Thông tin tài liệu
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) a) Cho M = (1 − x x +1 ):( x +3 x −2 + x +2 3− x + x +2 x−5 x +6 ) Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P = x 2013 + x 2011 + 2006 với x = + 2 − + + 18 − − Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình ( x + 3)( x + 4)( x + 5)( x + 6) = 24 a) | 2x − x − | = 2x − x − b) Câu 3: (4 điểm) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + ÷ y + ÷ y x 1 1 b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn x + y + y + z + z + x = 1 Chứng minh rằng: 3x + y + z + x + y + z + x + y + z ≤ Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện biểu thức P = sin α + cos α Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE 3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD = BF DF Câu 5: (1 điểm) Tìm n ∈ N* cho: n4 +n3+1 số phương PHỊNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Câu 1: (6 điểm) a) (4,5đ) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (*) 1)Rút gọn M : Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (0,5đ) x +1− x x + x +2 x +2 : M = − + x + x − x − ( x − 2)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) − ( x − 2)( x + 2) + ( x + 2) = : x +1 ( x − 2)( x − 3) = = x +1 : x − − ( x − 4) + x + ( x − 2)( x − 3) x −2 x +1 Vậy M = 2) M = x −2 x +1 x −2 x +1 = (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ) (*) x +1− x +1 = x +1 x +1 − x +1 = 1− (2,5đ) x +1 (0,75đ) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x + ⇔ x + ∈ U (3) Ư(3) ∈ { ± 1;±3 } Vì x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x + ≥ Nên x + 1∈ {1;3 } Xảy trường hợp sau: (0,5đ) x + = ⇔ x = ⇔ x = (TMĐK (*) ) x + = ⇔ x = ⇔ x = (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b_ x = + 2 − + + 18 − − (0,25đ) Có 18 − = (4 − ) = − = − 2 + + − = + = ( + 1) = (0,5đ) +1 (0,25đ) x = + 2 − − − = + 2 − − = + − − x = + ( − 1) − = + − − = + − x = ( + 1) − = +1 − = +1− = (0,75đ) Với x = 1.Ta có P = 3.12013 + 5.12011 + 2006 = + + 2006 = 2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a ( x + 3)( x + 6)( x + 4)( x + 5) = 24 ( x + x + 18)( x + x + 20) = 24 (1) Đặt x + x + 19 = y (1) ( y + 1)(y – ) – 24 = y2 – 25 = ( x + x + 24)( x + x + 14) = ( x + 2)( x + 7)( x + x + 24) = Chứng tỏ x + x + 24 > Vậy nghiệm phương trình : x = −2; x = −7 b Ta có x − x − = −( x − x + 1) = −( x − 1) < pt trở thành : x − x − = x − x + x =1 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Câu 3: (4 điểm) a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1 Tìm GTNN biểu thức: M = x + 2đ ÷ y + ÷ y2 x x4 y + x2 y2 + 2 M = x + ÷ y + ÷= x y + + + 2 = y x x y x2 y2 0,5 (x = y + 1) 2 x2 y + = ÷ = xy + ÷ 2 x y xy xy 15 Ta có: xy + = xy + ÷+ xy 16 xy 16 xy 1 1 ≥ xy = = (1) * 16 xy 16 xy x+ y 1 1 15 15 xy ≤ = ⇒ xy ≤ ⇒ ≥4⇒ ≥ = ⇒ ≥ (2) 2 xy 16 xy 16 16 xy 0, * Ta có: xy + Từ (1) (2) ⇒ xy + 15 15 17 ≥ + = ÷ = xy + ÷+ xy 16 xy 16 xy 4 0,25 17 289 Vậy M = xy + ÷ ≥ ÷ = xy 16 xy = xy = 16 xy ⇔ 4⇔x= y= Dấu “=” xảy ⇔ (Vì x, y > 0) x= y x = y Vậy M = 0,5 0,25 289 x = y = 16 0,5 b 1 + + =6 x + y y + z z + x Cho x, y số dương thỏa mãn: 1 + + ≤ Chứng minh rằng: x + y + z x + y + z x + y + z 1 + ≥ Áp dụng BĐT a b a + b ⇒ (với a, b > 0) 11 1 ≤ + ÷ a+b 4 a b Ta có: 1 1 1 = ≤ + ÷ 3x + y + z ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + y + z x + y + z 2đ 0.5 ≤ 1 1 1 1 + + + + ≤ ÷ ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z ) x + y x + z x + y y + z ≤ 1 1 + + ÷ 16 x + y x + z y + z 1 1 ≤ + + ÷ x + y + z 16 x + z x + y y + z Tương tự: 1 1 ≤ + + ÷ x + y + z 16 y + z x + y x + z cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 + + ≤ + + ÷ x + y + z x + y + z x + y + z 16 x + y x + z y + z 4 1 ≤ + + ÷ = = 16 x + y x + z y + z 0,5 0,5 0,5 0,5 Caai 4: (5 điểm) B D I O C 0,25 H E P A Q F BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA Nối OE, ∆ BEF vuông B; BA ⊥ EF nên AB2 = AE AF 0,75đ AE AB AE AB AE AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ AB AF 1 OA AQ AB AF 2 µ (góc có Vậy ∆ AEO : ∆ ABQ(c.g.c) Suy ·ABQ = ·AEO mà ·ABQ = P · µ cạnh tương ứng vng góc) nên AEO = P , mà hai góc đồng vị => PH // OE Trong ∆ AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy H trung điểm OA Ta cã: P = sin α + cos α = ( sin α ) + ( co s α ) 6 2 0,75đ 0,25đ P = ( sin α + cos α ) sin α − sin α cos α + cos α 0,75đ P = ( sin α + cos α ) − 3sin α cos α = − 3sin α cos α Ta cã: ( sin α + cos α ) 2 ≥ 4sin α cos α ⇔ ≥ 4sin α cos α ⇔ sin α cos α ≤ 2 2 Suy ra: P = − 3sin α cos α ≥ − Do ®ã: Pmin = vµ chØ khi: 2 0,5đ = 4 0,25đ 0,25đ sin α = cos α ⇔ sin α = cos (vì sin = ⇔ tgα = ⇔ α = 450 cos α Khi CD vng góc với AB gãc nhän) ⇔ 0,25đ 0,25đ Ta có ∆ ACB ∆ ADB nội tiếp đường trịn (O) có AB đường kính nên 0,25đ ·ACB = ·ADB = 900 => ADBC hình chữ nhật Ta có: CD2 = AB2 = AE AF => CD4 = AB4 = AE2 AF2 0,25đ = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF ⇒ AB3 = CE.DF.EF Vậy CD3 = CE.DF.EF Ta có: BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE ⇒ = = ⇒ = = = BF FA.EF AF BF AF DF BF BF DF Câu 5: Giả sử n4 +n3 + số phương n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2 ( → n4 + n3 +1 = n2 + K ) = n + 2Kn + K → n − 2Kn = K − → n (n − 2k ) = K − ≥ (K ∈ N * ) 0,25đ Mà K − 1n → K = n ≤ K − Nếu K = → K = → n (n − 2) = → n = Thử lại + + = ( thỏa mãn) Khi K ≠ → K > K − ≥ n → K > n → n − 2k < mâu thuẫn với điều kiện n ( n − 2K ) = K − ≥ Vậy n = (1đ) ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Câu 1: (6 điểm) a) (4,5đ) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (*) 1)Rút gọn M : Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (0,5đ)
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:16
Xem thêm:
