Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Môc lôc TT Nội dung Trang Mở đầu Phần Một số vấn đề lý thuyết Phần áp dụng giải toán Bài toán tính chẵn, lẻ hàm số Bài toán hàm tuần hoàn Tìm hàm số thoả mÃn điều kiện cho trước 10 3.1 Bài toán hàm không liên tục 3.1.1 Phương trình: f((x)) g(x) 10 10 3.1.2 Phương trình đa thức 11 3.1.3 Dạng: 12 u( x) f ( g ( x)) v( x) f (h( x)) w( x) 3.1.4 Phương trình hai biến độc lập 15 3.2 Tính giá trị hàm số 17 3.2 Bài toán hàm đơn điệu 19 3.4 Bài toán hàm liên tục 20 Tài liệu tham khảo 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hàm số khái niệm toán học Các toán hàm số phương trình hàm phong phú, đa dạng thường xuyên xuất kỳ thi Ôlimpic tốn Nhưng đặc thù tương đối khó nên xuất kỳ thi HSG tốn Đối với học sinh phổ thơng tiếp cận chúng Với mục đích xây dựng chuyên đề để bồi dưỡng cho HSG trường, quan trọng nhằm mục đích bồi dường chuyên mơn cho thân tơi chọn đề tài “ Một cách tiếp cận toán hàm số ” Trong đề tài đề cập đến số vấn đề quan trọng, sát với nội dung, phân phối chương trình hàm số cung cấp cho học sinh phổ thông Các tập đưa khơng địi hỏi kiến thức cao, xa lạ với học sinh Qua thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi thấy học sinh giỏi tiếp thu được, giải toán khơng q khó khăn Mục đích nghiên cứu: - Hệ thống số dạng toán số phương pháp giải toán hàm số thường xuất kỳ thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia - Rèn luyện ký giải toán hàm số cho học sinh - Giúp học sinh có nhìn dạng tốn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: + Các tốn hàm số khơng q khó, dùng đến nhiều kiến thức mở rộng khác: Bài tốn tính chẵn, lẻ hàm số; Hàm tuần hồn; Tính giá trị hàm số; Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước; + Một số phương pháp thường sử dụng giải toán hàm số - Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung, chương trình phổ thơng, có mở rộng phù hợp với nội dung thi, bồi dường HSG toán trung học phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tuyển chọn xếp toán bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng cách khơng khó khăn, tạo hứng thú cho học sinh gặp dạng toán - Đưa số nhận xét cách tiếp cận lời giải tốn bản, điển hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Nội dung Bài toán tính chất chẵn, lẻ hàm số Bài tốn hàm tuần hồn Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước - Hàm không liên tục - Hàm liên tục, có đạo hàm - Hàm đơn điệu Tính giá trị hàm số Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại tài liệu - Thực nghiệm sư phạm qua công tác bồi dưỡng HSG trường THPT Lê Xoay Kết luận Với mục đích nhiệm vụ trên, đề tài “ Một cách tiếp cận toán hàm số ” đề cập đến số vấn đề hàm số Đề tài chắn nhiều thiếu xót cấu trúc nội dung Tơi kính mong thầy đọc cho nhận xét, góp ý đề đề tài hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vĩnh Tường, tháng năm 2010 Tác giả: Nguyễn Minh Hải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Phần Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ 1.Định nghĩa hàm số Cho tập hợp khác rỗng D (D R) Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f(x); số f(x) gọi giá trị hàm số f x Tập D gọi tập xác định (miền xác định), x gọi biến số (đối số) hàm số f Hàm số hợp Định nghĩa Cho hai hàm số y = f(u) u = u(x) Thay biến u biểu thức f(u) biểu thức u(x), ta biểu thức f[u(x)] với biến x Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] gọi hàm số hợp hai hàm số f u; hàm u gọi hàm số trung gian Phép tịnh tiến hệ tọa độ Công thức chuyển đổi hệ tọa độ Giả sử I điểm mp có tọa độ (x , y ) y Y hệ tọa độ Oxy Gọi IXY hệ tọa độ gốc I hai trục IX, IY y Y M theo thứ tự có vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox, Oy - Giả sử M điểm mp Gọi (x, y) tọa độ M hệ Oxy (X; Y) tọa độ M hệ IXY X X x x I O x X x (CT chuyển đổi hệ tọa độ phép tịnh tiến tiến theo OI ) Khi đó: y Y y0 - Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) hệ Oxy, Khi hệ IXY (C) có phương trình: Y = f( X + x0) – y0 Hàm tuần hoàn Định nghĩa Hàm f : D R gọi hàm tuần hoàn tồn số dương T thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1, x D x T D 2, f(x T) f(x), x D Số dương T nhỏ thỏa mãn hai điều kiện gọi chu kỳ hàm tuần hoàn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Chú ý: Các hàm: y sin x,y cosx tuần hoàn với chu kỳ T Các hàm: y tan x,y cot x tuần hoàn với chu kỳ T Hàm f(x) thỏa mãn: f(x T) f(x), x D hàm tuần hồn vì: f(x 2T) f(x T) f(x) f(x 2T), x D Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa Cho hàm số f : D R - Hàm f gọi hàm chẵn D thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: x D x D f (x) f ( x), x D - Hàm f gọi hàm lẻ D thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: x D x D f (x) f ( x), x D Chú ý - Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng - Tổng hàm chẵn (lẻ) xác định D hàm chẵn (lẻ) D Tính đồng biến, nghịch biến hàm số Định nghĩa Hàm số f xác định K ( khoảng, đoạn, nửa khoảng) - Hàm số f gọi đồng biến K x1, x K, x1 x f (x1) f (x ) - Hàm số f gọi nghịch biến K x1, x K, x1 x f (x1) f (x ) - Hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) K gọi hàm đơn điệu K Hàm liên tục Định nghĩa (Hàm liên tục điểm) Giả sử hàm số f xác định khoảng (a; b) x (a;b) Hàm số f gọi liên tục điểm x0 xlim f (x) f (x ) x Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn điểm x0 Định nghĩa (Hàm liên tục khoảng, đoạn) - Giả sử hàm số f xác định tập hợp J (J khoảng hay hợp nhiều khoảng) Hàm số f gọi liên tục J liên tục điểm thuộc tập hợp - Giả sử hàm số f xác định đoạn [a; b] Hàm số f gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục khoảng (a; b) lim f (a), lim f (b) x a x b LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Đạo hàm hàm số Định nghĩa 1.( Đạo hàm hàm số điểm) Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm x (a;b) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số f (x) f (x ) x dần đến x0 gọi x x0 đạo hàm hàm số f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0) f (x) f (x ) x x x x0 f '(x ) lim Định nghĩa 2.(Đạo hàm hàm số khoảng) - Giả sử hàm số f xác định tập hợp J (J khoảng hay hợp nhiều khoảng) Hàm số f gọi có đạo hàm J có đạo hàm f’(x) điểm x thuộc J - Nếu hàm số f có đạo hàm J hàm số f’ xác định f ': J R gọi x f '(x) đạo hàm hàm số f Chú ý Hàm số có đạo hàm J liên tục J Điều ngược lại không Một số vấn đề đa thức Định nghĩa Pn ( x) an xn an1xn1 a1x a0 (an 0) gọi đa thức bậc n Định lí Nếu đa thức có nghiệm x = x0 : Pn ( x ) ( x x0 ).Pn1 ( x) Nếu đa thức có nghiệm bội k x = x0 : Pn ( x) ( x x0 )k Pnk ( x) Định lí Cho hai đa thức Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 (an 0) Qn ( x) bn xn bn1xn1 b1x b0 (bn 0) + Khi Pn ( x ) Qn ( x), x R bi , i n + Hoặc: Pn ( x) an xn an1x n1 a1x a0 0, x R a1 0, i n (Thực kết cần với n +1 giá trị phân biệt x đủ) Định lí Hàm đa thức liên tục có đạo hàm cấp R LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Phần MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ Bài tốn tính chẵn, lẻ hàm số Ví dụ Cho f(x) hàm số đồng thời vừa chẵn vừa lẻ R CMR: f(x) Giải Theo định nghĩa có: f ( x) f (x) f (x), x R f (x) 0, x R Ví dụ Cho x R Xác định tất hàm số f(x) cho: f (x x) f (x), x R x0 x x x t, x x t (1) f ( t) f ( t), t R 2 2 x0 x0 x0 Đặt g(t) f ( t) Khi đó: g( t) f ( t) f ( t) g(t), t R 2 x0 Vậy: f (x) g(x ) , g(x) hàm chẵn tùy ý R Ví dụ Biết đồ thị đa thức P(x) có tâm đối xứng CMR đồ thị P’(x) có trục đối xứng Giải Đặt x Giải Giả sử P(x) có tâm đối xứng I(x ; y ) Khi qua phép đổi hệ trục tọa độ từ hệ Oxy sang hệ IXY ( IX, IY tương ứng nhận véc tơ i, j vectơ đơn vị) x x X CT đổi hệ trục: Khi đồ thị P(x) hệ IXY có phương trình: y y0 Y Y f (X) P(x X) y0 f(X) hàm lẻ R, tức: P(x X) y0 (P(x X) y ) P(x X) P(x X) 2y , X R P '(x X) P '(x X) 0, X R P '(x X) P '(x X), X R P '(x) nhận x x làm trục đối xứng Bài tập tương tự Bài tập CMR hàm số xác định R viết dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ xác định R HD Xét hai hàm số: g(x) f (x) f ( x) f (x) f ( x) , h(x) , x R 2 Dễ kiểm tra g(x) hàm chẵn, h(x) hàm lẻ R, f(x) = g(x) + h(x) Bài tập Cho a, b R Xác định tất hàm số f(x) cho: f (a x) f (x) b, x R (*) a a a a a x t, x t; a x t (*) có dạng: f t f t b (**) 2 2 2 a b Đặt f t g(t) Khi (**) trở thành: g(t) g( t) 0, t R 2 a b Vậy f (x) f x , g(x) hàm lẻ tùy ý 2 Bài tập Biết đồ thị đa thức P(x) có trục đối xứng CMR đồ thị P’(x) có tâm đối xứng HD Đặt HD Làm tương tự Ví dụ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Bài toán hàm tuần hồn Ví dụ Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x 1) f(x 1) 2.f(x), x R 1, CMR : f(x 4) f(x), x R 2, CMR : f(x) hàm tuần hoàn Giải Ta cã: f ( x 2) f ( x) f ( x 1); f ( x 4) f ( x 2) f ( x 3) f ( x 3) f ( x 1) f ( x 2) f ( x 4) f ( x 3) f ( x 2) 2[ f ( x f ( x 1)] f ( x 2) f ( x 4) f ( x 2) f ( x 1) f ( x) f ( x 8) f ( x 4) f ( x) f ( x) hàm tuần hoàn Vớ dụ Cho hàm f : R R \ {3} thỏa mãn: f(x 1) f(x) , x R f(x) CMR: f(x) hàm tuần hoàn f ( x) 5 f ( x 1) f ( x) f ( x) Giải Ta cã: f ( x 2) f ( x ) f ( x 1) f ( x) 3 f ( x) f ( x) 5 f ( x 2) f ( x) f ( x 4) f ( x), x R Vậy f(x) tuần hoàn f ( x 2) f ( x) f ( x) f(x) Bi toỏn tổng quát: Hàm f : R R \ {3} tho¶ m·n: f(x a) , x R f(x) lµ hµm tuần hoàn vì: f(x+4a) = f(x), x R Vớ d Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x 4) f(x 4) f(x), x R CMR: f(x) hàm tuần hoàn Giải Tõ gi¶ thiÕt cã: f ( x 4) f ( x 4) f ( x) f ( x 8) f ( x 4) f ( x 8) f ( x 4), x R f ( x 8) f ( x) f ( x 4) f ( x 12) f ( x) f ( x 24) f ( x) Ví dụ Cho hàm f : R R thỏa mãn: 1, f(x 3) f(x) 2, f(x 2) f(x) Đặt g(x) f(x) x, x R CMR : g(x 6) g(x), x R ( CMR: g(x) hàm tuần hon) Gii Đặt g(x) = f(x) x, x R Ta chøng minh: g(x + 6) = g(x), x R Ta cã: g ( x 6) f ( x 6) x f (( x 3) 3) x f ( x 3) x g ( x 6) f ( x 3) x f ( x) x g ( x) (1) T¬ng tù: g ( x 6) f ( x 6) x f (( x 4) 2) x f ( x 4) x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay g ( x 6) f ( x 3) x f ( x) x g ( x) (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: g(x+6) = g(x), x R Vậy f(x) tuần hoàn Bi tng t Bài tập Hàm số y = f(x) xác định với x (; ), đồ thị nhận hai đường thẳng x = a, x = b làm trục đối xứng (b > a) CMR f(x) hàm số tuần hồn HD Giả thiết có: f (a x) f (a x); f (b x) f (b x), x R CM hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2b – 2a Bài tập Cho hàm số y = f(x) xác định với x Biết đồ thị hàm số đối xứng qua điểm A(x ; y ) qua đường thẳng x = b ( b ≠ x0) CMR f(x) hàm tuần hoàn HD Theo giả thiết có: f (x x) f (x x) 2y , x R f (b x) f (b x), x R CM hàm tuần hoàn chu kỳ 4b – 4x0 ( Ví dụ hàm y = sinx thỏa mãn điều kiện Bài tập 4) Bài tập CMR hàm sau khơng tuần hồn: y sin(x ) y tan x Bài tập Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x a) f(x) f (x), x R với a cho trước CMR: f(x) hàm tuần hoàn 1 Giải Ta cã: f (x a) ( f(x) f (x))2 f(x) f (x) f(x) f (x) f ( x 2a ) f ( x a) f ( x a) 1 1 ( f ( x))2 f ( x) f ( x), x R 2 2 Vậy f(x) hàm tuần hoàn Bi tập Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x) a.sin(ux) b.cos(vx), x R (a, b, u, v R* ) CMR: f(x) tuần hoàn khi u Q v Bài tập Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x) f(x 3).f(x 3), x R (1) CMR: f(x) hàm tuần hoàn HD CM f ( x0 ) f ( x0 18) (3) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 10 Một cách tiếp cận tốn hàm số TÌM HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 3.1 Các tốn khơng có điều kiện liên tục 3.1.1 Xét phương trình dạng: f((x)) g(x) - Đặt: (x) t Giải x theo t phương trình: x = h(t) Được: f(t) g(h(t)) hàm số cần tìm - Nếu không rút x theo t biểu thức q phức tạp, cách ta biến đổi g(x) theo (x) : g(x) k((x)) đó: f((x)) k((x)) f(t) k(t) x 2x , x Ví dụ Tìm f(x) R, biết: f x 1 x 1 t 2 2 7t 8t x 1 t2 t 1 t x f (t ) Thử lại thoả m·n Giải Đặt x 1 t 1 2t 2t t2 1 t 1 1 Ví dụ Tìm f(x) R, biết: f x x3 , x x x 1 Gii Đặt t x x ( x ) 3( x ) t 3t f ( x) x3 x x x x x Thử lại thoả mÃn Vớ d Tỡm f(x) R, biết: f( x ) x2 , x Gii Đặt t x x t f (t ) (t 1) t 2t f ( x) x x 2, x R (Tho¶ m·n) Ví dụ Tìm f(x) R*, biết: f( ) 2x 2x , x x 1 2 Gii Đặt t x f (t ) 2 f ( x) 2 x t t t x x Ví dụ Bài tập tương tự Bài tập Tìm f(x) R\{1,-2}, biết: f( HD Đặt 3x x ) , x 0, x x2 x 1 3x 2t x 1 t t 4 x4 t x Vậy f (t ) f ( x) ,x x2 3t x 3t 3t 3x Bài tập Tìm f(x) R\{1}, biết: f(1 ) x 1, x 0, x x t t 2t HD Đặt t x , (t 1) f (t ) 1 x t 1 (t 1)2 t 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 11 Một cách tiếp cận tốn hàm số 3.1.2 Phương trình đa thức Phương pháp:1 - Tìm số nghiệm đa thức: x1, x2, …,xk - Biểu diễn P ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ).Q( x) thay vào phương trình - Tìm đa thức Q(x) Ví dụ (MODOVA) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn đảng thức: ( x 3x 3x 2).P( x 1) ( x3 3x 3x 2).P( x) Giải Gi¶ thiÕt ( x 2)( x x 1).P ( x 1) ( x 2)( x x 1).P( x), x R P(2) P(1) P(0) P(1) P( x) ( x 2)( x 1) x( x 1).Q ( x) Thay vào PT ta được: ( x 2)( x x 1)( x 1)( x 2) x( x 1)Q ( x 1) ( x 2)( x x 1) x( x 1)( x 1)( x 2).Q( x) ( x x 1).Q ( x 1) ( x x 1).Q( x) Q( x) Q( x 1) , x R x x 1 x x Q( x) c, x R P( x ) cx ( x 1)( x 1)( x 2)( x x 1) c số thực x x 1 Ví dụ Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn đảng thức: x( x 3x 3x 2).P( x) ( x 1)( x x 1).P( x 1) Giải Gi¶ thiÕt x( x 2)( x x 1).P( x) ( x 1)( x 1)( x x 1).P( x 1), x R P (1) P(1) P( x) ( x 1)( x 1).Q( x) Thay vào phương trình được: ( x 2)( x x 1) x.( x 1).Q ( x) ( x 1)( x x 1)( x x).Q( x 1), x R Q( x 1) Q( x) ( x x 1).Q ( x) ( x x 1).Q ( x ) , x R x x x x 1 Q ( x 1) Q( x) c, x R P ( x) c( x 1)( x x 1) ( x 1) ( x 1) x x Phương pháp2.- Tìm bậc đa thức (bậc n )(so sánh bậc x hai vế để dự đoán bậc đa thức chứng minh) - Đặt Pn ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 ( an 0) Thay vào phương trình - Đồng hệ số, ta tính a0, a1, …, a n Ví dụ Tìm đa thức P(x) hệ số thực thoả mãn: 2.P ( x) P(1 x) x , x R Giải Gi¶ sư: Pn ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 ( an 0) Pn (1 x) an (1 x) n an 1 (1 x) n 1 a1 (1 x) a0 2.Pn ( x) Pn (1 x) (2an ( 1) n an ) x n x n2 V× 2an ( 1) n an 0, n a2 n a ( 1) a n n 1 1 Đồng hệ số ta thu a1 ; a0 VËy P( x) x3 x 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 12 Một cách tiếp cận tốn hàm số Ví dụ Tìm đa thức P(x) hệ số thực thoả mãn: P( x y ) P ( x) P( y ) 3xy ( x y ), x, y R Giải Gi¶ sư: Pn ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 (1) (an 0) Theo gi¶ thiÕt ta cã: an ( x y ) n an 1 ( x y ) n 1 a1 ( x y ) a0 Pn ( x) ( an x n an 1 x n 1 a1 x a0 ) ( an y n an 1 y n 1 a1 y a0 ) xy ( x y ) §ång nhÊt hƯ sè cđa x y xy n Khi ®ã: P ( x) ax bx cx d ( a 0) Thay vµo hƯ thøc (1) được: a ( x y ) b( x y) c( x y ) d ax3 bx cx d ay by cy d x y xy 3ax y 3axy 2bxy d 3x y 3xy , x, y R d b0 VËy y x cx, c R a 1; c R Bài tập tương tự Bài tập Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn đ¼ng thức: (4 x x)(4 x x 2).P ( x) ( x 1)( x x 2).P (2 x 1) Giải P( x) c( x 1)( x 3x 1) , c số thực 3.1.3 Phương trình dạng: u( x) f ( g ( x)) v( x) f (h( x)) w( x) (Phương trình hai biến phụ thuộc) Phương pháp 1: Đặt t = t(x) cho: g(x) = h(t); h(x) = g(t) Khi thu được: u '(t ) f (h(t )) v '(t ) f ( g (t )) w'(t ) u ( x ) f ( g ( x)) v( x) f (h( x)) w( x) Ta thu hệ: u '( x) f (h( x)) v '( x) f ( g ( x)) w'(t ) f ( g ( x)) m( x) Giải hệ thu được: ( Phương trình dạng 3.1.1 ) f (h( x)) n( x) Ví dụ Tìm f(x) R*, biết: f(x) 2.f( ) x, x (1) x 1 Giải Đặt x Thay vào PT được: f( ) 2.f(t) t, t f( ) 2.f(x) x, x (2) t t x 2 2 x Tõ (1) vµ (2) suy ra: f ( x) x f ( x) , x x 3x 1 Ví dụ Tìm f(x) R\{1}, biết: (x 1)f(x) f( ) , x (1) x x 1 1 1 t x2 , x (2) Giải Đặt x ( 1) f ( ) f (t ) (1 x) f ( ) xf ( x) t t t t x x 1 t ( x 1) f ( x ) ( x 1) f ( x) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ( x 1)2 f ( ) x(1 x) f ( x) x x x x2 x x2 x 1 [( x 1)2 1] f ( x) 1 f ( x) , x 0;1 1 x 1 x (1 x)( x x 1) x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 13 Một cách tiếp cận toán hàm số Ví dụ Tìm f(x) R, biết: 2f(x) 3xf(x) 3x x f ( x) f ( x) x Gii Đặt t x f (t ) 3t (t ) 3t 6 x f ( x) x f ( x) x(2 x) (4 x ) f ( x) x x x 12 x x f ( x) 12 x x , x R ( Thử lại thoả mÃn) x2 Vớ dụ Tìm tất hàm f : R R thỏa mãn: f(x) xf(1 x) x 1, x R Gii Đặt t x f (1 t ) (1 t ) f (t ) (1 t )2 x f (1 x) x(1 x) f ( x) x( x x 1) x f (1 x) f ( x) x [( x(1 x) 1] f ( x) x( x x 2) ( x 1) x3 3x x g ( x) x3 3x x , x R (Thử lại thoả mÃn) x2 x 1 Bài tập tương tự Bài tập Tìm tất hàm f : R R thỏa mãn: a.f(x 1) b.f(1 x) g(x), x R (a, b, g(x) cho trước, g(x) xác định R, a b ) Áp dụng: 1, 2009.f(x 1) 2010.f(1 x) x, x R 2, 2008.f(x 1) 2009.f(1 x) x 1, x R 3, 2008.f(x 1) 2010.f(1 x) x 2x 2, x R HD Đặt t x x t 2, thay vào PT được: a.f(1 t) b.f(t 1) g(t 2), t R a.g (1 x) b.g (1 x) a2 b2 2 Bài tập T×m tất hàm số f : R \ R tho¶ m·n: 3 2x 2 f ( x) f 1005 x, x R \ (1) 3x 3 2010 x( x 1) HD f ( x) 3x x 1 Bài tập Tìm hàm f(x) thỏa mãn: f ( x 1) f x, x 1 2x x x 1 HD f ( x) ,x 4x 2 Nếu việc chuyển đổi hai biến gặp khó khăn, ta phải thực chuyển đổi theo ba biến, V× a b f ( x) nhiều Ví dụ Tìm tất hàm f : R R tha món: f(x) Gii Đặt f 1, x R \ {0;1} (1) 2x x t vào (1) được: t t 0;1 t tx x 1 x t LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 14 Một cách tiếp cận toán hàm số t x t 1 x 1 f f (t ) 1, t 0;1 f f ( x) 1, x 0;1 (2) t 2(t 1) x 2( x 1) Đặt x 1 (1) t x x 1 t t t 1 f f 1, t 0;1 1 t t x x 1 f f 1, x 0;1 (3) 1 x x LÊy (2) – (3)x x 1 1 x x , x 0;1 (4) được: f f ( x) 2 1 x x x 1 6x LÊy (1)x (2x) – (4) ®ỵc: (2 x ) f ( x) x f ( x) , x 2x 7x x 3 x 3 Ví dụ Tìm tất hàm f : R \ { 1} R thỏa mãn: f f x, x R \ { 1} x 1 1 x Gii Đặt y x y3 x3 y3 Khi ®ã (1) trë thµnh: x x 1 1 y 1 x y 1 y 3 y 3 , y 1 f ( x) f ( y) f y 1 y Đặt y x x , x 1 (2) f x 1 1 x x3 y 3 x3 y3 Khi ®ã (1) trë thµnh: x 1 x 1 y 1 x 1 y 3 y y3 f , y 1 f ( x) f ( y) y 1 1 y Lấy (2) + (3) (1) được: f ( x) 3 x x 3 f , x 1 (3) 1 x 1 x x 3 x 3 x3 x ( x) x 1 1 x 2(1 x ) a2 Ví dụ Tìm hàm f(x) biết rằng: f ( x) f x ax a2 a2 Giải Trong (1) thay x được: f ax ax (a 0, x a ) (1) ax a a2 f x ax (2) ax a a2 được: f ax x ax a f x ( ) (3) x x a x a3 Giải hệ (1),(2),(3) cách: (1) + (2) –(3) được: f ( x) , x 0, x a x( x a ) Bài tập tương tự x 1 Bài tập Tìm hàm f(x) xác định x thỏa mãn: f ( x) f x (1) 3x 9x3 6x2 x HD f ( x) ,x 18 x x 1 Bài tập Tìm hàm f(x) xác định x R \ {-1;0;1} thỏa mãn: x f ( x) f (1) x 1 4x2 x f ( x) HD x( x 1) Trong (2) thay x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 15 Một cách tiếp cận toán hàm số 3.1.4 Phương trình hai biến độc lập Phương pháp: Chọn biến giá trị cụ thể phụ thuộc vào biến đưa phương trình dạng 3.1.4 Ví dụ Tìm tất hàm f : R* R* thỏa mãn: f(x)f(y) f(xy) 1 , x, y R* x y Giải Chọn y = Từ lập luận theo x 1 x Chọn y = được: f(x)f(1) f(x) f(x).(f(1) 1) x x x Nếu tính f(1) ta tính f(x) Cho x = ta được: f (1) (loại) f (1)2 f (1) f (1) 1 x VËy f(1) = f ( x) x Ví dụ Tìm tất hàm f : R R thỏa mãn: (2) f(xy) f(x y) f(x y 1) xy 2x 1, x, y R (1) Gii Chọn y = (1) được: f (0) f ( x) f ( x 1) x Chän y = được: (2) f ( x) f ( x 1) f ( x 2) x (3) Thay x = x + vào (3) được: f ( x 1) f ( x) f ( x 3) 3( x 1) (4) LÊy (4) – (1) ®ỵc: f ( x 3) x f (0) (5) TÝnh f(0) ? Thay x = vào (2), x = -2 vào (5) : f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) VËy f(x+3) = x + suy f(x) = x, x R Ví dụ Tìm hàm f : R R thỏa mãn điều kiện sau: 1, f (1) 2, f ( x y ) f ( x) f ( y ), x, y R 3, f ( x) f , x x x Giải Thay x = y = (2) được: f (0) f (0) f (0) Thay x = -1, y= vào (2) được: f (0) f (1) f (1) f (1) 1 Xét x R, x 0, x 1 Ta có: x 1 x 1 f f f f x 1 x 1 x 1 x 1 x x f (1) x 1 x x 1 f x x 1 f ( x) 1 x x 1 x 1 f x f ( x 1) f ( x 1)2 x 1 x 1 x f ( x) f (1) f ( x) 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 16 Một cách tiếp cận toán hàm số x2 f ( x) f ( x) x f ( x) ( x 1) ( x 1)2 ( x 1)2 ( x 1) ( x 1)2 x f ( x) x x f ( x) x, x 0, 1 Vậy f ( x) x Bài tập tương tự Bài tốn Tìm tất hàm f : R R thỏa mãn: f(x y) f(x y) 2f(x).cos y, x, y R f(0) f( ) HD CM: f(t) + f(-t) = 2cos t (1) f ( t ) f (t ) (2) f ( t ) f (t ) sin t (3) LÊy (1) + (2) (3) được: f (t ) sin t cos t f ( x) sin x cos x ( Thử lại thoả mÃn) Bi toỏn Tìm hàm f : R R thỏa mãn điều kiện sau: f (1) 1, 2, f ( x y ) f ( x) f ( y) xy 3, f ( x) f , x x x HD Trong (2) cho x = được: f ( y) f (0) f ( y ) f (0) t t Cho x = y = t/2 được: f (t ) f , t (1) 2 2 1 t Cho x = y = 1/t được: f ( ) f , t t t t f f t 2 Theo (3) ta có: 4 f t t t 2 1 f (t ) t (t 0) (2) t Từ (1) (2) suy f (t ) 3t (t 0) f (t ) t , (t 0) Mà f (0) f (t ) t , t R Vậy f ( x) x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 17 Một cách tiếp cận tốn hàm số 3.2 Tính giá trị hàm số điểm xác định.Phương pháp quy nạp Phương pháp: - Thay trực tiếp giá trị thích hợp x, từ dẫn đến giá trị cần tính - Xây dựng hàm số thoả mãn điều kiện, sau tính giá trị - Xây dựng biểu thức truy hồi, lập công thức tổng quát dãy giá trị x ( trường hợp tính giá trị x nguyên tự nhiên) Ví dụ Cho hàm f : R R thỏa mãn: 1, f(x y) x f(y) 2, f(0) Tính: f(2010) ? Giải Ta cã: f(1) = f(1+0) = + f(0) = + = f(2) = f(1+1) = + f(1) – + = 4……… Quy n¹p: f(n) = n + 2, n N* f( 2010) = 2010 + = 2012 Ví dụ Cho hàm số f ( x) x ax bx cx d ; (a, b, c, d R) Biết f (1) 10; f (2) 20; f (3) 30 TÝnh f (12) f ( 8) 34 10 Gii Đặt g(x) = f(x) 10x, xR Khi ®ã: g(1) = g(2) = g(3) = g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-d/6) Ta cã: f(12) + f(-8) = g(12) + 120 + g(-8) – 80 = 990( 12- d/6+8+d/6) +40 = 1976 f (12) f ( 8) 34 1976 34 2010 10 Ví dụ Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x)f(y) f(xy) 3(x y 2), x, y R (1) Tính f(2007) ? Giải Tríc hÕt tìm hàm f(x) thoả mÃn hệ thức Cho x = y = ta được: f (0) f (0) f (0) 2;3 NÕu f(0)= -2 th×: chän y = (1) trư thµnh: f ( x) f (0) f (0) 3( x 2) f ( x) x 2 Thử lại vào (1) thấy không thoả mÃn Nếu f(0)=3 chọn y = (1) được: f(x)=x + Thử lại thấy thoả mÃn VËy f(2007) = 2010 Ví dụ Cho hàm f xác định N* thỏa mãn: 1, f(n 1) n(1)n 1 2f(n) 2, f(1) f(2011) Tính f(1) + f(2) + …+ f(2010) ? Giải Ta cã: f(2) = 1- 2f(1); f(3) = -2 -2f(2); f(4) = 4- 2f(3); , f(2010) = 2009 -2f(2009); f(2011) = -2010 -2f(2010) Cộng theo vế đẳng thức thu được: f(2) + f(3) +…+ f(2011) = 1– +3 – 4+…+ 2009 – 2010 - 2(f(2) + f(3) +…+ f(2010)) f(1) = f(2011) nªn: 