SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI TUYỂNSINHLỚP10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho lớp chuyên Toán.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).
a) 1,75 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện
0
xy
0,25
Hệ đã cho
2
2[ ( ) ( )] 9 (1)
2( ) 5 2 0 (2)
xy x y x y xy
xy xy
0,25
Giải PT(2) ta được:
2 (3)
1
(4)
2
xy
xy
0,50
Từ (1)&(3) có:
1
2
3
2
2
1
x
y
x y
xy
x
y
0,25
Từ (1)&(4) có:
1
1
3
2
2
1
1
2
2
1
x
y
x y
xy
x
y
0,25
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:
( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)
x y
0,25
b) 1,25 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Xét 3 trường hợp:
TH1. Nếu
2
x
thì PT trở thành:
( 1) 2( 1)
p x p
(1)
TH2. Nếu
3 2
x
thì PT trở thành:
(1 ) 2(1 )
p x p
(2)
TH3. Nếu
3
x
thì PT trở thành:
( 1) 2( 4)
p x p
(3)
0,25
Nếu
1
p
thì (1) có nghiệm
2
x
; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn:
2( 4)
3 1 1
1
p
x p
p
.
0,25
Nếu
1
p
thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn
2
x
; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm.
0,25
Nếu
1
p
thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn
3 2
x
; (1) có nghiệm x=2; (3)VN
0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và
2( 4)
1
p
x
p
0,25
+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm
2
x
¡
+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm
3 2
x
+ Nếu
1
1
p
p
thì phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 2 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
+ Phát hiện và chứng minh
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ca ab
a b a c b a b c c a c b
1,0
+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
2
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c bc ca ab
b c c a a b a b a c b c b a c a c b
0,5
Câu 3 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện xác định: x
1 (do x nguyên). 0,25
Dễ thấy
1 2( 1)
;
| 2 1| | 1|
x
A B
x x
, suy ra:
2 1 1
3 | 2 1| | 1|
x
C
x x
0,25
Nếu
1
x
. Khi đó
2 1 4( 1) 4( 1) 1 2
1 0 1 1 0
3 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)
x x x
C C
x x x x
Suy ra
0 1
C
, hay
C
không thể là số nguyên với
1
x
.
0,5
Nếu
1
1
2
x
. Khi đó:
0
x
(vì x nguyên) và
0
C
. Vậy
0
x
là một giá trị cần tìm.
0,25
Nếu
1
2
x
. Khi đó
1
x
(do x nguyên). Ta có:
2 1 4( 1)
1 0
3 2 1 3(2 1)
x
C
x x
và
4( 1) 2 1
1 1 0
3(2 1) 3(2 1)
x x
C
x x
, suy ra
1 0
C
hay
0
C
và
1
x
.
Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là:
0, 1
x x
.
0,25
Câu 4 (3,0 điểm):
a) 2,0 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Gọi I là trung điểm AB,
,
E IK CD R IM CD
. Xét hai tam giác
KIB và KED có:
·
·
ABD BDC
0,25
KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25
·
·
IKB EKD
0,25
Suy ra
KIB KED IK KE
. 0,25
Chứng minh tương tự có:
MIA MRC
0,25
Suy ra: MI = MR 0,25
Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR
nên KM là đường trung bình
KM // CD
0,25
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q
Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm) 0,25
b) 1,0 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt)
IK là đường trung bình của
ABD
IK//AD hay IE//AD
chứng minh tương tự trong
ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25
Có:
QK AD
(gt), IE//AD (CM trên)
QK IE
. Tương tự có
QM IR
0,25
Từ trên có: IK=KE,
QK IE QK
là trung trực ứng với cạnh IE của
IER
. Tương tự QM là
trung trực thứ hai của
IER
0,25
Hạ
QH CD
suy ra QH là trung trực thứ ba của
IER
hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD
Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm).
0,25
Câu 5 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
A'
B'
C'
A
B
C
P
P'
Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó
1
S
.
0.25
Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng
này giới hạn tạo thành một tam giác
' ' '
A B C
(hình vẽ). Khi đó
' ' '
4 4
A B C ABC
S S
. Ta sẽ chứng
minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác
' ' '
A B C
.
0.25
Giả sử trái lại, có một điểm
P
nằm ngoài tam giác
' ' ',
A B C
chẳng hạn như trên hình vẽ . Khi đó
; ;
d P AB d C AB
, suy ra
PAB CAB
S S
, mâu thuẫn với giả thiết tam giác
ABC
có diện tích
lớn nhất.
0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác
' ' '
A B C
có diện tích không lớn hơn 4. 0.25
. GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 200 9-2 010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho lớp chuyên Toán.
—————————
Câu 1 (3,0. (3)VN
0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và
2( 4)
1
p
x
p
0,25
+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số