Căn và đế của module

Mở đầu Lí chọn đề tài Cấu trúc module xuất hầu hết lí thuyết toán học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, ideal, nhóm Abel không gian véc tơ Tính linh hoạt phổ quát module đ mang lại ứng dụng to lín Th«ng qua lÝ thut module, chóng ta sÏ cã dịp soi sáng, củng cố lí thuyết không gian véc tơ nhiều lí thuyết toán học khác Trong lÝ thut module, chóng ta ® biÕt ®Õn module tối đại module đơn, từ xây dựng đợc khái niệm đế module Đây hai công cụ quan trọng có hiệu lực việc nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết module Căn đế module với tính chất đ trở thành kiến thức sở đóng vai trò to lớn việc nghiên cứu đồng cấu vành số module nh: Module hữu hạn sinh, module nội xạ, module xạ ảnh, Từ có khả tìm hiểu sâu số đặc trng vành module Là sinh viên ngành S phạm Toán, sở đ đợc trang bị kiến thức tảng module với mong muốn đợc học hỏi, trau dồi thêm vốn kiến thức toán học nói chung lí thuyết module nói riêng Chính đ lựa chọn đề tài: Căn đế module cho khoá luận tốt nghiệp Trong đề tài dự kiến hệ thống kiến thức module làm sở lí luận để tìm hiểu đế bớc sâu nghiên cứu Thêm vào trình bày hệ thống tập áp dụng nhằm hiểu sâu phần lí thuyết Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá cách khoa học khái niệm module, đế module kèm theo ví dụ minh hoạ, nghiên cứu tính chất đế, sâu nghiên cứu đế số lớp vành, module Ngoài ra, khoá luận đa hệ thống tập nhằm vận dụng củng cố lí thuyết Đối tợng phạm vi nghiên cứu Đối tợng mà khoá luận nghiên cứu đế module, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tập trung vào tính chất Bên cạnh đó, khoá luận trình bày hệ thống khái niệm bổ trợ cã thĨ coi nh− kiÕn thøc chn bÞ phơc vơ cho việc nghiên cứu đối tợng hệ thống tập áp dụng nhằm củng cố lí thuyết Phơng pháp nghiên cứu + Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Trớc hết đọc tài liệu liên quan đến đại số đại, module để tìm hiểu sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối tợng Sau đọc, nghiên cứu hiểu định nghĩa, tính chất đế module qua tài liệu liên quan + Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp hệ thống hoá kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, đa vào ví dụ minh hoạ chi tiết ý nghĩa khoa học thực tiễn Khoá luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu cấu trúc module mà cụ thể đế module Bố cục khoá luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận gồm ba chơng Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chơng trình bày cách có hệ thống kiến thức lí thuyết module Cụ thể là: Đại cơng module: Trong bao gồm nội dung nh tìm hiểu module, module con, module thơng, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp vµ tỉng trùc tiÕp module, số module thờng gặp Sau trình bày vấn đề số cặp module đặc biệt có tính chất đối ngẫu với nh−: Module cèt yÕu, ®èi cèt yÕu; module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin Chơng 2: Căn đế module Đây chơng chứa đựng nội dung khoá luận Trong tìm hiểu định nghĩa tính chất đế module Từng bớc sâu nghiên cứu đế sở nghiên cứu module xạ ảnh, module hữu hạn sinh, đế module hữu hạn đối sinh, vành LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chơng 3: Bài tập áp dụng Chơng trình bày hệ thống tập lời giải nhằm áp dụng củng cố lại phần lí thuyết đ trình bày hai chơng trớc Ngoài số tập đề nghị dành cho ngời đọc muốn tìm hiểu thêm module, đế module Trong toàn khoá luận, khái niệm vành đợc giả thiết vành giao hoán có đơn vị LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch−¬ng KiÕn thức chuẩn bị Chơng trình bày khái niệm module, module con, module thơng, đồng cấu module, tích trực tiếp tổng trực tiếp module, số loại module thờng gặp nh module đơn, module tối đại, module tù do, vµ mét sè líp module quan träng cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu: Module cèt yÕu, đối cốt yếu; module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin Đây kiến thức mở đầu giúp tiếp cận tìm hiểu đế module 1.1 Đại cơng module Trong phần ta tìm hiểu kiến thức chung nhÊt vỊ module, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp tổng trực tiếp module, số loại module thờng gặp 1.1.1 Module, module con, module thơng Định nghĩa Cho R lµ mét vµnh M lµ mét nhãm cộng Abel Trang bị cho M phép nhân với phần tử R: R ì M M (r, x) rx thoả m n điều kiện : (i) (a + b)x = ax + bx (ii) a(x + y) = ax + ay (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1.x = x Víi mäi a, b ∈ R; x,y M Khi M đợc gọi R- module hay module vành R Ví dụ: (i) Mỗi ideal vành R R- module (ii) Mỗi vành module (iii) K trờng, K- module không gian vectơ (iv) Mỗi nhóm Abel cộng M đợc coi - module với phép nhân đợc xác định nh sau: Với x M n nx = x + x + + x (tỉng gåm n phÇn tư x) víi n ∈ℤ + ; 0x = 0M ; nx = (-n)(-x) nÕu n ∈ℤ − C¸c vÝ dơ chứng tỏ khái niệm module khái niƯm tỉng qu¸t cđa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khái niệm: Vành, ideal, không gian vectơ nhóm Abel Định nghĩa Mỗi tập không rỗng N R- module M đợc gọi R- module M thân N cịng lµ mét R- module víi hai phÐp céng nhân M thu hẹp vào N Khi M đợc gọi module mở rộng N Ví dơ: (i) Víi M lµ R- module {0} vµ M hai R- module tầm thờng M (ii) Mäi nhãm cđa mét nhãm Abel M lµ Z - module cđa M (iii) M lµ R- module Khi với x M; Tập hợp Rx ={rx | r ∈ R} lµ mét Rmodule cđa M (module xyclic sinh bëi x) (iv) R lµ vµnh Vành đa thức R[x, y] R- module Khi ®ã R[x] lµ mét Rmodule cđa R[x, y] MƯnh đề Mỗi tập N R- module M lµ mét R- module cđa M vµ chØ M ∈ N vµ ax + by ∈ N víi mäi x, y ∈ N ; a, b R Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Điều kiện đủ: Vì x y = 1.x + (−1) y ∈ N víi mäi x, y ∈ N nên N nhóm nhóm cộng M Mặt khác ax = ax + R.0 M ∈ N víi mäi x ∈ N vµ a ∈ R nên N đóng kín với phép nhân Bốn tiên đề module thoả m n cho N N R- module M Vì N R- module M Định nghĩa Cho M lµ R- module vµ N lµ mét module M Khi N nhóm nhóm Abel (M, +) nên ta có nhóm thơng: M N = { x = x + N | x∈M } cïng hai phÐp to¸n: +) PhÐp céng: ( x1 + N ) + ( x2 + N ) = ( x1 + x2 ) + N +) PhÐp nhân vô hớng: R ì M N M N (r , x + N ) ֏ rx + N Víi r ∈ R; x1 , x2 , x ∈ M Khi M N R- module gọi module thơng module M theo module N VÝ dơ: (i) R lµ vµnh, I lµ ideal R Khi R I R- module vµ: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com R I = { x = x + I, ∀x ∈ R } (ii) ∀ n ∈ ℕ* ; n = n module Định nghĩa Cho M R- module Cái triệt M đợc kí hiệu Ann(M), tập tất phần tử a R cho ax = 0, ∀x ∈ M VÝ dơ: Víi I ideal vành R Khi triệt cđa R- module R I lµ Ann( R I ) = I 1.1.2 Đồng cấu module Định nghĩa Cho M, N R - module Một ánh xạ f : M N đợc gọi đồng cấu R - module hay ánh xạ tuyến tính nã tháa m n hai ®iỊu kiƯn: (i) f ( x + y) = f ( x) + f ( y) (ii) f (ax) = af ( x) Víi mäi x, y ∈ M ; a ∈ R NhËn xÐt: (i) f đơn ánh, toàn ánh, song ánh tơng ứng đồng cấu là: Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cÊu (ii) NÕu f (M ) = {0 N } f đợc gọi đồng cấu không kí hiƯu lµ (iii) Kerf = {x ∈ M | f ( x) = 0} = f −1 (0) : Hạt nhân hay hạch f Im f = f (M ) = { y ∈ N | ∃ x M : y = f ( x)} đợc gọi ảnh f Nếu M = N f tự đồng cấu M Nếu f đẳng cấu, M N R - module đẳng cấu viết M N VÝ dơ: (i) Cho N lµ R - module module M ánh xạ N M : Phép nhúng tắc đẳng cấu x x (ii) M N đồng cấu x֏0 (iii) Cho N lµ R - module cđa module M Xét ánh xạ p : M M N _ x֏ x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com p lµ mét toµn cÊu chiÕu tắc Im p = M N ; Ker p = N Mệnh đề ánh xạ f : M N đồng cấu R - module vµ chØ f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y ); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M Chøng minh ( ) f đồng cấu Ta chứng minh f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y ) Vì f đồng cấu nªn ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M ta cã: f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af ( x) + bf ( y) ( ) Ngợc lại f (ax + by) = af ( x) + bf ( y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M th× f ( x + y) = f (1.x + y ) = f ( x) + f ( y) = f ( x) + f ( y) f (ax) = f (ax + y) = af ( x) + f ( y ) = af ( x) VËy f đồng cấu Mệnh đề Nếu ánh xạ f : M M g : M M hai đồng cấu R - module ánh xạ tích gf : M M đồng cấu module Chứng minh Ta cã gf (ax + by ) = g[ f (ax + by )] = g[af ( x) + bf ( y )] = ag[ f ( x)] + bg[ f ( y )] = agf ( x) + bgf ( y ) ∀a, b ∈ R; ∀x, y M Do gf đồng cấu module NhËn xÐt: Cho f : M → N lµ R - ®ång cÊu module Khi ®ã ta cã: (i) f đồng cấu Ker f = M (ii) f lµ toµn cÊu vµ chØ Im f = N (iii) f (− x) = − f ( x) ∀x ∈ M ; f (0M ) = f (0 N ) (iv) NÕu U lµ module cđa M; V lµ module N f (V ) module M Đặc biệt Kerf module M, f (U ) module N Định nghĩa Cho M N R - module KÝ hiƯu HomR (M , N ) lµ tËp gồm tất R - đồng cấu từ M vµo N Víi ∀f , g ∈ HomR (M , N ) vµ ∀a, b ∈ R ta cã: (af + bg )( x) = af ( x) + bg ( x) ∀x ∈ M Khi ®ã: (af + bg )(cx + dy ) = c[af + bg ]( x) + d [af + bg ]( y ) ∀x, y ∈ M ; ∀c, d ∈ R Do ®ã af + bg ∈ HomR (M , N ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TËp HomR (M , N ) với phép toán xác định nh trở thành R - module gọi module đồng cấu từ M đến N Định lí (Định lí đồng cấu module) Cho f : M N đồng cấu R module vµ p : M → M Kerf lµ mét toµn cấu tắc Khi tồn _ đơn cấu f : M Kerf N _ x ֏ f ( x) Sao cho biĨu ®å sau giao hoán: f M N p _ Tức f p = f M K erf f _ Chøng minh Trớc hết ta chứng minh f ánh xạ ThËt vËy, cã x ∈ M Kerf _ nªn x = x + Kerf ∀x ∈ M Gi¶ sư x′ ∈ x ®ã x′ = x Suy x′ − x ∈ Kerf hay f ( x′ − x) = Do ®ã f ( x′) − f ( x) = (vì f đồng cấu) hay f ( x) = f ( x ') VËy tõ x ' = x ta cã f ( x ') = f ( x) Do f ánh xạ Ta có f đồng cấu vì: f (ax + b y ) = f (ax + by ) = f (ax + by) = af ( x) + bf ( y) = a f ( x) + b f ( y); ∀x, y ∈ M , ∀a, b R Mặt khác x Ker f nªn f ( x) = = f ( x) ∀x ∈ M VËy f p = f Hệ Cho f : M N đồng cấu R- module Khi ta có M Kerf ≅ Im f Vµ nÕu f lµ toàn cấu M Kerf N Chứng minh ThËt vËy víi f : M Kerf → N x f ( x) = f ( x) đơn cấu M Kerf Im f Mặt khác Im f = Im f nªn M Kerf ≅ Im f Nếu f toàn cấu Im f = N Do ®ã M Kerf ≅ N Hệ Cho P module N; N module M Khi ta có: M N ≅ (M P) ( N P) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chøng minh XÐt ®ång cÊu f : M P → M N x+P ֏ x+ N Víi mäi x ∈ M DƠ thấy f toàn cấu nên Im f = M N Ta cã: Kerf = {x | f ( x) = 0} = {x + P | f ( x) = 0, x ∈ M } = {x + P | x ∈ N | x ∈ M } = N P VËy Kerf = {x + P | x ∈ M | x ∈ N } = N P Do áp dụng Hệ ta cã: ( M P) ( N P) ≅ M N Hệ Nếu M N hai module cđa cïng mét module th× ta cã: (M + N ) N ≅ M ( M ∩ N ) Chøng minh XÐt ®ång cÊu f : M → (M + N ) N x ֏ f ( x) = x = x + N Ta sÏ chØ f toàn cấu Thật với z = z + N ∈ ( M + N ) N ta cã z = x + y víi x ∈ M , y ∈ N Do ®ã z = z + N = x + y + N = x + N v× y ∈ N suy f ( x) = z Vậy với z ( M + N ) N tồn x M để f ( x) = z nên f toàn cấu Từ suy Im f = ( M + N ) N Mµ Kerf = {x ∈ M | f ( x) = x = 0} = {x ∈ M | x ∈ N } =M N Do áp dụng Hệ cã M (M ∩ N ) ≅ ( M + N ) N 1.1.3 TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiếp module Định nghĩa Cho I tập khác rỗng Giả sử ( M ) I họ Rmodule số hóa I Khi ta xây dựng hai khái niệm: (i) Tích trùc tiÕp: KÝ hiƯu M = ∏ M α lµ tÝch Descartes cña ( M α )α ∈I Ta xây dựng phép cộng I M phép nhân phần tử R với phần tử cña M: a) ( xα )α∈I + ( yα )α∈I = ( xα + yα )α∈I b) a( xα )α ∈I = (axα )α ∈I Víi mäi a ∈ R,( xα )α ∈I ∈ M ; ( yα )α∈I ∈ M Với hai phép toán M R- module R- module M xây dựng nh đợc gọi tích trực tiếp họ R- module 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ( M α )α ∈I Ta cã ∏ M α = { ( xα )α∈I | xα ∈ M α } NÕu M α = N ∀α ∈ I th× ta kÝ hiÖu α ∈I ∏ M α bëi N I α ∈I (ii) Tæng trùc tiÕp: Trong M = ∏ M α ta lÊy tËp ⊕ M bao gồm tất phần tử M với I I thành phần hầu hết trừ mội số hữu hạn thành phần cã thĨ kh¸c Tøc ⊕ M α = {( xα )α ∈I | xα ∈ M α ; xα = trừ số hữu hạn } I Khi M R- module vµ lµ module cđa ∏ M α α I I M đợc gọi tổng trùc tiÕp cđa hä c¸c R- module ( M α ) α∈I α ∈I NÕu M α = N ∀α ∈ I th× ta kÝ hiƯu ⊕ M α bëi N ( I ) α ∈I NhËn xÐt: (i) NÕu hä c¸c R- module ( M α ) I gồm số hữu hạn module ta cã: ∏ Mα = ⊕ Mα α ∈I α I (ii) Nếu coi vành R R- module tÝch trùc tiÕp cđa nR- module R kÝ hiƯu lµ R n Định nghĩa (Tổng trực tiếp trong) Cho {N } I họ tùy ý module cđa R- module M Khi ®ã nÕu Nα ∩ [ ∑ N β ] ={0} ∀ α ∈ I N đợc I I gọi tổng trực tiếp họ module đ cho Kí hiệu N ; ⊕ Nα ={ ∑ xα | xα ∈ M α ; x = hầu hết trừ số hữu h¹n} α ∈I α ∈I α ∈I Mét module N M đợc gọi hạng tử trực tiếp cđa M nÕu tån t¹i mét module F cđa M ®Ĩ M = N ⊕ F VÝ dơ: R vành Khi vành đa thức R[x, y] R- module nhận R[x] yR[x, y] làm R- module cđa nã vµ ta cã R[x, y] = R[x] ⊕ yR[x, y]; R[x] vµ yR[x, y] lµ hạng tử trực tiếp R[x, y] Nhận xét: N lµ tỉng trùc tiÕp cđa hä {Nα }α I phần tử x biểu diễn cách dới dạng sau: 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bµi 12 Cho ℤ - module M PhÇn tư a ∈ M đợc gọi phần tử xoắn tồn mét sè tù nhiªn n ≠ cho na = Trái lại a đợc gọi phần tử không xoắn M đợc gọi nhóm Abel xoắn phần tử xoắn M đợc gọi nhóm Abel không xoắn phần tử không xoắn Chứng minh rằng: a) Nếu M nhóm Abel không xoắn Soc(M) = 0; b) Nếu M nhóm Abel xoắn Soc(M) * M; c) Nếu M nhóm Abel chia đợc Rad(M) = M Bài 13 Chứng minh với R- module M ta có: a) Rad(M) giao hạt nhân tất đồng cấu khác đồng cấu không từ M đến module đơn N; b) Soc(M) tổng ảnh tất đồng cấu khác đồng cấu không từ module đơn N đến M Bài 14 Cho vành R Khi ta có hai mệnh đề sau tơng ®−¬ng: (a) Rad(M) ⊂ M víi mäi M (b) Không tồn module M mà Rad(M) = M Bµi 15 Cho U lµ mét module cđa R- module M Chøng minh r»ng: a) U = Rad(M) vµ chØ U ⊂ Rad(M) vµ Rad(M/U) = b) U = Soc(M) vµ chØ U ⊃ Soc(M) vµ Soc(U) = U c) NÕu U ⊂ M Rad( M U ) = U = Rad(M) d) NÕu U ⊂* M vµ Soc(U) = U U = Soc(M) Bài 16 Chứng minh vành R mệnh đề sau tơng đơng: (a) Soc(M) * M với M (b) Soc(M) ⊂* M víi mäi module xyclic M (c) Không tồn module M mà Soc(M) = Bµi 17 Cho R- module M Chøng minh r»ng nÕu Soc( M ) ⊂ N ⊂ M vµ Soc( M N ) ⊂* M N th× ta cã N * M Bài 18 Giả sử M nhãm Abel TËp T(M) = {a ∈ M | ∃n ∈ N , na = 0} lµ mét nhãm xo¾n cđa M Chøng minh r»ng: a) i) Soc ( M ) ⊂ * M vµ chØ T ( M ) = M ; 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ii) Soc ( M ) = vµ chØ T ( M ) = 0; b) U ⊂* M vµ chØ Soc ( M ) ⊂ U vµ T ( M U ) = M U Bµi 19 Chøng minh vành R, Rad(R) tập tất phần tử r R cho - rs khả nghịch với s R Bài 20 Chứng minh vành R, Rad(R) ideal lớn số ideal A mà a A, a khả nghịch 3.2 Lời giải Bài Với - module Khi với phép nhân giữ nguyên Tức a ∈ ℤ, x ∈ ℤ : a * x = Nó thoả m n tiên đề một, hai ba định nghĩa module: Tiên đề 1: a * ( x + y ) = a * x + a * y = Tiên đề 2: (a + b) * x = a * x + b * x = Tiên đề 3: (ab) * x = a * (b * x) = Tuy nhiên phép nhân không thoả m n tiên đề 4: 1* x = ≠ x víi mäi x Do tiên đề thứ t độc lập với tiên đề lại Bài Giả sử hạng tử trực tiếp - module , nghĩa tồn module A khác kh«ng cđa ℚ cho ℚ = ℤ ⊕ A LÊy a ∈ A, a ≠ Gi¶ sư a = p q , p, q ∈ ℤ V× a ≠ nªn p = qa ≠ suy p ∈ ℤ ∩ A, ®ã ℤ ∩ A (mâu thuẫn) Vậy hạng tư trùc tiÕp cđa ℤ - module ℚ Bµi Gi¶ sư λ1a1 x1 + λ2 a2 x2 = víi λ1 , λ2 ∈ R (*) V× {x1 , x2 } độc lập tuyến tính nên từ suy λ1a1 = λ2 a2 = V× {a1 x1 , a2 x2 } sinh M nªn: x1 = µ1a1 x1 + µ2 a2 x2 = µ1a1 x1 , à1 , R (vì {x1 , x2 } độc lập tuyến tính nên à2 a2 = ) T−¬ng tù ta cã x2 = ϕ1a1 x1 + ϕ a2 x2 = ϕ a2 x2 , ϕ1 ,ϕ2 ∈ R Tõ ®ã ta cã λ1 x1 + λ2 x2 = λ1µ1a1 x1 + λ2 µ a2 x2 = µ1 (λ1a1 ) x1 + ϕ (λ2 a2 ) x2 = (v× λ1a1 = λ2 a2 = ) Suy λ1 = λ2 = {x1 , x2 } độc lập tuyến tÝnh KÕt hỵp víi (*) ta cã {a1 x1 , a2 x2 } sở M Bài ( ) p |F đẳng cấu nên đơn cấu Do Ker p |F = F ∩ N = ( ⇐ ) F ∩ N = Ta chøng minh p |F đẳng cấu 59 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ThËt vËy víi mäi x ∈ M N : x ∈ M V× M = N ⊕ F nên tồn x1 F , x2 N cho: x = x1 + x2 suy x = x1 + x2 = x1 + x2 = x1 (vì x2 N nên x2 = ) Do ®ã x = x1 = p |F ( x1 ) Vậy p |F toàn cấu Mặt khác víi x ∈ Kerp |F suy p |F ( x) = hay x = nªn x ∈ N Do ®ã Kerp |F = F ∩ N = suy p |F đơn cấu Vậy p |F đẳng cấu Bài Xét t−¬ng øng: f : M ⊕ M → M × M x1 + x2 ֏ ( x1 , x2 ) Víi x1 ∈ M ; x2 ∈ M Ta cã f lµ mét ¸nh x¹ ThËt vËy víi x = x1′ + x2′ ; x1′ ∈ M , x2′ ∈ M Từ đẳng thức x1 + x2 = x1 + x2′ suy x1 − x1′ = x2 − x2′ ∈ M ∩ M = (v× x1 − x1′ ∈ M ; x2 − x2′ ∈ M ) Tõ ®ã ta cã x1 − x1′ = 0; x2 − x2′ = hay ( x1 , x2 ) = ( x1′, x2′ ) VËy f ( x1 + x2 ) = f ( x1′ + x2 ) Do f ánh xạ Mặt khác với x M + M : x = x1 + x2 ; x1 ∈ M ; x2 ∈ M ; y ∈ M + M : y = y1 + y2 ; y1 ∈ M , y2 ∈ M vµ a, b ∈ R ta cã: ax + by = a ( x1 + x2 ) + b( y1 + y2 ) = (ax1 + by1 ) + (ax2 + by2 ) Suy ra: f (ax + by ) = f ((ax1 + by1 ) + (ax2 + by2 )) = (ax1 + by1 , ax2 + by2 ) = (ax1 , ax2 ) + (by1 , by2 ) = a ( x1 , x2 ) + b( y1 , y2 ) = af ( x) + bf ( y ) Vậy f đồng cấu Ta có x ∈ Kerf : f ( x) = víi x = x1 + x2 ; x1 ∈ M , x2 ∈ M Do ®ã f ( x) = ( x1 , x2 ) = = (0,0) suy x1 = 0; x2 = nªn x = x1 + x2 = VËy f đơn cấu Ta f toàn cÊu ThËt vËy víi mäi z ∈ M × M ; z = ( x1 , x2 ); x1 ∈ M , x2 ∈ M ®ã ta cã: z = ( x1 , x2 ) = f ( x1 + x2 ) nên f toàn cấu Vậy f đẳng cấu hay M ⊕ M ≅ M × M Bµi a) Chøng minh ℤ m ⊕ ℤ n ≅ ℤ mn XÐt quy t¾c f : ℤ m ⊕ ℤ n → ℤ mn ( x, y ) ֏ nx + m y Tr−íc hÕt ta chøng minh f ánh xạ Với x, x m ; y, y′ ∈ ℤ n vµ ( x, y ) = ( x′, y′) 60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  x = x′ ( x − x′)⋮ m n( x − x′)⋮ mn suy  hay  ⇔ ′ ( − ) y y ⋮ n  m( y − y′)⋮ mn  y = y′ Tõ ®ã f ( x, y ) − f ( x′, y′) = (nx + m y ) − (nx′ + m y′) = nx − x′ + m y − y′ = vËy f lµ ánh xạ Mặt khác với ( x, y ); ( x′, y′) ∈ ℤ m ⊕ ℤ n ; ∀a, b ∈ ℤ, ta cã: f (a ( x + y ) + b( x′ + y′)) = f (a x + bx′, a y + b y′) = n(ax + bx′) + m(ay + by′) = n(ax + bx′) + m(ay + by′) = a (nx + m y ) + b(nx′ + m y′) = af ( x, y ) + bf ( x′, y′ ) Do ®ã f đồng cấu module Với ( x, y ) ∈ Kerf ta cã f ( x, y ) = suy nx + m y = ⇔ nx + my =  x = ∈ m Do (nx + my ) mn Mà (m, n) = nên x m x n hay   y = ∈ ℤ n VËy nên Kerf = hay f đơn cấu Với z mn (m, n) = nên tån t¹i x, y ∈ ℤ cho xn + my = Mặt khác z = z.1 nên z = z ( xn + ym) = (nxz + m yz ) = nu + mv ∈ ℤ mn Víi u = xz ∈ ℤ m ; v = yz n Do f toàn cấu Vậy f đẳng cấu hay m ⊕ ℤ n ≅ ℤ mn b) Ta cã mn module tự nên mn module xạ ảnh Mặt khác theo phÇn (a) ta cã ℤ m ⊕ ℤ n mn nên áp dụng Định lí 4, ch.1, m mn module xạ ¶nh Ta cã m.a = ma = víi mäi a m nên phần tử {a} ℤ mn − module ℤ m ®Ịu phơ thc tun tính Vì m không mn module tự Bài Để chứng minh R xạ ảnh Ta chứng minh R = R ⊕ R (1 − α ) ThËt vËy hiÓn nhiªn ta cã Rα + R(1 − α ) ⊂ R Mặt khác với x R; x = xα + x(1 − α ) suy x ∈ Rα + R (1 − α ) hay R ⊂ Rα + R (1 − α ) VËy R = Rα + R (1 − α ) Bây ta giả sử x R R (1 − α ) ®ã ∃m, n ∈ R cho: x = nα vµ 61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x = m(1 − α ) Ta cã nα = m(1 − α ) hay nα = m(1 − α )α tõ ®ã suy ra: nα = mα − mα = Hay x = Do ®ã Rα ∩ R(1 − α ) = VËy R = Rα ⊕ R (1 ) Mà R module xạ ảnh R- module tự Do áp dụng Định lí 4, ch.1, ta có R R- module xạ ảnh Bài Giả sử M R- module hữu hạn sinh, sinh tập {x1 , x2 ,…, xn } Ta cã: Ann( M ) = {a ∈ R | aM = 0} ( ⇒ ) XÐt ®ång cÊu ϕ : R → M n víi a ֏ (ax1 , ax2 ,…, axn ) Kerϕ = Ann( M ) ®ã R Ann( M ) M n đơn cấu nhúng tắc Vì M module Noether nên M n module Noether Khi d y tăng module R Ann( M ) d y tăng M n phải dừng Vậy R Ann( M ) vµnh Noether ( ⇐ ) R Ann( M ) lµ vành Noether Khi với M R- module hữu hạn sinh R Ann( M ) - module Noether Do M R- module Noether Bµi Ta cã C[0; 1] = { f :[0; 1] R | f hàm liên tục } Giả sử ta có d y module cña C[0; 1] : ( x ) ⊆ ( x ) ⊆ ( x ) ⊆ … ⊆ ( n x ) ⊆ … Ta sÏ chøng minh d y không dừng Ta có n x= xn =x = Suy ( x ) ⊂ ( n Gi¶ sư n x +1 n +1 x ) Hơn có ( x ) ( n ∈( x) n ∀x ≠ : f ( x) = n ( n+1) Do ®ã n x +1 x ®ã n x +1 n +1 = f n ( n +1) n ( n +1) x ) ThËt vËy cã ( x) x n víi x n x +1 n +1 x ∈ ( n+1 x ) n x +1 ∈ (n +1 x) f ( x) ∈ C[0; 1] VËy vµ ta cã lim f ( x) = + = f (0) Vô lí f ( x) ∈ C[0; 1] x →0 + ∉ ( n x ) suy ( n x ) ≠ (n +1 x ) Do ®ã d y không dừng nên vành tất hàm thực liên tục đoạn [0; 1] vµnh Noether 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 10 Giả sử M R- module Artin f : M M tự đơn cấu Ta chứng minh f đẳng cấu Xét d y: Im f ⊇ Im f ⊇ … ⊇ Im f n (1) Vì M module Artin nên d y (1) phải dừng Do tồn t¹i n cho Im f n = Im f n +1 hay f n ( M ) = f n +1 ( M ) ∀x ∈ M : f n ( x) ∈ f n ( M ) = f n+1 ( M ) Suy ∃y ∈ M : f n ( x) = f n+1 ( y ) hay f n ( x) = f n ( f ( y )) (*) Vì f đơn cấu nên f n đơn cấu Từ (*) ta cã x = f ( y ) ∈ Im f nên M Im f Mặt khác Im f ⊂ M VËy M = Im f hay f toàn cấu Vậy f tự đẳng cấu n n i =1 i =1 Bµi 11 Ta cã Soc(M) ≠ ∅ Gi¶ sư x, y ∈ Soc( M ) Khi ®ã x = ∑ xi ; y = ∑ yi víi ≠ xi , yi Ei , Ei module đơn cña cña M Ta cã: n n n i =1 i =1 i =1 x + y = ∑ xi + ∑ yi = ∑ ( xi + yi ) ∈ Soc( M ) n n i =1 i =1 Víi a ∈ ℤ; ax = a ∑ xi = axi Soc( M ) Do Soc(M) - module M Mặt khác Soc( M ) = E với E chạy khắp tập module đơn M Mà module đơn E nhóm xyclic cấp nguyên tố Do Soc(M) sinh phần tử cấp nguyên tố Bài 12 a) M nhóm Abel không xoắn Giả sử Soc( M ) Khi tồn module đơn E M E nhóm xyclic cấp nguyên tố Gọi p cấp E Ta cã E = ( x) = {ax | a ∈ ℤ; x ∈ M } vµ px = víi p số nguyên tố Do p Suy x phần tử xoắn M, trái giả thiết Vậy Soc(M) = b) Giả sư E lµ mét module bÊt kú cđa M sinh phần tử có cấp nguyên tố Ta chứng minh: E ⊂* M ThËt vËy, víi ∀B ≠ 0, B ⊂ M Gi¶ sư E ∩ B = , ®ã víi ∀b ∈ B, ∃n ∈ ℕ : nb = (do B cịng lµ nhóm Abel xoắn) Mà với số tự nhiên n phân tích thành tích thừa số nguyên tố, b E Điều mâu thuẫn với điều giả sử Do vậy, E ∩ B≠ Theo bµi 11, ta cã: Soc(M ) = E , E module M sinh phần tử có cấp nguyên tè Do ®ã, Soc(M ) ⊂* M 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com c) M lµ nhóm Abel chia đợc, tức M = nM với n số tự nhiên khác không Giả sử A module tối đại M Ta có A ≠ M vµ A ⊂ M = nM Khi với x A có x M = nM Do ®ã ∃ B ⊂ M cho x ∈ nB Suy A ⊂ nB M trái với tính tối đại A Vậy M module tối đại hay Rad(M) = M Bài 13 a) Ta xét đồng cÊu f : M → N Víi f ( M ) ≠ vµ f ( M ) ⊂ N Mà N module đơn nên ta có f ( M ) = N Mặt khác M Kerf ≅ N suy Kerf lµ module tối đại M Do theo định nghĩa Rad(M) Rad(M) = Kerf với Kerf hạt nhân đồng cấu từ M đến module đơn N b) XÐt ®ång cÊu g : N → M Ta cã Kerg ⊂ N Mµ N lµ module đơn g khác đồng cấu không nên Kerg = Do g đơn cấu g(N) = Img ≅ N Suy g(N) cịng lµ mét module đơn M Theo định nghĩa Soc(M) Soc(M) = ∑ g ( N ) víi g(N) lµ ảnh đồng cấu từ module đơn N đến M Bài 14 (a) (b) Vì Rad(M) M, ∀ M nªn ta cịng cã Rad(M) ⊂ M , M Do tồn module E ≠ M cho: Rad(M) + E ≠ M (1) Giả sử tồn module M mà Rad(M) = M Khi từ (1) có M + E ≠ M V« lÝ VËy kh«ng tån module M mà Rad(M) = M (b) ⇒ (a) Víi M = ta cã Rad(M) = nªn Rad(M) ⊂ M Víi M ≠ Rad(M) M Theo Định lí 1, ch.2, ta có Rad(M) = chạy khắp tập module đối cèt u cđa M NÕu module ®èi cèt u tøc Rad(M) = n ∑ Bi ; i =1 ta cã: n ∑ Bi ⊂0 M i =1 B©y giê B với B B tổng hữu hạn Bi M theo Mệnh đề 12, ch.1 hay Rad(M) ⊂ M ∑ B lµ tổng vô hạn hay Rad(M) = Bi ; Bi ⊂0 M ; i = 1,2, i =1 64 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gi¶ sư E ⊂ M, E ≠ M vµ Rad(M) + E = M Suy ra: ∞ ∞ i =1 i =2 ∑ Bi + E = M ⇔ B1 + (∑ Bi + E ) = M V× B1 ⊂ M nªn cịng cã ∞ ∞ i=2 i =3 ∑ Bi + E = M ⇔ B2 + (∑ Bi + E ) = M ; Mµ B2 ⊂ M , nªn ta ∞ ∑ Bi + E = M ; ∀i = 3, 4, i =3 Tiếp tục trình ta có E = M Do ®ã tõ (1) ta cã Rad(M) ⊂ M VËy víi mäi R- module M ta lu«n cã Rad(M) ⊂ M Bµi 15 a) ( ⇒ ) Cã U = Rad(M) nªn hiĨn nhiªn U ⊂ Rad(M) Mặt khác theo phần (I), 2) Định lí 2, ch.2, ta cã Rad ( M Rad ( M )) = Mà Rad(M) = U nên ta có Rad( M U ) = ( ⇐ ) Theo gi¶ thiÕt ta cã U ⊂ Rad(M) vµ Rad( M U ) = ; U ⊂ M Do ®ã áp dụng phần (I), 3) Định lí 2, ch.2, ta cã Rad(M) ⊂ U VËy U = Rad(M) b) ( ⇒ ) Cã U = Soc(M) Do ®ã U Soc(M) Mặt khác ta có U Soc(M) nên theo phần (II), 2) Định lí 2, ch.2, ta cã Soc(U) = U ( ⇐ ) Ta cã U Soc(M) Mặt khác Soc(U) = U U M nên áp dụng phần (II), 3) Định lÝ 2, ch.2, ta cã U ⊂ Soc(M) Do ®ã U = Soc(M) c) Ta cã U ⊂ M vµ Rad(M/U) = nên theo phần (I), 3) Định lí 2, ch.2, Rad(M) U Lại theo giả thiÕt U ⊂ M mµ Rad(M) = ∑ B với B chạy khắp tập module đối cốt u cđa M nªn U ⊂ Rad(M) VËy U = Rad(M) d) Theo Định lí 1, ch.2, Soc(M) = C với C chạy khắp tập module cốt yếu M Ta lại có U * M nên suy Soc(M) U Do kết hợp với Soc(U) = U theo phần b) ta có U = Soc(M) Bài 16 (a) (b) Vì Soc(M) * M víi mäi M nªn hiĨn nhiªn Soc(M) ⊂* M víi mäi module xyclic M (b) ⇒ (c) Cã Soc(M) ⊂* M víi mäi module xyclic M Gi¶ sư tån module M mà Soc(M) = Khi ®ã ta cã ⊂* M suy M = trái với điều giả sử Vậy không tồn module M ≠ mµ Soc(M) = 65 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (c) ⇒ (a) Víi M = ta cã Soc(M) = nªn Soc(M) ⊂* M Víi M ≠ th× theo (c) ta có Soc(M) Theo Định lí 1, ch.2, ta cã Soc(M) = ∩ C víi C ch¹y khắp tập module cốt yếu M n Nếu C hữu hạn tức Soc(M) = Ci ; Ci * M theo Mệnh đề 11, ch.1 ta i =1 n cã ∩ Ci ⊂* M hay Soc(M) ⊂* M i =1 ∞ B©y giê Soc(M) = C với C vô hạn, tức Soc(M) = Ci ; Ci * M i =1 Gäi A lµ module cđa M cho Soc( M ) ∩ A = Ta sÏ chøng minh A = ∞ ∞ i =1 i =2 ThËt vËy, ta cã Soc( M ) ∩ A = ⇔ ( ∩ Ci ) ∩ A = hay C1 ∩ ( ∩ Ci ) A = Vì C1 M nên tõ ®ã suy ( ∩ Ci ) ∩ A = Mµ C2 ⊂* M vµ * i =2 ∞ ∞ ∞ ∞ i =2 i =3 i =2 i =3 ( ∩ Ci ) ∩ A = C2 ∩ ( ∩ Ci ∩ A) nªn tõ ( ∩ Ci ) ∩ A = suy ( ∩ Ci ) ∩ A = TiÕp tơc qu¸ trình ta có: A = Hay Soc(M) * M Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 17 Vì M N M nên áp dụng HƯ qu¶ 2, ch.2, ta cã Soc( M N ) Soc( M ) Mặt khác với M ta lu«n cã Soc( M ) ≠ Thật giả sử M mà Soc( M ) = Suy Soc( M N ) = Mà giả thiết có Soc( M N ) ⊂* M N tõ ®ã ⊂* M N vô lí Do Soc( M ) với M Từ theo tập 16 ta cã Soc( M ) ⊂* M , ∀M Mà giả thiết có Soc( M ) N M nên theo Mệnh đề 11, ch.1 ta có N ⊂* M Bµi 18 (a) i) ( ⇒ ) Cã Soc ( M ) ⊂ * M Ta sÏ chØ T ( M ) = M Ta cã: T ( M ) ⊂ M Ta chøng minh: M ⊂ T ( M ) Víi ≠ x ∈ M suy ∃B = ( x) ⊂ M lµ module xyclic sinh bëi x Khi Soc( M ) * M nên ta cã B ∩ Soc( M ) ≠ Do ®ã tån t¹i ≠ nx ∈ B ∩ Soc( M ) Vì Soc ( M ) sinh phần tử cấp nguyên tố nên tồn số nguyên tố p thoả m n: pnx = Do pn nên x 66 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phần tử xoắn hay x ∈ T ( M ) Suy M ⊂ T ( M ) VËy T ( M ) = M ( ) Ngợc lại T ( M ) = M tøc lµ M lµ nhãm Abel xoắn theo 12, b) ta có Soc ( M ) ⊂ * M ii) ( ⇒ ) Cã Soc ( M ) = Ta chøng minh T ( M ) = Gi¶ sư T ( M ) ≠ , tøc lµ M tồn phần tử x cho n ℕ : nx = ⇔ p.n1 x = p số nguyên tố, n1 Điều chứng tỏ n1 x phần tử cã cÊp nguyªn tè p Suy n1 x ∈ Soc( M ) suy Soc(M ) ≠ , mâu thuẫn với giả thiết Vậy điều giả sử sai, ®ã T ( M ) = ( ⇐ ) Ta cã T ( M ) = nên M không xoắn, theo 12, a) ta có Soc ( M ) = (b) ( ⇒ ) U ⊂* M CÇn chøng minh Soc ( M ) ⊂ U vµ T ( M / U ) = M / U V× U ⊂* M nên từ Định lí 1, ch.2, Soc( M ) = C với C chạy khắp tập C * M module cèt yÕu cña M suy Soc ( M ) ⊂ U Theo phÇn a) ta cã: T ( M U ) = M U ⇔ Soc ( M U ) ⊂* M U Mµ Soc(M U ) = ∩ C Víi bÊt kú C ⊂* M U , ta cã giao bÊt kú C ⊂* M /U ∩ C ⊂* M U C * M U (theo phần chứng minh 16) Do ®ã Soc ( M U ) ⊂ M U * Vậy ta có điều phải chứng minh ( ) Cã Soc ( M ) ⊂ U vµ T ( M U ) = M U Do ®ã theo bµi 12, b) cã Soc ( M U ) * M U Mặt khác Soc ( M ) U M nên theo 17 ta có U * M Bài 19 Giả sử I ideal vành R xác định bởi: I = {r R |1 rs khả nghịch s ∈ R} Ta sÏ chøng minh Rad(R) = I ThËt vËy víi r ∈ I ta cã rs ∈ I ; ∀s ∈ R vµ − rs lµ khả nghịch Do áp dụng Định lí 9, ch.2, ta có I Rad ( R) (1) Ngợc lại, với x Rad ( R ); s R ta cã xs ∈ Rad ( R ) nªn theo HƯ qu¶ 1, ch.2, ta cã xsR ⊂ R (*) Và xsR + (1-xs)R = R nên từ (*) suy (1-xs)R = R 67 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do tồn t ∈ R : (1 − xs )t = hay xs khả nghịch s R Suy x ∈ I VËy Rad ( R ) ⊂ I (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã Rad(R) = I Vậy Rad(R) tập tất phần tư r ∈ R cho - rs kh¶ nghịch s R Bài 20 Ta có A ideal mà a A, a khả nghịch Do theo Định lí 9, ch.2 A ⊂ Rad ( R ) Mµ Rad(R) lµ mét ideal R với r R r khả nghịch (theo 19) nên Rad(R) ideal lớn thỏa m n điều kiện đầu 3.3 Bài tập đề nghị Bài Cho R miền nguyên M R- module sinh tập S Chứng minh M xoắn phần tử S xoắn Bµi Cho M lµ R- module; N lµ R- module M Giả sử N M N hữu hạn sinh Chứng minh M module hữu hạn sinh Bài Chứng minh M R- module hữu hạn sinh M lµ mét R* = R Ann( M ) - module hữu hạn sinh Bài Giả sử R- module M khác không; N module thực cđa M vµ a ∈ M N Chøng minh rằng: 1) M có module K tối đại với tÝnh chÊt N ⊂ M vµ a ∉ K 2) NÕu M = aR + N th× M cã module tối đại K với tính chất N M vµ a∉K Bµi Cho f : M N đồng cấu