034 đề HSG toán 8 thanh oai 2014 2015

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 Năm học : 2014-2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (6,0 điểm)  1  x3  1  x2 A  x : x  1 2 3  1  x 1  x  x  x   1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A  0 4 2 2) Giải phương trình: x  30 x  31x  30  0 Câu 2 (4,0 điểm) 2 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x  xy  6 x  5 y  8 4 2) Chứng minh rằng nếu m  5 thì m  a  4 không là số nguyên tố Câu 3 (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết: 4 4 2 2 A   x  1   x  3  6  x  1  x  3 Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H a) b) c) d) HD HE HF   AD BE CF Tính tổng 2 Chứng minh : BH BE  CH CF  BC Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M , N tùy ý sao cho HM  CN Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định Câu 5 (1,0 điểm) 3 2  2n  1 Tìm số nguyên n sao cho: 2n  n  7n  1M ĐÁP ÁN Câu 1 1) a) Với x  1;1 thì 1  x3  x  x 2  1  x  1  x A : 1 x  1  x  1  x  x2   x  1  x    1  x   1  x  x2  x  1 x :  1  x  1  x  1  x  1  2 x  x2  1   1  x 2   1  x  1 x A  0   1  x2   1  x   0 x   1 b) Với thì (1) 2 Vì 1  x  0 với mọi x nên  1 xảy ra khi và chỉ khi 1  x  0  x  1 2) x 4  30 x 2  31x  30  0   1  x2  :   x 2  x  1  x  5   x  6   0  * 2 1 3  x  x  1   x     0x 2 4  Vì x  5   *   x  5   x  6   0    x  6 Câu 2 2 2 1 x  xy  6 x  5 y  8  x  6 x  8  y  x  5  2 (2) x2  6x  8  y x  5 (vì x  5 không là nghiệm của  2  ) 3  y   x  1  x5 Vì x, y nguyên nên x  5 là ước của 3  x  5   1;1;3; 3 hay x   4;6;8;2 x y 2 0 6 4 8 0  x; y     2;0  ;  4;0  ;  6;8  ;  8;8   Vậy nghiệm của phương trình 2) 2 m  a 4  4   a 4  4a 2  4    2 a    a 2  2  2a   a 2  2  2 a  2 2   a 2  2a  1  1  a 2  2a  1  1   a  1  1  a  1  1    8 8 Vì  a  1 2  1a,  a  1  0a nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi 2 a  1 Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1 nếu a  1 Còn các trường hợp khác là tích  1 a  1  a  1 Vậy ngoài  khi đó m  5 thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên m không thể là số nguyên tố Câu 3 Đặt a  x  1, b  3  x ta có: a  b  2 A  a 4  b 4  6  ab    a 2  b 2   4a 2b 2 2 2 2 2 2   a  b   2ab   4a 2b 2   4  2ab   4a 2b 2    8a 2b 2  16ab  16  8  ab  1  8  8 Dấu "  " xảy ra  a  b  2 và ab  1  a  b  1  x  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8 tại x  2 2 Câu 4 HD S HBC  AD S ABC a) Trước hết chứng minh HE S HCA HF S HAB  ;  BE S CF S ABC ABC Tương tự ta có: HD HE HF S HBC  S HCA  S HAB     1  HD  HE  HF  1 S ABC AD BE CF Nên AD BE CF b) Trước hết chứng minh BDH : BEC  BH BE  BD.BC Và CDH : CFB  CH CF  CD.CB  BH BE  CH CF  BC. BD  CD   BC 2 (dfcm) · · c) Chứng minh AEF : ABC  AEF  ABC · · · · Và CDE : CAB  CED  CBA  AEF  CED Mà EB  AC nên EB là phân giác của góc DEF Tương tự : DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF Nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm) d) Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC , ta có · · OMH  ONC  c.c.c   OHM  OCN (1) · · (2) Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên OHC  OCH · · · Từ  1 và  2  ta có: OHC  OCH  HO là phân giác của góc BHC · Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của BHC nên O là điểm cố định Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O 2n3  n 2  7n  1   n2  n  4   2n  1  5 Câu 5 3 2 Để 2n  n  7n  1M2n  1 thì 5M2n  1 hay 2n  1 là Ư  5   2n  1  5  n  2  2n  1  1  n  0    2n  1  1 n  1    2n  1  5 n  3 3 2 Vậy n   2;0;1;3 thì 2n  n  7n  1M2n  1 ... x5 Vì x, y nguyên nên x  ước  x    1;1;3; 3 hay x   4;6 ;8; 2 x y  x; y     2;0  ;  4;0  ;  6 ;8  ;  8; 8   Vậy nghiệm phương trình 2) m  a    a  4a     a   ...   a  2   a  2a  1  1  a  2a  1  1   a  1  1  a  1  1    8 Vì  a  1  1a,  a  1  0a nên giá trị nhỏ thừa số thứ a  1 Giá trị nhỏ thừa số thứ hai... a  b   ab    a  b   4a 2b 2 2 2   a  b   2ab   4a 2b    2ab   4a 2b    8a 2b  16ab  16   ab  1   Dấu "  " xảy  a  b  ab   a  b   x  Vậy giá trị nhỏ A