Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.. Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C.. Đường thẳng DM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K.. Đường thẳng EK cắt MO , MB lần lượt tại G,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014
Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013
Môn: TOÁN ( Toán chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức : A = 2 1 18
2 và
và x x 4 )
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trị x để A.B = 2
Câu 2 (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình (Không dùng máy tính bỏ túi) x 2y 5
2x y 0
b) Cho hàm số y = 2x 2 có đồ thi (P) Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2 và -1 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
Câu 3 (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x 2 + 2(m – 1)x + 2m – 6 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi m b) Tìm tất cả các giá trị m để 1 2
1 2
x x 13 0
x x .
Câu 4 (4 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho R
AC =
4 Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C Hai tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
là K Đường thẳng EK cắt MO , MB lần lượt tại G, H Gọi I là giao điểm của OM và EB.
a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp.
b) Tính AE theo R
c) Chứng minh HM 2 = HK HE.
d) Tính MG theo R.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b thỏa mãn điều kiện : 0 a 2 ; 0 b 2 và a + b = 3 Chứng minh
2 2
a + b 5
- hết
Trang 2-Bài giải : 19g Ngày 9 / 6/2013
Đề chung chuyên toán Quảng Nam Năm 2013 _ 2014
Bài 1 : A = 2 1 18 2. 2 3 2 4 2
x B
b) Khi A.B= 2 ta có x 2 2 4 2 = 2
Suy ra x 8 2= 1 nên 8 = x 2 <=> x = 6 <=> x =36 ( TMĐK)
Bài 2:
a) Giải hệ phương trình2x x y2y50 4x x22y y50 5y x25x x y12
Vậy hệ pt có nghiệm x = 1 , y =2
b)
( ) : 2 2 8 ê (2;8)
A
Do A P y x
y N n A x
2
( ) : 2
2 ê ( 1; 2)
B
Do B P y x
y N n B x
Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b
Do đường thẳng AB qua A, B
Nên ta hệ pt : 8 22 a b a b 6 32 a a b a b42
Vậy đường thẳng AB là : y = 2x + 4
Bài 3: Với phương trình x2 +2(m-1)x+2m – 6 = 0 (1)
a) Ta có ∆’ = (m-1)2 – (2m- 6) = m2 – 2m +1 - 2m +6
= m2 – 4m + 4 + 3 = ( m +2 )2 + 3
Do ( m +2 )2 ≥ 0 Với mọi m
nên ( m +2 )2 + 3 ≥ 3 > 0 Với mọi m
hay ∆’ > 0 Vậy pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Điều kiện pt (1) có 2 nghiệm là với mọi m
Theo hệ thức Viet có x1 + x2 = - 2( m – 1) , x1 x2 = 2m – 6
Theo đề cho có 2 1
1 2
1 2
13 0
x x
x x
x x
Suy ra 2( 1) 2 6 13 0
m
m m
, ĐK m ≠ 3
-2m + 2 + 4m2 – 24m + 36 + 26m – 78 = 0
Trang 3G K
O
M
B E
D
A C
H
4m2 – 40 = 0
m = 10 ( TMĐK)
Vậy m = 10
‘Bài 4 :
a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp
Chứng minh được OM ┴ EB tại I ,
ED ┴ AB tại C
Nên EIO ECO 90 0
Suy ra tứ giác EIOC nội tiếp
b Tính AE theo R
∆AEB vuông tại E
( AEB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
EC ┴ AB
Suy ra AE2 = AC AB = R4 2R = 2
2
R
Suy ra AE = R 2
2
c Chứng minh HM2=HK.HE
Ta có : MEK MDE (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cùng chắn cung EK)
mà EDM DMB (slt)
Nên KMH MEK Suy ra ∆HMK đồng dạng ∆HEM (gg)
Suy ra HM2=HK.HE
d Tính MG theo R
Xét đường tròn (O) có HB2 = HK.HE ( phương tích )
mà HM2=HK.HE
Suy ra HM = HB Nên G là trọng tâm tam giác MEB
Suy ra MG = 2/
3 MI ,
AE R 2
OI
4
Suy ra MI = 2 2R - 2
4
R = 2R(2- 14) = 74 2R
Nên MG = 76 2R
Bài 5: Do 0≤ a ≤ 2 mà a + b = 3 Nên 3 – b ≤ 2 <=> b ≥ 1
suy ra b – 1 ≥ 0 trong khi b -2 ≤ 0
Trang 4Suy ra (b – 1 )(b – 2) ≤ 0 hay b2 – 3b + 2 ≤ 0
Tương tự a2 – 3a + 2 ≤ 0
suy ra a2 + b2 – 3( a + b) + 4 ≤ 0
hay a2 + b2 – 3 3 + 4 ≤ 0
Vậy a2 + b2 ≤ 5