Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường THPT chuyên môn toán năm 2013 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng pdf

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2013 – 2014 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi Bài 1. (2.0 điểm) a) Cho 3 7 10 7 : 2 2 4 8 2 4 x x x x A x x x x x x x   − + + = − −  ÷ − + + − + +   . Tìm x sao cho 2A < . b) Tìm m để phương trình ( ) 2 2 4 3 2 0x m x m− + + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn 2 1 2 3x x= + . Bài 2. (2.0 điểm) a) Giải phương trình 7 5 1 3 13 3 x x x − − − + = . b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 3 x xy y y x y  + = − +   − =   . Bài 3. (3.0 điểm) Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB sao cho AC BC > . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh rằng . .AD CE CH DE = . b) Chứng minh rằng .OD BC là một hằng số. c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định. Bài 4. (1.0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu 1x y≥ ≥ thì 1 1 x y x y + ≥ + . b) Cho 1 , , 2a b c≤ ≤ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 10a b c a b c   + + + + ≤  ÷   . Bài 5. (2.0 điểm) a) Cho ,a b là hai số nguyên dương thỏa mãn 20a + và 13b + cùng chia hết cho 21. Tìm số dư của phép chia 4 9 a b A a b= + + + cho 21. b) Có thể phủ kín bảng 20 13 × ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (có thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờm lên nhau không? Hết Họ tên thí sinh:……………….………………….Số báo danh: ………… Họ tên giám thị 1:……….……… … Họ tên giám thị 2: ……… ……… ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Đáp án Điểm 1 (2.0 điểm) a) (1.0 điểm) ĐKXĐ: 0x ≥ và 4x ≠ . 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 2 7 10 7 : 2 4 2 2 4 x x x x x x x A x x x x x + + − − − − + + = + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 7 : . 2 4 7 2 2 4 x x x x x x x x x + − + = = + + + − + + 0.25 ( ) 2 2 2 7 3 9.A x x x x< ⇔ + < + ⇔ < ⇔ < 0.25 Kết hợp với điều kiện ta có 0 9 4 x x ≤ <   ≠  . 0.25 b) (1.0 điểm) ( ) ( ) 2 2 2 1 7 ' 2 3 2 2 0 2 4 m m m m m m   ∆ = + − + = + + = + + > ∀  ÷   . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 0.25 Theo đề bài và định lý Viét ta có: 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4 3 2 3 4 11 3 m x x x m x x m x +  =  + = +   ⇔   = + +   =   0.25 2 1 4 11 3 2 3 3 m m m + + ⇒ × = + 0.25 2 1 8 7 0 7 8 m m m m =   ⇔ − − = ⇔  = −  . 0.25 2 (2.0 điểm) a) (1.0 điểm) ĐKXĐ: 1 5 x ≥ . 0.25 ( ) ( ) 1 5 1 3 13 5 1 3 13 5 1 3 13 6 PT x x x x x x⇔ − − + = − − + − + + . 0.25 * 5 1 3 13 0x x− − + = ⇔ 5 1 3 13x x− = + ⇔ 5 1 3 13x x− = + ⇔ 7x = (thỏa mãn). 0.25 * 5 1 3 13 6x x− + + = (1) Nếu 1x > thì VT (1) > 4 16+ = 6; còn nếu 1x < thì VT (1) < 4 16+ = 6. Dễ thấy 1x = là nghiệm phương trình (1). Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm 1 1x = ; 2 7x = . 0.25 b) (1.0 điểm) Hướng dẫn gồm 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC H I F G E D B O A C ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 0x xy y y y x y x+ = − + ⇔ − + + − = . Coi đây là phương trình bậc hai ẩn y tham số x , ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 2 2 9 6 1 3 1x x x x x∆ = + − − = + + = + . 0.25 Suy ra 3 3 1 2 2 2 3 3 1 1 2 x x y x x x y x + + +  = = +   + − −  = = − +   . 0.25 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 8 7 0 ' 5 0 3 y x y x x x x y = + = +    − ⇔   + + = ∆ = − < − =    V« nghiÖm do . 0.25 2 2 1 1 2 ) 2 1 3 y x y x x x y x y = − + = − + =    − ⇔ ⇔    = = − − =    . 0.25 3 (3.0 điểm) a) (1.0 điểm) // CH OA OC AH CE OE ⇒ = . (1) 0.25 OD là phân giác của góc · OA AD ADE OE DE ⇒ = . (2) 0.5 Từ (1) và (2) suy ra . . CH AD AD CE CH DE CE DE = ⇒ = . 0.25 b) (1.0 điểm) Ta có ABC ∆  DOA ∆ (g – g). 0.5 2 . . 2 BC AB AB OD BC AB AO AO OD = ⇒ = = . 0.5 c) (1.0 điểm) 2 2 2 . EF EC EB EB EG EF EG AD CD BO AB AD = = = = ⇒ = 0.25 2 2 2 . . 2 .EF EG EF EC EB EA EB EI⇒ = = = = . 0.25 BEF⇒ ∆  ( ) · · GEI c g c BFE GIE BF IG∆ − − ⇒ = ⇒ ⊥ . 0.25 Mà BE FG IFG ⊥ ⇒ ∆ nhận B cố định là trực tâm. 0.25 4 a) (0.25 điểm) ( ) ( ) 1 1 1 0 x y xy x y x y xy − − + ≥ + ⇔ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y= . 0.25 b) (0.75 điểm) Không mất tính tổng quát giả sử 1 2a b c≤ ≤ ≤ ≤ , ta có: 1 1 1 7 7 2 1, 1, 2 a b b c c a VT VP x y xy b a c b a c x y xy b c x y xy y a b x             − = + + + + + − = + + + + + −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷               = ≥ = ≥ ≤ ⇒ ≤  ÷   0.25 ( ) ( ) 3 1 2 1 2 1 3 3 9 2 7 0 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x − −       ≤ + + + + + − = + − = ≤  ÷  ÷  ÷       . 0.25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 2 1, 2 a b c a b c = = =   = = =  và các hoán vị. 0.25 5 (2.0 điểm) a) (1.0 điểm) Từ giả thiết suy ra 1 (mod3)a ≡ , 3 1( )a k k= + ∈N ; 2 (mod 3)b ≡ , 3 2( )b q q= + ∈N . Suy ra 4 9 1 0 1 2 (mod 3) a b A a b= + + + ≡ + + + hay 4 (mod 3)A ≡ . (1) 0.25 Lại có: 3 1 4 4 4.64 4 (mod 7) a k k+ = = ≡ 3 2 3 2 9 9 2 (mod 7) b q q+ + = ≡ ⇒ 9 4.8 4(mod 7) b q ≡ ≡ . 0.25 Từ giả thiết ta còn suy ra 1 (mod7)a ≡ , 1 (mod 7)b ≡ . Dẫn đến 4 9 4 4 1 1 (mod 7) a b A a b= + + + ≡ + + + hay 10 (mod 7)A ≡ . 0.25 Từ (1) suy ra 10 (mod 3)A ≡ ; mà 3 và 7 nguyên tố cùng nhau nên 10 (mod 21)A ≡ . Vậy A chia cho 21 dư 10. 0.25 b) (1.0 điểm) Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng 1 đen, dòng 2 trắng, dòng 3 đen, dòng 4 trắng, … 0.25 Khi đó mỗi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen. 0.25 Trong bảng, số ô đen bằng số ô trắng nên số miếng lát phủ 3 ô đen 1 ô trắng bằng số miếng lát phủ 3 ô trắng 1 ô đen, do đó phải có chẵn miếng lát. 0.25 Tuy nhiên trong bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn. Vậy không thể phủ được bảng thỏa mãn. 0.25 Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2013 – 2014 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01. ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Đáp án Điểm 1 (2.0 điểm) a) (1.0 điểm) ĐKXĐ: 0x ≥ và. trong biểu điểm. - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, thí sinh vẽ hình