3(f(1)+f(2) + f(3) + …+ f(2010)) = - 1005 f(1)+f(2) + f(3) + …+ f(2010) = - 335 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 18 Một cách tiếp cận toán hàm số Bài tập tương tự Bài tập Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(1) 0; f(m n) f(m) f(n) 3(4nm 1), m, n N Tính f(8)? f( 23) ? HD Ta cã: f (2) f (1 1) f (1) 9; f (4) f (2 2) f (2) 45 63 f (8) f (4 4) f (4) 189 315; f (16) f (8 8) f (8) 756 1395 f (3) f (1 2) f (1) f (2) 21 30; f (19) f (16 3) f (16) f (3) 573 1998 Bài tập Cho hàm f : R R thỏa mãn: f(x) f(y) f(x y) xy 1, x, y R Nếu f(1) = Hãy tìm số nguyên n cho f(n) = n HD CM: f ( n) n 3n §Ĩ f ( n) n n n n Bài tập Tìm tất hàm f : Z R thỏa mãn điều kiện sau: 1) f ( x) f ( y ) f ( x y ) f ( x y ), x, y Z 2) f (0) 3) f (1) HD Trong toán phải cố gắng tính giá trị hàm số số điểm, từ tìm cơng thức tổng qt chứng minh cơng thức ( 2) Theo (1) có: f (0) f (0) f (0) f (0) Ta chứng minh quy nạp công thức: f ( n) n Lại có: f (1) 21 2 , n Z (5) 2n Bài tập Tìm tất hàm số f : N N thỏa mãn điều kiện sau: f ( f (n)) n 2, n N Bài tập Cho hàm f xác định tập số nguyên thoả mãn điều kiện sau: f(0) ≠ 0, f(1) = f(x)f(y) f(x y) f(x y), x, y Z Tính f(7) Bài tập Cho f ( x ) 9x Tính f x 3 2010 2009 f f 2010 2010 Bài tập (KoMal-B381) Cho d·y hµm sè: 2x f1 ( x) TÝnh f (2010) (2010); x3 f n1 ( x) f1 ( f n ( x)), n HD f (2010) (2010) 2010 ; f 2011 (2010) 2 f 2009 (2010) 3 f 2009 (2010); f 2011 (2010) 6037 2010 2012 4027 2010 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 19 Một cách tiếp cận toán hàm số 3.3 Các tốn hàm đơn điệu Ví dụ Tìm tất hàm đồng biến f : R R thỏa mãn: f ( f ( x) y) f ( x y ) 1, x, y R (1) Giải Từ (1) suy ra: f ( x f ( y)) f ( f ( y ) x) f ( x y) 1, x, y R (1') Trong (1) thay y = ta được: f ( f ( x)) f ( x) 1, x R (2) Trong (1) thay x f(x) được: (2) f ( f ( f ( x)) y ) f ( f ( x) y ) f ( f ( x) y 1) f ( x y ) 2, x, y R (3) Trong (2) thay y f(y) được: f ( f ( x) f ( y)) f ( x f ( y)) f ( x y ) (4) Từ (3), (4) suy ra: f ( f ( x) y 1) f ( f ( x) f ( y ) f ( x) y f ( x) f ( y) f ( y ) y Vậy f ( x) x 1, x R Thử lại thấy thỏa mãn Ví dụ Tìm tất hàm đồng biến f : R R thỏa mãn: f ( f ( x) y) f ( x y ) f (0), x, y R (*) Giải Từ giả thiết suy ra: f ( f ( y ) x) f ( x y ) f (0), x, y R f (f (x) y) f (f (y) x) f (x) y f (y) x, x, y R f đồng biến f (x) x f (y) y C, x, y R f (x) C x vào (*) C = f(0) Vậy f(x) = x + f(0) với f(0) tùy ý Bài tập tương tự: Bài tập Tìm tất hàm f :[1; ) [1; ) thỏa mãn: f (xf (y)) yf (x), x, y [1; ) HD CM: f(1) = f đồng biến Xét f(x) > x f(x) < x dẫn đến mâu thuấn Vậy f(x) = x Bài tập Tìm tất hàm đơn điệu f : R R thỏa mãn: f ( x f ( y )) f ( x) y, x, y R 3.4 Các toán hàm liên tục Sau số hàm chuyển đỏi phép toán số học, kết toán sở để giải toán phức tạp Bài toán 1.(Phương trình Cauchy) Xác định hàm f ( x ) liên tục R thỏa mãn điều kiện: f ( x y ) f ( x ) f ( y ), x, y R (1) Giải Từ (1) suy f (0) 0, f ( x) f ( x), f (2 x) f ( x), x R Tương tự ta chứng minh được: f (3x ) f ( x), f (4 x) f ( x), f (5 x) f ( x) Từ chứng minh quy nạp cơng thức: f (nx) nf ( x), x R, n N * - Thật vậy: Giả sử có f (kx) kf ( x), x R, với k nguyên dương Khi có: f ((k 1) x) f (kx x) f (kx) f ( x) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 20 Một cách tiếp cận toán hàm số kf ( x) f ( x) (k 1) f ( x), x R Kết hợp với tính chất f ( x) f ( x) được: f (mx) mf ( x), m Z , x R x x f ( x) f ( m ) mf ( ) f m m mx f ( x) , m Z *, x R m Ta chứng minh: f ( px) pf ( x), p Q, x R - Với p hữu tỷ tồn m N*, n Z* cho: p m n x m m x Khi đó: f x f m mf ( ) f ( x) Vậy f ( px) pf ( x), p Q, x R n n n n Ta chứng minh: f (rx) rf ( x), r R, x R Với số thực r tồn dãy số hữu tỷ ( pn ) cho lim pn