HH12 c3 b3 PT DUONG THANG p1 2022

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Hình học ⓬

ómtắt lý thuyết cơbản:ómtắt lý thuyết cơ

là một vectơ chỉ phương của

Với điểm thì trong đó t là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm   

➋

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

❹

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Khoảng cách

Phân dạng toán cơbPhân dạng toán cơ

bả

FB: Duong Hung

WORD XINH

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12

2021-_Bài tập minh họaBài tập minh họa:

Câu 1: Trong khơng gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường

Ⓐ.2; 1;3  Ⓑ.2;1;3 . Ⓒ 1; 2;0  Ⓓ 1;2;0.

Lời giải Chọn A

 Theo phương trình chính tắc của đường thẳng dthì ta thấy dcĩ một vectơ chỉ phương là 2; 1;3 .

Câu 2: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d song song với trục Oy Đường

thẳng d cĩ một vectơ chỉ phương là

Ⓐ u 1 2019; 0; 0 Ⓑ u 2 0; 2021; 0.

hân dạng tốn cơbản:hân dạng tốn cơ

Cách giải:Chú ý:

② Nếu cĩ trình tham số của dạng: thì cĩ 1 VTCP là

cĩ 1 VTCP là

Tìm một vtcp của đường thẳng

Dạng ①

Dạng ①

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

 Vậy u  5; 2; 2   cũng là một VTCP của đường thẳng đã cho._Bài tập minh họaBài tập rèn luyện:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  d : 3 12 14

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm M2;3;4 Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu

vuông góc của M lên các trục Ox , Oy , Oz Viết phương trình mặt phẳng ABC 

Vì điểm thuộc mặt phẳng Oxy nên cao độ của điểm đó bằng 0 suy ra loại hai 

điểm N và P Mặt khác điểm nằm trên mặt phẳng  P nên chỉ có điểm Q có tọa

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

 

 

  

vectơ chỉ phương của d ?

 có một vectơ chỉ phương là u   4 1; 1;2.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M a b ; ;1 thuộc mặt phẳng P : 2x y z   3 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 

  

nào là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d

A a   3  2;0;3

B a   1  2;3;3

C a  1 1;3;5

D a  1 2;3;3.

Lời giải

Ta dễ thấy u d  a3   2;0;3.

Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng

 P :2x 3y4z  Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng5 0 P

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 3 2x y z  5 0 Điểm nào dưới đây thuộc  P ?

 2; 1;3

a    là một vec tơ chỉ phương.

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P đi qua điểm

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A0; 1; 2   và B2;2;2

Vectơ a nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

A a  2;1;0 B a  2;3;4 C a    2;1;0 D a  2;3;0.

Lời giải

Ta có: AB 2;3;4

nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là a  2;3;4.

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : 3x 2y2z 5 0và  Q : 4x5y z   Các điểm , 1 0 A B phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai

mặt phẳng  P và  Q Khi đó AB cùng phương với véctơ nào sau đây?

  

nên đường thẳng AB có véctơ chỉ phương là:

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Một véc tơ chỉ phương của  là

  MN   1; 1;2 .

Vậy một vec tơ chỉ phương của  là u  1;1; 2 .

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho điểm N1;1; 2 

Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếucủa N trên các trục tọa độ Ox , Oy , Oz Mặt phẳng ABC có phương trình là

2 2

M  M   

 , chọn A3;1;1d

và gọi B làhình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oyz  B0;1;1.

Lại có

3 90; ;

2 2

BM   

Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm sẽ cùng

phương với vectơ BM nên chọn đáp án

B.

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Câu 19: Cho điểm M2;1;0 và đường thẳng

 Gọi d là đường thẳng đi

qua M , cắt và vuông góc với  Vectơ chỉ phương của d là:

 

1 4 2; ;3 3 3

, mặtphẳng  P x y:   2z 5 0

và A 1; 1;2 Đường thẳng  cắt d và  P lần lượt tại

M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Một vectơ chỉ phươngcủa  là:

.