R- module M module M thoả m n M ⊆ Kerf Chøng minh r»ng tån t¹i nhÊt mét ®ång cÊu f : M M → N cho f p = f , ®ã p : M → M M lµ phÐp chiếu tắc Chứng minh f đơn cÊu nÕu vµ chØ nÕu M = Kerf Bài Cho V K- không gian vevtơ; dim V = ∞ hay dim V = | ℕ | V có sở {e1 , e2 , e3 , , en , } Chøng minh r»ng V có K- không gian vectơ W ( W V ) đẳng cấu với V Bài Chứng minh R- module P xạ ảnh tồn Rmodule tự F cho P ⊕ F lµ mét R- module tù 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bµi Chøng minh r»ng nÕu Q = ∏ Qi Q module nội xạ I Qi nội xạ với i I Bµi Chøng minh r»ng ℚ ℤ lµ mét - module nội xạ Dựa vào tính nội xạ cña ℚ ℤ h y chøng tá r»ng nÕu x phần tử khác không M tồn t¹i f ∈ M * cho f ( x) Từ suy ánh xạ tự nhiên: : M ( M * )* cho bëi µ ( x)( f ) = f ( x) víi x ∈ M , f ( x) ∈∈ M * đơn cấu R- module Bài 10 Cho M , M module mét R- module M Chøng minh r»ng nÕu M ∩ M vµ M + M lµ module Noether M M module Noether Bài 11 Giả sử M module hữu hạn sinh Chứng minh M Rmodule Artin vành thơng R Ann( M ) lµ mét vµnh Artin Bµi 12 Cho R vành Hỏi vành đa thức R[X] vành Artin đợc không? Bài 13 Chứng tỏ r»ng nÕu A ∩ B = vµ ( A + B ) B * M B B bù giao A M Bài 14 Giả sử M ⊕ M i vµ B lµ module cđa M Khi mệnh đề sau I tơng đơng: (a) ( B ∩ M i ) lµ module cèt yÕu M i ∀i ∈ I (b) ⊕( B ∩ M i ) lµ cèt yÕu M I (c) B cèt yÕu M Bµi 15 Cho R- module M Các mệnh đề sau tơng đơng: a) Mỗi module M hạng tử trực tiếp M b) Mỗi module M có bù cộng tính Rad(M) = Bài 16 Giả sử Soc(M) N M a ∈ M N Chøng minh r»ng tån t¹i mét module cèt yÕu B cña M cho N ⊂ B vµ a ∉ B Bµi 17 Chøng minh r»ng nÕu Soc(M) ⊂ N ⊂ M th× N = ∩ N ⊂ B ⊂* M B Bµi 18 Cho R- module M Khi mệnh đề sau tơng đơng: 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (a) Rad(M) = 0; (b) §èi víi mäi phÇn tư ≠ x ∈ M tån module đơn E đồng cấu f : M → E mµ f ( x) ≠ 0; (c) NÕu {M i | i ∈ I } lµ tập module tối đại M ®ång cÊu tù nhiªn ϕ : M → ∩ ( M M i ) đơn cấu; iI (d) M nhúng đợc vào tích module đơn Bài 19 Giả sử R vành, J := Rad ( R ), p : R → R J lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c Chøng minh r»ng r ∈ R khả nghịch p(r) khả nghịch R J Bài 20 Giả sử R vành, e R phần tử luỹ đẳng Chứng minh r»ng Rad (eR ) = eRad ( R ) 70 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Trớc hết khóa luận đ trình bày cách có hệ thống kiến thức đại cơng module làm sở cho việc nghiên cứu đối tợng chính, '' Căn đế module '' Tiếp khoá luận đ tập trung nghiên cứu đế cđa module, hai c«ng cã nhiỊu hiƯu lùc việc tìm hiểu vành module Qua việc nghiên cứu đế module thấy đợc module tổng tất module đối cốt yếu, đế module giao module cốt yếu, đế ideal vành, mối liên hệ module xạ ảnh vành, vành với ideal, nil- ideal, vành tự đồng cấu Ngoài khoá luận đa số tập mà lời giải trở nên thuận lợi vận dụng phần lí thuyết đ trình bày trớc hệ thống tập đề nghị, từ góp phần củng cố lại lí thuyết 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tµi liƯu tham khảo [1] S.T Hu (1975), Nhập môn đại số đồng điều, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp [2] Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cơng, NXB GD [3] Ngun TiÕn Quang, Ngun Duy Thn (2001), C¬ së lí thuyết module vành, NXB GD [4] Dơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lí thuyết module, NXB ĐH S phạm [5] Dơng Quốc Việt (chủ biên) (2009), Bài tập lí thuyết module, NXB ĐH S phạm 72 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... module xạ ảnh, module hữu hạn sinh, đế module hữu hạn đối sinh, vành 2.1 Căn đế module Ta tìm hiểu định nghĩa đế module vài tính chất ban đầu để lấy đợc ví dụ đế Định nghĩa Cho R- module M 1) Ta... khái niệm module, module con, module thơng, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp vµ tỉng trùc tiÕp module, số loại module thờng gặp nh module đơn, module tối đại, module tự do, sè líp module quan... ®ã M đợc gọi R- module hay module vành R Ví dụ: (i) Mỗi ideal vành R R- module (ii) Mỗi vành module (iii) K trờng, K- module không gian vectơ (iv) Mỗi nhóm Abel cộng M đợc coi - module với phép