ν(∅) = limn→∞ νn (∅) = Xét E1 , E2 , , Ek ∈ M, Ei ∩ Ej = ∅, i = j, i = 1, k, j = 1, k Ta có: k ν(∪i=1 Ei ) k = lim n→∞ νn (∪ki=1 Ei ) = lim n→∞ k νn (Ei ) = i=1 k lim νn (Ei ) = i=1 n→∞ ν(Ei ) i=1 Suy ν cộng tính hữu hạn Bây ta chứng minh ν cộng tính đếm Xét (Ek )∞ k=1 ⊂ M cho Ei ∩ Ej = ∅ i = j ta phải chứng minh: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36 ∞ ∞ ν( ∪ Ek ) = k=1 ν(Ek ) k=1 ∞ Nếu có số k cho ν(Ek ) = +∞ ∞ ∞ k=1 k=1 ν(Ek ) = +∞ k=1 ∞ ν( ∪ Ek ) ≥ ν(Ek ) nên ν( ∪ Ek ) = +∞ = ν(Ek ) k=1 Do giả sử ν(Ek ) < +∞, ∀k ∈ N Từ tính cộng tính hữu hạn ν , với số tự nhiên n ta có: ∞ ∞ k=1 k=1 ν( ∪ Ek ) = n k=1 ν(Ek ) = ∞ ν(Ek ) + ν( ∪ Ek ) k=n+1 Cho trước ε > từ tính tuyệt đối liên tục µ dãy (νn )n nên có số δ > cho ∀E ∈ M, ∀n ∈ N Nếu µ(E) < δ ⇒ νn (E) < ε µ(E) < δ ⇒ ν(E) < ε (2.2.3) ∞ Do µ độ đo hữu hạn nên µ(X) < +∞, ta có: µ( ∪ Ek ) < +∞ k=1 ∞ hay µ(Ek ) < +∞ k=1 ∞ µ(Ek ) < +∞ hội tụ Do với số δ ∃N ∈ N Vậy chuỗi số dương k=1 cho: ∞ µ(Ek ) < δ k=N +1 ∞ hay µ( ∪ Ek ) < δ k=N +1 ∞ ⇒ ν( ∪ Ek ) < ε k=N +1 N ∞ ⇒ ν( ∪ Ek ) − k=1 ν(Ek ) < ε (2.2.4) k=1 (do ν(Ek ) < +∞) Dễ thấy (2.2.4) ∀n ∈ N, n ≥ N ∞ Vậy ta có: ν( ∪ Ek ) − k=1 n k=1 ν(Ek ) < ε, ∀n ∈ N, cho n → ∞ ta ∞ ∞ ≤ ν( ∪ Ek ) − k=1 ν(Ek ) ≤ ε k=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 37 ∞ ∞ k=1 k=1 Điều với ε > tùy ý nên ν( ∪ Ek ) = ν(Ek ) Vậy ν độ đo M Từ (2.2.3) suy ν tuyệt đối liên tục µ Định lí 2.2.10 (Vitali-Hanh-Saks) Cho (X, M, µ) không gian độ đo hữu hạn (νn )n dãy độ đo hữu hạn M, số chúng tuyệt đối liên tục µ, giả thiết (νn (X))n bị chặn (νn )n hội tụ tập M tới ν Khi dãy (νn )n tuyệt đối liên tục µ Hơn ν độ đo hữu hạn M, tuyệt đối liên tục µ Chứng minh Ta biết không gian mêtric Nikodym đầy đủ, (νn )n dãy hàm liên tục không gian mêtric hội tụ điểm ( hội tụ tập) tới hàm ν Vì (νn (X))n bị chăn nên ν nhận giá trị thực từ kết Định lí 1.2.10 có tập E0 ∈ M cho dãy hàm {νn : M → R} liên tục đồng bậc E0 tức với ε > 0, ∃δ > cho với tập E đo : ρµ (E0 , E) < δ ⇒ |νn (E) − νn (E0 )| < ε, với ∀n ∈ N, νn hữu hạn Áp dụng Bổ đề 2.2.2 ta có với tập E đo ∀n ∈ N: ρµ (E, ∅) < δ ⇒ |νn (E) − νn (∅)| < ε hay µ(E) < δ ⇒ νn (E) < ε Từ suy (νn )n tuyệt đối liên tục đều, theo Định lí 2.2.9 ν độ đo hữu hạn tuyệt đối liên tục µ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 * Chú ý: Dĩ nhiên σ -đại số không gian tuyến tính tốn tử tuyến tính khơng phải độ đo nhiên có tương tự định lí Vitali- Hahn - Saks tính liên tục giới hạn điểm dãy tốn tử tuyến tính liên tục định lí Baire-category sở chứng minh hai kết Định lí 2.2.11 (Nikodym) Cho (X, M) không gian đo (νn )n dãy độ đo M hội tụ tập M tới hàm tập ν , giả thiết (νn (X))n bị chặn, suy ν độ đo M Chứng minh Với tập E ∈ M, xác định: ∞ µ(E) = ν (E) n n n=1 Chúng ta µ độ đo hữu hạn M Thật Ta có: νn (E) ≥ 0, ∀E ∈ M, ∀n ∈ N nên µ(E) ≥ νn (∅) = 0, ∀n ∈ N ⇒ µ(∅) = (Ei )∞ i=1 ⊂ M, cho: Ei ∩ Ej = ∅, i = j Do νn (X) ≤ M, ∀n ∈ N nên ∞ n=1 2n νn (E) với E ∈ M ta có chuỗi ∞ Do chuỗi ∞ µ(∪i=1 Ei ) n=1 2n νn (E) ∞ ν ( ∪ = n i=1 Ei ) = n n=1 = = M n=1 2n < +∞ hội tụ, nên ta có: ∞ ∞ ∞ ≤ k lim ∞ ∞ νn (Ei ) = n n=1 i=1 νn (Ei ) = lim k→∞ 2n k→∞ n=1 i=1 ∞ ∞ νn (Ei ) 2n i=1 n=1 k i=1 ∞ ∞ νn (Ei ) 2n n=1 i=1 ∞ νn (Ei ) 2n n=1 ∞ = µ(Ei ) i=1 Vậy µ độ đo M từ ∞ µ(X) = ν (X) ≤ n n n=1 ∞ M < +∞ n n=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 Suy µ độ đo hữu hạn M ∞ Ta có µ(E) = ⇒ n=1 2n νn (E) = ⇒ νn (E) = 0, ∀n ∈ N Vậy với n ∈ N, νn tuyệt đối liên tục µ Bây áp dụng định lí Vitali-Hahn-Saks ta có ν độ đo M Định lí 2.2.12 ([8] ĐL 1, tr 1) Cho (X, M, µ) không gian độ đo cho f hàm khơng âm khả tích X , với dãy (fn )n hàm đo với |fn | ≤ g hầu khắp nơi X ln có dãy fnk hội tụ điểm hầu khắp nơi X Khi với tập E ∈ M ta xác định ν(E) = f dµ khơng gian mêtric Nikodym (M, ρν ) compact E Chứng minh Xét (En )n dãy M với n ∈ N đặt fn = gχEn dãy (fn )n dãy hàm đo |fn | ≤ g hầu khắp nơi X nên tồn dãy fnk hội tụ điểm hầu khắp nơi tới hàm f X Ta xét E tập tất x ∈ X cho limk→∞ fnk (x) = f (x) = g(x) Chú ý ta giả sử f = gχE ( Do (L1 , µ) hàm tương đương đồng với ) Ta có |fnk | ≤ g , g khả tích fnk hội tụ điểm f hầu khắp nơi X nên theo định lí hội tụ bị chặn Định lí 1.7.6 ta có fnk → f khơng gian (L1 , µ) điều có |fnk − f |dµ = Mà ta lại có limk→∞ |fnk − f |dµ = nghĩa limk→∞ X limk→∞ |gχEnk − gχE |dµ = limk→∞ X X |g|dµ = limk→∞ Enk ∆E f dµ Enk ∆E = limk→∞ ν(Enk ∆E) nên limk→∞ ν(Enk ∆E) = suy dãy (En )n có dãy (Enk ) hội tụ M suy không gian mêtric Nikodym (M, ρν ) compact Định lí 2.2.13 Khơng gian mêtric Nikodym liên kết với khơng gian độ đo hữu hạn (X, M, µ) tách không gian Banach Lp (X, M, µ) tách với p, ≤ p < ∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 40 Chứng minh + Giả sử không gian mêtric Nikodym liên kết với không gian độ đo hữu hạn (X, M, µ) tách được, tồn họ D tập đếm trù mật (M, ρµ ) Bây với ε > 0, f ∈ Lp (X, M, µ), theo Định lí 1.7.8 ta có hàm g = Lp (X, M, µ) cho ||f − g||p < cho |qk − ak | < ε p µ(E ) k 4n ε n k=1 ak χEk với ≤ k ≤ n Lấy qk ∈ Q Do D trù mật (M, ρµ ) nên có Dk ∈ D ε cho ρµ (Ek , Dk ) < ( 4n|q )p hay ||χEk − χDk ||p = ρµ (Ek , Dk ) p < k| ε 4n|qk | Khi đó: n ||g − n qk χDk || ≤ ||g − k=1 n qk χE ||p + || k=1 n ≤ || qk [χEk − χDk ]||p k=1 n [ak − qk ]χEk ||p + k=1 n |qk |||[χEk − χDk ]||p k=1 n ≤ |ak − qk |µ(Ek ) p + k=1 |qk | k=1 ε ε ε ε < + = 4n|qk | 4 Suy n ||f − n qk χDk ||p ≤ ||f − g||p + ||g − k=1 qk χDk ||p < ε k=1 Điều họ A tập tất hàm đơn giản u = m k=1 q k χD k qk ∈ Q D ∈ D trù mật Lp (X, M, µ) Mặt khác Q D đếm nên A đếm Lp (X, M, µ) khơng gian tách + Giả sử khơng gian Banach Lp (X, M, µ) tách với p, ≤ p < ∞ Ta đặt d(f, g) = ||f − g||p , ∀f, g ∈ Lp (X, M, µ) d mêtric cảm sinh từ chuẩn ||.||p Xét A = {χA : A ∈ M} A khơng gian mêtric Lp (X, M, µ) Do không gian không gian mêtric tách tách nên suy (A, d) tách có tập D đếm trù mật (A, d) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 41 Bây với tập E ∈ M ε > tùy ý cho trước tồn 1 χF ∈ D cho d(χE , χF ) < ε p hay ||χE − χF ||p < ε p nên ta có |χE − χF |p dµ = (||χE − χF ||p )p < ε ρµ (E, F ) = µ(E∆F ) = X Do ta đặt E = {E : χE ∈ D} E tập đếm trù mật khơng gian mêtric Nikodym (M, ρµ ) Vậy khơng gian mêtric Nikodym (M, ρµ ) tách LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 42 KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp này, em xây dựng không gian mêtric Nikodym,cố gắng nghiên cứu số tính chất khơng gian mêtric thu số tính chất thú vị Tuy nhiên hạn chế lực thời gian nên khóa luận chưa nghiên cứu sâu số tính chất liên quan đến đề tài Rất mong quý thầy giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến cho khóa luận hồn chỉnh Một lần em xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giáo bạn sinh viên giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Huế, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Văn Phúc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng, hàm số biến số thực, NXB Giáo Dục 1999 [2] Nguyễn Hoàng, Lê Văn Hạp, Giáo trình giải tích hàm, NXB Giáo Dục 1998 [3] Lương Hà, giáo trình lí thuyết độ đo tích phân, NXB Giáo Dục 1998 [4] Trương Văn Thương, giáo trình giải tích hàm 1, NXB Giáo Dục 2011 [5] Gerald B Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Applications, John Wiley and Sons, New York 1999 [6] Paul R.Halmos, Measure Theory, Van Nostrand 1950 [7] H.L.R Royden, P.M Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson 2010 [8] Winfried Just, Handout Compactness of Nikodym spaces and subspaces of lp , MATH 2012 [9] J Yeh,Real Analysis: Theory of Measure And Integration, World Scientific Publishing Company, Incorporated 2006 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 1.7 Không gian Lp , ≤ p < +∞ 13 KHƠNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT 15 2.1 Đạo hàm Radon -Nikodym 15 2.2 Không gian mêtric Nikodym 25 Kết luận. .. mêtric, khơng gian mêtric Nikodym Không gian mêtric Nikodym xây dựng dựa không gian độ đo hữu hạn có số tính chất thú vị, có mối liên hệ chặt chẽ với không gian độ đo Nội dung khóa luận đề cập... xây dựng không gian mêtric Nikodym, cố gắng nghiên cứu số tính chất khơng gian mêtric thu số tính chất thú vị Tuy nhiên hạn chế lực thời gian nên khóa luận chưa nghiên cứu sâu số tính chất liên