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Suy ra MN d//

Giả sử AK là tia phân giác ngoài góc A cắt MN tại K  K là trung điểm của MN

1 3;3;2 2

 P : 2x y 2z  Đường thẳng 1 0  đi qua E  2; 1; 2 , song song với  P đồng

thời tạo với d góc bé nhất Biết rằng  có một véctơ chỉ phương um n; ; 1 

Mặt phẳng  P có vec tơ pháp tuyến n  2; 1; 2 

và đường thẳng d có vec tơ chỉ

phương v  4; 4;3 

Vì  song song với mặt phẳng  P nên un 2m n   2 0 n2m2.Mặt khác ta có

  .cos ;

u vd

u v

  

16 40 255 8 5

f t

 

 

 

ttf t

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t  f  0  suy ra 5  ;d  bé nhất khi

m  n Do đó T m2 n2  4

Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng  đi qua E  2; 1; 2 

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

Giả sử M   ,1 N   sao cho MN là2

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng  và 1  Tính MN2 

A MN  2; 2; 4 

B MN  3; 3;6 

C MN   1; 1; 2

D MN  5; 5;10 .

Lời giải

 có VTCP u 1 3; 1; 2  

và  có VTCP 2 u 2 1;3;1.Gọi M4 3 ;1 ; 5 2 t  t   t và N2s; 3 3 ;  s s.

Suy ra MN    2 3t s t ; 3s 4; 2t s 5

.Ta có

MN uMN u

 

s tst

 

 

Vậy MN 2; 2; 4 

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình

đường phân giác trong góc A là:

xy z

đường thẳng AB và điểm N1;1;0 thuộc đường thẳng AC Vectơ nào sau đây làvectơ chỉ phương của đường thẳng AC

A u  1; 2;3 B u  0;1;3 C u  0; 2;6  D u  0;1; 3 .

Lời giải

6 46 3

x tytzt

   

Gọi D là điểm đối xứng với M qua  d Khi đó D AC  đường thẳng AC có mộtvectơ chỉ phương là ND

.

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

với u  d 1; 4; 3 

nên t 4 1 4  t 3 3 3  t 0

 .

1 9;4;2 2

K  

Câu 25: Cho 2 mặt cầu   

d là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối

tâm hai mặt cầu và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Nếu ua; 1; b

Ta có: I I1 2  3 R1R2, do đó  S và 1 S tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm2

5 2 4; ;3 3 3

A 

 .

Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm I I nên d 1 2

phải tiếp xúc với hai mặt cầu tại A d I I1 2.Mặt khác d d O d  ;  OA  dmax OA khi dOA.

Khi đó, d có một vectơ chỉ phương là  I I OA1 2,   6; 3; 6  

 2; 1; 2

Suy ra a  , 2 b  2Vậy S  2

Câu 26: Trong không gian Oxy cho tam giác ABC có  A2;3;3 , phương trình đườngtrung tuyến kẻ từ B là

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

Gọi M là trung điểm AC Trung tuyến BM có phương trình

   

.Suy ra A B  B2;5;1  AB0; 2; 2 

 

   

Gọi C2 2 ;4 t  t; 2 t, suy ra tọa độ trung điểm M của AC là

7 52 ; ;

FB: Duong Hung

WORD XINHmức 7+

2 242

xtytztx y z

 

 

2 242

 

       

 

 

  H2;4; 2.

Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm

AA, bởi vậy:

 

  

Vì B BM BC nên tọa độ B là nghiệm x y z của hệ; ; 4

 

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M   2; 2;1 , A1;2; 3  và

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Gọi  P là mp đi qua M và vuông góc với d , khi đó  P chứa .Mp  P qua M   2; 2;1 và có vectơ pháp tuyến n P  ud 2;2; 1 

nên có phươngtrình:

 

 

 

 

   

Gọi C2 2 ;4 t  t; 2 t

, suy ra tọa độ trung điểm M của AC là

7 52 ; ;

WORD XINH

FB: Duong Hung

xtytztx y z

 

 

 

2 242

  

 

       

 

 2;4; 2

Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm

AA, bởi vậy:

 

  

Vì B BM BC nên tọa độ B là nghiệm x y z của hệ; ; 4

 



WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

_Bài tập minh họaBài tập minh họa:

Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

2 2

3 5

 

 Ta cĩ:

222 2

 

Viết PT đường thẳng

Dạng ②

Dạng ②

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trục Ox có phương trình tham số là

Ⓐ

xyz t

 

x tyz

 

xy tz t

 

x tyz

 

Lời giải

Chọn B

 Trục Ox đi qua O0;0;0 và nhận i 1;0;0 làm vectơ

chỉ phương nên có phương trình tham số là

x tyz

 

Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả  P và  Q là

WORD XINH

FB: Duong Hung

 Q : 2x y 2z 1 0 có một véctơ pháp tuyến là Q 2; 1; 2

              

nên phương trình chính tắc của

_Bài tập minh họaBài tập rèn luyện:

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm A   1; 3;2 và mặt phẳng P x:  2y 3z 4 0 ,Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là

Đường thẳng qua A   1; 3;2 vuông góc với mặt phẳng  P x:  2y 3z 4 0 nên có

một vectơ chỉ phương u   1; 2; 3

WORD XINH

FB: Duong Hung

 

  

2 231

 

  

4 26 32

 

 

  

2 231

 

  

Lời giảiChọn D

Vì  có vectơ chỉ phương a  4; 6;2  nên  cũng nhận vectơ 1 2; 3;1

 

  

Câu 3: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A3;0; 4 

và có véc tơ chỉphương u5;1; 2 

Đường thẳng đi qua điểm A3;0; 4  và có véc tơ chỉ phương u5;1; 2 

có phươngtrình

Chọn D

WORD XINH

FB: Duong Hung

  

  

  

  

đi qua điểm M1; 3;4  và nhận u 2;1; 1 

làm vtcp.Vậy

xyzd     

 

 

 

 , t   Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng  d ?

qua Mvtcpu

B.

WORD XINH

FB: Duong Hung

 

 

  

3 41 52 7

 

 

  

3 41 5

 

  

4 35

7 2

 

 

  

Lời giảiChọn B

Câu 9: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M1;1;2 và vuông góc với mặtphẳng  P x:  2y3z  có phương trình là4 0

A

11 22 3

 

   

123 2

 

 

  

11 22 3

 

   

11 22 3

 

   

Lời giảiChọn D

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  ud nP 1; 2;3 

 

   

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A3; 2;1  và mặt phẳng P x y:  2z 5 0 Đường thẳng nào sau đây đi qua A và song song với mặtphẳng  P ?

Vì d đi qua điểm A3; 2;1  nên loại B,

WORD XINH

FB: Duong Hung

 P đi qua trung điểm M của AB Tọa độ trung điểm M1;1;2

Vậy phương trình trung trực của đoạn thẳng AB là:  P : 3x y z   0

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1;2; 3 , B  3;2;9 Mặt phẳng trungtrực của đoạn thẳng AB có phương trình là:

A 4x12z10 0 B D.

C x 3z10 0 D x3z10 0

Lời giảiChọn C

Trung điểm của đoạn thẳng AB là I  1;2;3.Ngoài ra AB   4;0;12

Câu 13: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A3; 1; 2  và vuông góc vớimặt phẳng  P x y:   3z 5 0 có phương trình là

Lời giảiChọn A

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Đường thẳng d đi qua điểm A3; 1; 2  nhận vectơ pháp tuyến n  P 1;1; 3 

là vectơchỉ phương nên

xyzd     

 

 

  

Đường thẳng đi qua điểm M0;1; 1 

và song song với đường thẳng d có phương

xyz t

 

xyz t

 

xy tz

 

x tyz

 

Lời giảiChọn C

Trục Oy qua O0;0;0 và có vectơ chỉ phương j 0;1;0

nên có phương trình0

xy tz

 

vàmặt phẳng  P x y z:   1 0 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm

1;1; 2

A  , biết  // P  và  cắt d

WORD XINH

FB: Duong Hung

Gọi M  d     M 1 2 ;1t t; 2 3 t.Khi đó AM 2t 2; ; 3t t4

là một vectơ chỉ phương của       // P  AM n P

với n   P 1; 1; 1 

-  

B    , C6; 3; 1   Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là

A

1 33 24 11

 

 

  

 , t    B

134 8

 

 

  

 , t   

C

11 38 4

 

 

  

 , t    D

1 33 44

 

 

34 8

 

 

  

 , t   

Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;0; 3 ,  B3; 1;0  Viết phương

trên mặt phẳngOxy.

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

A

03 3

  

1 20

3 3 

  

1 20 

 

3 3

  

Lời giảiChọn C

Dễ thấy B3; 1;0   Oxy Gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳngOxy, ta có A1;0;0 Đường thẳng d đi qua hai điểm ,A B nên có véc-tơ chỉ

phương là  2; 1;0 

1 20 

 

Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;0;1, B  1;2;1 Viết phương trình đường

phẳng OAB 

A

xty tzt

 

 

nên tam giác OAB vuông tại O

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm I0;1;1; của đoạn AB.Ta có OA OB  ,     2; 2; 2 

Gọi u là véctơ chỉ phương của đường thẳng  thì u  1;1; 1 .

x tytzt

   

Viết phương trình đường thẳng  nằm trongmặt phẳng  P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giảiChọn A

Đường thẳng d có VTCP u 2;1;3

.Mặt phẳng  P có VTPT n  1; 2;1.

mà I P  t1 I1;1;1.Suy ra phương trình  có dạng:

 Phương trình của đường thẳng d là

A

xty tz

 

 

xty tz

 

 

 

  

xty tzt

 

  

Lời giảiChọn B

Đặt n P 0;0;1 và n Q 1;1;1 lần lượt là véctơ pháp tuyến của  P và  Q

Do     P  Q nên  có một véctơ chỉ phương u n n P, Q   1;1;0

xyzd     

  và A d d A d  P

WORD XINH

FB: Duong Hung

xtdy t

 

 

 

 

 

  

Lời giải

Măt phẳng Oyz có phương trình 0 x 

Gọi A là giao điểm của d và mặt phẳng Oyz suy ra  A0; 7; 5  .Chọn M2; 3;1 d

Gọi H là hình chiếu của M lên Oyz suy ra  H0; 3;1 

Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oyz là đường thẳng d đi qua  H

  

Câu 23: Trong không gian f x 

, phương trình nào dưới đây không phải là phương trình

đường thẳng đi qua hai điểm A4;2;0, B2;3;1.

 

   

4 22

xtytz t

 

  

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giảiChọn C

Vectơ chỉ phương của AB là AB  2;1;1

Xét đáp án C ta có: M1;4;2 không nằm trên đường thẳng AB.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2;3 và hai mặt phẳng P : 2x3y , 0  Q : 3x4y Đường thẳng qua 0 A song song với hai mặt phẳng P ,  Q có phương trình tham số là

A

 

 

  

xyz t

 

x tyzt

  

xy tz

 

Lời giảiChọn B

Vì đường thẳng cần tìm song song với hai mặt phẳng  P và  Q nên

  

xyz t

 

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

 đi qua điểm A1;2; 1 

nên phương trình đường thẳng  là

Vectơ chỉ phương của d là u  1;1; 1 .

Gọi  là đường thẳng cần tìm và A d1, B d2 Suy ra:

Khi đó: AB   b 2a2;b a 3;3b a 1.

Vì đường thẳng  song song với đường thẳng d nên AB cùng phương với u.

Thay A1;0;1 vào đường thẳng d ta thấy A d

Vậy phương trình đường thẳng

 

   

WORD XINH

FB: Duong Hung

Ta có M    d    M d Giả sử M 2 2 ,1t t,1 t t,  Do A là trung điểm MN nên N4 2 ; 5 t  t t; 3

Mà N P nên ta có phương trình 2 4 2  t  5 t  3t10 0   t 2Do đó, M   6; 1;3.

 

 

t t  Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi ,   và 1  2

u uu u

u u

  

Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi  và 1  có VTCP2