r lim pn x rx n n Vì hàm liên tục R nên: lim f ( pn ) f (rx) f ( rx) lim pn f ( x) r f ( x), x R n n Vậy f ( x) f ( x.1) x f (1), x R Thử lại thấy f ( x) ax, a f (1) thỏa mãn Kết luận: f ( x) ax, x R, a R tùy ý Nhận xét – Chỉ cần giả thiết hàm liên tục điểm đủ Vì theo tính chất (1) hàm liên tục R - Kết tốn khơng thhay đổi thay R nửa khoảng [a; ),(; b] - Nếu thêm thay điều kiện liên tục điều kiện f ( x ) có đạo hàm R tốn làm đơn giản Bài tốn 1.1 Tìm hàm f ( x ) xác định có đạo hàm R thỏa mãn điều kiện: f ( x y) f ( x) f ( y ), x, y R (2) Giải Lần lượt lấy đạo hàm (2) theo biến x, y ta f '( x y ) f '( x), x, y R; f '( x y ) f '( y ), x, y R f '( x) f '( y ), x, y R f '( x) const f ( x) ax b Thử lại vào (2) suy b = Vậy f ( x) ax, x R, a R tùy ý Nhận xét Nếu thay điều kiện hàm liên tục điều kiện hàm đồng biến (hoặc nghịch biến R) ta thu kết tương tự Bài toán 1.2 Tìm hàm f ( x ) xác định đồng biến R thỏa mãn điều kiện: f ( x y) f ( x) f ( y ), x, y R (2) x Giải Theo tốn 1, có: f f ( x), x R, m N * m m 1 1 1 Do f(x) đồng biến R nên: f f ( x) f x n n n n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 21 Một cách tiếp cận toán hàm số 1 1 f 1 f ( x) f 1 x lim f ( x) f (0) x 0 n n n n Vậy f ( x ) liên tục x = 0, theo toán suy f ( x) ax, x R, a tùy ý Nhận xét Nếu hàm số nghịch biến R f ( x) ax, x R, a tùy ý Bài toán Xác định hàm f ( x ) liên tục R thỏa mãn điều kiện: f ( x y) f ( x) f ( y ), x, y R (3) Giải – Nhận thấy: f ( x) thỏa mãn - Nếu tồn f ( x0 ) Khi theo (3) có: f ( x0 ) f ( x ( x0 x)) f ( x) f ( x0 x), x R f ( x) 0, x R x x x Lại có: f ( x) f f 0, x R 2 Đặt ln f ( x) g ( x) Khi g(x) liên tục R và: g ( x y ) ln f ( x y) ln( f ( x) f ( y) ln f ( x) ln f ( y) g ( x) g ( y ), x, y R Theo tốn g ( x) bx, b R tùy ý Vậy f ( x) ebx a x với a > tùy ý Bài toán Xác định hàm f ( x ) liên tục R thỏa mãn điều kiện: f (x) , x, y R f (x y) f (y) f (x) 0, x R Giải Đặt x – y = z Khi hệ điều kiện trở thành: f (z y) f (z)f (y), x, y R Theo Bài toán suy f ( x) a x với a > tùy ý f (x) 0, x R Bài tốn Tìm tất hàm đơn điệu f : R R thỏa mãn: f ( x f ( y )) f ( x) y, x, y R (4) Giải - CM: f (y1 ) f (y2 ) y1 y (*) Thay x f(x) vào (4) được: f (f (x) f (y)) f (f (x) y x y f (0) f (f (x y)) Từ (*) f (x y) f (x) f (y), x, y R - Theo Bài toán 1.2 suy f (x) kx, k tùy ý Thay vào (4) được: - Kết luận: f(x) = x f(x) = - x thỏa mãn Hoàn toàn tương tự, ta giải toán sau Bài toán Xác định hàm f(x) liên tục R \ {0} thỏa mãn điều kiện: f (xy) f (x) f (y), x, y R \ {0} (*) HD Vậy f (x) b ln | x |, x R, b R tùy ý Bài toán Xác định hàm f(x) liên tục R thỏa mãn điều kiện: f (xy) f (x) f (y), x, y R HD – CM: f(0) = f(x) = , x R LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hi THPT Lờ Xoay 22 Tài liệu tham khảo SGK Đại số lớp 10 ( Chương trình phân ban) SGK Đại số lớp 11 ( Chương trình phân ban) SGK Đại số lớp 12 ( Chương trình phân ban) Phương trình hàm Nguyễn Văn Mậu 1997 Các toán thi Olimpic Toán - 2007 Bài toán hàm số qua kỳ thi Olimpic – Ngun Träng Tn – 2005 C¸c toán hàm số Phan huy khải 2007 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Nội dung Bài toán tính chất chẵn, lẻ hàm số Bài tốn hàm tuần hồn Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước - Hàm không liên tục - Hàm. .. http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Phần MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ Bài tốn tính chẵn, lẻ hàm số Ví dụ Cho f(x) hàm số đồng thời vừa chẵn vừa... http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một cách tiếp cận toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Đạo hàm hàm số Định nghĩa 1.( Đạo hàm hàm số điểm) Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm