PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 3 + 11 12 + 1,5 + − 0,75 5 −0, 265 + 0,5 − − 2,5 + − 1,25 11 12 0,375 − 0,3 + a) Thực phép tính: 50 + 26 + 168 b) So sánh: Câu x − + − 2x = 2x + x a) Tìm biết: x, y ∈¢ xy + x − y = b) Tìm biết: x, y , z x = y;4 y = z x − y + z = c) Tìm biết: Câu f ( x ) − f ( x − 1) = x a) Tìm đa thức bậc hai biết Từ áp dụng tính tổng S = + + + + n b) Cho Câu 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx = = a 2b 3c ( ) · ABC BAC < 900 , Chứng minh : AH x y z = = a 2b 3c E, F Cho tam giác đường cao Gọi điểm AB , AC , AB , AC N H EF M đối xứng qua đường thẳng cắt Chứng minh rằng: AE = AF a) · MHN HA b) phân giác CM / / EH , BN / / FH Chứng minh ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 Câu Cho ba số dương Chứng minh rằng: a b c + + ≤2 bc + ac + ab + Câu Cho m, n ∈ ¥ * p số nguyên tố thỏa mãn: p =n+2 p m+n = (1) m −1 p Chứng minh rằng: ĐÁP ÁN Câu 3 3 3 − + + + − 10 11 12 a) A = + 53 5 5 5 − + − − + − 100 10 11 12 1 1 1 1 165 − 132 + 120 + 110 3 − + + ÷ 3 + − ÷ 3. ÷ 1320 10 11 12 + = + = −53 1 −53 −66 + 60 + 55 1 1 − 5 − + + ÷ 5 + − ÷ − 5 ÷ 100 660 10 11 12 100 263 263 3 3945 −1881 1320 + = 1320 = + = + = −53 49 −1749 − 1225 −5948 29740 − 100 660 3300 b) Ta có: Vậy 50 > 49 = 7; 26 > 25 = 50 + 26 + > + + = 13 = 169 > 168 Câu a) Nếu x>2 ta có: x − + 2x − = 2x + ⇔ x = Nếu Nếu Vậy ≤x≤2 ta có: x< , 2 − x + x − = x + ⇒ x = −2(ktm) − x + − 2x = 2x + ⇒ x = ta có: x = 6; x = 5 xy + x − y = ⇔ x ( y + ) − ( y + ) = ⇔ ( x − 1) ( y + ) = b) Ta có: ⇔ ( y + ) ( x − 1) = 3.1 = 1.3 = ( −1) ( −3) = ( −3) ( −1) y+2 -1 -3 x −1 -3 -1 x -2 y -1 -3 -5 x = y;4 y = z;8 x = 12 y = 15 z c) Từ x y z x y 5z x − y + 5z ⇒ = = = = = = = = 12 1 1 1 1 − + 12 15 4 12 1 ⇒ x = 12 = ; y = 12 = 1; z = 12 = 12 15 Vậy x = ; y = 1; z = Câu f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) a) Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f ( x − 1) = a ( x − 1) + b ( x − 1) + c Ta có: a = 2a = f ( x ) − f ( x − 1) = 2ax − a + b = x ⇒ ⇒ b − a = b = f ( x) = x + x+c c 2 ( số tùy ý) Vậy đa thức cần tìm Áp dụng: = f ( 1) − f ( ) x = 1, Với ta có: = f ( ) − f ( 1) x=2 Với ta có: Với x=n ta có: n = f ( n ) − f ( n − 1) ⇒ S = + + + + n = f ( n ) − f ( ) = n ( n + 1) n2 n + +c−c = 2 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx = = a 2b 3c 2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx ⇔ = = a2 4b2 9c 2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx = =0 a + 4b + 9c z y ⇒ 2bz − 3cy = ⇒ = (1) 3c 2b x z ⇒ 3cx − az = ⇒ = (2) a 3c b) Từ (1) (2) suy : Câu x y z = = a 2b 3c a) Vì Vì AB AC trung trực EH HF nên ta có: AE = AH (1) AH = AF (2) trung trực nên ta có: AE = AF Từ (1) (2) suy · EMH ⇒ MB M ∈ AB MB M b) Vì nên phân giác phân giác ngồi góc MNH tam giác · µ N ∈ AC NC FNH ⇒ NC N Vì nên phân giác phân giác tam MNH giác MB, NC A HA H Do cắt nên phân giác góc tam giác · HMN MHN HA phân giác AH ⊥ BC ( gt ) HM c) Ta có: mà µ HMN H của tam giác phân giác ¶ M MB · MHN ⇒ HB phân giác · HMN (cmt ) ⇒ NB phân giác của tam giác phân giác HMN ⇒ BN ⊥ AC góc N tam giác (hai đường phân giác hai AC ) ⇒ BN / / HF góc kề bù vng góc với nhau) (cùng vng góc với EH / / CM tự ta có: Chứng minh tương Câu ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 Vì nên: 1 c c ≤ ⇔ ≤ (1) ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ ab + a + b ab + a + b a a ≤ (2) bc + b + c ; b b ≤ ac + a + c (3) Tương tự: a b c a b c + + ≤ + + (4) bc + ac + ab + b + c a + c a + b Do đó: Mà 2.( a + b + c ) a b c 2a 2b 2c + + ≤ + + = =2 b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c a b c + + ≤ ( dfcm ) bc + ac + ab + Từ (4) (5) suy ra: Câu p ⇒ pM (m − 1) m, n ∈ ¥ * m+n +Nếu chia hết cho p số nguyên tố m = p +1 p2 = n + ⇒m=2 từ (1) ta có: ⇒ ( m + n ) ( m − 1) = p m+n Nếu không chia hết cho p, từ (1) p m, n ∈ ¥ * ⇒ m − = p m + n = Do số nguyên tố và (5) ⇔ m2 = p + p =n+2 Vậy n = − p < 0(ktm) ... 100 263 263 3 3945 −1881 1320 + = 1320 = + = + = −53 49 − 174 9 − 1225 −5948 2 974 0 − 100 660 3300 b) Ta có: Vậy 50 > 49 = 7; 26 > 25 = 50 + 26 + > + + = 13 = 169 > 168 Câu a) Nếu x>2 ta có: